Mecánica de Fluidos.pdf

Mecánica de Fluidos
Prof. Felipe Correa González
Ingeniero Civil – Universidad de Concepción
Administrador de Contratos – Pontificia Universidad Católica de Chile

Credenciales
Estudios
— Ingeniero Civil especialidad Hidráulica, Universidad de Concepción,
Facultad de Ingeniería, Concepción.
— Administrador de Contratos, Pontificia Universidad Católica de Chile,
Escuela de Ingeniería Campus San Joaquín, Santiago.
— Docencia Universitaria Orientada a Competencias, Universidad
Católica del Maule, Talca.
Experiencia Laboral
— Ingeniero de Proyectos, Aquaflow Ltda.
— Ingeniero Operacional, Subgerencia de Ingeniería de Redes, ESSBIO
S.A.
— Administrador de Contratos y Coordinador PMB - SECPLAC, I.
Municipalidad de San Clemente.

Evaluaciones
La nota para aprobar la asignatura será de un 4,0 con
exigencia del 60%.
El método evaluativo consta de:
— 2 pruebas de 35% cada una.
— 1 taller 10%
— 1 actividad práctica 20%.
— El examen corresponde a un 40% de la materia del
semestre.

Contenidos Módulo 1
1. Propiedades de los fluidos:
— Conceptos básicos.
— Propiedades de los fluidos.
2. Estática:
— Presión y sus propiedades.
— Fuerzas sobre superficies planas.
— Fuerzas sobre superficies curvas.
— Fuerzas boyantes.
3. Cinemática:
— Características cuantificables del movimiento.
— Descripción del movimiento.

Contenidos Módulo 2
1. Ecuaciones fundamentales de Mecánica de Fluidos
— Comportamiento dinámico de los fluidos.
— Principios de conservación de la energía.
— Conservación de la cantidad de movimiento.
— Análisis puntual del comportamiento de los fluidos.
— Ecuación de LaPlace. Navier Stokes.
2. Redes de cañerías
— Aplicación a fluidos reales. Tuberías.
— Tuberías en serie.
— Sistemas de tuberías. Redes.

Mecánica: Área de la física que estudia el
movimiento.
Fluidos: Estado de la materia (Sólido,
líquido, gaseoso y plasma).
MECÁNICA DE FLUIDOS
Capítulo 0: Conceptos básicos

MECÁNICA
CINEMÁTICA
DINÁMICA
Describe el movimiento sin
explicar las causas que lo
producen
Explica el movimiento a
partir de las causas que lo
producen (fuerzas)

Existen diversas áreas de aplicación de la Ingeniería Civil en
obras.
— Sanitaria (AP, AS, ALL)
— Centrales paso y embalses
— Obras portuarias
— Hidráulica fluvial (Rios y canales)
Qué obras civiles conocen donde se aplique
los conceptos de esta área?

Transporte y distribución de
agua (canales / tuberías)
Embalses y represas

Tratamiento de aguas
Escurrimientos en cauces naturales
Incorporando fenómenos de transporte
asociados (sedimentos, contaminantes,
temperatura, organismos vivos,
nutrientes…)

Capítulo 1
Propiedades de los
fluidos
Conceptos básicos

Capítulo 1: Propiedades de los fluidos
¿Qué es un fluido?
La materia está formada por átomos, los que a su vez están formados
por partículas elementales. El diámetro de los átomos es del orden de
10-10 m.
La unión de átomos da origen a moléculas.
De este modo, el agua resulta de la combinación de dos átomos de
hidrógeno y uno de oxígeno: H2O.
La materia se encuentra bajo distintas formas o estados:
Sólido
Líquido
Gaseoso
Plasma
FLUIDO

¿Qué es un fluido?
El fluido es una sustancia que se deforma continuamente, o sea,
escurre.

¿Qué es un medio continuo?

¿Entonces cuál debe ser el tamaño mínimo tal que existan suficientes
partículas en su interior como para que la definición de la propiedad
tenga sentido?

Sistema de Unidades SI (Sistema Internacional)

Masa Específica, Peso Específico y Densidad
Es la cantidad de materia por
unidad de volumen kg/m3
Es la fuerza con que la tierra atrae a una
unidad de volumen N/m3

Usualmente se utiliza el agua a 4ºC
como referencia.

IMPORTANTE!!!
La masa específica de los fluidos varía con la temperatura y la
presión:
• En el caso de los líquidos, la masa específica se ve poco
influenciada por los cambios de temperatura y presión por lo que
se consideran prácticamente incompresibles ante estos cambios.
• Por otra parte, en el caso de los gases la masa específica se ve
muy influenciada por los cambios de temperatura y presión por lo
que son altamente compresibles.

Viscosidad
La viscosidad es una propiedad ligada a la resistencia que opone un
fluido a deformarse continuamente cuando se le somete a un
esfuerzo de corte.
En general esta propiedad permite clasificarlos de acuerdo a la
relación que exista entre el esfuerzo de corte aplicado y la velocidad
de deformación.

Supóngase que se tiene un fluido entre dos placas paralelas
separadas a una distancia pequeña entre ellas, una de las cuales se
mueve con respecto a la otra, manteniendo su paralelismo.
Experimento de 2 placas paralelas

Experimento: 2 placas paralelas

Para fluidos Newtonianos: De viscosidad constante
La fuerza necesaria para lograr una velocidad V es
proporcional a ella y al área e inversamente a la
separación entre las placas.
La constante de proporcionalidad se
denomina Viscosidad Dinámica

Reología: Estudio de propiedades de deformación de las sustancias en función de los
esfuerzos aplicados
Por qué el fluido ideal tiene esa forma???
Pasta de dientes, pintura al aceite, tintas de imprenta, etc.
Mezcla maicena - agua
Ecuación general

Reología: Casos más complicados
Aumenta (o disminuye en el otro
caso) con el tiempo de aplicación
del esfuerzo

Veamos un ejemplo (1):
Caso 1.- Sin lubricante
Caso 2.- Con lubricante

Compresibilidad: Cambios de volumen cuando es sometido a cambios de presión
Se define un módulo de compresibilidad ( a T cte.)
Las variaciones de volumen se
relacionan con la variación de la
masa específica cuando la masa
es cte.
El sonido viaja más rápido en el agua
(1593 m/s) que en el aire (331 m/s).

Ecuación de estado y ecuación de proceso

Ecuación de estado y ecuación de proceso
No hay transferencia de calor entre
el gas y el medio.

Compresibilidad

Veamos un ejemplo (2):

Presión de vapor
Moléculas del líquido comienzan
a ganar momentum por sobre las
fuerzas de cohesión.

