Ejercicios detallados del obj 5 mat i (175 176-177) Universidad Nacianal Abierta

1. Capitulo I
Matemática I
Objetivo 5. Efectuar problemas distinguiendo diversas características de
una función, geométrica y analíticamente o relacionados con la composición de
funciones.
Ejercicio 1
Determina si la función { } { }: 5 2f − → −ℝ ℝ definida por :
2 3
( )
5
x
f x
x
+
=
−
es
inyectiva.
Sugerencia: Recuerde que f es inyectiva si dados x, y ∈ IR − { 5 }, entonces:
f(x) = f(y) implica que x = y
Solución
Justificación: En este caso se toma en cuenta la sugerencia, y se
procede a verificar si ( ) ( )f x f y x y= ⇒ = , para saber si la ( )f x dada es
inyectiva.
Se puede escribir:
2 3
( )
5
x
f x
x
+
=
−
y
2 3
( )
5
y
f y
y
+
=
−
, luego planteamos la
igualdad ( ) ( )f x f y= :
2 3 2 3
5 5
(2 3)( 5) (2 3)( 5) (los denominadores que estan dividiendo pasaron multiplicando)
2 10 3 15 2 10 3 15 (se aplico la propiedad distributiva)
2
x y
x y
x y y x
xy x y yx y x
xy
+ +
=
− −
+ − = + −
− + − = − + −
10 3 15x y− + − 2yx= 10 3 15y x− + − (se simplificaron terminos semejantes a ambos lados)
10 3 10 3 (resultado despues de hacer la simplificacion anterior)
10 3 10 3 (los terminos negativos pasaron a positivos en ambos lados)
13
x y y x
y y x x
y
− + = − +
+ = +
13 (se sumaron los terminos semejantes)
13
x=
13y = (se simplifican los valores numericos por ser identicos)
(resultado final despues de las operaciones algebraicas)
x
y x=
Respuesta: Por lo demostrado anteriormente la ( )f x dada ES INYECTIVA.
Ejercicio 2
Demuestre que la gráfica de la función :f →ℝ ℝ , definida por: ( ) 5f x x= + , es
simétrica respecto al eje de ordenadas.
Solución

2. Justificación: Para demostrar que la función dada es simétrica respecto
del eje de las ordenadas o eje “y”, debemos verificar que la función es par, esto
es, demostrar que ( ) ( )f x f x= − , por lo tanto veamos si se cumple ésta
igualdad:
( ) 5f x x= +
( ) 5 5 (se aplico la operacion )f x x x x x− = − + = + − =
Se observa claramente que la igualdad se cumple, por lo tanto:
Respuesta: Se verifica que la función es simétrica respecto al eje de
ordenadas.
Ejercicio 3
Sean las funciones , , :f g h D ⊆ →ℝ ℝ definidas por:
(1)
2
9
( )
3
x
f x
−
=
(2)
6
( )
4( 4)
x
g x
x
+
=
+
(3) ( ) 3 2h x x= − −
Determine el dominio de ,f g y h .
Nota: Para el logro de este objetivo debes responder correctamente dos de las
tres partes.
Solución
Justificación: En este caso debemos aplicar las restricciones
correspondientes para conseguir el dominio en cada función, así:
(1) Estamos en presencia de una raíz cuadrada, y se conoce su
restricción: ( ) ( ) 0f x f x→ ≥ , por lo tanto:
2 2
9 9 0x x− → − ≥
Para resolver esta inecuación, procedemos a factorizar la expresión
2
9 x− , y para ello hacemos uso de la diferencia de cuadrados, es decir,
2 2
( )( )a b a b a b− = − + , entonces:
( )( )2
9 3 3x x x− = − +
2
(el 3 se obtuvo de 9 3 y la de )x x x= =
Ahora sustituimos esta factorización en la inecuación anterior:

