2. PÁGINA 1
(a + b)2
= a2
+ 2ab + b2
(a – b)2
= a2
– 2ab + b2
Productos notables
Cuadrado de binomio
Suma por diferencia
(x + y)(x – y) = x2
– y2
Binomios con término común
(x + a)(x + b) = x2
+ (a + b)x + ab
(a ± b)3
= a3
± 3a2
b + 3ab2
± b3
Cuadrado de trinomio:
Cubo de binomio:
(a + b + c)2
= a2
+ b2
+ c2
+ 2ab + 2ac + 2bc
3. PÁGINA 2
Factorización
Factorizar
Es el proceso de escribir un polinomio como
producto de sus factores.
Factor común
Monomio: ac + ad = a(c + d)
Binomio: (a + b)c + (a + b)d = (a + b)(c + d)
Diferencia de cuadrados: a2
– b2
= (a + b) (a – b)
Diferencia de cubos:
a3
– b3
= (a – b) (a2
+ ab + b2
)
Suma de cubos:
a3
+ b3
= (a + b) (a2
– ab + b2
)
Trinomio cuadrado perfecto:
a2
± 2ab + b2
= (a ± b)2
Trinomio de la forma:
x2
+ px + q = (x + a) (x + b)
con p = a + b, q = ab
Trinomio de la forma:
ax2
+ bx + c =
con b = p + q, ac = pq
(ax + p)(ax + q)
a
4. PÁGINA 3
Factorización por agrupación de
términos
Para factorizar polinomios de cuatro o más términos, éstos se deben agrupar
convenientemente de manera que se realicen factorizaciones parciales y
llegar a una factorización final.
Los casos anteriores de factorización nos conducen a la siguiente estrategia
general para factorizar un polinomio.
Pasos para factorizar
1. Intente factor común.
2. Cuente los términos del polinomio.
2.1. Si tiene dos términos, intente: suma por diferencia, suma de
cubos o restas de cubos.
2.2. Si tiene tres términos, intente cuadrado de binomio inicialmente,
si no, aplique trinomios que no son cuadrados.
2.3. Si tiene más de tres términos agrupe convenientemente.
3. El polinomio debe quedar totalmente factorizado.
Fracción algebraica
Simplificación de una fracción algebraica
Para ello se debe considerar lo siguiente:
Si el numerador y el denominador son monomios, se simplifican los factores comu-
nes.
Si el numerador y/o denominador no son monomios, se factoriza el numerador y/o
el denominador y se simplifican los factores comunes.
5. PÁGINA 4
Operatoria con fracciones algebraicas
Multiplicación
División ; (C ≠ 0)
A C A C
B D B D
A C A D
:
B D B C
Análisis de las soluciones de la ecuación
ax + b = 0
El número de soluciones de la ecuación ax + b = 0 depende de los
valores de a y b. Se pueden dar tres casos:
CASO 1: Si a ≠ 0 la ecuación tiene SOLUCIÓN ÚNICA.
CASO 2: Si a = 0 y b = 0 la ecuación tiene INFINITAS SOLUCIONES.
CASO 3: Si a = 0 y b ≠ 0 la ecuación NO TIENE SOLUCIÓN.
Ecuación con valor absoluto
|ax + b| = c, con a, b y c coeficientes reales, a ≠ 0.
Si c 0, se resuelve por medio de la definición de valor absoluto.
Es decir: ax + b = c ax + b = -c
6. PÁGINA 5
Planteamientos
En los problemas de planteamientos aparecen expresiones o vocablos que debemos
traducir a lenguaje matemático.
a. El doble de un número p. 2p
b. El cuadrado de un número m. m2
c. El triple de un número q. 3q
d. El cubo de un número a. a3
e. El cuádruplo de un número b. 4b
f. La cuarta potencia de un número c. c4
g. El quíntuplo de un número d. 5d
h. La quinta potencia de un número b. b5
i. La diferencia entre m y n, respectivamente. m - n
j. El exceso de a sobre b es n unidades a - b = n
k. La semisuma entre los números a y b.
