CARTILLA

1. ESPECIALIDAD
MATEMÁTICA
Silvia R. Jaimes Basilio

2. Secciones cónicas

3. REFLEXIONEMOS
¿Cómo debemos enseñar
las cónicas en el enfoque
de resolución de
problemas?

4. Las secciones cónicas en si tiene una gran importancia en el estudio de la geometría pues nos explica
la importancia de estas curvas respecto a sucesos de la vida cotidiana , pues la podemos encontrar
en diferentes formas y esto a la vez no ayuda a comprenderlas de mejor manera.

6. CIRCUNFERENCIA
• La circunferencia se
representa en un plano
en dos dimensiones y
además se ven las
formulas y los
elementos
pertenecientes a esta,
pero no se ejemplifica
haciendo referencia lo
que los alumnos ven
en su vida diaria.
PARÁBOLA
• La parábola como
sección cónica,
requiere de ciertos
conceptos previos para
su construcción y en
muchas oportunidades
los estudiantes no
encuentran su utilidad
práctica.
HIPERBOLA Y ELIPSE
• La hipérbola y la elipse
no entran dentro del
Curriculum de
enseñanza propuesto
por el Ministerio de
Educación.

7. LAS CÓNICAS COMO INTERSECCIONES ENTRE CONOS Y PLANOS

8. LAS CÓNICAS EN TÉRMINOS DE LA ECUACIÓN GENERAL DE SEGUNDO GRADO

9. CIRCUNFERENCIA
• Es una cónica que resulta del corte entre un plano y un cono,
cuando el plano se encuentra en forma perpendicular al eje del
cono.
• Puede ser considerada como una elipse de excentricidad nula, o
una elipse cuyos semiejes son iguales.
• Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de
un punto fijo llamado centro. La distancia del centro a un punto
de la circunferencia se llama radio.
LAS CÓNICAS DESDE LA CONCEPCIÓN DE LUGAR GEOMÉTRICO

10. ECUACIÓN GENERAL DE LA CIRCUNFERENCIA.
Si conocemos el centro y el radio de una
circunferencia, podemos construir su ecuación
ordinaria, y si operamos los cuadrados,
obtenemos la forma general de la ecuación de la
circunferencia, así:

11. ECUACIÓN CANÓNICA DE LA CIRCUNFERENCIA.
Si tenemos un punto P(x,y) que forma parte
de una circunferencia con centro C(h,k). La
distancia de P a C la llamaremos radio (r).
Entonces el centro y el radio determinan la
ecuación de la circunferencia.
Si el centro de la circunferencia se encuentra
en el origen de coordenadas C(0,0) tendremos
como ecuación canónica de dicha
circunferencia:
Si el centro de la circunferencia se encuentra
en un punto C(h,k) diferente del origen de
coordenadas, tendremos como ecuación
canónica de dicha circunferencia:

12. PARÁBOLA
• Es una cónica que resulta del corte de un cono y un
plano oblicuo paralelo a la generatriz del cono.
• El lugar geométrico de los puntos del plano P que
equidistan de un punto fijo F, llamado foco, y de una
recta fija D, llamada directriz. Esto es, si P es un punto
de la parábola se cumple que la distancia entre un
punto de la parábola a la directriz es la misma
distancia del mismo punto al foco de la parábola, esto
es: d(P,F) = d(P,D)

13. Ecuación de la Parábola:
La ecuación de la parábola va a depender del eje de la misma.
Parábola de eje horizontal:
La ecuación de la parábola
con vértice (h;k) y distancia
del vértice al foco “p”.
𝒚 − 𝒌 𝟐
= 𝟒𝒑 𝒙 − 𝒉

14. Parábola de eje vertical:
La ecuación de la parábola
con vértice (h;k) y distancia
del vértice al foco “p”.
𝒙 − 𝒉 𝟐
= 𝟒𝒑 𝒚 − 𝒌

15. La elipse es una línea curva, cerrada y
plana muy parecida a la circunferencia,
pero su forma es más ovalada.
En concreto, la elipse es el lugar
geométrico de todos los puntos del
plano XY cuya suma de distancias a
otros dos puntos fijos (llamados focos
F y F’) es constante.
ELIPSE

16. ELIPSE CON CENTRO EN EL ORIGEN
Una elipse es horizontal o vertical según que su eje mayor este en alguna
de estas posiciones.