3. ( )( )3 3 0x x− + ≥
para resolver esta inecuación estudiamos los dignos de cada uno de los
factores de ( )( )3 3x x− + , para ello primero conseguimos las raíces (una raíz se
consigue igualando a cero el factor y despejar x) de cada uno de estos
factores:
( )3 0 3x x− = ∴ = y ( )3 0 3x x+ = ∴ = −
Ahora construimos el siguiente cuadro:
Observe que las raíces se colocan ordenadamente de menor a mayor y
en la parte izquierda los factores y por ultimo ( )Sig I el signo de la inecuación.
Para colocar los signos de cada factor, se procede a plantear lo
siguiente:
3 0
3 (se sumo +x en ambos miembros de la inecuacion)
3 (escribir 3 es equivalente a escribir 3)
x
x
x x x
− >
>
< > <
Por lo tanto se colocan signos + para los 3x < , y el resto del cuadro en
esa fila se rellenan con −, quedando el cuadro anterior así:

4. Repitiendo el procedimiento anterior:
3 0
3
x
x
+ >
> −
Colocamos signos + para 3x > − y el resto del cuadro en esa fila se
rellenan con signos −, quedando ahora el cuadro así:
Finalmente se multiplican los signos en cada columna, quedando el
cuadro así:

5. Como nuestra inecuación original era ( )( )3 3 0x x− + ≥ , entonces
tomamos de la fila ( )Sig I los signos positivos, es decir:
Así, el resultado de la inecuación ( )( )3 3 0x x− + ≥ esta entre las rectas
3x = − y 3x = , entonces el dominio de
2
9
( )
3
x
f x
−
= es [ ]3,3x∈ − .
(2) Para hallar el dominio de esta función se procede a trabajar con la
restricción
( )
; ( ) 0
( )
p x
q x
q x
≠ , entonces:
4( 4) 0
0
4
4
4 0
4
x
x
x
x
+ ≠
+ ≠
+ ≠
≠ −
Por lo tanto el dominio de esta función es: { }4− −ℝ

6. (3) En este caso estamos en presencia de un polinomio, y por definición
el dominio de un polinomio son los números reales ℝ .
Respuesta:
(1) ( )Dom f x es: [ ]3,3x∈ −
(2) g( )Dom x es: { }4− −ℝ
(3) h( )Dom x es: ℝ
Ejercicio 4
Para el logro del objetivo debes responder correctamente dos opciones.
Responde con una V si las siguientes afirmaciones son verdaderas o con una F
si son falsas:
Justifica tus respuestas
a La función f: IR → IR definida por 3
( )f x x= es una función par ______
b La función g: ( )0,∞ definida por
1
( ) 5g x
x
= − es creciente ______
c La función h: IR → IR definida por ( ) 3 1h x x= + − es una función impar
______
Solución
Justificación:
a. Para verificar si la función dada es par, se debe cumplir: ( ) ( )f x f x− = ,
por lo tanto:
( ) ( )3 3
( )f x x x− = − = −
y
( )
3 3
( )f x x x= =
Observamos que la igualdad no se cumple porque ( )3 3
x x− ≠ , por lo
tanto esta afirmación es falsa (F).
b. Para verificar que una función es creciente, se debe cumplir lo
siguiente:
Tomando 1 2, ( )x x Dom g x∈ , tal que 1 2x x< se debe comprobar que
1 2( ) ( )g x g x< .
Trabajemos en base a esta definición, en nuestro caso tenemos:

7. 1
1
1
( ) 5g x
x
= − y 2
2
1
( ) 5g x
x
= − ahora veamos que ocurre cuando
planteamos que 1 2( ) ( )g x g x< :
1 2
1
1 1
5 5
1
5
x x
x
− < −
−
2
1
5
x
< −
1 2
2 1
1 1
x x
x x
<
<
Obsérvese que se obtuvo 2 1x x< , no se obtuvo 1 2x x< , por lo tanto la
función no es creciente y por ende esta afirmación también es falsa (F).
c. Para verificar que una función es impar, se debe cumplir:
( ) ( )h x h x− = − , verifiquemos si se cumple esta igualdad:
( ) 3 1 ( 3) 1 3 1h x x x x− = − + − = − − − = − −
( ) ( ) ( )( ) 3 1 ( 3) 1 3 1 3 1h x x x x x− − = − − + − = − − − − = − − + = − − −
Se observa claramente que ( ) ( )h x h x− ≠ − , por lo tanto esta afirmación es
falsa (F).
Respuesta:
a. F
b. F
c. F
Ejercicio 5
Determine el dominio de la función dada por
6
4
x
y
x
−
=
+
Solución
Justificación: En este caso debemos aplicar 2 restricciones, a saber:
a) ( ) ( ) 0f x f x→ ≥
b)
( )
; ( ) 0
( )
p x
q x
q x
≠
De manera que en este caso, tenemos:
a) 6 6 0 6x x x− → − ≥ ∴ ≥
b) 4 0 4x x+ ≠ ∴ ≠ −

8. Evidentemente el punto 4− no pertenece al conjunto [ )6 0,x ≥ → ∞ , por
lo tanto:
Respuesta: El dominio de la función dada es: [ )0,x∈ ∞
Ejercicio 6
Haz la gráfica de la función :g →ℝ ℝ , definida por:
2, 2
( ) 1, 2 2
2, 2
t
g t t
t
≤ −

= − − < <
 ≥
y determina si esta función es par.
Solución
Justificación:
Para realizar la gráfica de ( )g t , debemos graficar las subgráficas:
(1) 2, para 2t ≤ −
(2) 1, para 2 2t− − < <
(3) 2, para 2t ≥
Entonces:
Figura 1

9. Observando la gráfica, caemos en la cuenta que es simétrica respecto
del eje y , por lo tanto la función dada es par.
Respuesta: La gráfica de ( )g t se observa en la figura 1, y además ( )g t
es PAR.
Ejercicio 7
Sean las funciones , , :f g h D ⊂ →ℝ ℝ definidas respectivamente por:
( ) x
f x xe= , 2
( ) 1g x x= − y ( ) 2 1h x x= − . Calcula ( ) ( )
1 1
2 2
f h h g
   
−   
   
Solución
Justificación: Lo primero que debemos hacer es componer las funciones,
componer funciones consiste en una operación denotada con el símbolo ( )
que se efectúa entre funciones, donde se sustituye la segunda función dada, en
la primera, por ejemplo: ( )f h , es sustituir ( )h x dentro de ( )f x , por ejemplo,
resolviendo la primera parte del ejercicio planteado, se tiene:
( ) ( ) ( ) (2 1)
( ) ( ) (2 1)h x x
f h f h x h x e x e −
= = = −
De igual forma procedemos para ( )h g , obteniendo:
( ) ( ) 2
( ) 2 ( ) 1 2 1 1h g h g x g x x= = − = − −
Ahora evaluamos en
1
2
x = ambas funciones obtenidas,
( )
21 1(2 1)
(1 1) 022
1 1 2
2 1 1 (1 1) 0 0 1 0
2 2 2
f h e e e e
 
−× −   −      
= × − = − = − = = × =     
     
( )
2
1 1 1 4 1 3
2 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2
2 2 4 4 4
h g
−   
= − − = − − = − = − =   
   
3
2
1 3 1− = −
Finalmente:
( ) ( ) ( )1 1
0 3 1 1 3
2 2
f h h g
   
− = − − = −   
   
Respuesta: ( ) ( )
1 1
1 3
2 2
f h h g
   
− = −   
   
Ejercicio 8
Dadas las funciones , :f g →ℝ ℝ definidas por 2
( ) 2 5f x x= + y 3
( ) x
g x e −
= .
Determina la función compuesta ( )( )f g x .

