Teoría de la regla de la cadena: Tomado de: www.sectormatematica.cl/ppt/Regla%20de%20la%20cadena.ppt

1. La Regla de la Cadena
Tomado de UNIMET Prof. Antonio Syers
Para el curso de cálculo Multivariable de
Marcos Sandoval

2. Introducción
Recordemos que la regla de la cadena para una
función y = f(x) ; y x = g(t,), ambas funciones
derivble, entonces y es una función derivable con
respecto a t y se cumple:
dy dy dx
=
dt dx dt
Para funciones de varias variables, la regla de
la cadena tiene varias versiones

3. Caso 1
Supongamos que z = f(x,y) es una función
diferenciable de x y de y, donde x=g(t) y y=h(t)
son funciones derivables de t ; entonces z es una
función derivable de t y se cumple que:
dz ∂f dx ∂f dy
= +
dt ∂x dt ∂y dt
Veamos esta fórmula de manegra gráfica:

4. Caso 1
Z =f (x,y)
∂ ∂
∂x ∂y
x y dz ∂f dx ∂f dy
=
d d dt ∂x dt + ∂y dt
dt dt
t t

5. Ejemplo
2 4
Si T( x, y ) = x y + 3 xy representa la
temperatura en el punto (x,y) y x = e t ; y = sent
Son las ecuaciones paramétricas de una curva
C , calcule la razón de cambio de la
temperatura T a lo largo de la curva
dx
∂T dt
∂x x t dT ∂T dx ∂T
= dy
T dt ∂x dt + ∂y dt
∂T
∂y
y dy
t
dt

6. Ejemplo
Si queremos saber cual es la razón de cambio
dT
de T cuando t = 0, entonces d
dz ∂f dx ∂f dy
= +
dt t =0 ∂x ( x(0 ),y (0 )) dt t =0 ∂y ( x(0 ),y (0 )) dt t =0
dz
= 0 e 0 + 1 cos 0 = 1
dt t =0

7. Caso 1 ( General)
Suponga que z es una función derivable de las
n variables x1 , x2 , x3 ,…, xn , en donde cada xj
es una función de t. Por consiguiente z es una
función derivable de t y se cumple:
dz ∂z dx 1 ∂z dx 2 ∂z dx 3 ∂z dx n
= + + + ... +
dt ∂x 1 dt ∂x 2 dt ∂x 3 dt ∂x n dt

8. Caso 2
Supongamos que z = f(x,y) es una función
derivable de x y de y, donde x = g(s,t), y =h(s,t)
y las derivadas parciales de g y h existen .
Entonces:
∂z ∂ ∂
f x ∂ ∂
f y
= +
∂s ∂ ∂
x s ∂ ∂
y s
∂z ∂ ∂
f x ∂ ∂
f y
= +
∂t ∂ ∂
x t ∂ ∂
y t

9. Caso 2
∂ Z =f (x,y) ∂
∂x ∂y
∂ x ∂ ∂ y ∂
∂s ∂t ∂s ∂t
s t s t
∂z ∂ ∂
f x ∂ ∂
f y ∂z ∂ ∂
f x ∂ ∂ y
= + = f
∂s ∂ ∂
x s ∂ ∂
y s +
∂t ∂ ∂
x t ∂ ∂
y t

10. Supongamos que w = f(x,y,z) es una función
derivable de x, y de z, donde x = g(s,t), y =h(s,t),
z =k(s,t) y las derivadas parciales de g, h, k
existen . Entonces
∂w ∂ ∂
f x ∂ ∂
f y ∂ ∂
f z
= + +
∂s ∂ ∂
x s ∂ ∂
y s ∂ ∂
z s
∂w ∂ ∂
f x ∂ ∂
f y ∂ ∂
f z
= + +
∂t ∂ ∂
x t ∂ ∂
y t ∂ ∂
z t