17. ELIPSE CON CENTRO FUERA DEL ORIGEN

18. CASUÍSTICAS
DE
EVALUACIÓN

19. En una prueba escrita, un docente debe elaborar una pregunta que corresponda al
siguiente indicador: “Identifica una sección cónica a partir del reconocimiento de
atributos específicos que la definen”.
¿Cuál de las siguientes preguntas es más pertinente para ese propósito?
A. ¿Cuál es la cónica que se forma por la intersección de un cono circular recto y un
plano perpendicular al eje de rotación de dicho cono?
B. ¿Cuál es la cónica conformada por los puntos del plano que equidistan del punto
(-2; 5) una distancia igual a 7 unidades?
C. ¿Cuál es la cónica que corresponde a la siguiente ecuación:
𝑥−3 2
36
+
𝑦+5 2
36
= 1?
01

20. Solución:
La circunferencia es el lugar
geométrico de los puntos del
plano que equidistan de un
punto fijo llamado centro. La
distancia de los puntos de la
circunferencia al centro se
llama radio.

21. Las coordenadas del centro y radio de la circunferencia 𝒙𝟐 − 𝟗= −(𝒚−𝟑)𝟐
son respectivamente:
A. (0; 3) y 3
B. (0; -3) y 3
C. (3; 0) y 3
02

22. Solución:
𝒙𝟐 − 𝟗= −(𝒚−𝟑)𝟐
𝑥 − 0 2
+ 𝑦 − 3 2
= 32
Donde:
C: (0, 3)
R=3
A. (0; 3) y 3

23. En la siguiente figura se muestra el tablero de un
juego de dardos, cuyo centro se ubica en el origen de
un plano cartesiano y cuya circunferencia está
representada por la ecuación 𝑥2
+ 𝑦2
= 16.
Si al lanzar un dardo este cae en la coordenada (2,2),
entonces quiere decir que el dardo cayo:
A. En el interior del tablero.
B. En el centro del tablero.
C. En el exterior del tablero.
03

24. Solución:
𝒙𝟐
+ 𝒚𝟐
= 𝟏𝟔
𝒙𝟐
+ 𝒚𝟐
= 𝟒𝟐
Si al lanzar un dardo este cae en la
coordenada (2,2), entonces quiere decir que el
dardo cayo:
A. En el interior del tablero.

25. Un aspersor tiene un alcance máximo de 6 m a la redonda,
si Pedro lo coloca a 10 m al sur y 12 m al oeste. ¿Cuál es la
ecuación de una circunferencia del alcance de máximo de
este aspersor?
A. 𝑥 − 12 2 + 𝑦 − 10 2 = 36
B. 𝑥 − 12 2 + 𝑦 + 10 2 = 36
C. 𝑥 + 12 2
+ 𝑦 + 10 2
= 36
04

26. Solución:
Un aspersor tiene un alcance máximo de 6 m a la redonda, si Pedro lo coloca a 10 m al sur y 12
m al oeste. ¿Cuál es la ecuación de una circunferencia del alcance de máximo de este aspersor?
C. 𝑥 + 12 2 + 𝑦 + 10 2 = 36
Donde:
C: (-12, -10)
R=6
𝑥 + 12 2
+ 𝑦 + 10 2
= 36
𝑥 − (−12) 2
+ 𝑦 − (−10) 2
= 36

27. La siguiente curva 𝑥2
− 6𝑥 − 8𝑦 − 7 = 0 es una:
A. Parábola con vértice en el origen
B. Circunferencia con centro en el origen
C. Parábola con vértice fuera del origen
05

28. Solución:
𝑥2
− 6𝑥 − 8𝑦 − 7 = 0 entonces: 𝐴𝑥2
+ 𝐵𝑥𝑦 + 𝐶𝑦2
+ 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0
A=1 B=0 C=0 D=-6 E= -8 F=-7
C. Parábola con vértice fuera del origen

29. Al intersecar dos parábolas se puede conocer la longitud de
la arista de un cubo que resulta de duplicar el volumen de
otro.
Sea “a” la longitud de la arista del cubo cuyo volumen se
desea duplicar. Además, la intersección de la parábola x2 = ay
y de la parábola y2 = 2ax determina un punto P(x1; y1), en el
cual la abscisa x1 corresponde a la longitud de la arista del
cubo que tendrá el volumen duplicado.
La siguiente imagen representa la intersección de la parábola
x2 = ay y de la parábola y2 = 2ax.
06

30. A. x2 = 4y; y2 = 8x
B. x2 = 8y; y2 = 16x
C. x2 = 64y; y2 = 128x
Si se desea duplicar el volumen de un cubo de 64 u3, ¿cuáles son las ecuaciones de las parábolas que se
deberán intersecar?