l. La semidiferencia entre los números m y n.
m. x aumentado en a unidades. x + a
n. x disminuido en a unidades. x - a
o. x es a unidades mayor que b. x - a = b o x = b + a
p. x es a unidades menor que b. x + a = b o x = b - a
q. El producto de a y b. a · b
r. n veces el número a. n · a
s. El cuociente entre p y q
Ejemplos
a + b
2
m n
2
p
q
7. PÁGINA 6
Problemas con fracciones
S
on problemas en que se pide calcular la
parte de un todo, es decir, una fracción
de un número. La fracción de un número x
se calcula multiplicando por x.
a
b
a
b
Problemas de dígitos
Un número A está escrito en notación ampliada o desarrollada si se
expresa como la suma de las cantidades que resulten de multiplicar
cada dígito de dicho número por la potencia de diez correspondiente a su
posición (… centena, decena, unidad, décima, centésima...).
Por ejemplo: abc,de = a · 102
+ b · 101
+ c · 100
+ d · 10-1
+ e · 10-2
Para los problemas de dígitos debemos usar la notación ampliada, donde
en el sistema decimal un número de la forma xyz queda representado por
x · 102
+ y · 101
+ z · 100
8. PÁGINA 7
Problemas de edades
En estos problemas conviene representar las edades de los personajes con letras
diferentes indicando en una línea del tiempo o en una tabla, sus edades pasadas,
presentes o futuras, según corresponda:
Edad pasada
(hace b años)
Edad actual
Edad futura
(dentro de c años)
x – b x x + c
y – b y y + c
Problemas de trabajos
Si un trabajador (o máquina) puede realizar un trabajo en un tiempo a y otro en un
tiempo b, la ecuación que permite calcular el tiempo x que demoran en hacer el
trabajo en conjunto es
1 1 1
= +
x a b
Problemas de móviles
Para este tipo de problemas, debemos tener presente la fórmula:
s = recorrido
v = rapidez
t = tiempo
s = v·t
Problemas de mezclas
Para este tipo de problemas podemos considerar el
siguiente planteamiento general:
Si n objetos, que valen c, se componen de x objetos que valen a cada uno, y
n – x objetos que valen b cada uno, la ecuación que permite encontrar x es:
ax + b(n – x) = c.
9. PÁGINA 8
Distancia entre dos puntos
La distancia entre dos puntos (medida del segmento generado por dichos puntos),
A(x1, y1) y B(x2, y2), se determina mediante la expresión:
Coordenadas del punto medio de un segmento
Dados los puntos A(x1, y1) y B(x2, y2), las coordenadas del punto medio del segmento
AB son:
Ecuación de la recta
xm = , ym =
1 2
x + x
2
1 2
y + y
2
dAB =
2 2
2 1 2 1
(x x ) +(y y )
0 x1 x2
y1
y2
A
B
y
x
ym
xm
M
0 x1 x2
y1
y2
A
B
y
x
x2 - x1
y2 - y1
10. PÁGINA 9
Pendiente de una recta
Es la tangente trigonométrica del ángulo de inclinación (ángulo que forma la recta con el
eje x, en sentido antihorario, desde el eje x hacia la recta)
Relación entre el ángulo de inclinación y la pendiente de la recta
Sea el ángulo de inclinación y sea m la pendiente de la recta L. Entonces:
( = 0º) si y sólo si (m = 0) (0º 90º) si y sólo si (m 0)
(90º 180º) si y sólo si (m 0) ( = 90º), si y sólo si (m no está definida)
m = tg = =
BP
PA
2 1
2 1
y y
x x
y
x
0
L
L tiene pendiente positiva
y
x
0
L
L es paralela al eje y
y
x
0
L
L tiene pendiente negativa
y
x
0
L es paralela al eje x
L
y2 – y1
y2
y1
A
B
P
x1 x2
L
x
y
x2 – x1
11. PÁGINA 10
Ecuación general de la recta
ecuación principal de la recta
Ecuación de la recta que pasa por un punto
a(x1, y1) y tiene pendiente dada m
Ecuación de la recta que pasa por dos puntos
A(x1, y1) y B(x2, y2)
ecuación de segmentos o canónica
Ecuación de la recta que pasa por dos puntos que están en los ejes.
