Problema sistemas de ecuaciones lineales

1. Sistemas de ecuaciones lineales
Problemas
Laura y Rosa invierten 20.000€ cada una. Rosa coloca una
cantidad A al 4% de interés, una cantidad B al 5% y el resto
al 6%. Laura invierte la misma cantidad A al 5%, la B al 6%
y el resto al 4%.
Determina la cantidad B si sabemos que Rosa obtiene unos
intereses de 1.050€ y Laura de 950€.

2. Sea x → cantidad A invertida
y → cantidad B invertida
z → resto cantidad invertida
Solución:
Intereses Laura → 0,05x + 0,06y + 0,04z = 950
Buscamos ecuaciones en el enunciado del problema:
Intereses Rosa → 0,04x + 0,05y + 0,06z = 1.050
Invierten 20.000€ → x + y + z = 20.000
Laura y Rosa invierten 20.000€ cada una. Rosa coloca una cantidad A al
4% de interés, una cantidad B al 5% y el resto al 6%. Laura invierte la
misma cantidad A al 5%, la B al 6% y el resto al 4%.
Determina la cantidad B si sabemos que Rosa obtiene unos intereses de
1.050€ y Laura de 950€.

3. Obtenemos un sistema de tres ecuaciones con tres
incógnitas. Lo resolvemos por el método de Gauss:
Solución:
000.95
000.105
000.20
4
6
6
5
5
4
=
=
=
+
+
+





+
+
+
z
z
z
y
y
y
x
x
x
000.5
000.25
000.20
213
12
·5
·4
−=
=
=
−
+
+




 +
 → −
−
z
z
z
y
y
yx
EE
EE
000.30
000.25
000.20
3
223
−=
=
=
−
+
+




 +
 → −
z
z
z
y
yx
EE
→ z = 10.000 → y = 5.000 → x = 5.000
Obtenemos un sistema
escalonado:
Solución: la cantidad B invertida es 5.000€.
Comprobación:
Rosa: 5.000·0,04 + 5.000·0,05 + 10.000·0,06 = 200 + 250 + 600 = 1.050€
Laura: 5.000·0,05 + 5.000·0,06 + 10.000·0,04 = 250 + 300 + 400 = 950€