31. Solución:
Al intersecar dos parábolas se puede conocer la longitud de la arista de un cubo que resulta de duplicar el volumen de otro. Sea “a” la
longitud de la arista del cubo cuyo volumen se desea duplicar. Además, la intersección de la parábola x2 = ay y de la parábola y2 = 2ax
determina un punto P(x1; y1), en el cual la abscisa x1 corresponde a la longitud de la arista del cubo que tendrá el volumen duplicado. La
siguiente imagen representa la intersección de la parábola x2 = ay y de la parábola y2 = 2ax.
Si se desea duplicar el volumen de un cubo de 64 u3
𝑉 = 𝑙3
64= 𝑙3
4= 𝑙→ a = 4
𝑥2
= 𝑎𝑦 → 𝑥2
= 4𝑦
𝑦2
= 2𝑎𝑥 → 𝑦2
= 8𝑥

32. Indica como es y hacia donde abre la parábola cuya ecuación es:
(y - 5)2 = 8 (x +3)
A. Horizontal, abre hacia la izquierda
B. Horizontal, abre hacia la derecha
C. Vertical, abre hacia le derecha
07

33. Solución:
(y - 5)2 = 8 (x +3)
𝒚 − 𝒌 𝟐
= 𝟒𝒑 𝒙 − 𝒉 𝒙 − 𝒉 𝟐
= 𝟒𝒑 𝒚 − 𝒌
DONDE:
V: (-3,5) y P=2
B. Horizontal, abre hacia la derecha

34. Durante una sesión de aprendizaje los estudiantes resuelven problemas que involucran elipses. A
continuación, se muestra una parte de la resolución que realizó una estudiante.
Tomando en cuenta que la estudiante resolvió de forma adecuada el problema, ¿qué se puede afirmar
de su proceso de resolución?
08
A. Consideró una elipse que tiene como uno de sus focos el punto (a - c; 0).
B. Consideró una elipse con un eje mayor que tiene como uno de sus extremos el punto (- a; 0).
C. Consideró una elipse con un eje menor que tiene como uno de sus extremos el punto (- c; 0).

35. MUCHAS VECES HEMOS DICHO Y ESCUCHADO FRASES COMO LAS SIGUIENTES:

36. Saber dónde estamos, qué posición tenemos
respecto a nosotros mismos o respecto a otras
personas, o saber dónde se encuentra un objeto en
relación a un punto determinado...
... Son conocimientos y habilidades que adquirimos
desde muy pequeños durante el desarrollo de las
capacidades de orientación espacial.
En la cotidianidad y en el ámbito educativo se presentan una variedad de situaciones problema relacionadas
con ubicaciones, localizaciones y trayectorias que, muy seguramente, con la ayuda de la geometría se
pueden resolver.

37. Hay dos tipos de escalas:
La numérica y la gráfica
¿Qué es una Escala?

40. CASUÍSTICAS
DE
EVALUACIÓN

41. Una docente plantea la siguiente actividad a los estudiantes de segundo grado:
¿Cuál es el propósito principal de aprendizaje involucrado en esta actividad?
09
A. Promover el trabajo colaborativo y la participación activa en la elaboración del esbozo del plano del patio.
B. Emplear procedimientos de medición y representación gráfica orientados a la elaboración del esbozo del plano del
patio.
C. Construir la noción de espacio tridimensional y de plano bidimensional al utilizar referentes concretos en la
elaboración del esbozo del plano del patio.
• Formen equipos de 4 integrantes y desplácense al patio de la institución educativa.
• En una hoja bond A4, dibujen un esbozo del plano del patio en el que se indiquen sus
respectivas medidas reales. Para ello, midan con una cinta métrica las dimensiones del
patio y de sus elementos, como jardines, bancas, etc., que consideren en dicho
esbozo.