Presión de vapor

Cavitación

Tensión superficial: Es la interacción entre líquido-líquido, líquido-gas o líquido-sólido-
gas, donde las fuerzas de atracción molecular hacen que la interfaz que separa los estados se
comporte como una membrana tensa.
Es la fuerza que se requiere para
mantener en equilibrio una longitud
unitaria de esta película.

Valores típicos de las propiedades de los fluidos más comunes: Agua y
Aire.

Técnicas básicas de análisis de los flujos

Capítulo 2
Estática de los fluidos

Capítulo 2: Estática de los fluidos
Tópicos principales
En este capítulo veremos los siguientes temas:

Consideraciones importantes:

Hidrostática en Obras Hidráulicas:

Un sistema está en
equilibrio cuando la
sumatoria de las fuerzas
y de momento son 0.
Fuerzas sobre una cuña:

Analizando desde una mirada de superficie…
Las fuerzas de superficie
dependen de la presión sobre
cada superficie del cuerpo.
Las fuerzas de volumen
(másicas o del cuerpo)
traducen el efecto del campo
de fuerzas. Depende del peso
específico.

Analizando desde una mirada de superficie…
Presión:

1.- para una partícula de fluido, en un punto infinitesimal, la presión es
constante y no depende de la cuña ni del ángulo que esta tenga.
2.- Cuando lo pensamos como un punto, la masa puede considerarse 0
por lo que las fuerzas de volumen no afectan.
3.- Como la presión es igual en todas las caras del volumen
infinitesimal, se concluye que ésta es independiente de la orientación
de la superficie (principio de Pascal).
4.- La presión es una variable escalar que al entrar en contacto con la
superficie genera una fuerza perpendicular a dicha superficie.
5.- Esto SOLO es válido para un fluido en reposo.
Concluyendo…

Ley Hidrostática: Fuerzas de presión sobre partícula fluida
En el centro del cubo existe
presión P y masa específica

Ley Hidrostática: Resultante de las fuerzas de presión

Segunda ley de Newton y fuerzas de volumen

Ley Hidrostática para fluidos en reposo

Integración Ley Hidrostática:

Ejemplo: Presiones en fluidos de distinta masa específica

Presiones en gases ideales:

Presión en la atmósfera

Ejemplo para la casa

Instrumentos para medición de presión

Experimento de torricelli

Manómetros

Ejemplo

Presiones

Fuerzas hidrostáticas sobre cuerpos sumergidos

Fuerzas sobre superficies planas

Superficies planas inclinadas

Fuerza resultante

Punto de aplicación: Centro de presión CP

Superficie inclinada plana

Demostramos que:

Momentos de inercia

FUERZA RESULTANTE

PUNTO DE APLICACION

FUERZA NECESARIA PARA ABRIR COMPUERTA

Compuertas curvas

Fuerzas sobre superficies curvas

Fuerzas sobre superficies curvas: Componente horizontal

Fuerzas sobre superficies curvas: Componente vertical

Fuerzas sobre superficies curvas: En conclusión…

Verificación

En resumen…

Fuerzas sobre cuerpos sumergidos

Flotación y estabilidad

Por lo tanto….

Caso de un cuerpo simétrico

Localización del metacentro

Determinación del centro de Carena

Capítulo 3: Cinemática
Tópicos principales
En este capítulo veremos los siguientes temas:
• Descripción del movimiento.
• Características cuantificables del movimiento

Clasificación de escurrimientos

Métodos de descripción

Características cuantificables del movimiento

Transformaciones básicas de un elemento de fluido

Velocidad y aceleración

Ejemplo

Rotación, Vorticidad y Circulación

Rotación, Vorticidad y Circulación
Se define rotación como el promedio
de la velocidad angular a la que giran
dos rectas perpendiculares contenidas
en cada plano.

Gasto y velocidad media

Capítulo 4
Ecuaciones
Fundamentales

Capítulo 4: Comportamiento dinámico de los fluidos
Para realizar un análisis del comportamiento dinámico
de los fluidos se puede hacer de dos maneras:
— De forma puntual para cada elemento (diferencial) del
fluido.
— De forma global mediante la utilización de un volumen
de control.
Volumen de control: Volumen fijo al que
hacemos seguimiento. Una masa puede
atravesar un volumen, por ejemplo una
tubería.
Masa de control: Volumen de materia en
movimiento a la que se le hace
seguimiento.

REPASO
TEOREMA DE REYNOLDS
Consideramos la propiedad extensiva N, con su respectiva propiedad
intensiva h que es independiente de la cantidad de materia considerada
𝑁 = #
!"#" #$#%&!"
𝜂 𝑑𝑚 = '
∀ #$#%&!"
𝜂𝜌 𝑑∀ = '
∀ #$#%&!"
𝐺 𝑑∀
𝐺
• El sistema que en el instante t ocupaba el dominio D de volumen ∀, llena
en el instante (t+dt) el dominio D’ de volumen ∀ + Δ∀
1) Para el dominio común (fijo) entre D y D’ :
2) El volumen ocupado por el sistema crece :

Capítulo 4: Teorema de Transporte de Reynolds
Permite relacionar las variaciones de las propiedades de una masa de control con
las propiedades de un volumen de control.
Por lo tanto la variación total de la propiedad extensiva N en función de la
propiedad intensiva 𝜼

Capítulo 4: Conservación de la masa
Considerando un Volumen de control
infinitesimal con con forma de
paralelepípedo rectangular y superficies
1 y 2 (para este caso en eje x) se
calcula la tasa de flujo de salida neta
de masa.
Experimento mental: Supongamos una caja vacía (Vol fijo.)
permeable en sus caras horizontales sumergida en un rio.

Por ejemplo, si el flujo de masa hacia el exterior del VC sale desde cada superficie
por lo que es positivo.
Mientras la masa al interior de VC disminuye.
Por lo que la variación neta es 0.
N = Cantidad total de
masa en el sistema.
𝜂 = Masa por unidad de
masa (= 1).

Esto implica que la
variación neta de masa se
produce a través de las
“caras” de este VC sin
existir cambios en la masa.
Si consideramos régimen permanente: (Las características del fluido no
varían en el tiempo).
En conclusión: Lo que entre es igual a lo que sale

La masa de fluido que entra a este VC
sale en igual cantidad.
Si llevamos esto a un tubo de corriente utilizándolo como volumen de
control:
Por lo que el gasto másico se conserva

Al cancelar la
masa específica
(unidades M/L3).
Podemos obtener
el caudal.
Ahora, si además consideramos un fluido incompresible: La masa
específica (densidad) es constante.
Esta es la ecuación de conservación de la masa
(ecuación de continuidad)
unidades L3/T.

