area bajo la curva

1. ÁREA BAJO
LA CURVA

2. Introducción:
En este tema entraremos de lleno con la temática el área bajo una curva puesto que miraremos el
procedimiento que tiene que realizarse para efectuar y llegar al resultado deseado a partir de una serie
de pasos que son fundamentales para su conclusión o fin del trabajo, por ello se miraran a trabajar de
una explicación gráfica y por ende se explicará de manera muy detallada todos los posibles casos que
se pueden presentar en este tema y para finalizar se hará referencia a todas sus aplicaciones en el
plano actual de la vida. El área bajo la curva realmente tiene una gran aplicación hoy en día puesto
que no permite definir un área que se efectúa de bajo de una curva dando la redundancia puesto que
es fundamental es saber su procedimiento porque nos permitiría saber el espacio que ocupa un lugar
en el caso de las compañías que desean saber cuánto será la medida que abarcará su construcción,
la magnitud de un accidente o la creación de una montaña rusa y sus curvas, entre una infinidad. No
obstante saber esta serie de datos es principal por la razón de que las matemáticas se encuentran
presentes en todos los aspectos de nuestra vida y como dicen es la “ciencia exacta”

3. Objetivo:
Calcular áreas bajo la curva de una función, utilizando los métodos de
límites, dando una interpretación desde la economía y la administración;
así como evaluar probabilidades con funciones conjuntas de densidad y
probabilidad.

4. Planteamiento de caso o problema
En un parque de deportes extremos de tu ciudad, se desea construir un área igual a la parte de
patinetas de un parque que se vio en internet. Para ello se debe calcular la cantidad de concreto
en metros cúbicos que se han de necesitar en la rampa extrema. Ver la figura. El contorno de la
superficie de la rampa es parabólico y está dada por la siguiente función:
a) ¿Podrás determina el área del
contorno rectangular que se
encuentra al lado de la parábola?
b) ¿Sabes calcular el área
aproximada del contorno parabólico?
c) ¿Conoces cómo calcular el
volumen aproximado de la rampa?

5. Glosario:
Realizar un listado de términos,
conceptos… con sus correspondientes
definiciones y explicaciones, a modo de
enciclopedia o diccionario, tomando en
cuenta que se requiere un mínimo de 10
palabras.

6. ETAPA DE DESARROLLO
Así como el concepto de la derivada
proviene del problema geométrico de
trazar una tangente a una curva, el
problema histórico que conduce la
definición de la integral definida es el
cálculo de áreas bajo una curva. Tanto
Newton como Leibniz presentaron
versiones tempranas de este concepto, sin
embargo, fue Riemann quien dio la
definición.

7. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO.
“Si una función es continua es un intervalo cerrado [𝑎, 𝑏], entonces f es integrable siempre
en [𝑎, 𝑏]. El teorema fundamental del cálculo señala: si una función f es continua en el
intervalo [𝑎, 𝑏], entonces existe la integral definida
Donde f es cualquier función. El resultado de esta integral es igual al área bajo la curva f(x)
representada en el plano por la región R la cual está limitada además por el eje “x” y las
rectas x=a & x=b..

8. Seguramente recordarás cómo se calculan
áreas de superficies geométricas regulares
como cuadrados, rectángulos,
circunferencias, trapecios, etc., pues
existen fórmulas sencillas que desde
estudios anteriores las sabemos de
memoria. Basta con conocer algunas de
las dimensiones de sus elementos, lados o
contornos, la cuales las llamamos bases,
alturas, apotemas, etc. Incluso, de alguna
manera o de otra podríamos calcular
algunas áreas de figuras no regulares o
compuestas, dividiéndola en figuras más
simples, fáciles de calcular su área y luego
sumarlas o restarlas. Por ejemplo, la
siguiente:

9. ¿Cómo calcular está área?

10. Ejemplo 1:
El área de un triángulo, como el mostrado en la figura, que puede ser obtenido a
partir del gráfico de la función:

11. Ejemplo 2
El área de un triángulo, como el de la figura siguiente, puede ser obtenido a partir del gráfico
de la función:

12. Ejemplo 3:
El área de la región comprendida entre el eje “x” y el gráfico de la función:

13. Descripción de la actividad: (construcción de aprendizaje)
Elabora un ensayo del tema Introducción
al cálculo integral el cual debe contener:
- Título
- Introducción
- Desarrollo
- Conclusiones

16. “Área bajo la
curva”

17. REGLA DEL TRAPECIO
Estudiemos esta regla al utilizar trapecios para
aproximar el área bajo la gráfica de la función:

18. Paso 1: Tabular la función, dándole valores a X.
Valor X Operación Valor Y Puntos
1 3ln(1) 0 (1,0)
2 3ln(2) 2.07 (2,2.07)
3 3ln(3) 3.29 (3,3.29)
4 3ln(4) 4.15 (4,4.15)
5 3ln(5) 4.8 (5,4.8)
6 3ln(6) 5.3 (6,5.3)
7 3ln(7) 5.8 (7,5.8)
8 3ln(8) 6.2 (8,6.2)
9 3ln(9) 6.5 (9,6.5)
f(x)= 3ln(x) en el intervalo [2,8]

19. Paso 2: Graficar la función.

20. Paso 3: Marcar los intervalos del ejercicio entre(2,8)

21. Paso 3: Calcular el área del trapecio
¿Cuántas unidades hay en los lados del trapecio?
Base mayor: 6.2 unidades
Base menor: 2.07 unidades
Altura: 6 unidades
Fórmula: (B+b) h
2
Sustituir: (6.2+2.07) 6= 24.81 u2
2

22. ¿Cómo podré resolver este
ejercicio?

23. Así es como se ve la regla en un diagrama, donde llamamos al primer trapecio T1, al
segundo T2, y al tercero T3

24. Encontrar el área de T1.
Debemos pensar que el
trapecio está de costado.
La altura h es el 2 en la parte
baja de T1 que genera el
intervalo (2,4).
La primera base b1 es de
2.07 unidades.
La segunda base b2 es de
4.15 unidades.

25. Pongamos todo esto junto para encontrar el área de T1:

26. Encontrar el área de T2 y T3

27. Pongamos todo esto junto para encontrar el área de T1:

28. Realizar la sumatoria de T1, T2 Y T3

29. Encuentra el área de la siguiente función:
• Y=ln(x) en el intervalo [2,6]
ACTIVIDAD:

30. Solución