este documento contiene , material de estudio, usado en cursos como ecuaciones diferenciales, algebra lineal o calculo 2 . contiene : separacion de variables,factores de integracion y ecuacion de bernoulli, ecuaciones homogeneas y no homogeneas de primer orden , ecuaciones exactas, lineales y no lineales. espero sea de utilidad y lo disfrute

1. ECUACIONES DIFERENCIALES.
Definición. Por una ecuación diferencial ordinaria de orden n
definida en un intervalo I entenderemos una relación
de la forma Fx,y,y′
,y′′
,...,yn
  0 , x ∈ I
involucrando una función F , una variable independiente
x ∈ I , una función desconocida yx junto con sus
derivadas y′
,y′′
,...,yn
respecto a x.
Una función x con derivadas hasta el orden n es llamada una solución
de la ecuación diferencial si la sustitución y  x reduce la ecuación
a una identidad.
Esto es Fx,x,′
x,...,n
x ≡ 0 , ∀x ∈ I
La palabra ordinaria significa que la función involucrada depende de una
sola variable x.En contraste están las ecuaciones diferenciales parciales
en donde la función incognita depende de dos o mas variables.
La solución general de la ecuación es el conjunto de todas las soluciones.
Ejemplos.
y′
 fx con f continua Solución general y  
x0
x
ftdt  C , C ∈ 
y′
 kx Solución general y  C ekx
, C ∈ 
y′′
 y  0 Solución general y  c1 cosx  c2 sinx , c1 ,c2 ∈ 
No se está interesado siempre en hallar todas las soluciones de una ecuación
diferencial sino solo en aquellas que cumplan además condiciones
adicionales.Esta son principalmente de dos tipos.
a) Condiciones iniciales.
b) Condiciones de frontera.
Condicion inicial es una condición que debe cumplir una solución de la
ecuación en un punto.
x  2ekx
es la solución de y′
 kx con y0  2
x  cosx  2sinx es la solución de y′′
 y  0 que cumple
0  1 ∧ ′
0  2
Condición de frontera es una condición que debe cumplir una solución de la
ecuación en dos o mas puntos
x  cosx  sinx es la solución de y′′
 y  0 que cumple
0  1 ∧ ′
  −1
Ecuaciones diferenciales de primer orden.
Una ecuación de la forma Fx,y,y′
  0 ; x ∈ I
involucrando una función F , una variable independiente

2. x ∈ I , una función desconocida yx junto con su
derivada y′
respecto a x.
dada la ecuación interesa si tiene soluciones y que se puede
decir de ellas.
Una función x derivable es llamada una solución de la
ecuación diferencial si la sustitución y  x reduce la ecuación
a una identidad. Esto es Fx,x,′
x ≡ 0 , ∀x ∈ I
El grafico de una solución es llamada una curva solución de la ecuación.
Ejemplo.
y′
 fx f continua en un intervalo I.
y  fxdx  C
con la condición yx0  y0 , y  y0  
x0
x
ftdt
Ejemplo.
y′
 ay , y ≠ 0
y′
y  a
d
dx
ln|y|  a
ln|y|  ax  C
y  C eax
Si ux es una solución cualquiera de y′
 ay
d
dx
ux e−ax
 u′
xe−ax
 uxe−ax
−a
d
dx
ux e−ax
 a uxe−ax
− a uxe−ax
 0
ux e−ax
 C
ux  C eax
Entonces y  C eax
, C ∈  es la solución general de y′
 ay .
Ecuaciones en forma normal.
Estas tienen la forma y′
 fx,y donde fx,y es continua en una
región del plano 2
.
Ejemplo. y′
 − x
y
x  yy′
 0
d
dx
x2
2
 d
dx
y2
2
 0
x2
2

y2
2
 C
x2
 y2
 c2
las curvas solución son semicircunferencias centradas en el origen.
Ejemplo.
y′
 3y
2
3 , y ≠ 0
1
3
y
−2
3 y′
 1

3. d
dx
y
1
3  1
y
1
3  x  C
solución general
y  x  C3
; C ∈ 
y  0 solución
SEPARACIÓN DE VARIABLES.
La ecuación diferencial de primer orden en su forma normal tiene la
forma y′
 fx,y donde fx,y es una función continua definida
en una región del plano 2
.
La ecuación puede ser escrita con la notación
dy
dx
 fx,y o en forma
equivalente fx,ydx − dy  0.
Reciprocamente una ecuación de la forma Mx,ydx  Nx,ydy  0
donde Mx,y ; Nx,y son funciones continuas definidas en una
región del plano 2
corresponde a la ecuación de primer orden en
su forma normal
dy
dx
 −
Mx,y
Nx,y
de forma que la ecuación
Mx,ydx  Nx,ydy  0 es una forma alternativa de anotar una ecuación
diferencial de primer orden en su forma normal .
Obs) Sea x,y ≠ 0 entonces las ecuaciones Mx,ydx  Nx,ydy  0
y x,yMx,ydx  x,yNx,ydy  0 son equivalentes(tienen la misma
solución general).
Un caso especial de la ecuación es Mxdx  Nydy  0 en este caso
diremos que la ecuación tiene las variables separadas.En ese caso la
solución general es  Mxdx  Nydy  C .
Un poco mas general M1xN1ydx  M2xN2ydy  0 es equivalente
a la ecuación con variables separadas
M1x
M2x
dx 
N2x
N1x
dy  0
Ejemplo:
xy  12
dx  x2
 1yey
dy  0
primero observamos que la función y  −1 es una solución.La ecuación
es equivalente a
x
x2
 1
dx 
yey
y  12
dy  0 con y ≠ −1
de aquí 1
2
lnx2
 1  ey
y  1
 C es la solución general y y  −1
solución añadida.