42. Dos docentes planifican una sesión de aprendizaje con el propósito de promover la comprensión de la
localización de objetos en el contexto de navegación marítima. Para ello, conversan sobre los aspectos que
deberían tomar en cuenta
¿Cuál es la habilidad principal que desarrollarían los estudiantes al realizar las tareas propuestas?
A. Describir con lenguaje geométrico el desplazamiento y la ubicación de un móvil.
B. Explicar, utilizando planos, cómo se calculan distancias recorridas por un móvil.
C. Evaluar rutas marítimas en planos para optimizar trayectorias de desplazamiento.
10
Dionicio dice: “En la navegación marítima, la dirección en la que se dirige una embarcación, se indica usando rumbos. Y un
rumbo se expresa mediante el ángulo agudo formado por la dirección de la embarcación y la línea norte-sur. Por ejemplo,
S30°O quiere decir que, con referencia al sentido que va de norte a sur, la embarcación se dirige 30° al oeste”.
Rebeca dice: “¡Claro! Considerando toda esta información, los estudiantes podrán resolver tareas en las que se les pida
responder, utilizando planos marítimos, cómo se puede determinar la nueva localización de una embarcación que se ha
trasladado en cierto rumbo con cierta velocidad constante”.

43. Una docente tiene como
propósito que los estudiantes de
primer grado representen la
ubicación y el desplazamiento en
el plano cartesiano. Para ello, les
presentó la siguiente actividad:
11

44. Uno de los estudiantes asume que Juan parte de la casa y responde que, después de
desplazarse, se encontrará en la gasolinera. De acuerdo a la respuesta del estudiante,
¿qué se puede afirmar sobre su desempeño?
A. Que reconoce las unidades y el sentido del desplazamiento.
B. Que identifica la ubicación de puntos en el plano de coordenadas.
C. Que describe desplazamientos utilizando los cinco puntos asociados a los lugares
señalados.

45. Solución:
Uno de los estudiantes asume que Juan
parte de la casa y responde que, después de
desplazarse, se encontrará en la gasolinera.
De acuerdo a la respuesta del estudiante,
¿qué se puede afirmar sobre su
desempeño?
A. Que reconoce las unidades y el
sentido del desplazamiento.
B. Que identifica la ubicación de
puntos en el plano de coordenadas.
C. Que describe desplazamientos
utilizando los cinco puntos
asociados a los lugares señalados.

46. Un docente tiene como propósito que los
estudiantes de primer grado de
secundaria describan desplazamientos en
mapas basándose en los puntos
cardinales. Para ello, les presenta el
siguiente mapa:
12
Adaptado del Gobierno Regional de Piura (2016). Plan de desarrollo regional concertado 2016 -
2021.

47. A. Tomando en cuenta los puntos cardinales en el mapa, ¿qué lugares limitan con la provincia de Sullana? ¿Qué
provincias de la región Piura están al este del Océano Pacífico y colindan con él?
B. ¿A qué distancia, aproximada, se encuentra la capital de la provincia de Sullana respecto de la capital de la
región Piura? ¿Qué provincias se encuentran más al sur, al norte y al este de la provincia de Piura?
C. Considerando los puntos cardinales, ¿qué ruta se debe seguir si se parte de la capital de la región Piura hacia
la capital de la provincia de Sullana? Y ¿qué ruta se debe tomar para ir de Sullana hacia Morropón?
¿Cuál de los siguientes grupos de preguntas es pertinente que realice el docente para el logro del
propósito de aprendizaje?

48. Solución:
A. Tomando en cuenta los puntos cardinales en el mapa,
¿qué lugares limitan con la provincia de Sullana? ¿Qué
provincias de la región Piura están al este del Océano
Pacífico y colindan con él?
B. ¿A qué distancia, aproximada, se encuentra la capital
de la provincia de Sullana respecto de la capital de la
región Piura? ¿Qué provincias se encuentran más al
sur, al norte y al este de la provincia de Piura?
C. Considerando los puntos cardinales, ¿qué ruta se
debe seguir si se parte de la capital de la región Piura
hacia la capital de la provincia de Sullana? Y ¿qué ruta
se debe tomar para ir de Sullana hacia Morropón?