Demostración conservación de la masa.
Escriba la ecuación de conservación de la masa para el flujo estacionario por el interior
de un tubo de corriente (flujo paralelo en toda la sección) con una entrada
unidimensional en 1 y unidimensional en 2
Para flujo estacionario aplicamos la
ecuación anterior:
Por lo que
Con lo que finalmente:

Ejercicio 1
Para el estanque cilíndrico de la figura considere que éste es recto y circular
de radio r = 4 m. y altura h = 20 m. lleno con agua. Si se perfora un orificio de
área A = 10cm2 Calcule el tiempo que tardará en vaciarse.

Ejercicio 2
Encontrar la ecuación diferencial que determina el tiempo de vaciado del depósito de la
figura, donde se han realizado agujeros para la salida del fluido:
Salida 1 de diámetro D1 a altura H1 respecto al fondo del depósito.
Salida 2 de diámetro D2 en la base.
Salida 3 de diámetro D3 a altura H3 respecto al fondo del depósito.
H es el nivel del agua en el estanque en t=0

Capítulo 4: Conservación de la energía
1º Ley de la Termodinámica: Relación entre la energía interna del
sistema y la energía que intercambia con el entorno en forma de calor
(C) o trabajo (W).
Durante este periodo de tiempo, la 1º
Ley de la termodinámica adquiere la
siguiente expresión para un sistema
que interactúa con el entorno.
Caso de un recipiente con moléculas y un pistón

Capítulo 4: Energía total del sistema
La unidad de energía es el Joule (Kg*m2/s2) que es unidad de fuerza
por distancia.
Si determinamos la variación de la
energía en el tiempo y lo llevamos al
límite donde ∆𝒕 → 𝟎
La energía por unidad de tiempo se define como la potencia
745,7 Watt (J/s) = 1 HP
Debemos pasar desde el enfoque de sistema a un
Volumen de Control.

La cantidad total de energía asociada al fluido contenido en el sistema
se escribirá:
Que corresponde a la energía de un fluido en movimiento, de masa m, de
temperatura T que se encuentra en un instante t0 a una altura z
desplazándose con una velocidad V.

Analizando para un VC fijo (Enfoque Reynolds):
N = Cantidad total de energía en el sistema (propiedad extensiva)
𝜼 = Energía por unidad de masa (energía específica)

Lado izquierdo de la ecuación:

Capítulo 4: Trabajo mecánico del fluido
Que corresponde al trabajo realizado por unidad de tiempo
Llevando estos conceptos a la primera ley de la termodinámica, el
trabajo que realizaría el fluido sería contra las mismas fuerzas que se
oponen a su movimiento: Viscosidad y Presión

Capítulo 4: Trabajo de las fuerzas de presión
Para calcular como es el trabajo debido a las fuerzas de presión,
previamente debemos comprender lo siguiente:
— En el interior del sistema, el trabajo realizado por la presión de una
molécula se iguala y cancela con la de la molécula inmediatamente
al lado (acción y reacción).
— por lo anterior, solo trabajan aquellas que se encuentran en la
superficie del sistema e interactúan con elementos externos.
— La tasa de trabajo por unidad de tiempo es igual a la fuerza por
velocidad.
En un elemento sobre
la superficie de control

Capítulo 4: Trabajo de las fuerzas viscosas
Para calcular como es el trabajo debido a las fuerzas viscosas,
previamente debemos comprender lo siguiente:
— Las fuerzas viscosas se oponen al movimiento.
— Para un fluido ideal estas serán NULAS.
— El trabajo realizado por estas fuerzas viscosas se traducirá en
pérdidas por rozamiento entre el fluido y las paredes del entorno
donde se desarrolle.
— Este efecto (de rozamiento) disminuye en función del punto que se
está analizando: a medida que nos alejamos de las paredes, el efecto
del rozamiento es menor.

Capítulo 4: Coeficiente de Coriollis

Capítulo 4: Energía de energía para régimen permanente

Capítulo 4: Entalpía
La entalpía es la suma de la energía interna y la presión por masa específica del
fluido.
Para los gases ideales:
Los calores específicos son:
Para líquidos incompresibles: Agua a 20ºC y 1 atm

Capítulo 4: Fluido incompresible en régimen permanente
Los cambios en la masa específica son despreciables aun cuando existan cambios
de presión relevantes. Esto quiere decir = Cte.
El proceso es más bien isotérmico ya que el calor específico toma relevancia, por lo
que
Y si a esto sumamos que el proceso es adiabático por no existir transferencia de
calor
Utilizamos estos conceptos en la ecuación de energía original:

Reemplazando obtenemos:
Es posible dividir esta expresión por la masa específica (incompresible), la gravedad
(que juntos forman el peso específico ), el caudal el cual por principio de
continuidad es constante (Q1 = Q2) y que a distribución de velocidades es
constante, obtenemos:

Es posible dividir esta expresión por la masa específica (incompresible), la gravedad
(que juntos forman el peso específico ), el caudal el cual por principio de
continuidad es constante (Q1 = Q2) y que a distribución de velocidades es
constante, obtenemos:

De acuerdo a lo anterior, el agua pierde energía debido a su
desplazamiento por lo que esquemáticamente estas pueden
representarse sobre la tubería.
L.E.M: Línea de Energía Máxima
L.E: Línea de Energía
L.P: Línea de Presión
Siendo las pérdidas de carga
expresadas en metros.
Capítulo 4: Líneas de energía

— V: Velocidad en el punto.
— P: Presión en el punto.
— Z: Altura del punto sobre la referencia.
— Hf: Pérdida por fricción.
Capítulo 4: Líneas de energía

• En flujo uniforme (Sección invariable) y permanente la
velocidad es constante, por lo que la pérdida de carga produce
pérdida de presión.
• La línea de gradiente hidráulico o línea de presión (LP) indica
por medio de su altura sobre el eje de la tubería la presión en
cualquier punto de ella.
• En una tubería con diámetro y rugosidad constante, a x (mts)
mayor pendiente del gradiente hidráulico, x (mts) mayor será la
altura de velocidad del fluido. Esto quiere decir que las líneas
de energía y presión son paralelas.
• La línea de energía siempre disminuye en la dirección del
escurrimiento, salvo que se coloque una bomba.
Capítulo 4: Líneas de energía y Presión