4. Ejercicios.
1) Determine si las ecuaciones son separables.
cosy
dy
dx
 sinx  y 3
dy
dx
 4x
y2
2) Hallar la solución general de las ecuaciones separables y luego de
la solución del problema de valor inicial.
i)
dy
dx

−2sin1  x
y2
; y  4
ii)
dy
dx
 −3x
y  4
; y2  7
iii) 2y
dy
dx
 ex−y2
; y4  −2
ECUACIONES CON COEFICIENTES HOMOGÉNEOS.
DEF) Una función continua fx,y es homogénea de grado  si
para cada número real t ≠ 0 ftx,ty  t
fx,y
Ejemplos
x2
 y2
homogénea de grado 2.
xy homogénea de grado 2.
e
y
x homogénea de grado 0.
1
3 xy
homogénea de grado − 1
3
.
Supongamos que en la ecuación Mx,ydx  Nx,ydy  0
Mx,y ; Nx,y son ambas homogéneas del mismo grado 
el cambio de variables en la variable dependiente y  vx conduce
a una ecuación separable en las variables x , v.
Sea y  vx entonces
Mx,vxdx  Nx,vxvdx  xdv  0
x
M1,vdx  x
N1,vvdx  xdv  0
Mvdx  Nvvdx  xdv  0
Mv  Nvv dx  Nvxdv  0
dx
x 
Nv
Mv  Nvv
dv  0
Ejemplo.
x2
 3y2
dx − 2xydy  0
x2
 3v2
x2
dx − 2x2
vxdv  vdx  0
1  3v2
dx − 2vxdv  vdx  0
1  v2
dx − 2vxdv  0
dx
x − 2v
1  v2

dv  0

5. ln|x| − ln1  v2
  C
x
1  v2

 C
x
1  
y
x 2

 C
x3
x2
 y2

 C .Solución general.
Ejemplo.
x  y  1dx  y − x − 3dy  0
Aquí la ecuación no tiene los coeficientes homogéneos pero
está suficientemente cerca de tenerlos.Hacemos un cambio
de variables previo.
Sean x  u   ∧ y  v   al reemplazar en la
ecuación
u    v    1du  v   − u −  − 3dv  0
   −1
−   3
de aquí   −2 ∧   1
El cambio de variables x  u − 2 ∧ y  v  1 convierte
la ecuación en una con coeficientes homogéneos.
u  vdu  v − udv  0
Sea v  wu
u  wudu  wu − uudw  wdu  0
1  wdu  w − 1udw  wdu  0
1  w2
du  w − 1udw  0
du
u 
w − 1
1  w2

dw  0 integrando
lnu  1
2
ln1  w2
 − arctanw  C
ln u 1  w2
 arctanw  C
u 1  w2
 C earctanw
pero w  v
u entonces u 1   v
u 2
 C earctan
v
u 
u2
 v2
 C earctan
v
u 
poniendo u  x  2 ∧ v  y − 1
x  22
 y − 12
 C e
arctan
y − 1
x  2

Solución.
Ejercicios.
1) Resuelva en el caso de ser una ecuación con coeficientes
homogéneos.
i) x3 dy
dx
 x2
y − y3
ii) x
dy
dx
 xcos
y
x   y

6. iii)  x  y
dy
dx
 y iv)  x − 2y
dy
dx
 2x − y
2) Encuentre la solución general de las ecuaciones.
i)
dy
dx

x − 3y − 7
x − 4
ii
dy
dx

x − 2y
3x − 6y  4
iii)
dy
dx

x − y  1
x  1
2
iv)
dy
dx

x − y  1
2x − 2y
2
3) Resolver los problemas de valor inicial.
i) x
dy
dx
 y  x2
− y2
; y1  1
2
ii) x
dy
dx
− y 
y
lny − lnx
; y1  e
ECUACIONES EXACTAS.
Sea Fx,y una función de dos variables.La diferencial total
de Fx,y está definida como dF  ∂F
∂x
dx  ∂F
∂y
dy
tiene sentido donde quiera que ∂F
∂x
; ∂F
∂y
existan.
dF  Mx,y dx  Nx,ydy
Teorema: Sea Mx,y dx  Nx,ydy  0 la ecuación diferencial
de primer orden normal definida en una región R del
plano 2
.Supongamos que existe una función Fx,y
diferenciable tal que ∂F
∂x
 Mx,y ∧ ∂F
∂y
 Nx,y
en R .Entonces Fx,y  C es la solución general de
Mx,y dx  Nx,ydy  0 .
Dem) Por el teorema de la función implicita se tiene que si
x0 , y0 ∈ R tal que ∂F
∂y
x0 , y0 ≠ 0 ∧ Fx0,y0  C
existe y  yx tal que yx0  y0 ∧ F x,yx   C
y
dy
dx
 −
∂F
∂x
∂F
∂y
 −
Mx,y
Nx,y
o sea
Mx,y dx  Nx,ydy  0 .

