Este documento presenta varios ejercicios de álgebra lineal que involucran operaciones matriciales, sistemas de inecuaciones y funciones objetivo. Los ejercicios piden calcular sumas, productos y matrices inversas; representar gráficamente conjuntos definidos por inecuaciones y encontrar extremos de funciones en esas regiones; y resolver problemas de optimización que involucran restricciones lineales.

1. REPASAMOS ÁLGEBRA LINEAL.
Ejercicio 1. Opción B. Modelo 1. 2005
a) (1 punto) Dibuje el recinto definido por las siguientes inecuaciones:
x − y ≤1; x + 2y ≥7; x ≥0; y ≤5.
b) (1 punto) Determine los vértices de este recinto.
c) (1 punto) ¿Cuáles son los valores máximo y mínimo de la función objetivo
F(x, y) = 2x + 4y − 5 y en qué puntos alcanza dichos valores?
Ejercicio 1. Opción A. Modelo 2. 2005
Sean las matrices










−
−
=





−
−−
=
12
02
11
101
112
BA .
a) (1 punto) Calcule la matriz C=B·A-At
·Bt
.
b) (2 puntos) Halle la matriz X que verifique A·B·X= .
2
4






Ejercicio 1. Opción B. Modelo 2. 2005
Sea el siguiente sistema de inecuaciones:
2x − 3y ≤ 6; x ≥ 2y − 4; x + y ≤ 8; x ≥ 0; y ≥ 0.
a) (2 puntos) Dibuje la región que definen y calcule sus vértices.
b) (1 punto) Halle los puntos de esa región en los que la función F(x, y) = 2x + 3y
alcanza los valores máximo y mínimo y calcule dichos valores.
Ejercicio 1. Opción A. Modelo 3. 2005
a) (2 puntos) Represente la región definida por las siguientes inecuaciones y calcule sus
vértices:
x + 2y ≥ 6, x ≤ 10 − 2y, 0,1
312
≥≥+ x
yx
b) (1 punto) Calcule el máximo y el mínimo de la función F(x, y) = 4 − 3x − 6y en la
región anterior e indique en qué puntos se alcanzan.
Ejercicio 1. Opción A. Modelo 4. 2005
a) (1 punto) Sean las matrices










−=





−
=
11
21
10
021
312
BA .
De las siguientes operaciones, algunas no se pueden realizar; razone por qué. Efectúe
las que se puedan realizar A+B, At
+B, A·B,A·Bt
.
b) (2 puntos) Resuelva y clasifique, atendiendo al número de soluciones, el sistema:










−
=




















1
2
3
·
131
201
312
z
y
x
Ejercicio 1. Opción B. Modelo 4. 2005
(3 puntos) El estadio del Mediterráneo, construido para la celebración de los “Juegos
Mediterráneos Almería 2005”, tiene una capacidad de 20000 espectadores.
Para la asistencia a estos juegos se han establecido las siguientes normas:
El número de adultos no debe superar al doble del número de niños; el número de
adultos menos el número de niños no será superior a 5000.
Si el precio de la entrada de niño es de 10 euros y la de adulto 15 euros ¿cuál es la

2. composición de espectadores que proporciona mayores ingresos? ¿A cuánto ascenderán
esos ingresos?
Ejercicio 1. Opción A. Modelo 5. 2005
Sean las matrices 




 −
=





=
x
BA
0
12
10
31
.
a) (1.5 puntos) Determine el valor de x en la matriz B para que se verifique la igualdad
A·B=B·A.
b) (1.5 puntos) Obtenga la matriz C tal que At
·C=I2.
Ejercicio 1. Opción B. Modelo 5. 2005
Sea el sistema de inecuaciones siguiente:
x + y ≤ 600, x ≤ 500, y ≤ 3x, x ≥ 0, y ≥ 0.
a) (2 puntos) Represente gráficamente el conjunto de soluciones del sistema y calcule
sus vértices.
b) (1 punto) Halle el punto del recinto anterior en el que la función F(x, y) = 38x + 27y
alcanza su valor máximo.
Ejercicio 1. Opción A. Modelo 6. 2005
(3 puntos) Una empresa monta dos tipos de ordenadores: fijos y portátiles. La empresa
puede montar como máximo 10 fijos y 15 portátiles a la semana, y dispone de 160 horas
de trabajo a la semana. Se sabe que el montaje de un fijo requiere 4 horas de trabajo, y
reporta un beneficio de 100 euros, mientras que cada portátil necesita 10 horas de
trabajo y genera un beneficio de 150 euros.
Calcule el número de ordenadores de cada tipo que deben montarse semanalmente para
que el beneficio sea máximo, y obtenga dicho beneficio.
Ejercicio 1. Opción B. Modelo 6. 2005
Sean las matrices .
01
21





