1. UNIVERSIDAD ORIENTE
NÚCLEO DE MONAGAS
UNIDAD DE CURSO BÁSICO
SECCIÓN MATEMÁTICA
MATRICES
Maturínnoviembre2017
Profesora: Bachilleres:
Milagros Coraspe Márquez José
CI:16.176.155
Rodríguez Nelson
CI:26.061.981
3. DIMENSIÓNDEUNAMATRIZ
El número de filas y columnas de una matriz se denomina dimensión de una matriz. Así, una
matrizdedimensiónmxnesunamatrizquetienemfilasyncolumnas.
De este modo, una matriz puede ser de dimensión: 2x4 (2 filas y 4 columnas), 3x2 (3 filas y 2
columnas),2x5(2filasy5columnas),...
Sílamatriztieneelmismonúmerodefilasquedecolumnas,sedicequeesde orden:2,3,4,...
ElconjuntodematricesdemfilasyncolumnassedenotaporAmxn o(aij).
Un elemento cualquiera de la misma, que se encuentra en la fila iy en lacolumna j, se denota
poraij.
4. TIPOS DE MATRICES
Matriz fila
Una matriz fila está constituida por una sola fila.
Matriz columna
La matriz columna tiene una sola columna
Matriz rectangular
La matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión mxn.
Matriz traspuesta
Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando
ordenadamente las filas por las columnas.
(At
)t
= A
(A + B)t
= At
+ Bt
(α ·A)t
= α· At
(A · B)t
= Bt
· At
5. Matriz nula
En una matriz nula todos los elementos son ceros.
Matriz cuadrada
La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas.
Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal.
La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1, siendo n el orden de la matriz.
TIPOS DE MATRICES CUADRADAS
Matriz triangular superior
En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son
ceros.
Matriz triangular inferior
En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son
ceros.
6. Matriz diagonal
En una matriz diagonal todos los elementos que no están situados en la diagonal principal son
nulos.
Matriz escalar
Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son
iguales.
Matriz identidad o unidad
Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son
iguales a 1.
Matriz regular
Una matriz regular es una matriz cuadrada que tiene inversa.
7. Matriz singular
Una matriz singular no tiene matriz inversa.
Matriz idempotente
Una matriz, A, es idempotente si:
A2
= A.
Matriz involutiva
Una matriz, A, es involutiva si:
A2
= I.
Matriz simétrica
Una matriz simétrica es una matriz cuadrada que verifica:
A = At
.
Matriz antisimétrica o hemisimétrica
Una matriz antisimétrica o hemisimétrica es una matriz cuadrada que verifica:
A = −At
.
8. SUMA DE MATRICES.
Propiedades de la suma de matrices
1. Interna
La suma de dos matrices de orden m x n es otra matriz dimensión m x n.
2. Asociativa
A + (B + C) = (A + B) + C
3. Elemento neutro
A + 0 = A
Donde O es la matriz nula de la misma dimensión que la matriz
4. Elemento opuesto
A + (−A) = O
La matriz opuesta es aquella en que todos los elementos están cambiados de signo.
5. Conmutativa
A + B = B + A
9. Ejemplo de suma de matrices
Dadas las matrices:
Calcular:
A + B; A − B;
10. PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ.
Dada una matriz A = (aij) y un número real k , se define el producto de un número real por
una matriz: a la matriz de la misma dimensión que A, en la que cada elemento está multiplicado
por k.
k · A = (k · aij)
PRODUCTO DE MATRICES.
Dos matrices A y B se dicen multiplicables si el número de columnas de A coincide con el número
de filas de B.
Am x n x Bn x p = Cm x p
El elemento cij de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento de la fila ide la
matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y sumándolos
12. MATRICES APLICADA A LA ADMINISTRACIÓN
Problema1:Una cadena de tiendas electrónicas tiene dos distribuidores en Lima. En mayo las
ventas de tv,radio y mp3 en los dos almacenes, estuvieron dadas por la matriz siguiente A
𝒂 =
𝟐𝟐 𝟑𝟒 𝟏𝟔
𝟏𝟒 𝟒𝟎 𝟐𝟎
si la dirección establece ventas objetivos para junio de un 50% de aumento sobre las ventas de
mayo, escriba la matriz que representa las ventas proyectadas para junio.
SOLUCIÓN: Como se requiere que en junio , las ventas aumenten 50% que en el mes de mayo
,representaremos a la matriz venta en junio como la matriz B
Tal que: B=1.5*A
B=1.522 34 16
14 40 20
= 33 51 24
21 60 30
13. Un hipermercado quiere ofertar tres clases de bandejas: A, B y C. La bandeja A contiene 40 g
de queso manchego, 160 g de roquefort y 80 g de camembert; la bandeja B contiene 120 g de
cada uno de los tres tipos de queso anteriores; y la bandeja C, contiene 150 g de queso
manchego, 80 g de roquefort y 80 g de camembert.
Si se quiere sacar a la venta 50 bandejas del tipo A, 80 de B y 100 de C, obtén matricialmente
la cantidad que necesitarán, en kilogramos de cada una de las tres clases de quesos.
