Datos y azar probabilidades

1. Matemáticas – Programa Tercero
Material : MT-17
UNIDAD: DATOS Y AZAR
PROBABILIDADES III
VARIABLES ALEATORIAS
Se llama VARIABLE ALEATORIA a toda función que asocia un número real a cada
elemento del espacio muestral de un experimento aleatorio.
Observación: Se simbolizan con letras mayúsculas, por ejemplo: X; Y; Z;…
VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS (VAD)
Son aquellas que pueden tomar una cantidad finita de valores o una cantidad infinita
numerable de valores, por ejemplo suma de puntos en el lanzamiento de dos dados, las
preguntas correctas en una prueba, números de hijas mujeres de una familia etc.
Los valores que toma la variable aleatoria se llama recorrido de la variable.
Ejemplo 1:
Al lanzar tres monedas y definir la variable aleatoria X como el número de caras obtenidas,
el recorrido de X será {0, 1, 2, 3}
EJEMPLOS
1. ¿Cuál(es) de los siguientes enunciados corresponde una variable aleatoria?
I) Obtener tres puntos al lanzar un dado.
II) Número de caras en el lanzamiento de cuatro monedas.
III) Tiempo de caída de un objeto desde la azotea de un edificio.
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y II
D) Solo I y III
E) I, II y III

2. 2
2. Una bolsa contiene 6 monedas, tres azules y tres rojas. Si se extraen dos monedas,
una tras otra sin reposición, ¿cuál(es) de los siguientes enunciados define(n) una
variable aleatoria?
I) Número de caras obtenidas.
II) Número de monedas de color azul.
III) Tiempo empleado en realizar el experimento.
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y II
E) Solo I y III
3. En una bolsa hay 4 fichas enumeradas del 3 al 6. Se extraen dos de ellas sin reposición
y se define la variable aleatoria X, como la suma de los números obtenidos. ¿Cuál(es)
de las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)?
I) Es una variable aleatoria discreta.
II) El recorrido de la variable aleatoria es {7, 9, 11}.
III) El total de resultados posibles de la variable aleatoria son 3.
A) Solo I
B) Solo I y II
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II y III
4. Para el experimento de lanzar dos veces un dado, se define la variable aleatoria X como
la parte entera del cuociente de los valores obtenidos. Entonces, el recorrido de la
variable aleatoria es
A) {0}
B) {1}
C) {1, 2, 3, 4, 5, 6}
D) {0, 1, 2, 3, 4, 5}
E) {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}

3. 3
FUNCIÓN DE PROBABILIDAD PARA VARIABLE DISCRETA
Se llama función de probabilidad de una variable aleatoria discreta “X” a la función que
asocia cada valor de xi con su probabilidad de ocurrencia pi.
Se denota por f(x) = P(X = xi)
Propiedades:
1. 0  f(xi)  1
2. f(x1) + f(x2) + …….+ f(xn) = 1
3. P(X = a) = 0, si a no pertenece al recorrido de la variable aleatoria
Observaciones:
1. El dominio de la función de probabilidad es el recorrido de la variable aleatoria.
2. El recorrido de la función de probabilidad está en 0, 1.
EJEMPLOS
1. Se lanzan 3 monedas y se define la variable aleatoria X como el número de sellos que
se obtienen. ¿Cuál es el valor de P(X = 2)?
A)
1
8
B)
1
4
C)
3
8
D)
1
2
E)
7
8
2. Si el experimento aleatorio consiste en lanzar dos veces un dado y se define la variable
aleatoria X como el doble de la suma de los números que aparecen, entonces ¿cuál(es)
de las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)?
I) Los valores de la variable aleatoria son {4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22,
24}.
II) El recorrido de la función de probabilidad es [4, 24].
III) P(X = 14) =
1
6
.
A) Solo II
B) Solo I y II
C) Solo II y III
D) Solo I y III
E) I, II y III

4. 4
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
Al considerar un experimento dicotómico donde uno de los resultados se denomina éxito con
probabilidad de ocurrencia p y el otro fracaso, con probabilidad de ocurrencia (1 – p), en que
la probabilidad de éxito es constante y además el resultado obtenido en cada prueba es
independiente de los resultados obtenidos anteriormente, entonces se dice que el
experimento sigue el modelo de la distribución binomial o de Bernoulli.
La distribución binomial se representa por B(n, p), siendo n el número de pruebas o
repeticiones del experimento y p probabilidad de éxito.
FUNCIÓN DE PROBABILIDAD BINOMIAL
Al realizar un experimento dicotómico n veces, la probabilidad de obtener x éxitos, siendo p
la probabilidad de éxito y (1 – p) la probabilidad de fracaso, se calcula mediante la función
de probabilidad binomial
n x n x
x
f(x) = P(X = x) = C p (1 p)