10. Solución
Justificación: Tal como explicamos la operación de composición de
funciones en el ejercicio inmediato anterior, procedemos así:
( ) ( ) ( ) ( )
22 3 2 3
( ) ( ) 2 ( ) 5 2 5 2 5x x
f g x f g x g x e e− −
= = + = + = +
Respuesta: ( ) 2 3
( ) 2 5x
f g x e −
= +
Nota: recuerda que potencia de potencia se multiplica, es decir: ( )
mn n m
a a ×
= ,
ésta propiedad se aplicó en la última parte de ( )( )f g x .
Ejercicio 9
Halle el dominio de la función dada por:
1
( ) ln
1
x
f x
x
− 
=  
+ 
Solución
Justificación: Para calcular el dominio de esta función, primero aplicamos
la restricción de la función logaritmo, a saber:
( )ln ( ) ( ) 0f x f x→ >
Aplicando este conocimiento a nuestro caso, tenemos:
1
0
1
x
x
−
>
+
De manera que para obtener el dominio de la función dad, debemos
resolver esta inecuación.
Utilizaremos el método del estudio de signo de una función para resolver
la inecuación plateada:
a) Buscamos las raíces de cada una de las expresiones en el problema:
1 0 1
1 0 1
x x
x x
− = ∴ =

+ = ∴ = −
Ahora ubicamos las raíces ordenadas en el siguiente cuadro:

11. Observa que en la parte izquierda del cuadro se ubicaron las
expresiones involucradas en la inecuación, puedes colocarlas en cualquier
orden. El signo ( )Sig I significa signo de la inecuación.
Ahora resolvemos cada una de las siguientes sencillas inecuaciones:
1 0 1
1 0 1
x x
x x
− > ∴ >

+ > ∴ > −
Esto indica que 1x − es positivo o mayor que cero a partir de la línea
vertical marcada con 1, observa:
De resto, es decir en la fila donde está ubicada la expresión 1x − , a la
izquierda de la línea vertical azul será negativa, es decir:

12. Para la expresión 1x + se tiene un análisis igual, en este caso 1x + es
positivo o mayor que cero a partir de 1− , por lo tanto a partir de la línea vertical
verde a la derecha ubicaremos los signos positivos, así:
De resto, es decir en la fila donde está ubicada la expresión 1x + , a la
izquierda de la línea vertical verde será negativa, es decir:
Finalmente multiplicamos los signos en cada columna para obtener los
signos de la fila donde está ubicado el símbolo ( )Sig I , es decir:

13. ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
por
por
por
+ −
=− +
+
−
=−
+ = +
Obteniendo:
Nuestro dominio nos exige tomar valores positivos, ya que
1
0
1
x
x
−
>
+
, por
lo tanto en la fila final (con el símbolo ( )Sig I ) tomamos sólo los signos positivos
como resultado de la inecuación:
• El primer + esta entre las líneas verticales morada y verde, es decir, en
el intervalo: ( ), 1−∞ −
• El segundo + esta entre las líneas verticales azul y negra, es decir, en
el intervalo: ( )1,∞
Por lo tanto:
Respuesta: El dominio de la función
1
( ) ln
1
x
f x
x
− 
=  
+ 
es:
( ) ( ){ }, 1 1,x∈ −∞ − ∪ ∞
Ejercicio 10
Demuestra que la gráfica de la función :f →ℝ ℝ , definida por: 2
( ) 5f x x x= +
es simétrica respecto al eje de ordenadas.
Solución