−
=





−
= By
yx
yx
A
a) (1 punto) Calcule, si existe, la matriz inversa de B .
b) (2 puntos) Si A·B=B·A y A+At
=3·I2, calcule x e y.
Ejercicio1. Opción A. Modelo 6. 2011.
Ejercicio1. Opción B. Modelo 2. 2012.
Los alumnos de 2º de Bachillerato organizan una venta de pasteles para el viaje de fin
de curso. Venden pasteles grandes, que necesitan 2 huevos, 5 terrones de azúcar y 100 g
de harina cada uno, y pasteles pequeños, que necesitan 1 huevo, 3 terrones de azúcar y
80 g de harina cada uno.

3. a) (0.5 puntos) Presente en una matriz M, de dimensión 3x2, las cantidades de los
elementos necesarios para la elaboración de un pastel grande y uno pequeño.
b) (0.5 puntos) Si desean fabricar 20 pasteles de una clase y 30 de otra, escriba las dos
matrices columna, A (20 grandes y 30 pequeños) y B (30 grandes y 20 pequeños) que
representan este reparto.
c) (1.5 puntos) Calcule los productos AM ⋅ y BM ⋅ e indique si con 8 docenas de
huevos, 200 terrones de azúcar y 5 kg de harina se pueden elaborar 20 pasteles grandes
y 30 pequeños. ¿Y 30 grandes y 20 pequeños?
Ejercicio1. Opción A. Modelo 4. 2012.
Una empresa vende tres artículos diferentes A, B y C, cada uno de ellos en dos formatos,
grande y normal. En la matriz F se indican las cantidades de los tres artículos, en cada uno de
los dos formatos, que ha vendido la empresa en un mes. En la matriz G se indican las ganancias,
en euros, que obtiene la empresa por cada unidad que ha vendido de cada artículo en cada
formato
A B C A B C
normal
grande
354
586
normal
grande
140250200
80150100
←
←






=
←
←






= GF
a) (1 punto) Efectúe los productos .y tt
GFGF ⋅⋅
b) (0.75 puntos) Indique en qué matriz se pueden encontrar las ganancias que ha recibido la
empresa en ese mes por el total de las unidades vendidas de cada uno de los tres artículos y
especifique cuáles son esas ganancias.
c) (0.75 puntos) Indique en qué matriz se pueden encontrar las ganancias que ha recibido la
empresa en ese mes por el total de las unidades vendidas en cada uno de los dos formatos,
especifique cuáles son esas ganancias y halle la ganancia total.
Ejercicio1. Opción A. Septiembre. 2012.
Una fábrica produce dos tipos de productos, A y B, que distribuye a tres clientes. En el
mes de enero el primer cliente compró 9 unidades de A y 5 de B, el segundo cliente 3 de
A y 7 de B, y el tercer cliente 4 de A y 6 de B.
En el mes de febrero el primer cliente y el segundo duplicaron las compras del mes
anterior, y el tercer cliente compró de cada producto una unidad más de las que compró
en enero. En marzo el primer cliente no compró nada, y el segundo y el tercero
compraron lo mismo que en febrero.
a) (0.75 puntos) Para cada mes construya la matriz de dimensión 3x2 correspondiente a
las compras de ese mes.
b) (0.5 puntos) Calcule la matriz de compras del trimestre.
c) (1.25 puntos) Si los precios de los productos A y B son, respectivamente, 80 y 100
euros, calcule lo que factura la fábrica en el primer trimestre, por cada cliente y en total.