11. ∂ w=f (x,y,z)
∂
∂x ∂ ∂z
∂y
x ∂ y ∂ ∂ z ∂
∂ ∂
∂s ∂t ∂s ∂t
∂s ∂t
s t s t s t
∂
∂w
w ∂ ∂
∂ x
f ∂ ∂
f y ∂ ∂
∂ ∂
f z
f z
=
= + +
+
∂
∂t
s ∂ ∂
∂x t
s ∂ ∂
y ∂t
s ∂ ∂
∂ ∂
z t
z s

12. Ejemplo
Si z = f(x, y), donde x = rcosθ, y = rsenθ
Demuesrtre que
2 2 2 2
∂ 
z 1 ∂ 
z ∂ 
f ∂ 
f
  + 2   =  +
∂ 
∂ 
r r ∂ 
θ ∂ 
x  y
∂ Z =f (x,y) ∂
∂x ∂y
∂ x ∂ ∂ y ∂
∂r ∂θ ∂r ∂θ
r θ r θ

13. ejemplo…
∂
z ∂ ∂
f x ∂ ∂
f y
= +
∂
r ∂ ∂x r ∂ ∂
y r
∂f ∂f
= cos θ+ senθ
∂x ∂y
∂z ∂ ∂
f x ∂ ∂
f y
= +
∂θ ∂ ∂ x θ ∂ ∂ y θ
∂f ∂f
=− rsenθ+ r cos θ
∂x ∂y

14. ejemplo…
2 2
 ∂z   ∂f 
  =  cos 2 θ +
 ∂r   ∂x 
2
∂f ∂f  ∂f 
+2 cos θsenθ+  sen 2 θ
 ∂y 
∂x ∂y  
2 2
 ∂z   ∂f  2
  =  r cos 2 θ −
 ∂y 
 ∂θ   
2
∂ ∂ 2
f f ∂  2
f 2
−2 r cos θsenθ+  r sen θ
∂ ∂
x y ∂ 
x

15. ejemplo…
2 2
1  ∂z   ∂f  2
  =  cos θ −
r 2  ∂θ   ∂x 
2
∂f ∂f  ∂f 
−2 cos θsenθ+  sen 2 θ
 ∂y 
∂x ∂y  
Por lo tanto
2  2
( )
2 2
 ∂z  1  ∂z   ∂f   ∂f 
  + 2  =   +    cos 2 θ + sen 2 θ
 ∂y  
 ∂r  r  ∂θ   ∂x    
 2
2
 ∂f   ∂f 
=   + 
 ∂y 
 ∂x   

16. Segunda derivada
La segunda derivada de una función es
análoga a la primera, es decir, depende de las
mismas variables que depende la función
original.
Por ejemplo, supongamos que z = f(x,y) es una
función derivable de x y de y, donde x = g(s,t),
y=h(s,t). Entonces la función derivada fx(x,y)
también depende de x y de y, y además x,y
dependen de s y t ( esto también se cumple para
fy(x,y)).
Veamos el siguiente ejemplo:

17. Ejemplo…
Muestre que cualquier función de la forma
z = f ( x + at) + g( x − at)
Donde a es una constante, cumple con la ecuación:
∂2 z ∂2 z
=a 2
∂2
t ∂ 2
x
Solución:
Sea u = x + at, v = x – at, ;entonces
z =f ( u ) +g( v ) ⇒

18. ∂z ∂ (u) ∂ ( v )
f g ∂u ∂v
= + =f ′( u ) +g ′( v )
∂x ∂ x ∂ x ∂x ∂x
= f ′( u ) +g′( v )
∂2 z ∂
2
= ( f ′(u ) +g′( v ))
∂x ∂x
df ′( u ) ∂u dg′( v ) ∂v
= +
du ∂ x dv ∂x
= f ′( u ) + g ′( v )
′ ′
Calculemos ahora ∂2 z
∂2
t

