1. La Regla de la Cadena Tomado de UNIMET Prof. Antonio Syers Para el curso de cálculo Multivariable de Marcos Sandoval

2. Introducción Recordemos que la regla de la cadena para una función y = f(x) ; y x = g(t,), ambas funciones derivble, entonces y es una función derivable con respecto a t y se cumple: Para funciones de varias variables, la regla de la cadena tiene varias versiones

4. Caso 1 Z =f (x,y) x y t t +

6. Ejemplo Si queremos saber cual es la razón de cambio de T cuando t = 0, entonces

9. Caso 2 x y t t s s + + Z =f (x,y)

11. x y t t s s z t s w=f (x,y,z)

13. ejemplo…

14. ejemplo…

15. ejemplo… Por lo tanto

17. Ejemplo… Muestre que cualquier función de la forma Donde a es una constante, cumple con la ecuación: Solución: Sea u = x + at, v = x – at, ;entonces

18. Calculemos ahora

19. 

20. Ejemplo Demuestre que: Del ejemplo anterior, tenemos que

21. ejemplo…

22. ejemplo… Por otra parte,

23. ejemplo…

24. ejemplo… Simplificando resulta, Así, COMPRUEBELO!!

26. Ejemplo Supongamos f(x,y) satisface la ecuación de laplace, esto es, Demuestre que la función z= f(x – 2y, 2x + y), también satisface la ecuación de laplace. Demostración: Lo que queremos probar es que:

27. Sea u = x- 2y, v = 2x + y, entonces u v y y x x Z =f (u,v)

30. Entonces, Ecuación de Laplace para f