7. Def) Una expresión de la forma Mx,y dx  Nx,ydy se dice
que es una diferencial exacta en una región R del plano si
existe una función Fx,y tal que dF  Mx,y dx  Nx,ydy.
En ese caso la ecuación de primer orden normal
Mx,y dx  Nx,ydy  0 se dice que es una ecuación
exacta.Además la expresión Fx,y  C es la solución
general de la ecuación.
Ejemplo:
2x  ey
dx  xey
dy  0
Como Fx,y  x2
 xey
cumple ∂F
∂x
 2x  ey
y
∂F
∂y
 xey
la solución general es x2
 xey
 C
La ecuación Mx,y dx  Nx,ydy  0 es exacta si hay una
función Fx,y tal que ∂F
∂x
 Mx,y ∧ ∂F
∂y
 Nx,y
de aquí ∂2
F
∂x∂y

∂Mx,y
∂y
∧ ∂2
F
∂y∂x

∂Nx,y
∂x
con Fx,y continuamente diferenciable(derivadas parciales
continuas) ∂2
F
∂x∂y
 ∂2
F
∂y∂x
por lo que
Mx,y dx  Nx,ydy es una diferencial exacta cuyos coeficientes
son continuamente diferenciables entonces ∂M
∂y
 ∂N
∂x
La reciproca se cumple si la región es simplemente conexa.
Teorema:
Sean Mx,y ∧ Nx,y funciones de dos variables
continuamente diferenciables en una región R
simplemente conexa del plano 2
entonces
Mx,y dx  Nx,ydy es una diferencial exacta en R
si y solo si ∂M
∂y
 ∂N
∂x
en R .
Ejemplo:
Las ecuaciones siguientes son exactas
2y2
 yexy
dx  4xy  xexy
 2ydy  0 , ∂M
∂y
 ∂N
∂x
en 2
cos4y2
dx − 8xysin4y2
dy  0 , ∂M
∂y
 ∂N
∂x
en 2
.
Sea x0 , y0 ∈ R pongamos
Fx,y  
x0
x
Mx, y0dx  
y0
y
Nx,ydy

8. ∂F
∂x
 Mx, y0  
y0
y
∂N
∂x
dy  Mx, y0  
y0
y
∂M
∂y
dy
∂F
∂x
 Mx, y0  Mx,y y0
y
 Mx, y0  Mx,y − Mx, y0
∂F
∂x
 Mx,y además ∂F
∂y
 Nx,y
Resumen: ECUACIONES EXACTAS.
Sea Mx,y dx  Nx,ydy  0 definida en una
región R del plano 2
simplemente conexa.
Mx,y dx  Nx,ydy  0 exacta  ∂M
∂y
 ∂N
∂x
Además Fx,y  C es la solución general de la ecuación
donde
Fx,y  
x0
x
Mx, y0dx  
y0
y
Nx,ydy
Ejemplo. 1) sinxy  xycosxydx  x2
cosxydy  0
Mx,y  sinxy  xycosxy ; ∂M
∂y
 2xcosxy − x2
ysinxy
Nx,y  x2
cosxy ; ∂N
∂x
 2xcosxy − x2
ysinxy
luego es exacta puesto que está definida en 2
que es
simplemente conexo.
Sea Fx,y  
0
x
0dx  
0
y
x2
cosxydy  C  xsinxy
xsinxy  C la solución general.
Ejemplo 2)
dy
dx

−2xy3
− 2xy
3x2
y2
 ey
2xy3
 2xydx  3x2
y2
 ey
dy  0
Mx,y  2xy3
 2xy ; ∂M
∂y
 6xy2
 2x
Nx,y  3x2
y2
 ey
 ; ∂N
∂x
 6xy2
∂M
∂y
≠ ∂N
∂x
La ecuación no es exacta.
Ejercicios: En los siguientes ejercicios demuestre que la ecuación
diferencial es exacta.Obtenga la solución general,quizas
en forma explicita y utilice la solución general para hallar
una solución del problema de valor inicial.
i) 3y4
− 1  12xy3 dy
dx
 0 ; y1  2
ii) xcos2y − x − sin2y − x − 2xcos2y − x
dy
dx
 0 ; y 
12
  