Ax + By + C =0
y = mx + n
(y – y1) = m(x – x1)
(y – y1) = (x – x1)
2 1
2 1
y y
x x
= 1
x y
+
a b
A, B y C son Reales
Si A = 0 B 0
Ecuación de la recta en el plano
m = pendiente, m =
n = coeficiente de posición
A
B
a ≠ 0 y b ≠ 0
(a, 0) es el punto del eje X
(0, b) es el punto del eje Y
12. PÁGINA 11
Rectas paralelas
Dos rectas son paralelas si sus pendientes son iguales o ambas tienen pendientes que
se indeterminan.
Sean L1 y L2 rectas de pendientes m1 y m2, respectivamente. Entonces:
Rectas perpendiculares
Dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es -1 ó cuando en una
de las rectas la pendiente es cero y en la otra la pendiente se indetermina.
Sean L1 y L2 rectas de pendientes m1 y m2, respectivamente. Entonces:
Si m1 y m2 pertenece a los reales, entonces
L1//L2 si y sólo si m1 · m2 = -1
Si m1 y m2 pertenecen a los reales, entonces
L1//L2 si y sólo si m1 = m2
L1
L2
0
x
y
L1
L2
0 x
y
13. PÁGINA 12
Sistemas de ecuaciones
Dos ecuaciones de primer grado, las cuales tienen las mismas dos incógnitas,
constituyen un sistema de ecuaciones lineales.
La forma general de un sistema de ecuaciones de primer grado es:
donde A, B, C, D, E y F son números reales.
Se denomina solución del sistema a todo par ordenado (x, y) que satisfaga
simultáneamente ambas ecuaciones.
Resolución gráfica
Para resolver gráficamente un sistema de dos ecuaciones lineales con dos
incógnitas, ambas rectas se representan en un sistema de ejes coordenados,
obteniendo de esta forma uno de los siguientes casos:
1.- Las rectas se intersectan en un punto, cuyas coordenadas (a, b) corresponden
a la solución del sistema. Las rectas L1 y L2 son secantes.
2.- Las dos rectas son paralelas coincidentes, dando origen a infinitas soluciones
3. Las dos rectas son paralelas no coincidentes, por lo tanto no hay solución.
Ax + By = C
Dx + Ey = F
x
y
L2
L1
a
b L1 L2 = (a, b)
x
y
L1 L2 = L1 L2
x
y L1
L1 L2 = (vacío)
L2
14. PÁGINA 13
Resolución algebraica
Para resolver algebraicamente un sistema de ecuaciones lineales con dos
incógnitas existen varios métodos; utilizaremos sólo tres de ellos: sustitución,
igualación y reducción.
MÉTODO DE IGUALACIÓN: Se debe despejar la misma variable en ambas
ecuaciones y luego éstos resultados se igualan, generándose así una ecuación con una
incógnita.
MÉTODO DE SUSTITUCIÓN: Se debe despejar una de las variables en una de las
ecuaciones y luego reemplazarla en la otra ecuación, generándose así una ecuación
con una incógnita.
MÉTODO DE REDUCCIÓN: Se deben igualar los coeficientes de una de las
incógnitas, en ambas ecuaciones, multiplicando ambos miembros convenientemente,
luego se suman o restan ambas ecuaciones, resultando así una ecuación con una
incógnita.
Análisis de sistemas de ecuaciones
lineales con dos incógnitas
Sea el sistema: . Entonces:
I) El sistema tiene solución única si
II) El sistema tiene infinitas soluciones si
III) El sistema no tiene solución si
1 1 1
2 2 2
a x + b y = c
a x + b y = c
1 1
2 2
a b
a b
1 1 1
2 2 2
a b c
= =
a b c
1 1 1
2 2 2
a b c
=
a b c
aplicaciones de los sistemas de
ecuaciones lineales
Los sistemas de ecuaciones lineales tienen aplicación en problemas de planteo
cuyo enunciado implica utilizar dos ecuaciones de dos incógnitas que podrá ser
resuelto mediante un sistema de ecuaciones. Cómo por ejemplo: problemas de
edades, de cifras o dígitos, etc.