  
OBSERVACION:
n
x
n n!
C = =
x!(n x)!
x
 
 

 
EJEMPLOS
1. Una variable aleatoria tiene una distribución binomial definida como
1
B 50,
3
 
 
 
. Respecto
a esta información ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) FALSA(S)?
A) La probabilidad de éxito es
1
3
B) La probabilidad de fracaso es
2
3
C) La probabilidad de obtener 20 éxitos es igual a la probabilidad de obtener
30 fracasos.
D) La probabilidad de obtener un fracaso es igual a la probabilidad de obtener un éxito
E) La probabilidad de obtener 20 éxitos es
30
50
50 2
20 3
 

 
 
.

5. 5
2. Un estudio sobre los hábitos de consumo arrojó que el 65% de la población ha fumado
alguna vez en su vida. Si se elige a 20 personas al azar, ¿cuál es la probabilidad que
8 de ellas nunca haya fumado?
A)
8 12
20
8
35 65
C
100 100
   
 
   
   
B)
8 12
12
8
35 65
C
100 100
   
 
   
   
C)
8 12
35 65
100 100
   

   
   
D)
12 8
20
8
35 65
C
100 100
   
 
   
   
E)
12 8
35 65
100 100
   

   
   
3. El 40% de una población se encuentra afectada por cierto virus, si se toma una
muestra de 100 habitantes, ¿cuál es la probabilidad que exactamente 70 de ellos se
encuentren sanos?
A)
3
5
æ
è
ç
ö
ø
÷
70
×
2
5
æ
è
ç
ö
ø
÷
30
B)
3
5
æ
è
ç
ö
ø
÷
30
×
2
5
æ
è
ç
ö
ø
÷
70
C) C70
100
×
3
5
æ
è
ç
ö
ø
÷
70
×
2
5
æ
è
ç
ö
ø
÷
30
D) C70
100
×
3
5
æ
è
ç
ö
ø
÷
30
×
2
5
æ
è
ç
ö
ø
÷
70
E) C40
70
×
3
5
æ
è
ç
ö
ø
÷
70
×
2
5
æ
è
ç
ö
ø
÷
30

6. 6
ESPERANZA MATEMATICA O VALOR ESPERADO DE UNA VARIABLE ALEATORIA
DISCRETA
La esperanza o valor esperado de una variable aleatoria discreta se determina por la suma
de los productos de la probabilidad de cada suceso por el valor de dicho evento.
La esperanza representa la cantidad media que se espera como resultado de un experimento
aleatorio.
1 1 2 2 n n
E(x) x p x p ........ x p
      
xi : valor de cada suceso.
P(X = x) : probabilidad que la variable tome el valor i.
n : cantidad de valores que puede tomar la variable aleatoria.
EJEMPLOS
1. ¿Cuál es el valor esperado en el lanzamiento de un dado común de 6 caras?
A) 2
B) 2,5
C) 3
D) 3,5
E) 4
2. La tabla adjunta muestra los posibles resultados de un experimento aleatorio con la
probabilidad de ocurrencia de cada resultado. ¿Cuál es el valor esperado para x?
A) 0,1
B) 0,2
C) 0,4
D) 0,5
E) 1,2
x -2 -1 0 1 2
p 0,2 0,1 0,3 0,1 0,3

7. 7
3. ¿Cuál es el valor esperado para la variable x descrita en la tabla adjunta?
A) 2,2
B) 1,8
C) 1,5
D) 1,2
E) 0,8
4. Los valores que puede tomar una variable en un experimento aleatorio son 0, 1 y 2,
con probabilidad de ocurrencia 0,3; 0,1 y 0,6 respectivamente. ¿Cuál es la esperanza
para esta variable?
A) 1
B) 1,2
C) 1,6
D) 1,3
E) 0,3
5. Los gráficos muestran la función de probabilidades de dos variables aleatorias
discretas, P y Q. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) E(P) > E(Q)
II) E(P) E(Q) = 0,6