• La línea de energía y la de gradiente coinciden con la superficie
libre para un líquido en reposo, como en un estanque.
• La línea de energía está a por sobre la superficie del agua
en el piezómetro.
• La cota piezométrica o gradiente hidráulico corresponde
a la altura desde el Datum hasta la línea de presión.
Capítulo 4: Líneas de energía y Presión

Las bombas presentan una aumento instantáneo de la línea de
energía.
es la energía inmediatamente antes de la bomba y la energía
inmediatamente después.
En la ecuación de energía, esta diferencia se expresa en metros y
es función de la diferencia de alturas donde se pretende llegar
con el fluido.
La variación en la energía de la
corriente depende del gasto, del
peso específico y la potencia.
Capítulo 4: Líneas de energía y Presión y Bombas

Capítulo 4: Líneas de energía y Presión para un sistema
de bombeo

Ejercicio 5
Para poder llenar en 24 horas un estanque de 2.000 m3 de capacidad que se
encuentra a 10 m. sobre el nivel de un río, se piensa disponer de una
instalación sencilla como la que se muestra en la figura que consiste en una
tubería de 0,1 m. de diámetro y una motobomba. Se requiere calcular los
parámetros de de gasto y potencia.

La cavitación se produce en el tramo de tubería en que la presión
es menor que la atmosférica se libera el aire contenido en el agua
y si la velocidad no es suficientemente grande, el aire queda
retenido en la parte superior de la tubería impidiendo la normal
circulación del agua. Si la presión disminuye mucho, se libera
vapor de agua (presión de vapor) y el problema se agrava.
La presión máxima absoluta para evitar
cavitación es de 2,4 m
Capítulo 4: Problemas de flujo - Cavitación

Bombas
Cuando la presión absoluta es inferior a la presión de vapor se
produce cavitación. Dado que la tensión de vapor aumenta con la
temperatura del fluido, no es conveniente elevar agua caliente.
Veamos un ejemplo…

Riesgos de la Cavitación
Las consecuencias ó, mejor dicho, los fenómenos acompañantes de la
cavitación, son :
• Pérdida de sólidos en las superficies límites (llamado erosión por
cavitación o PITTING).
• Ruidos generados sobre un ancho espectro de frecuencias (frecuencia de
golpeteo: 25.000 Hz).
• Vibraciones.
• Pérdidas y Alteraciones de las propiedades hidrodinámicas.
• Por lo tanto este fenómeno debe ser evitado o, como mínimo, puesto
bajo control.
• Disminución Brusca de las Curvas Características por el Efecto de la
Cavitación en una Bomba Centrífuga. Hablaremos de esto más adelante.

Ejercicio 6
Para vaciar un estanque se coloca una cañería en forma de sifón, como se
indica en la figura. La salida de la cañería se puede colocar a voluntad debajo
del nivel libre del agua en el estanque. Determinar el punto más bajo donde se
puede colocar, para evitar que se produzca cavitación en la tubería cuando el
estanque está por vaciarse.

Capítulo 4: Conservación de la cantidad de movimiento
La resultante neta de las fuerzas aplicadas sobre un sistema de masa
m, generan un cambio en la cantidad de movimiento de éste.
• 𝐕 es la velocidad del fluido relativa a un sistema de coordenadas
inercial (sin aceleración).
• El término ∑ ⃗
𝐅𝒆𝒙𝒕 es la suma vectorial de todas las fuerzas
actuando sobre el sistema (de superficie y volumen)
• Se trata de una relación vectorial que entrega 3 ecuaciones
(proyectar en cada componente)
⟹Información adicional (además de continuidad y energía)

Capítulo 4: Aplicando Teorema de Reynolds
Fext:
• Fuerzas de superficie
• Fuerzas de masa
𝜂 =
𝑑𝑁
𝑑𝑚
= 𝑉
𝑁 = 𝑚𝑉

Capítulo 4: Flujo neto de conservación de la cantidad de
movimiento

Capítulo 4: Coeficiente de Boussinesq

Capítulo 4: cantidad de movimiento en régimen
permanente

Capítulo 4: Fuerza resultante sobre las paredes

Capítulo 4: Fuerza de presión sobre superficie cerrada

Una manguera de incendio de 75 mm de diámetro termina en una boquilla de 20
mm de diámetro y entrega un gasto de 5 l/s de agua. Se desea saber con qué
fuerza un bombero debe sostener la boquilla para mantenerla en reposo,
suponiendo que la manguera es lo suficientemente flexible como para no
contribuir al esfuerzo.
Ejercicio 7

Se desea analizar la posibilidad de desarrollar un aparato como un helicóptero
pero que funcione con la fuerza muscular del pasajero. Para ello se requiere
conocer la potencia necesaria para mantener inmóvil en el aire un helicóptero
liviano de peso total W, incluyendo al pasajero, con una hélice de diámetro D.
Considerar el área en la sección 2 como el área de las hélices por un coeficiente
de contracción C.
Ejercicio 8

Ejercicio 9
Un volumen de control de una tobera tiene presiones absolutas de 40 lbf/in2 en la
sección 1 y de 15 lbf/in2 en la sección 2 y en las paredes laterales exteriores,
como indica la Figura. Calcule la resultante de las fuerzas de presión si D1=3 in y
D2=1 in.
Despreciar los esfuerzos sobre la pared de la tobera para este ejercicio.

Actividad 1. Problema del resalto hidráulico
Un resalto hidráulico considera una gran pérdida de energía cuando en un canal de
agua a gran velocidad (V1, h1) puede "saltar" a una condición de baja velocidad y
baja energía (V2, h2) como se observa en la Figura. La presión en las secciones 1 y
2 es aproximadamente la hidrostática y la fricción en la pared es despreciable. Use
las relaciones de continuidad y cantidad de movimiento para obtener V2 y h2 en
función de (V1, h1)

Capítulo 4: Análisis puntual del comportamiento de
los fluidos
Para realizar un análisis del comportamiento dinámico
de los fluidos se puede hacer de dos maneras:
— De forma global mediante la utilización de un volumen
de control.
— De forma puntual para cada elemento (diferencial) del
fluido.