15. PÁGINA 14
Propiedades
Si a los dos miembros de una desigualdad se le suma un mismo número, el
sentido de la desigualdad no cambia
Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican por un mismo número
positivo, el sentido de la desigualdad no cambia
Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican por un mismo número
negativo, el sentido de la desigualdad cambia
Si de los miembros de una desigualdad, ambos positivos o ambos negativos, se
consideran sus recíprocos la desigualdad cambia
Si a, b, c son números reales y a < b, entonces a + c < b + c
Si a, b, c son números reales tales que a < b y c > 0, entonces ac < bc
Si a, b, c son números reales tales que a < b y c < 0, entonces ac > bc
Si 0 < a < b ó a < b < 0, entonces
1 1
a b
inecuaciones de primer grado y problemas
de inecuaciones
Una relación entre números o letras en que se usan los signos <, >, o se llama
desigualdad.
Cuando una desigualdad presenta una incógnita se denomina inecuación y su valor de
verdad (verdadero o falso) dependerá del valor que le asignemos a la incógnita. Para
resolver inecuaciones es necesario conocer las propiedades de las desigualdades.
16. PÁGINA 15
Intervalos en ℝ
Se llama intervalo en lR al conjunto de números reales que cumple con la desigualdad
dada.
a b lR
a b lR
a b lR
a b lR
Intervalo cerrado
desde a hasta b,
inclusive.
[a , b] = {x lR / a x b}
Intervalo abierto
entre a y b.
]a , b[ = {x lR / a < x < b}
Intervalo
semiabierto o
semicerrado.
]a , b] = {x lR / a < x b}
[a , b[ = {x lR / a x < b}
Inecuaciones de primer grado con una incógnita
Son desigualdades que se pueden reducir a una de las formas siguientes: ax + b 0,
ax + b 0, ax + b > 0 ó ax + b < 0, con a 0, y que son verdaderas para un
conjunto de valores de la incógnita x, el cual se llama conjunto solución de la
inecuación. Este conjunto se puede representar mediante la notación de conjunto,
intervalo o gráfica.
Al despejar la incógnita en una inecuación lineal, se llega a una de las siguientes
situaciones:
-b
a
-b
a
-b
a
-b
a
Inecuación Conjunto Solución Representación Gráfica
x <
-b
a S =
-b
- ,
a
x
-b
a S =
-b
- ,
a
x >
-b
a S =
-b
, +
a
x
-b
a S =
-b
, +
a
17. PÁGINA 16
Sistemas de inecuaciones lineales con una
incógnita
Es un sistema formado por dos o más inecuaciones de primer grado con una incógnita.
El conjunto solución del sistema es la intersección de los conjuntos solución de cada
inecuación. Es decir, si S1, S2, ..., Sn son los conjuntos solución de cada inecuación y
S es el conjunto solución del sistema, entonces:
S = S1 S2 S3 ... Sn
Inecuaciones con valor absoluto
|x| a, si y sólo sí -a x a
|x| a, sí y sólo sí x -a o x a
Observación:
Si x2
a2
, siendo a un número real no negativo,
entonces |x| a.
Si x2
a2
, siendo a un número real no negativo,
entonces |x| a.
Problemas de inecuaciones
En estos problemas aparecen expresiones que hay que traducir a los símbolos >, <,
o , tales como: “a lo menos” (), “cuando mucho” (), “como mínimo” (), “como
máximo” (), “sobrepasa” (), “no alcanza” (), etc. Una vez planteada la inecuación
o sistema de inecuaciones, se determina el conjunto solución, y al igual que en los
problemas de ecuaciones hay que fijarse en la pregunta del problema.