III)
1
E(Q) =
E(P)
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y II
D) Solo II y III
E) Solo I y III
1 2 3
0,2
0,3
0,5
Variable P
1 2 3
0,2
0,3
0,5
Variable Q
x
y
x
y
x 0 1 2
P(x) 0,3 0,2 0,5

8. 8
APLICACIÓN DE ESPERANZA MATEMATICA AL VALOR ESPERADO EN UN JUEGO DE
AZAR
La esperanza o valor esperado en matemática tiene sus orígenes en los juegos de azar y
hacen relación a la esperanza que tenía de ganar un juego un individuo que hacía un gran
número de apuestas.
OBSERVACIONES
Si E(X) = 0, el juego es equitativo, es decir se considera justo
Si E(X) > 0, el juego se considera favorable
Si E(X) < 0, el juego se considera injusto.
EJEMPLOS
1. Se tiene una urna con tres bolitas verdes y dos bolitas amarillas. El juego consiste en
sacar una bolita de la urna, si la bolita es amarilla el jugador gana $ 1.000, si la bolita
es verde debe pagar $ 800, ¿es conveniente jugar?
A) Se requiere más información.
B) El juego es injusto.
C) El juego es equitativo.
D) El juego es favorable.
E) Ninguna de las opciones anteriores.
2. La siguiente tabla expresa el dinero que se espera ganar en un juego de azar, asociado
a las probabilidades de un juego:
Entonces, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) A = 0,4
II) P(-400) = P(200) – P(100)
III) La esperanza del juego es de $ 110.
A) Solo II
B) Solo III
C) Solo I y II
D) Solo II y III
E) I, II y III
$ 100 200 300 -400
P($) 0,1 0,3 A 0,2

9. 9
EJERCICIOS
1. En un test de 5 preguntas de verdadero-falso, se define la variable aleatoria X: número
de preguntas falsas que se obtienen. ¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son)
son verdadera(s)?
I) El recorrido de la variable aleatoria es {1,2}.
II) El espacio muestral del experimento tiene 32 elementos.
III) Los resultados para la variable aleatoria X son equiprobables.
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y II
E) Solo II y III
2. En una bolsa hay 10 fichas, todas de igual peso y tamaño; 4 fichas son de color blanco
y 6 son rojas. Si se define la variable aleatoria X como la cantidad de fichas de color
blanco que se obtienen en las extracciones indicadas a continuación, ¿cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) Si se extraen 3 fichas a la vez, los valores de X son {0, 1, 2, 3}.
II) Si se extraen 6 fichas a la vez los valores de la variable aleatoria X son
{0,1, 2}.
III) Si se extraen 5 fichas a la vez los valores de X son {0, 1, 2, 3, 4}.
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y II
E) Solo I y III
3. La tabla adjunta muestra la función de probabilidad de una variable aleatoria discreta
Entonces, el valor de p es igual a
A) 0,899
B) 0,299
C) 0,211
D) 0,101
E) 0,001
W -4 -2 0 1 3 5
f(W) 0,171 0,035 0,163 p 0,227 0,303

10. 10
4. La tabla adjunta muestra la función de probabilidad de una variable aleatoria Y.
Entonces, el valor de a es
A) 0,050
B) 0,020
C) 0,024
D) 0,200
E) 0,240
5. Se lanza un dado 5 veces. ¿Cuál es la probabilidad que salga, exactamente, dos veces
el 6?
A)
5
1
6
 
 
 
B)
2
1
6
 
 
 
C)
3
5
5
6
D)
3
5
5
10
6

E)
2
1
10
6
 
  
 
6. El 40% de una población de 500 habitantes se encuentra afectado por un virus, si se
escogen 5 personas al azar ¿cuál es la probabilidad que solo 3 de ellos se encuentren
afectados?
A)
3 2
2 3
5 5
   

   
   
B)
2 3
2 3
5 5
   

   
   
C)
3 2
5
3
2 3
C
5 5
   
 
   
   
D)
2 3
5
3
2 3
C
5 5
   
 
   
   
E)
3 2
5
3
2 3
V
5 5
   
 
   
   
Y 1 2 3 4 5
f(Y)
1
a
2
a 0,15 2a
3
a
4

11. 11
7. La probabilidad que un equipo de futbol gane un partido es un 60%, que empate un
10%. Si juegan 7 partidos, ¿cuál es la probabilidad que tan solo pierda un partido?
A)
3
10
B)
2
5
C)
1 6
3 7
7
10 10
   