Capítulo 4: Análisis puntual del comportamiento de los
fluidos

Capítulo 4: Enfoque de Lagrange (Mecánica clásica)

Capítulo 4: Relación entre Euler y Lagrange para enfoque
puntual
• Las variables de Euler no están asociadas a un elemento de
fluido en particular
⟹¿ Como podemos expresar con este enfoque variaciones
siguiendo la trayectoria de una misma partícula (enfoque de
Lagrange) ?
Sea f(x,y,z,t) una función escalar de las variables de Euler
(x,y,z,t). Su diferencial valdrá :

Capítulo 4: Relación entre Euler y Lagrange para enfoque
puntual
Queremos expresar la derivada siguiendo la trayectoria de la
partícula :

Capítulo 4: Expresión Euleriana para la Aceleración
Suponemos conocido del campo de velocidades en variables
de Euler :
El vector aceleración asociado será :

Capítulo 4: Expresión Euleriana para la Aceleración

Capítulo 4: Ejercicio 10
Dado el campo vectorial de velocidades euleriano
Determine la aceleración total de una partícula.
Suponiendo que la expresión dada para el vector V es válida en todas
partes, el vector aceleración total es aplicable a todos los puntos e
instantes del campo fluido.

Capítulo 4: Conservación de la masa desde enfoque
puntual
• Teorema del transporte de Reynolds para un volumen de
control infinitesimal

puntual
El flujo a través de cada cara del elemento es aproximadamente
unidimensional y la relación de conservación de la masa apropiada es
aquí:
𝜕
𝜕𝑡
'
∀
𝜌 𝑑∀ + +
"
𝜌"𝐴"𝑉" #$%"&$ − +
"
𝜌"𝐴"𝑉" '()*$&$ = 0
El elemento es tan pequeño que la integral de volumen se reduce
al término diferencial:
𝜕
𝜕𝑡
)
∀
𝜌 𝑑∀ =
𝜕𝜌
𝜕𝑡
𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧

puntual

puntual
+
"
𝜌"𝐴"𝑉" #$%"&$ − +
"
𝜌"𝐴"𝑉" '()*$&$ =
Por otro lado ya definimos que
𝜕
𝜕𝑡
)
∀
𝜌 𝑑∀ =
𝜕𝜌
𝜕𝑡
𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧

puntual
Por lo que la conservación de la masa será:
𝜕
𝜕𝑡
'
∀
𝜌 𝑑∀ + +
"
𝜌"𝐴"𝑉" #$%"&$ − +
"
𝜌"𝐴"𝑉" '()*$&$ = 0
Tenemos el Teorema del transportre de Reynolds aplicado al análisis
puntual.

puntual
La diferencial de volumen desaparece de todos los términos, quedando
una ecuación diferencial pura que relaciona las derivadas parciales de
la densidad y la velocidad:
Como sabemos, el operador gradiente es:
Por lo que la forma compacta de la ecuación es:
div. del vector

Capítulo 4: Ecuación de continuidad

Ejercicio 11
¿Bajo qué condiciones representa el campo de velocidades
V = (a1x + b1y + c1z)i + (a2x + b2y + c2z)j + (a3x + b3y + c3z)k
con a1 , b1 , etc. = cte, un flujo incompresible en el que se conserva
la masa?

Ejercicio 12
Un campo de velocidades incompresible está dado por
u= a(x2 - y2) v desconocida w = b
donde a y b son constantes.
¿Cuál debe ser la forma de la componente v de la velocidad?

Ecuación de continuidad en coordenadas cilíndricas

Ejercicio 13
En un tramo de una tubería que conduce aire caliente de un
sistema de calefacción, se ha medido que en una sección la
velocidad es de 3 m/s y en otra, ubicada a 4 m de distancia,
la velocidad es de 8 m/s. ¿Qué ocurre con la masa
específica del aire en el tramo?

Capítulo 4: Dinámica de un fluido ideal
¿ Qué es un fluido ideal ?
⇒Efectos de la viscosidad son despreciables o nulos
Para escurrimientos reales que ocurren lejos de las paredes
ésta puede ser una aproximación razonable !
¿ Cuáles son las fuerzas que una partícula de fluido debe
vencer o soportar ?
• peso propio (fuerza de volumen)
• presión (fuerza de superficie)

Capítulo 4: Ecuación diferencial para la 2ª ley de Newton
(CDM)
2ª Ley de Newton aplicada a un elemento de fluido :
La variación de la masa siguiendo el movimiento de una
partícula de fluido es nula (conservación)
Ec. de Cantidad de Movimiento = Ec. De Euler

(CDM)

(CDM)
Sin considerar las fuerzas viscosas :
En palabras significa :
Masa por unidad de volumen x aceleración = fuerzas de
gravedad por unidad de volumen + fuerzas de presión por
unidad de volumen
Recordemos que el término del lado izquierdo se escribe :

(CDM)
Sin considerar las fuerzas viscosas :
Recordemos que el término del lado izquierdo se escribe :
ECUACIÓN DE EULER PARA UN FLUIDO IDEAL
𝜕𝑉
𝜕𝑡
+ 𝑉 % 𝛻 𝑉 = ⃗
𝑔 −
1
𝜌
𝛻𝑝

Capítulo 4: Ecuación de Euler que gobiernan el
movimiento de un fluido ideal

Ejemplo 14
Una central hidroeléctrica es alimentada desde un lago por
medio de un túnel recto, horizontal de largo L y área
transversal A. en condiciones permanentes el túnel conduce
un gasto Q. frente a una falla del sistema la central se
detiene y el gasto debe reducirse en un tiempo Tc a cero.
Indique qué ocurre con la presión en el túnel durante el
cierre

Capítulo 4: Ecuación de Euler en coordenadas naturales
(2D)

Ejemplo 15
Obtener la ecuación diferencial del movimiento de la
superficie libre del fluido contenido en el tubo de la figura si
el líquido se saca de su posición de equilibrio y comienza a
oscilar.

Capítulo 4: Cuando Euler se transforma en Bernoulli
Integremos la ecuación de Euler entre dos puntos cualquiera situados
sobre una línea de corriente y para un instante fijo.
Caso particular importantísimo : flujo permanente, fluido incompresible

Capítulo 4: Cuando Euler se transforma en Bernoulli
Hipótesis básica : - fluido ideal (sin fricción)
⟹ec. de Euler :
Casos especiales : régimen permanente y fluido incompresible (masa
específica constante)
Entonces :
1) si el escurrimiento es irrotacional :
¡ Entre dos puntos cualquiera del espacio y que
pertenezcan a una misma línea de corriente !