19. ∂z ∂ (u) ∂ ( v )
f g ∂u ∂v
= + =f ′( u ) +g ′( v )
∂t ∂ t ∂ t ∂t ∂t
= f ′( u )a −g ′( v )a =a ( f ′( u ) −g ′( v ))
∂2 z ∂
=a ( f ′( u ) −g′( v ))
∂2
t ∂ t
 df ′( u ) ∂ u dg ′( v ) ∂ v
=a  − 
 du ∂ t dv ∂ 
t
= a ( f ′( u )a +g′( v )a ) = a 2 ( f ′( u ) +g ′( v ))
′ ′ ′ ′
⇒ ∂2 z ∂2 z
2
=a ( f ′( u ) +g′′( v )) = a 2 2
2 ′
∂t ∂x

20. Ejemplo
Si z = f(x, y), donde x = rcosθ y = rsenθ
,
Demuestre que:
2 2 2 2
∂ z 1 ∂ z 1∂ z ∂ f ∂f 
+ + =  + 
∂ 

2 2 2 r ∂r ∂ 
x
∂r r ∂ θ   y 
Del ejemplo anterior, tenemos que
∂z ∂f ∂f
= cos θ+ senθ
∂r ∂x ∂y
∂z ∂f ∂f
=− rsenθ+ r cos θ
∂θ ∂x ∂y

21. ejemplo…
2
∂ z ∂ ∂ f ∂f 
= 
∂ cos θ+∂ senθ 

2 ∂  x
r y
∂r 
∂xf ∂y
f
= cos θ+ senθ
∂ r ∂ r
∂ x
f ∂x
f 
=
 ∂ cos θ+ ∂ senθcos θ+

 x y 
∂ y
f ∂y
f 
+ 
 ∂ cos θ+ ∂ senθ senθ

 x y 

22. ejemplo…
2 2
= cos θf xx + 2 cos θsenθf xy + sen θf yy
Por otra parte,
2
∂ z ∂ ∂ f ∂f 
= −
 ∂ rsenθ+ ∂ r cos θ

2 ∂ 
θ x y
∂θ 
∂f ∂ ∂ 
f
= − cos θ
r +( −rsenθ)  
∂ x ∂ ∂ 
θ x
∂f ∂ ∂f 
−rsenθ +r cos θ  
∂ y ∂ ∂
θ y 


23. ejemplo…
∂f ∂  ∂f 
= − cos θ
r +  
∂ x ∂θ  ∂x 
(
+( −rsenθ f xx ( −rsenθ +f xy r cos θ
) ) )
∂f
−rsenθ +
∂ y
(
+r cos θ f yy r cos θ+f yx ( −rsenθ) )
∂ ∂f 
 
∂ ∂
θ y 


24. ejemplo…
Simplificando resulta,
∂2 z
= −r cos θf x − rsenθf y + r 2 sen 2 θf xx
∂θ2
−2 r cos θsenθ yx +r 2 cos 2 θ yy
f f
Así,
2 2 2 2
∂ z 1 ∂ z1∂ z ∂ 
f ∂ 
f
+ + =  +
∂ 
∂r 2 2
r ∂θ2 r ∂r ∂ 
x  y
COMPRUEBELO!!

25. Ecuación de Laplace
Definición:Sea f una función, f:IRn→IR,
diferenciable, se define el Laplaciano de f
2 ∂2 f ∂2 f
∇f = +
2
∂x ∂ 2
y
Y se denomina la ecuación de Laplace a:
2 ∂2 f ∂2 f
∇ f =0 ⇔ + =0
2 2
∂x ∂y

26. Ejemplo
Supongamos f(x,y) satisface la ecuación de laplace,
esto es, 2 2
∂ f ∂ f
+ =0
2 2
∂x ∂y
Demuestre que la función z= f(x – 2y, 2x + y),
también satisface la ecuación de laplace.
Demostración:
Lo que queremos probar es que:
∂2 z ∂2 z
+ =0
2 2
∂x ∂y