 
   
   
D)
1 6
2 7
7
5 10
   
 
   
   
E)
1 6
3 3
7
10 5
   
 
   
   
8. Un estudiante contesta al azar una prueba de 20 preguntas de 5 alternativas cada una
de las cuales solo una de ellas es correcta, ¿cuál es la probabilidad que conteste
correctamente 12 preguntas?
A) C12
20
×
1
5
æ
è
ç
ö
ø
÷
12
×
4
5
æ
è
ç
ö
ø
÷
8
B)
4
5
æ
è
ç
ö
ø
÷
8
×
1
5
æ
è
ç
ö
ø
÷
12
C) 12 ×
1
5
æ
è
ç
ö
ø
÷
12
×
4
5
æ
è
ç
ö
ø
÷
8
D)
12 8
20
12
4 1
1 C
5 5
   
  
   
   
E)
8 12
20
12
1 4
C
5 5
   
 
   
   
9. La probabilidad de éxito de un experimento aleatoria es 0,4. ¿Cuál es la probabilidad de
obtener exactamente 3 éxitos si el experimento se repite 10 veces?
A)
3 7
3
10
2 3
C
5 5
   
 
   
   
B)
3 7
2 3
10
5 5
   
 
   
   
C)
3 7
10
3
2 3
C
5 5
   
 
   
   
D)
7 3
10
3
2 3
C
5 5
   
 
   
   
E)
3 7
2 3
3
5 5
   
 
   
   

12. 12
10. Se lanza un dado normal 7 veces, ¿cuál es la probabilidad de obtener el número 4,
cinco veces?
A)
5 2
7
2
1 5
C
6 6
   
 
   
   
B)
5 2
7
4
1 5
C
6 6
   
 
   
   
C)
4 3
7
4
1 5
C
6 6
   
 
   
   
D)
4 3
5
4
1 5
C
6 6
   
 
   
   
E)
5 2
5
4
1 5
C
6 6
   
 
   
   
11. En un juego se pueden obtener los valores {1, 2, 3, 4} con una probabilidad de 0,2;
0,1; 0,3; 0,4 respectivamente. Si se juega 12 veces, ¿cuál es la probabilidad de que en
tres jugadas se obtenga un número primo?
A)
3 9
12
3
3 2
C
5 5
   
 
   
   
B)
3 9
12
3
1 3
C
4 4
   
 
   
   
C)
3 9
12
3
3 1
C
4 4
   
 
   
   
D)
3 9
12
3
2 3
C
5 5
   
 
   
   
E)
3 9
9
3
2 3
C
5 5
   
 
   
   

13. 13
12. Un juego de azar tiene una distribución binomial, representada por B(15;0,3).
¿Cuál(es) expresión(es) representa(n) la probabilidad de que en 15 lanzamientos se
obtengan tres fracasos?
I)
12 3
15
3
3 7
C
10 10
   
 
   
   
II)
12 3
15
12
3 7
C
10 10
   
 
   
   
III)
3 12
15
7
3 7
C
10 10
   
 
   
   
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y II
E) Solo II y III
13. Al lanzar dos dados, se define la variable aleatoria X como la suma de los números
mostrados en las caras de los dados. ¿Cuál es el valor esperado para la variable
aleatoria X?
A)
77
16
B) 6
C) 7
D) 12
E) 18
14. En cierta población el 30% de los habitantes se encuentran afectado por un virus, la
semana siguiente el 10% de los enfermos se recupera y el 30% de los sanos se
contagia. En la segunda semana, al escoger 5 personas al azar, ¿cuál es la probabilidad
que dos ellas estén enfermas?
A)
21
100
æ
è
ç
ö
ø
÷
2
×
49
100
æ
è
ç
ö
ø
÷
3
B)
52
100
æ
è
ç
ö
ø
÷
2
×
48
100
æ
è
ç
ö
ø
÷
3
C) 10 ×
21
100
æ
è
ç
ö
ø
÷
2
×
49
100
æ
è
ç
ö
ø
÷
3
D) 10 ×
52
100
æ
è
ç
ö
ø
÷
2
×
48
100
æ
è
ç
ö
ø
÷
3
E) 10 ×
52
100
æ
è
ç
ö
ø
÷
3
×
48
100
æ
è
ç
ö
ø
÷
2