Capítulo 4: Hipótesis que conducen a Bernoulli
Caso en que el escurrimiento puede tener vorticidad
1. Régimen permanente (aplicable en muchos casos)
2. Fluido incompresible (aceptable en el caso de líquidos)
3. Fluido ideal sin fricción (muy restrictiva – paredes sólidas
introducen fricción)
4. Válido sobre una línea de corriente, diferentes líneas de
corriente pueden tener cargas hidráulicas distintas
5. No se entrega ni recupera trabajo entre los puntos 1 y 2
pertenecientes a la línea de corriente
6. No hay transferencia de calor entre los puntos 1 y 2
pertenecientes a la línea de corriente

Ejemplo 16
Supóngase un estanque de grandes dimensiones el cual
contiene líquido de peso específico g y tiene un orificio de
área, A en la pared a una profundidad H bajo la superficie
libre. Se pide encontrar la velocidad de salida del líquido y el
gasto a través del orificio.

Capítulo 4: Bernoulli relacionado con la conservación de
la energía

Aplicación: Tubo de Venturi
Configuración muy usada para medir el gasto en una tubería
No necesitamos un volumen de control, pero entre los puntos 1 y
2 que están sobre la línea de corriente que coincide con el eje x:
Bernoulli :
Continuidad : 𝑄 = 𝑉+𝐴+ = 𝑉,𝐴,
𝑧+ +
𝑝+
𝛾-
+
𝑉+
,
2𝑔
= 𝑧, +
𝑝,
𝛾-
+
𝑉,
,
2𝑔

Aplicación: Tubo de Venturi
Si bien el análisis global permite obtener una ecuación de
continuidad 1D “integrada” sobre las secciones de la tubería, desde el
punto de vista local, en un angostamiento o ensanchamiento el
escurrimiento es bidimensional (i.e. ⁄
𝝏𝒖 𝝏𝒙 ≠ 𝟎)
⟹Aceleración convectiva en el angostamiento
Continuidad : 𝑄 = 𝑉8𝐴8 = 𝑉9𝐴9

Ejemplo 17
Un tubo de venturi, en su parte más ancha posee un diámetro de 0,1524 m
y una presión de 4,2*104 N/m2. En el estrechamiento, el diámetro es de
0,0762 m y la presión es de 3*104 N/m2. ¿Cuál es la velocidad inicial del
agua que fluye a través de la tubería?

Ejemplo 18
Analizar lo que ocurre dentro del sistema mostrado en al figura y
calcular las velocidades en la línea de corriente que pasa por el eje
del tubo.

Ejemplo 19
En la figura, el fluido es agua y descarga libremente a la atmósfera.
Para un flujo másico de 15 kg/s, determine la presión en el
manómetro.

Elementos de Flujo Potencial
Afirmación (teorema análisis vectorial) :
“Un vector cuyo rotor es cero puede escribirse como un gradiente
de una función escalar”
De hecho :
A esa función escalar se le llama potencial
Ejemplo : Función potencial de velocidades
Es interesante ya que un vector tiene 3 componentes y cada uno
depende de (x,y,z,t)
¡ Una sola función escalar permite representar el campo de velocidades
completo !
𝛻×𝑉 = 0
𝑉 = 𝛻𝜙

Elementos de Flujo Potencial
¿ QUÉ TIENE QUE PASAR PARA QUE EL CAMPO DE VELOCIDADES
PROVENGA DE UNA FUNCIÓN POTENCIAL ?
Recordemos :
Caso de un escurrimiento irrotacional : 𝛻×𝑉 = 0
Teorema de Stokes :
Entonces el valor de la integral de
línea no depende del recorrido pero
sólo de los valores iniciales y finales

Ejemplo 20
Un fluido incompresible bidimensional está definido por las componentes
de velocidad
Donde V y L son constantes. En caso de existir, determine el potencial de
velocidades.

Ejemplo 21
¿Existe un potencial de velocidades para el campo de velocidades dado?
u= a(x2 - y2) v= - 2axy w = 0

Ecuación de Laplace
Si el escurrimiento es irrotacional :
Si el fluido es incompresible (continuidad) :
Entonces se debe cumplir :
Se le conoce como ecuación de Laplace
Cualquier función escalar que satisfaga la ecuación de
Laplace es candidato a representar un campo de
velocidades de un escurrimiento incompresible e
irrotacional
𝑉 = 𝛻𝜙
𝛻 5 𝑉 = 0
𝛻 5 𝑉 = 𝛻 5 𝛻𝜙 = 𝛻9𝜙 = 0
𝜕,𝜙
𝜕,𝑥
+
𝜕,𝜙
𝜕,𝑦
+
𝜕,𝜙
𝜕,𝑧
= 0

Funciones de corriente para escurrimiento plano
¡ Si el escurrimiento es irrotacional, la función de corriente
debe verificar la ecuación de Laplace !
• Función corriente para eliminar la ecuación de continuidad y
resolver directamente la ec. de CDM para una única variable 𝜓
• Sólo se puede aplicar en caso bidimensional
“PSI”

Ejemplo 22
Un campo fluido incompresible bidimensional está definido por las
componentes de velocidad
Donde V y L son constantes. En caso de existir, determine la función de
corriente

Ejemplo 23
¿Existe una función de corriente para el campo de velocidades dado?
u= a(x2 - y2) v= - 2axy w = 0

Interpretación geométrica de la función de corriente
Entonces para que el gasto a través de la
sección AB sea constante y no dependa
del camino seguido entre A y B se
requiere :
En régimen permanente el gasto que fluye entre dos líneas de
corriente es constante

Relación entre las funciones potencial y de corriente
𝛻;
𝜙 = 𝛻;
𝜓 = 0
Para un escurrimiento plano en régimen permanente, irrotacional e
incompresible se tiene :
⟹Las funciones escalares que satisfagan la ecuación de Laplace
son candidatas a representar un escurrimiento de ese tipo
Además por definición :
⟹ Las familias de curvas 𝜙(x,y) =
cte 𝜓(x,y) = cte son ortogonales
entre sí
𝛻𝜙 5 𝛻𝜓 = 0 𝑉 = 𝛻𝜙 = 𝛻𝜓

Representación geométrica: Red de Flujo
El gasto volumétrico entre líneas de
corriente es constante
Las curvas equipotenciales
y de corriente son
ortogonales entre sí
Una línea de corriente
puede reemplazarse por
un borde sólido
impermeable
Si las líneas de corriente se juntan, la velocidad aumenta
𝑑𝑄 = 𝜓9 − 𝜓8