8

9. iii) 2x − ysinxy  3y2
− xsinxy
dy
dx
 0 ; y0  2
iv) 2y − y2
sec2
xy2
  2x − 2xysec2
xy2

dy
dx
 0 ; y1  2
v) 1  e
y
x −
y
x e
y
x  e
y
x
dy
dx
 0 ; y1  −5
FACTORES DE INTEGRACIÓN Y ECUACIÓN DE BERNOULLI.
La ecuación Mx,y dx  Nx,ydy  0 no exacta puede ser
convertida en una exacta amplificandola por un factor x,y ≠ 0
de forma que x,y Mx,y dx  x,yNx,ydy  0 sea exacta.
De forma que ∂
∂y
x,y Mx,y  ∂
∂x
x,y Nx,y
∂ 
∂y
M   ∂M
∂y

∂ 
∂x
N   ∂N
∂x
∂ 
∂y
M −
∂ 
∂x
N   ∂N
∂x
−  ∂M
∂y
Caso especial. Supongamos que  depende solo de x   x.
la relación queda −
∂ 
∂x
N   ∂N
∂x
−  ∂M
∂y
∂ 
∂x
N    ∂M
∂y
− ∂N
∂x

∂ 
∂x
 
 ∂M
∂y
− ∂N
∂x

N
 ∂M
∂y
− ∂N
∂x

N
 fx queda d
dx
lnx  fx
lnx  fxdx de donde x  e
fxdx
Para
 ∂M
∂y
− ∂N
∂x

N
 fx dependiendo solo de x , x  e
fxdx
es un factor de integración.
Para
 ∂N
∂x
− ∂M
∂y

M
 gy dependiendo solo de y , y  e
gydy
es un factor de integración.
Otras posibilidades son
x,y  xa
yb
; x,y  eaxby
; x,y  xa
ebx
yc
Ejemplos:
1)
dy
dx

6xy − y2
3xy − 6x2
6xy − y2
dx  6x2
− 3xydy  0
∂M
∂y
 6x − 2y ; ∂N
∂x
 12x − 3y no es exacta

10.  ∂N
∂x
− ∂M
∂y

M

6x − y
6xy − y2

 1
y Factor y  y
La ecuación 6xy2
− y3
dx  6x2
y − 3xy2
dy  0 es exacta.
Fx,y  
0
x
0dx  
0
y
6x2
y − 3xy2
dy  C  3x2
y2
− xy3
3x2
y2
− xy3
 C solución general.
2) 3x2
y  6xy  1
2
y2
dx  3x2
 ydy  0
∂M
∂y
 3x2
 6x  y ; ∂N
∂x
 6x no es exacta
 ∂M
∂y
− ∂N
∂x

N

3x2
 y
3x2
 y
 1 ; Factor x  ex
3x2
yex
 6xyex
 1
2
y2
ex
dx  3x2
ex
 yex
dy  0 es exacta
d
dy
3x2
yex
 6xyex
 1
2
y2
ex
  ex
3x2
 6x  y
d
dx
3x2
ex
 yex
  ex
3x2
 6x  y
Fx,y  
0
x
0dx  
0
y
3x2
ex
 yex
dy  1
2
yex
6x2
 y
yex
6x2
 y  C la solución general.
3) 2y2
− 9xydx  3xy − 6x2
dy  0
∂M
∂y
 4y − 9x ; ∂N
∂x
 3y − 12x no es exacta
 ∂M
∂y
− ∂N
∂x

N

y  3x
3xy − 6x2

no depende solo de x.
 ∂N
∂x
− ∂M
∂y

M

−y − 3x
2y2
− 9xy
no depende solo de y.
Intentaremos un factor de integración de la forma x,y  xa
yb
2xa
y2b
− 9xa1
yb1
dx  3xa1
yb1
− 6x2a
yb
dy  0
∂
∂y
2xa
y2b
− 9xa1
yb1
  22  bxa
y1b
− 9b  1xa1
yb
∂
∂x
3xa1
yb1
− 6x2a
yb
  3a  1xa
yb1
− 62  ax1a
yb
22  b  3a  1 ∧ 9b  1  62  a
3a −2b  1
6a −9b  −3
a  1 ∧ b  1
La ecuación 2xy3
− 9x2
y2
dx  3x2
y2
− 6x3
ydy  0
es exacta
Fx,y  
0
x
0dx  
0
y
3x2
y2
− 6x3
ydy  x2
y3
− 3x3
y2
x2
y3
− 3x3
y2
 C la solución general.