14. 14
15. De una caja que contiene 10 esferas, 6 negras y 4 blancas, se extraen tres de ellas. Se
define la variable aleatoria X como el número de esferas blancas que resulten del
experimento, entonces P(x  2) =
A)
6 5 4 4 6 5 4 3 6
+ 3 + 3
10 9 8 10 9 8 10 9 8
       
B)
4 6 5 4 3 6
3 + 3
10 9 8 10 9 8
     
C)
4 6 5
3
10 9 8
  
D)
6 5 4
10 9 8
 
E)
6 4 3
10 9 8
 
16. ¿Cuál es el valor esperado de la variable aleatoria X definida como los números
obtenidos al lanzar un dado normal de 8 caras numeradas del 1 al 8?
A) 2,625
B) 3,5
C) 4
D) 4,5
E) 6
17. Si los siguientes gráficos representan la función de probabilidad de diferentes variables
aleatorias, ¿qué función presenta el mayor valor de esperanza?
A) B) C)
D) E)
0 1 2
0,2
0,1
0,4
0,2
0,1
-2 -1 0 1
0,3
0,4
0,2
0,1
-2 -1 1 2 3
0,2
0,1
0,4
0,2
0,1
-1 0
0 1 2
0,2
0,1
0,2
0,2
0,3
-2 -1 0 1 2
0,2
0,1
0,2
0,2
0,3
-2 -1
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x

15. 15
18. Un test de 10 preguntas de tipo verdadero ó falso se aplica a un alumno y él contesta
todas las preguntas al azar, ¿cuál es la probabilidad que tenga exactamente
4 de sus respuestas correctas?
A)
10
1
210
2
 
  
 
B)
4
1
210
2
 
  
 
C)
4
1
2
 
 
 
D)
6
1
2
 
 
 
E)
10
1
2
 
 
 
19. Si el valor esperado E(X) de los datos de la tabla adjunta es 1,3, entonces ¿cuál es la
probabilidad que x tome el valor 3?
A) 0,2
B) 0,3
C) 0,4
D) 0,5
E) no se puede determinar
20. Una persona compra un número de rifa, el primer premio es de $ 6.000 y el segundo
de $ 2.500, si la probabilidad de ganar $6.000 es 0,001 y la probabilidad de ganar
$ 2.500 es 0,025, ¿cuál sería un precio justo a pagar por esta rifa?
A) $ 68,5
B) $ 110,5
C) $ 375
D) $ 685
E) No se puede determinar.
21. De una baraja inglesa con 52 cartas se escoge una carta. Si la carta es un número el
jugador gana $ 200, si la carta es un mono el jugador debe pagar $ 500. El valor
esperado, en pesos, al jugar un gran número de veces es
A) -$
8.000
52
B) -$
2.000
52
C) $ 0
D) $
1.000
52
E) $
2.000
52
x -1 1 3 4
P(x) 0,2 p q 0,1

16. 16
22. El valor esperado de la variable x presente en la tabla adjunta se puede determinar, sí:
(1) p + q = 0,3
(2) p : q = 1 : 2
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
23. Es posible determinar el valor de A y B de la tabla adjunta si:
(1) El valor esperado es 2,8.
(2)
B
A
= 1
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
24. Se puede determinar la cantidad que puede perder un individuo en un juego, si se
conoce:
(1) La probabilidad de ganar.
(2) La probabilidad de perder.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
X 1 2 3 4
P(X = x) 0,1 A B 0,3
x 23 33 43 53
P(x) 0,5 p q 0,2

17. 17
25. Si la probabilidad de obtener éxito en un juego es 0,4. Se puede determinar la
probabilidad de ganar 5 veces, si:
(1) La probabilidad de fracaso es 0,6.
(2) Se juega 15 veces.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional

18. 18
RESPUESTAS EJEMPLOS
RESPUESTAS EJERCICIOS
PÁG. N° 9
MT-17
1. B 6. C 11. D 16. D 21. E
2. E 7. C 12. D 17. C 22. B
3. D 8. A 13. C 18. A 23. D
4. D 9. C 14. E 19. A 24. E
5. D 10. A 15. A 20. A 25. B
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Pág. 1 2 3 4 5
1 y 2 B D A E
3 C D
4 y 5 D A C
6 y 7 D B D D C
8 B E
Ejemplo