49. Observe el siguiente mapa de España con su respectiva escala.
¿Cuál es la distancia aproximada entre Madrid y Sevilla?
A. 190 km
B. 380 km
C. 570 km
13

50. Solución:
• Con la ayuda de una regla medimos las distancia en el
plano de Madrid a Sevilla: 4 cm
• Medimos la escala gráfica que:
4cm equivale a 380 km

51. La siguiente imagen es parte del mapa provincial de Lima. La escala utilizada en el mapa es 1 : 350 000.
A partir de esta información, ¿cuál de los siguientes enunciados es correcto?
A. La medida de la superficie del distrito de Independencia es aproximadamente 30 𝑘𝑚2
.
B. La medida de la superficie del distrito de Chaclacayo es aproximadamente 40 𝑘𝑚2
.
C. La medida de la superficie del distrito de Santa Anita es más de 15 𝑘𝑚2
.
14

52. Solución:
La escala utilizada en el mapa es 1 : 350 000.
A. La medida de la superficie del distrito de
Independencia es aproximadamente 30 𝑘𝑚2
.
𝐸𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎 =
𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜
𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑
𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒:
1
350 000
=
1
122 500 000 000
1
122 500 000 000
=
1.5
𝑥
𝑥 = 1,5 122 500 000 000
𝑥 = 183 750 000 000 𝑐𝑚2
×
1𝑚2
10000 𝑐𝑚2
×
1𝑘𝑚2
1000000 𝑚2
= 18,375 𝑘𝑚2

53. La escala utilizada en el mapa es 1 : 350 000.
C. La medida de la superficie del distrito de
Santa Anita es más de 15 𝑘𝑚2
.
𝐸𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎 =
𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜
𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑
𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒:
1
350 000
=
1
122 500 000 000
1
122 500 000 000
=
0,8
𝑥
𝑥 = 1 122 500 000 000
𝑥 = 98 000 000 000 𝑐𝑚2
×
1𝑚2
10000 𝑐𝑚2
×
1𝑘𝑚2
1000000 𝑚2
= 9.8 𝑘𝑚2

56. B. La medida de la superficie del distrito de
Chaclacayo es aproximadamente 40 𝑘𝑚2
.
𝐸𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎 =
𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜
𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑
𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒:
1
350 000
=
1
122 500 000 000
1
122 500 000 000
=
3
𝑥
𝑥 = 3 122 500 000 000
𝑥 = 367 500 000 000 𝑐𝑚2
×
1𝑚2
10000 𝑐𝑚2
×
1𝑘𝑚2
1000000 𝑚2
= 36,75 𝑘𝑚2
𝐴 = 4 +
0
2
− 1
𝐴 = 3 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑎𝑠

57. Un docente plantea la siguiente situación a sus estudiantes:
15

58. A continuación, se presenta la resolución de uno de los estudiantes:
¿Cuál de las siguientes alternativas expresa el principal error en la resolución del estudiante?
A. Utiliza una unidad de medida de longitud incorrecta en su respuesta como centímetros, cuando debió usar
metros.
B. Establece una relación aditiva, en vez de establecer una relación multiplicativa que considere un factor constante.
C. Emplea una estrategia diferente a la regla de tres simple, que es la que permite resolver un problema que
involucra proporcionalidad.

59. Solución:
3
300
=
2
𝑥
𝑥 =
2(300)
3
𝑥 = 200 𝑐𝑚
A. Utiliza una unidad de medida de longitud incorrecta
en su respuesta como centímetros, cuando debió
usar metros.
B. Establece una relación aditiva, en vez de establecer
una relación multiplicativa que considere un factor
constante.
C. Emplea una estrategia diferente a la regla de tres
simple, que es la que permite resolver un problema
que involucra proporcionalidad.

61. CLAVES: Secciones cónicas. Mapas y planos. Escalas – SESIÓN 16 -
Pregunta N° Respuesta
correcta
Pregunta N° Respuesta
correcta
1 B 8 B
2 A 9 B
3 A 10 C
4 C 11 A
5 C 12 C
6 A 13 B
7 B 14 B
15 B