Solución:
Organizamos los datos que tenemos en dos matrices; su producto nos da la matriz que
buscamos, con las cantidades en gramos.
Si queremos las cantidades expresadas en kilogramos, haremos:
60021
60025
60026
100
80
50
8012080
80120160
15012040
Ca
R
M
C
B
A
Ca
R
M
CBA
6,21
6,25
6,26
60021
60025
60026
1000
1
Ca
R
M
14. Tres personas, A, B, C, quieren comprar las siguientes cantidades de fruta:
A: 2 kg de peras, 1 kg de manzanas y 6 kg de naranjas.
B: 2 kg de peras, 2 kg de manzanas y 4 kg de naranjas.
C: 1 kg de peras, 2 kg de manzanas y 3 kg de naranjas.
a) Expresa matricialmente la cantidad de fruta (peras, manzanas y naranjas) que quiere
comprar cada persona (A, B, C).
b) Escribe una matriz con los precios de cada tipo de fruta en cada una de las dos fruterías.
c) Obtén una matriz, a partir de las dos anteriores, en la que quede reflejado lo que se
gastaría cada persona haciendo su compra en cada una de las dos fruterías.
Solución:
c) El producto de las dos matrices anteriores nos da la matriz que buscamos:
euros/kg.2
naranjaslasyeuros/kg,0,8manzanaslaseuros/kg,1,8cuestanperaslas,En
euro/kg.2naranjaslasyeuro/kg,1manzanaslaseuros/kg,1,5cuestanperaslas,En
yfruterias,doshayvivenqueelenpuebloelEn
2
1
21
F
F
FF .
22
8,01
8,15,1b)
321
422
612a)
21
N
M
P
C
B
A
FFNMP
15. Tres familias, A, B, y C, van a ir de vacaciones a una ciudad en la que hay tres hoteles,
a) Escribe en forma de matriz el número de habitaciones (dobles o sencillas) que necesita
cada una de las tres familias.
b) Expresa matricialmente el precio de cada tipo de habitación en cada uno de los tres
hoteles.
c) Obtén, a partir de las dos matrices anteriores, una matriz en la que se refleje el gasto
diario que tendría cada una de las tres familias en cada uno de los tres hoteles.
Solución:
euros/día.44sencillalayeuros/día,85cuestadoblela,Eneuros/día.43cuesta
sencillalayeuros/día,86cuestadoblehabitaciónla,Eneuros/día.45deessencilla
habitaciónladeelyeuros/día,84deesdoblehabitaciónladeprecioel,hotelelEn
sencillas.dosy
doblehabitación1necesitafamilialaysencilla,unaydobleseshabitacion3necesita
familialasencilla,unaydobleseshabitacion2necesitafamiliaLa.y
3
2
1
321
H
H
H
C
BAHHH ,
c) El producto de las dos matrices anteriores nos da la matriz que buscamos:
444345
858684b)
21
13
12)
321
S
D
C
B
Aa
HHHSD
16. Una empresa tiene tres factorías, F1, F2, F3, en las que se fabrican diariamente tres tipos
diferentes de productos, A, B y C, como se indica a continuación:
F1: 200 unidades de A, 40 de B y 30 de C.
F2: 20 unidades de A, 100 de B y 200 de C.
F3: 80 unidades de A, 50 de B y 40 de C.
Cada unidad de A que se vende proporciona un beneficio de 5 euros; por cada unidad de B, se
obtienen 20 euros de beneficio; y por cada una de C, 30 euros.
Sabiendo que la empresa vende toda la producción diaria, obtén matricialmente el beneficio
diario obtenido con cada una de las tres factorías.
Solución:
Organizamos los datos que tenemos en dos matrices; su producto nos da la matriz que
buscamos:
6002
1008
7002
30
20
5
405080
20010020
3040200
3
2
1
3
2
1
F
F
F
C
B
A
F
F
F
CBA
17. En una pastelería elaboran tres tipos de postres: A, B y C, utilizando leche, huevos y azúcar
(entre otros ingredientes) en las cantidades que se indican:
A: 3/4 de litro de leche, 100 g de azúcar y 4 huevos.
B: 3/4 de litro de leche, 112 g de azúcar y 7 huevos.
C: 1 litro de leche y 200 g de azúcar.
El precio al que se compran cada uno de los tres ingredientes es de 0,6 euros el litro de leche, 1
euro el kg de azúcar, y 1,2 euros la docena de huevos.
Obtén matricialmente el gasto que supone cada uno de estos tres postres (teniendo en cuenta
solamente los tres ingredientes indicados).
Solución:
El precio de cada litro de leche es de 0,6 euros; el precio de cada gramo de azúcar es de 0,001
euros; y el precio de cada huevo es de 0,1 euros.
Organizamos los datos que nos dan en dos matrices; su producto es la matriz que buscamos:
Por tanto, el postre A supone 0,95 euros, el B 1,26 euros; y el C, 0,8 euros.
8,0
262,1
95,0
1,0
001,0
6,0
02001
71124/3
41004/3
C
B
A
H
Az
L
C
B
A
HAzL
