Ejercicio sistemas de ecuaciones lineales

1. Sistemas de ecuaciones lineales
con un parámetro
Discute y resuelve:
a
a
z
az
ya
y
y
xa
−=
=
=
+
+
−




+−
1
03
)1(
2
)2(

2. Estudiamos el rango de la matriz de los coeficientes
y de la matriz ampliada según los valores de a










−
−=
010
312
20
a
a
a
A
Hallamos el determinante de A:
|A| = a·(a – 1)·(a – 2)
Solución:
Si |A| es distinto de cero el rango de A (y el de A') será 3
Vamos a estudiar que ocurre si |A| = 0










−−
−=′
aa
a
aa
A
1010
0312
20
Discute y resuelve:
a
a
z
az
ya
y
y
xa
−=
=
=
+
+
−




+−
1
03
)1(
2
)2(

3. |A| = 0 → a·(a – 1)·(a – 2) = 0 →





=
=
=
2
1
0
a
a
a
Veamos que ocurre en estos casos:
 Si a = 0
Solución:
Si a = 0 el sistema es incompatible
1
0
0
3
2
2
=
=
=
+
−




+− z
y
y
y
x es incompatible
→ y = 0
→ y = –1
Discute y resuelve:
a
a
z
az
ya
y
y
xa
−=
=
=
+
+
−




+−
1
03
)1(
2
)2(

4.  Si a = 1
Solución:
Si a = 1 el sistema es compatible indeterminado.
Solución: x = 3 – 5λ, y = λ, z = 1 – 2λ
0
0
1
3
0
2
=
=
=
+
+





+− z
z
y
y
y
x
0
1
3
2
=
=
+
+



+−
→
z
z
y
y
x
Resulta un sistema de dos ecuaciones con
tres incógnitas, compatible indeterminado
y
y
z
z
x −
−
=
=
+
+



−
→
21
3 zx
z
y
3λ
λ21
λ
+
−





=
=
=
→
λ21
λ
λ53
−
−





=
=
=
→
z
y
x
Discute y resuelve:
a
a
z
az
ya
y
y
xa
−=
=
=
+
+
−




+−
1
03
)1(
2
)2(

5.  Si a = 2
Solución:
Discute y resuelve:
a
a
z
az
ya
y
y
xa
−=
=
=
+
+
−




+−
1
03
)1(
2
)2(
1
0
2
3
22
0
−=
=
=
+
+





+ z
z
y
y
y
x
es incompatible
→ 2z = 4
→ 3z = 1
Si a = 2 el sistema es incompatible
Podemos ver que la matriz A' tiene rango 3
101
031
222
−
= –6 + 0 + 0 – 6 + 2 – 0 = –10 ≠
0

6.  Si a ≠ 0, a ≠ 1 y a ≠ 2
Solución:
Por lo tanto, rg(A) = rg(A') = 3 = nº de incógnitas
Si a ≠ 0, a ≠ 1 y a ≠ 2 el sistema es compatible determinado
|A| = a·(a – 1)·(a – 2) ≠ 0
Discute y resuelve:
a
a
z
az
ya
y
y
xa
−=
=
=
+
+
−




+−
1
03
)1(
2
)2(
Es un sistema escalonado, podemos resolverlo
despejando las incógnitas en el orden adecuado:

7. Solución:
a
a
zy
aa
a
x
2
;1;
)2(
62
:Solución
+
=−=
−
−−
=
a ≠ 0, a ≠1 y a ≠ 2
Discute y resuelve:
a
a
z
az
ya
y
y
xa
−=
=
=
+
+
−




+−
1
03
)1(
2
)2(
a
a
z
az
ya
y
y
xa
−=
=
=
+
+
−




+−
1
03
)1(
2
)2(
1
1
1
−=
−
−
=→
a
a
y
2+=→ aaz
a
a
z
2+
=→
zxa 31)2( −=−→
a
a 63
1
+
−=
a
aa 63 −−
=
)2(
62
−
−−
=→
aa
a
x