En resumen….
ESCURRIMIENTO PLANO DE UN FLUIDO IDEAL E INCOMPRESIBLE

Función potencial compleja
Las funciones potenciales y de corriente deben satisfacer la
ecuación de Laplace :
𝛻;
𝜙 = 𝛻;
𝜓 = 0
𝜙(x,y) = cte 𝜓 (x,y) = cte son ortogonales entre sí 𝛻𝜙 5 𝛻𝜓 = 0
⟹Desde el punto de vista matemático 𝜙 (x,y) y 𝜓 (x,y) son funciones
bi-armónicas conjugadas
𝑓 𝑧 = 𝜙 𝑥, 𝑦 + 𝑖𝜓(𝑥, 𝑦) 𝑖9 = −1 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦
Variable compleja
Parte real Parte imaginaria
⟹La solución analítica del flujo potencial se basa en funciones
complejas, ya que estas siempre satisfacen la ec. de Laplace

Las funciones analíticas con argumento complejo
satisfacen las condiciones
Las funciones potenciales y de corriente satisfacen
automáticamente la ecuación de Laplace :
𝜙(x,y) = cte 𝜓 (x,y) = cte son ortogonales entre sí
Además se tiene :
𝛻;
𝜙 + 𝑖𝛻;
𝜓 = 0
𝛻𝜙 % 𝛻𝜓 = 0
𝑑𝑓
𝑑𝑧
=
𝜕𝜙
𝜕𝑥
+ 𝑖
𝜕𝜓
𝜕𝑥
𝑓 𝑧 = 𝜙 𝑥, 𝑦 + 𝑖𝜓(𝑥, 𝑦)
𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦

Funciones a variable compleja en coordenadas polares

Ejemplo 24
Encontrar las características del flujo que representa la función compleja
F(z) = az con “a” constante real positiva

Ejemplo 25
Encontrar las características del flujo que representa la función compleja
F(z) = 0,5az2

Flujos bidimensionales típicos
• Flujo uniforme en la dirección X
• Flujo uniforme en la dirección Y
• Flujo uniforme en la dirección α
FUNCIÓN DE CORRIENTE

Flujos bidimensionales típicos
FUNCIÓN DE CORRIENTE
• Remolino alrededor de un
cilindro circular con rotación
• Fuente en el centro de un canal
de ancho constante

Dinámica de fluidos reales
LA HIPÓTESIS DE FLUIDO IDEAL TIENE MUCHAS LIMITACIONES
- Viscosidad puede jugar un rol importante:
• Cuando el escurrimiento es laminar
• Cerca de paredes sólidas
Laminar – tubulento Número de Reynolds

Crecimiento de la capa límite a la entrada de una tubería
A la entrada, el fluido cerca de las paredes tiene a frenarse debido a la
viscosidad (esfuerzos de corte)

Se incluye los esfuerzos viscosos en la ecuación de Euler

Resultante de fuerzas viscosas

Transformaciones básicas de una partícula de fluido

Modelo Newtoniano
1. El tensor de esfuerzos de corte depende sólo del tensor de
velocidades de deformación y se anula para los movimientos
tipo sólido rígido
2. La relación entre es lineal
3. No existen direcciones preferenciales en el fluido de manera
tal que la relación entre el tensor de esfuerzos de corte y el de
velocidad de deformación cumple con la condición de
isotropía
Un fluido será clasificado como Newtoniano si la relación
entre el tensor de esfuerzos de corte y el tensor de
velocidad de deformación cumple con las siguientes
condiciones :

Generalización del modelo Newtoniano
Es posible mostrar entonces que la ecuación de CDM se
escribe :
MODELO DE NAVIER-STOKES PARA FLUIDO NEWTONIANO E
INCOMPRESIBLE :

Modelo de Navier Stokes
PARA FLUIDO INCOMPRESIBLE EN COORDENADAS CARTESIANAS

Modelo de Navier Stokes
PARA FLUIDO INCOMPRESIBLE EN COORDENADAS CILINDRICAS

Ejemplo 26
Utilizando las ecuaciones generales de Navier-Stokes, encontrar la
ecuación diferencial del movimiento para el flujo laminar unidireccional
de un fluido viscoso incompresible entre dos placas paralelas
horizontales

Ejemplo 27
Considere el campo de velocidad bidimensional incompresible,
Calcule la presión como función de x e y
V (u, v) = (ax + b)i + (-ay + cx)j

Capítulo 5
Aplicación a fluidos
reales

La energía en conductos cerrados
Limitaciones de la ecuación de Bernoulli
1. Es válida para fluidos incompresibles, puesto que el
peso específico se toma como el mismo en las dos
secciones.
2. No puede haber dispositivos mecánicos entre las dos
secciones de interés que puedan agregar o tomar
energía del sistema.
3. No puede haber transferencia de calor hacia el fluido o
fuera de este
4. No puede haber variación de caudal entre las dos
secciones estudiadas
5. No puede haber “pérdidas” de energía debidas a la
fricción
𝑍8 +
𝑣8
9
2𝑔
+
𝑃8
𝛾
= 𝑍9 +
𝑣9
9
2𝑔
+
𝑃9
𝛾
Ecuación de Bernoulli

La energía en conductos cerrados
Dadas las limitaciones de la ecuación de Bernoulli, es necesario transformar
esta expresión.
hA Energía añadida (por ejemplo por una bomba)
hL Pérdidas de energía
hR Energía removida del sistema
𝑍! +
𝑣!
"
2𝑔
+
𝑃!
𝛾
+ ℎA − ℎ# − ℎ$ = 𝑍" +
𝑣"
"
2𝑔
+
𝑃"
𝛾
Ecuación general
de la Energía

Pérdidas de carga (energía)
El término hL de la ecuación general de la energía se explica por dos pérdidas
principales:
1. Pérdidas por fricción
2. Pérdidas menores (por accesorios)
Pérdidas por fricción
Para el flujo en tuberías y tubos, la fricción es proporcional a la carga de velocidad
del flujo y a la relación de la longitud del diámetro de la corriente.
ℎF = 𝑓
𝐿
𝐷
𝑣;
2𝑔
f = factor de fricción
L = Longitud de fricción
D = Diámetro de la tubería
v = Velocidad de flujo
g = Gravedad
Ecuación de Darcy-Weisbach

1
𝑓
= −2 𝐿𝑜𝑔8>
1
3,7
𝐷
𝜖
+
2,51
𝑁𝑅 𝑓
Ecuación de
Colebrook and White
Ecuación de
Swamee-Jain
𝑓 =
0,25
𝐿𝑜𝑔8>
1
3,7
𝐷
∈
+
5,74
𝑁𝑅>,@
9
PÉRDIDAS POR FRICCIÓN
f es función del Número de Reynolds (NR) y de la Rugosidad absoluta (∈)