27. Sea u = x- 2y, v = 2x + y, entonces
∂ Z =f (u,v)
∂
∂u
∂v
u ∂ ∂ v ∂
∂
∂ ∂x ∂y
∂x y
x y x y

28. ∂z ∂ ∂
f u ∂ ∂
f v ∂f ∂f
= + = +2
∂x ∂ ∂
u x ∂ ∂
v x ∂u ∂v
2 2 2
∂ z ∂ f ∂u ∂ f ∂v
= + +
∂2
x ∂ 2 ∂
u x ∂∂ ∂
v u x
2
∂ f ∂ 2 
 u ∂ f ∂v 
+2 +
 u∂ ∂
∂ v x ∂2 ∂
v x 
 
2 2 2 2
∂ z ∂ f ∂ f ∂ f
= +4 +4
2 2
∂x ∂u ∂∂
u v ∂2
v

29. ∂z ∂ ∂
f u ∂ ∂
f v ∂f ∂f
= + = 2
− +
∂y ∂ ∂
u y ∂ ∂
v y ∂u ∂v
2 2
∂ f ∂ 2
∂z  u ∂f ∂ 
v 
= 2
− + +
∂2
y  u2 ∂
∂ y ∂∂ ∂ 
v u y 

2 2
∂f ∂ u ∂f ∂ v
+ +
∂∂ ∂
u v y ∂2 ∂
v y
2 2 2 2
∂z ∂f ∂f ∂f
=4 − 4 +
∂2
y ∂2
u ∂∂
u v ∂2v

30. Entonces,
2 2 2 2
∂z ∂z ∂f ∂f
+ = 5 +5
∂2
x ∂2
y ∂2u ∂2
v
2
∂ f 2
∂f 
= 
5 + =0
 u2
∂ ∂ 2 
v 

Ecuación de
Laplace para f

31. Derivación Implícita
Supongamos que una ecuación de la forma
F(x,y) = 0 define a y de manera implícita como
una función de x, esto es y = f(x), para todo x en
el dominio de f(x). Si F es diferenciable
podemos calcular dy/dx. En efecto:
Tenemos la ecuación
F( x , y ) = 0 ⇒
dF( x , y ) d(0 )
= ⇒
dx dx

32. ∂ dx
F ∂ dy
F ∂F ∂ dy
F
+ =0 ⇒ + =0
∂ dx
x ∂ dx
y ∂x ∂ dx
y
∂ F
−
dy
= ∂ = −Fx
x (Fy ≠0 )
dx ∂F Fy
∂y
Supongamos que una ecuación de la forma
F(x,y,z) = 0 define a z de manera implícita
como una función de x y de y, entonces si F es
diferenciable podemos calcular ∂ z/∂ x, ∂z/∂ y

33. Supongamos que queremos calcular ∂ z/∂ x
∂F( x , y , z) ∂(0 )
F( x , y , z) = 0 ⇒ = ⇒
∂x ∂x
∂ dx
F ∂ dy
F ∂ dz
F
+ + =0 ⇒
∂ dx
x ∂ dx
y ∂ dx
z
∂F ∂ dz
F
+ =0
∂x ∂ dx
z
∂ F
−
∂z ∂ = −Fx
x
= (Fz ≠0 )
∂x ∂F Fz
∂z

34. Ejercicio: Supongamos que una ecuación de la
forma F(x,y,z) = 0 define a z de manera
implícita como una función de x y de y.
Demuestre que:
∂F
−
∂z ∂y −Fy
= = (Fz ≠0 )
∂y ∂F Fz
∂z

35. Ejemplo
Supongamos que una ecuación de la forma
F(xy,z/y) = 0 define a z de manera implícita
como una función de x y de y.Calcular ∂ z/∂ x.
Solución:
Sea u=xy, v = z/y
∂z
∂ ∂
F u ∂ dv
F ∂ F ∂ ∂
F x
+ =0 ⇒ y+ =0
∂ ∂
u x ∂ dx
v ∂ u ∂ y
v
2 ∂ F 2 ∂ F
−y −y
∂z ∂ =
u ∂u ∂ F
= ( ≠0 )
∂x ∂ F ∂ F ∂v
∂ v ∂ v