11. Ejercicios. Resolver buscando un factor de integración.
i) y2
 y − x
dy
dx
 0
ii) 3y2
 6y  10x2
dx  xy  1dy  0
iii) 2x − 2y − x2
 2xy  2x2
− 4xy − 2x
dy
dx
 0 Pruebe eax
eby
iv) sinx − y  cosx − y − cosx − y
dy
dx
 0 , y0  7
6
v) 3x2
y  y3
 2xy2 dy
dx
 0 , y2  1
vi) 2xy  3
dy
dx
 0 , y0  4 Pruebe ya
ebx2
vii) 2y1  x2
  x
dy
dx
 0 , y2  3 Pruebe xa
ebx2
viii) y1  x  2x
dy
dx
 0 , y4  6 Pruebe ya
ebx
Ejemplo) La ecuación de Bernoulli.
Esta ecuación tiene la forma
y′
 pxy  qxy
En la forma pxy − qxy
dx  dy  0 ponemos x,y  gx yb
pxgxyb1
− yb
gxqxdx  gx yb
dy  0
b  1pxgxyb
−   byb−1
gxqx  g′
xyb
Al poner b  − se llega a g′
x  1 − pxgx
d
dx
lngx  1 − px
lngx  1 − pxdx  C
gx  C e
1−pxdx
con ello x,y  y−
e
1−pxdx
es un factor de integración.
Ejemplo.
x2 dy
dx
 xy  −y− 3
2
dy
dx
 1
x y  − 1
x2
y− 3
2
 1
x y  1
x2
y− 3
2 dx  dy  0 / x,y  y
3
2 e
1 3
2
 dx
x
x,y  y
3
2 e
1 3
2
 dx
x
 y
3
2 e
5
2
lnx
 x
5
2 y
3
2
x
3
2 y
5
2  x
1
2 dx  x
5
2 y
3
2 dy  0 es exacta
Fx,y  
1
x
x
3
2  x
1
2 dx  
1
y
x
5
2 y
3
2 dy
Fx,y  2
3
x
3
2  2
5
x
5
2 − 16
15
 2
5
x
5
2 y
5
2 − 2
5
x
5
2
Fx,y  2
5
x
5
2 y
5
2  2
3
x
3
2 − 16
15

12. 2
5
x
5
2 y
5
2  2
3
x
3
2  C solución general.
Ejercicios. Resolver las siguientes ecuaciones de Bernoulli.
i) x3 dy
dx
 x2
y  2y− 4
3 ii) x2 dy
dx
− xy  ex
y3
iii) x2 dy
dx
− 3xy  −2y
5
3 iv) 2x3 dy
dx
 4x2
y  −5y4
ECUACIONES CON OPERADORES.
Sean V1 ; V2 dos espacios vectoriales y  : V1 → V2
una aplicación lineal.
Problema: Dado y ∈ V2 hallar x ∈ V1 tales que  x  y.
La ecuación  x  y es una ecuación con operadores.
La ecuación  x  0 es la ecuación homogénea asociada.
SG  x ∈ V1 /  x  y la solución general de la ecuación.
SH  x ∈ V1 /  x  0 la solución de la ecuación
homogénea asociada.
Obs) SH es un subespacio de V1 , SH  Ker
Sea xp una solución particular de  x  y y xh una
solución cualquiera de  x  0 la ecuación homogénea asociada.
 xp  xh    xp    xh   y  0  y
Sea x una solución cualquiera de  x  y
 x − xp    x −  xp   y − y  0 de donde x − xp  xh
o sea x  xp  xh.
TEOREMA.
Si xp es una solución particular de  x  y entonces
SG  x ∈ V1 / x  xp  xh con xh solución de  x  0
Sea
Cn
I 
y  fx / f : I → ,funciones n − veces diferenciables
con derivada continua.
CI funciones continuas.

13. D : C1
I → CI , Dy  y′
es una aplicación lineal.
Dn
: Cn
I → CI , Dy  yn
es una aplicación lineal.
Def)
Una transformación lineal L : Cn
I → CI se dice que es
un operador diferencial lineal de orden n definido en el intervalo I de
los reales si puede ser expresado de la forma.
L  anxDn
 an−1xDn−1
 ...a2xD2
 a1xD  a0x
donde las funciones coeficientes aix continuas en I y el coeficiente
principal no es identicamente nulo en I .
Asi si y ∈ Cn
I
Ly  anx
dn
y
dxn  an−1x
dn−1
y
dxn−1
 ...a2x
d2
y
dx2
 a1x
dy
dx
 a0xy
o más simple
Ly  anxyn
 an−1xyn−1
 ...a2xy2
 a1xy′
 a0xy
Ejemplos.
L  Dn
L  xD2
 3 x D − 1
L es una transformación lineal y por lo tanto tienen sentido las
operaciones habituales entre ellas como por ejemplo la suma,
multiplicación por escalares y las compuestas entre ellas.
Recordemos que la composición no es conmutativa,por ejemplo
xD  22xD  1y  xD  22xy′
 y  x3y′
 2xy′′
  22xy′
 y
xD  22xD  1y  2x2
y′′
 7xy′
 2y  2x2
D2
 7xD  2y
xD  22xD  1  2x2
D2
 7xD  2
2xD  1xD  2y  2xD  1xy′
 2y  2x3y′
 xy′′
  xy′
 2y
2xD  1xD  2y  2x2
D2
 7xD  2y
2xD  1xD  2  2x2
D2
 7xD  2
2xD  1xD  2  xD  22xD  1 en este caso
Pero con el ejemplo
DxDy  Dxy′
  y′
 xy′′
 xD2
 Dy ; DxD  xD2
 D
xDDy  xDy′
  xy′′
 xD2
y ;xDD  xD2
luego DxD ≠ xDD
Además
xD  22xD  1 ≠ 2x2
D2
 5xD  2
los operadores no se comportan como las operaciones entre
binomios o polinomios.Pero estas dificultades desaparecen
cuando los operadores tienen coeficientes constantes
L  anDn
 an−1Dn−1
 ...a2D2
 a1D  a0
en este caso el operador L se comporta tal cual como un
polinomio en D.
Ejercicios.
1) Evaluar las expresiones.
i) D2
 Dex
 ii 3D2
 2D  2sinx
iii) xD − x2lnx iv) D  1D − x2ex
 cosx

14. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES.
Una ecuación diferencial lineal de orden n en un intervalo I
es por definición una ecuación con operadores de la forma
L y  hx
en que h es continua en I y L es un operador diferencial
lineal de orden n definido en I.
La ecuación se llama homogénea si hx es identicamente
cero( L y  0  de otro modo en no homogénea.
La ecuación será llamada normal si el coeficiente principal
anx no se anula nunca en I.
Una función yx es una solución de la ecuación L y  hx
si yx ∈ Cn
I y satisface la ecuación identicamente en I.
Asi una ecuación diferencial lineal de orden n en un intervalo
I tiene la forma
anx
dn
y
dxn  an−1x
dn−1
y
dxn−1
 ...a1x
dy
dx
 a0xy  hx
donde los coeficientes ajx ; j  1,2,...,n y hx
son continuas en I y anx no es identicamente cero en I.
Ejemplos
d2
y
dx2
 y  0
x3 d3
y
dx3
 x
dy
dx
 y  3cosx
Recordemos que en el caso de la ecuación lineal homo-
génea L y  0 su solución es un espacio vectorial KerL.
se tiene:
El espacio solución de cualquier ecuación diferencial
lineal,normal y homogénea de orden n es un subespacio
n −dimensional de Cn
I.
Asi si L es normal y y1x ,y2x , y3x , ..., ynx es
un conjunto linealmente independiente entonces toda
solución de L y  0 tiene la forma
yx  c1 y1x  c2 y2x  c3 y3x  ...cn ynx
Por ejemplo. y′′
 y  0
es una ecuación lineal homogénea normal de orden 2 .
las funciones sinx y cosx son claramente soluciones
además son un conjunto linealmente independiente.
cosx sinx  0
x  0    0 ∧ x  
2
   0
cosx , sinx es una base del espacio solución de
y′′
 y  0
entonces la solución general es yx  c1 cosx  c2 sinx

15. con c1 , c2 ∈ .
En la ecuación y′′
 y  x la función y  x es una
solución particular de forma que entonces su solución
general es yx  x  c1 cosx  c2 sinx con c1 , c2 ∈ .
Ejercicios.
1) Verificar que la función es una solución de la
ecuación dada.
i) xy′′
 y′
 0 ln 1
x 
ii) 1 − x2
y′′
− 2xy′
 6y  0 ; 3x2
− 1
iii) x2
y′′
− xy′
 y  1 ; 1  2xlnx
2) Demuestre que eax
cosbx ; eax
sinbx son soluciones
linealmente independientes de la ecuación
D2
− 2aD  a2
 b2
y  0 b ≠ 0
¿ Cual es la solución general de la ecuación?
3) Demuestre que eax
y x eax
son soluciones
linealmente independientes de la ecuación
D − a2
y  0 b ≠ 0
¿ Cual es la solución general de la ecuación?
Hallar la solución que cumple las condiciones
iniciales y0  1 ; y′
0  2.
LA ECUACIÓN DE PRIMER ORDEN.
La ecuación diferencial lineal de primer orden es la mas
simple de las ecuaciones y tiene la forma
a1x
dy
dx
 a0xy  hx
donde a1x ,a0x ,hx son continuas en un intervalo I
y a1x ≠ 0 en I.
Si la ecuación es normal a1x ≠ 0 , ∀x ∈ I este tiene
la forma y′
 pxy  qx
La ecuación homogénea asociada tiene un espacio
solución de dimensión uno de forma que una solución
no nula será una base del espacio solución de la ecua-
ción homogénea asociada.
y′
 pxy  0 ponemos y′
 −pxy con y ≠ 0
y′
y  −px , d
dx
lny  −px de aqui lny  −pxdx
y  e
−pxdx
es una solución no nula.
Entonces y  C e
−pxdx
es la solución general de
y′
 pxy  0.