14. Justificación: Para demostrar que la función dada es simétrica respecto
del eje de las ordenadas o eje “y”, debemos verificar que la función es par, esto
es, demostrar que ( ) ( )f x f x= − , por lo tanto veamos si se cumple ésta
igualdad:
2
( ) 5f x x x= +
( ) ( )
2 22 2
( ) 5 5 (se aplico la operacion y )f x x x x x x x x x− = − + − = + − = − =
Se observa claramente que la igualdad se cumple, por lo tanto:
Respuesta: Se verifica que la función es simétrica respecto al eje de
ordenadas.
A continuación se te presentaran una serie de ejercicios propuestos,
¿Por qué es importante resolverlos? Por que tú estarás solo en el examen y tu
eres quien a las finales debes aprehender para tener éxito en la asignatura.
Cualquier duda de los problemas que a continuación se te presentan, déjamelo
saber, a través, de mi correo: jorgegranadillomat@gmail.com. Recuerda que en
mi página en el apartado “novedades” en la sección “material durante el
estudio” se encuentra un programa de nombre Mathype que es un excelente
editor de ecuaciones con el cual podrás escribir tus dudas matemáticas, o
escanea las páginas de tu cuaderno y envíame las dudas para darte respuesta
a la brevedad posible.
Por último recuerda resolver cada ejercicio bajo la estructura,
justificación y respuesta, ya que en los exámenes de desarrollo deberás
justificar todas y cada una de tus respuestas, de manera, que es importante
que tomes el hábito de estructurar las soluciones de esta manera, siempre
dando justificación y luego la respuesta.
EJERCICIOS PROPUESTOS
Ejercicio 1
A continuación te presentamos la gráfica de una función h . Determina el
dominio y rango de la función h.

15. Ejercicio 2
Sea :g →ℝ ℝ la función definida por 2
( ) 2 5g x x x= − + . Se traslada la función
g en dos unidades hacia la derecha, y a la función resultante se le traslada
una unidad hacia abajo, obteniéndose de esta forma la función h . Obtenga
justificadamente la fórmula de la última función h .
Ejercicio 3
Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función
( ] [ ]: ,1 2,4m −∞ ∪ → ℝ , cuya gráfica presentamos a continuación:
Ejercicio 4
Prueba que la función :f →ℝ ℝ , definida por ( ) cos(3 )f x x= es periódica.
Ejercicio 5
Halle el dominio de la función dada por: 2
( ) 2 7 3h s s s= − + .
Ejercicio 6

16. Para el logro de este objetivo debes responder correctamente, por lo menos,
dos partes. Dadas las siguientes ecuaciones:
[1] 2 2
3 9x y+ = [2]
2
4 1
4
y
x
− =
+
[3] 3 2y x+ = −
Despeja la variable y tomándola como dependiente de x en cada una de las
ecuaciones. Encuentra el dominio de cada una de las funciones obtenidas.
Ejercicio 7
Para el logro de este objetivo debes responder correctamente dos opciones.
Responde con una V si los enunciados siguientes son verdaderos o con una F
si son falsos:
Justifica tus respuestas
a. Una función f definida en un intervalo J es creciente si se verifica la
siguiente propiedad: 1 2( ) ( )f x f x> para todos los 1 2,x x del intervalo J
satisfaciendo 1 2x x< ____.
b. Una función f definida en un intervalo J es decreciente si se verifica la
siguiente propiedad: 1 2( ) ( )f x f x< para todos los 1 2,x x del intervalo J
satisfaciendo 1 2x x< _____.
c. La función :h →ℝ ℝ definida por ( ) 5 2h t t= + es decreciente.___.
Ejercicio 8
Sea una función :g D ⊆ →ℝ ℝ definida por 2
1
( )
1
g x
x
=
−
,
a. Determina el dominio de g .
b. Determina en cuál de los intervalos siguientes la función g crece: ( )0,1 ,
( ), 1−∞ − , ( )1,0− y ( )1,∞ .
Ejercicio 9
Sea ( ): 1,f ∞ → ℝ la función definida por:
1 1
( )
2
f x x
x
 
= + 
 
. Determina si f es
inyectiva.
Ejercicio 10
Determina mediante la gráfica el rango de la función dada por:

17. 2
si 1
( ) 1 si 1< 2
1 si 2< 4
h h
g x h
h h
 ≤

= ≤
 − ≤