Para poder calcular el valor de f, primero debemos conocer el Número de Reynolds que
nos permite clasificar el tipo de flujo
Número de Reynolds: Relación entre las fuerzas inerciales y las fuerzas viscosas
𝑁𝑅 =
𝜌 𝑣 𝐷
𝜇
𝑁𝑅 =
𝑣 𝐷
𝜗
𝜌 = Densidad
v = Velocidad
D = Diámetro hidráulico de la tubería
𝜇 = Viscosidad dinámica
𝜗= Viscosidad cinemática

NR < 2000 – Flujo Laminar
2000 < NR < 4000 - Transición
NR > 4000 – Flujo Turbulento
Flujo
Laminar
Flujo
Turbulento

ℎF = 𝑓
𝐿
𝐷
𝑣;
2𝑔
Ecuación de
Darcy-Weisbach (Aplicable a flujo laminar y turbulento)
Si igualamos la Ecuación de Hagen-Poiseville y la Darcy Weisbach, nos queda:
32 𝜇 𝐿 𝑣
γ D;
= 𝑓
𝐿
𝐷
𝑣!
2𝑔
𝑓 =
64
𝑁𝑅
(Sólo aplicable para flujo laminar)

Ecuación de
Darcy-Weisbach
ℎF = 𝑓
𝐿
𝐷
𝑣;
2𝑔 (Aplicable a flujo laminar y turbulento)
Para calcular el valor de f necesitaremos el valor del Número de Reynolds
(NR) y el valor de la rugosidad relativa de la tubería
Rugosidad relativa: D / ε
Vista exagerada de la rugosidad absoluta

Rugosidad relativa: D / ε
PVC: 1,5x10-6 m
Vista exagerada de la rugosidad absoluta

𝑓 = 0,0055 1 + 20000
∈
𝐷
+
10C
𝑁𝑅
1/3
Ecuación de Moody
Diagrama de Moody

Determine el factor de fricción f si
por una tubería de hierro dúctil
recubierta de 1 pulgada de
diámetro, fluye agua a 70ºC y 9
m/s.
PROPIEDADES FÍSICAS DEL AGUA
Temperatura
(ºC)
Viscosidad
dinámica
(N·s/m2)
Viscosidad
cinemática
(m2/s)
0 1,781 · 10-3 1,785 · 10-6
5 1,518 · 10-3 1,519 · 10-6
10 1,307 · 10-3 1,306 · 10-6
15 1,139 · 10-3 1,139 · 10-6
20 1,102 · 10-3 1,003 · 10-6
25 0,890 · 10-3 0,893 · 10-6
30 0,708 · 10-3 0,800 · 10-6
40 0,653 · 10-3 0,658 · 10-6
50 0,547 · 10-3 0,553 · 10-6
60 0,466 · 10-3 0,474 · 10-6
70 0,404 · 10-3 0,413 · 10-6
80 0,354 · 10-3 0,364 · 10-6
90 0,315 · 10-3 0,326 · 10-6
100 0,282 · 10-3 0,294 · 10-6
Ejemplo 28

Determine el factor de fricción f si en una tubería de acero estándar
de 11/2 pulgada de diámetro, fluye alcohol etílico a 15 ºC y 5.3 m/s.
ρ=787kg/m3
µ=1*10-3 Pa*s
Ejemplo 29

Debido a la complejidad de las ecuaciones para el valor de f, se siguió un camino de
investigación diferente buscando ecuaciones particularmente para el agua y basadas
exclusivamente en procesos empíricos:
v = 0,849 ∗ 𝐶 ∗ 𝑅D
>,CE
∗ 𝑆>,FG
Ecuación de
Hazen-Williams
v = Velocidad media del flujo (m/s)
C = Coeficiente de “Rugosidad de
Hazen-William”
RH = Radio Hidráulico (m)
S = Pérdidas Unitarias (m/m)
Válida solo para
Sistema
Internacional de
Unidades
𝑅𝐻 =
𝐴
𝑃𝑀
=
𝜋
4
𝐷"
𝜋 𝐷
=
𝐷
4
𝑆 =
ℎ#
𝐿
v= 0,849 ∗ 𝐶 ∗
H
G
>,CE
∗
I!
J
>,FG
Ecuación de
Hazen-Williams
Ecuación de Hazen - Williams

ℎJ =
6,8241 ∗ 𝐿 ∗ 𝑣8,KF8
𝐶8,KF8 ∗ 𝐷8,8CL
Ecuación de
Hazen-Williams
Sistema Internacional
Limitaciones:
1. Válida para diámetros mayores a 2 pulgadas y menores a 6 pies
2. Velocidad inferior a 10 ft/s ( 3 m/s)
3. El fluido debe ser agua a temperaturas normales (la ecuación fue desarrollada
con pruebas empíricas con temperatura del agua de 60°F (15,6°C)

Coeficiente de
Hazen-Williams (C)

Existen dos métodos para calcular las pérdidas menores por accesorios:
1. Método del coeficiente de pérdidas
2. Método de Longitudes Equivalentes
ℎJ = 𝐾 ∗
𝑣9
2𝑔
ℎJ = 𝑓 ∗
𝐿𝑒
𝐷
∗
𝑣9
2𝑔
Si se calcula por el método del coeficiente de pérdidas, el hL total, debe ser la
suma de las pérdidas por fricción más las pérdidas por accesorios.
Si se calcula por el método de Longitudes Equivalentes, se puede calcular el hL
total sumando a la longitud de fricción la longitud equivalente del accesorio o
accesorios puestos en el tramo
Pérdidas menores por accesorios

1. Dilatación súbita
Valores de K

2. Ampliación Gradual

3. Contracción
súbita
Valores de K

4. Contracción gradual

5. Pérdida de salida
K= 1,0

6. Pérdidas por entrada

Coeficientes y longitudes equivalentes para pérdidas en accesorios y
codos

PIEZAS ESPECIALES

Ejemplo 30
¿Qué diámetro debe tener una tubería nueva de PVC de 2400
m de longitud para transportar 1.0 m3/seg de agua con una
pérdida por fricción de 64 m?.

Ejemplo 31
Para la tubería de PVC de la figura calcule la pérdida de presión
en un tramo de 500 m. De tubería horizontal de 30 cm de
diámetro, cuando pasan 200 lts/s. Dibuje las líneas de energía
entre ambos puntos.

Ejemplo 32
Se le pide diseñar un sistema de elevación desde un escurrimiento
superficial hasta un estanque ubicado a una cierta altura. Para este
proyecto, se cuenta con los datos de topografía del terreno, caudales
de demanda y características del sistema. Determine la potencia
necesaria de la bomba.

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