16. Para hallar una solución particular de y′
 pxy  qx
la amplificamos por un factor de integración x ≠ 0
x y′
 xpxy  xqx ponemos ahora
d
dx
xy  xqx
xy′
 ′
xy  xqx esto se cumple si
′
x  xpx de aqui d
dx
lnx  px
x  e
pxdx
Entonces la ecuación tiene la forma
d
dx
y e
pxdx
 qx e
pxdx
y e
pxdx
 qx e
pxdx
y  e
−pxdx
qx e
pxdx
es una solución particular de y′
 pxy  qx
La solución general es
yx  e
−pxdx
qx e
pxdx
 C e
−pxdx
Teorema Sea y′
 pxy  qx definida en I.
La solución general es
yx  e
−pxdx
C  qx e
pxdx
La forma de resolución nos dá un procedimiento
Escriba la ecuación de la forma y′
 pxy  qx
amplifiquela por el factor de integración x  e
pxdx
y luego integrar.
Ejemplo:
1) y′
 xy  x / e
xdx
 e
x2
2
d
dx
y e
x2
2  x e
x2
2
y e
x2
2  e
x2
2  C
y  1  Ce
−x2
2 , C ∈ 
2) D − y  0
y′
− y  0 / x  e
−dx
 e−x
d
dx
y e−x
 0
y e−x
 C
y  C ex

17. Ejercicios.
1) Hallar la solución general de la ecuación.
i) y′
 1
x y  x2
 2
ii) y′
− 6 y  x − coshx
iii) sin2x y′
 sin2
x y  2sinx
iv) x y′
 2
x y  4
2) Obtenga la solución del problema de valor inicial.
i) y′
− y  2e4x
, y0  −3
ii) y′
 1
x − 2
y  3x , y3  4
iii) y′
 3y  5e2x
− 6 , y0  2
iv) y′
 4
x y  2 , y1  4
3) Momento de inercia de un cigueñal.
Suponga que el cigueñal de un motor a diesel revoluciona
a R radianes/segundo.El momento de torsión que aplican los
gases al cigueñal recibe el nombre de momento de torsión
de la válvula de estrangulación y es de la forma kx donde x
es la coordenada de la posición de la válvula y k una
constante .Si I es el momento de inercia del cigueñal,el
momento de torsión inercial que actúa contra el momento
de torsión de la válvula es I  dR
dx
.También actúa en oposi-
ción al momento de torsión de la válvula un momento de
torsión amortiguante de la forma cR.Adopte la ley de Newton
en forma de torsión
momento de inerciaaceleración angular  momento de torsión.
se obtiene
I dR
dx
 cR  kx
c ≠ 0 resolver y hallar la solución que R0  0.
4) Rotación de una hélice
Considere la rotación de la hélice de un barco a diesel.
Si M es momento de inercia del eje de rotación del motor,
N el número de revoluciones por minuto y x es la coordenada
de la válvula de admisión,entonces se puede demostrar que
N satisface la ecuación diferencial de la forma
M dN
dx
 AN
 fx donde A y  son constantes.
Suponiendo que M es constante , A  10   1 y fx  x2
.
obtenga la solución general para Nx.
Ejemplo: La ecuación de Bernoulli.
Recordemos que esta ecuación tiene la forma
y′
 pxy  qxy
con   0 ;   1 esta ecuación es lineal y es no lineal

18. para  ≠ 0 ;  ≠ 1.Para estos casos un cambio de variable
convierte esta ecuación en otra que es lineal.
Con y ≠ 0 la ecuación queda y−
y′
 pxy1−
 qx
ponemos u  y1−
entonces du
dx
 1 −  y− dy
dx
la ecuación queda 1
1 − 
du
dx
 px u  qx
la cual es lineal en la variable u.
Ejemplo.
x2 dy
dx
 xy  −y− 3
2
dy
dx
 1
x y  − 1
x2
y− 3
2
y
3
2
dy
dx
 1
x y
5
2  − 1
x2
u  y
5
2 de donde u′
 5
2
y
3
2 y′
2
5
u′
 1
x u  − 1
x2
lineal en u.
u′
 5
2
1
x u  − 5
2
1
x2
/ x
5
2
d
dx
x
5
2 u  − 5
2
x
1
2
x
5
2 u  − 5
3
x
3
2  C
u  − 5
3
x−1
 C x
−5
2
y
5
2  − 5
3
x−1
 C x
−5
2
x
5
2 y
5
2  5
3
x
3
2  C
Obs) Este ejemplo se desarrolló en la parte de ecuaciones exactas
donde la solución fue 2
5
x
5
2 y
5
2  2
3
x
3
2  C
Ejercicios. Resolver las ecuaciones.
i) yy′
 xy2
− x  0
ii) xy2
′
 xy3
x2
 1
iii) y′

y2
sinx − ycos2
x
sinxcosx
La ecuación de Riccati.
La ecuación diferencial
dy
dx
 a2xy2
 a1xy  a0x  0
donde a2x ,a1x , a0x son continuas en un intervalo I
con a2x ≠ 0 en I se conoce como la ecuación de Riccati.
Sea y1x una solución particular de la ecuación.Entonces
el cambio de variable y  y1x  1
z transforma esta
ecuación en una que es lineal en la variable zx.
Ejemplo.
y′
 y2
− 1  2ex
y  e2x
 0 ( sp y  ex
)

19. con y  ex
 1
z
ex
 1
z ′
 ex
 1
z 2
− 1  2ex
ex
 1
z   e2x
 0
ex
− z′
z2
 e2x
 2ex
z  1
z2
− ex
− 2e2x
− 1
z − 2ex
z  e2x
 0
− z′
z2
 1
z2
− 1
z  0
z′
 z  1 / ex
d
dx
zex
  ex
zex
 ex
 C
z  1  C e−x
Solución y  ex
 1
1  C e−x
; C ∈ 
Ejercicios:
1) Resolver
i) y′
− xy2
 2x − 1y  x − 1 ( sp y  1)
ii) y′
 xy2
− 2x2
y  x3
 x  1 ( sp y  x − 1)
iii) 2y′
− 
y
x 2
− 1  0 ( sp y  x )
2) Verificar que en el caso de la ecuación de Riccati con
coeficientes constantes
dy
dx
 a2y2
 a1y  a0  0 , a2 ≠ 0
y  m es solución de la ecuación si y solo si m
es solución de la ecuación cuadrática a2y2
 a1y  a0  0
Resolver
i) y′
 y2
 3y  2  0
ii) y′
 y2
− 2y  1  0
iii) y′
 4y2
− 9  0
iv) 6 y′
 6y2
 y − 1  0
EXISTENCIA Y UNICIDAD DE SOLUCIONES.
PROBLEMAS DE VALOR INICIAL.
La ecuación de primer orden y′
 pxy  qx definida en I.
tiene la solución general
yx  e
−pxdx
C  qx e
pxdx
con C ∈ 
se plantea la pregunta de si x0 ∈ I y dado y0 ∈  existe
una curva solución que pase por el punto  x0, y0 es decir
si hay alguna solución de la ecuación que cumpla y x0  y0,
esta condición se llama una condición inicial y el problema de
encontrar una tal solución un problema de valor inicial.
Para el problema de la existencia basta elegir la constante C que
resulte al reemplazar en la solución general x  x0 ∧ y  y0.
Para la unicidad supongamos que y1x e y2x son soluciones

20. de la ecuación que cumplen ambas y1 x0  y0 ∧ y2 x0  y0
sea hx  y1x − y2x
y1x − y2x′
 px y1x − y2x 
 y1
′
x  px y1x − y2
′
x  px y2x  qx − qx  0
además y1x0 − y2x0  y0 − y0  0 de forma
que hx  y1x − y2x satisface el problema
y′
 px y  0
yx0  0
la solución general de y′
 px y  0 es y  C e
−pxdx
y la única que cumple la condición es yx  0
de forma que hx  y1x − y2x  0 o sea y1x  y2x , x ∈ I.
En conclusión el problema de valor inicial
y′
 px y  qx
yx0  y0
tiene una y solo una solución.
El teorema siguiente generaliza este resultado.
TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD.
Dada la ecuación diferencial lineal normal de orden n ,definida
en un intervalo I y dados x0 ∈ I , a0,a1,a2,...,an−1 ∈ 
el problema de valor inicial
anx
dn
y
dxn  an−1x
dn−1
y
dxn−1
 ...a1x
dy
dx
 a0xy  hx
yx0  a0
y′
x0  a1
y′′
x0  a2
...........
yn−1
x0  an−1
tiene una y solo una solución.
Ejemplo:
x2
y′′
− 4xy′
 6y  36lnx
y1  2
y′
1  3
La solución general de esta ecuación es
y  6lnx  3x2
 5  c1x3
 c2x2
y′
 6
x  6x  2xc2  3x2
c1
x  1 , 3  5  c1  c2  2
6  6  3c1  2c2  3
de aqui c1  3 , c2  −9
la solución del problema es y  6lnx  3x2
 5  3x3
− 9x2
Ejemplo:
El espacio solución de una ecuación diferencial lineal normal
homogénea de orden n

21. anx
dn
y
dxn  an−1x
dn−1
y
dxn−1
 ...a1x
dy
dx
 a0xy  0
definida en I es un subespacio n dimensional de Cn
I.
Veremos el caso n  2
Sea x0 ∈ I dados a0  1 ∧ a1  0 existe una única solución
y1x tal que y1x0  1 ∧ y1
′
x0  0. Análogamente
con x0 ∈ I dados a0  0 ∧ a1  1 existe una única solución
y2x tal que y2x0  0 ∧ y2
′
x0  1.
y1x , y2x es una base del espacio solución de la ecuación
a2x
d2
y
dx2
 a1x
dy
dx
 a0xy  0
 y1x   y2x  0
 y1
′
x   y2
′
x  0 evaluando en x  x0 se llega
 y1x0   y2x0  0
 y1
′
x0   y2
′
x0  0 de aquí     0
y1x , y2x es linealmente independiente.
Sea yx una solución cualquiera de la ecuación
yx0  a ∧ y′
x0  b
Ahora la función a y1x  b y2x satisface el problema de
valor inicial
a2x
d2
y
dx2
 a1x
dy
dx
 a0xy  0
yx0  a
y′
x0  b
el teorema afirma que solo una función satisface el problema
luego yx  a y1x  b y2x
y1x , y2x es un conjunto generador.
conclusión y1x , y2x es base del espacio solución
siendo su dimensión dos, el orden de la ecuación.
COROLARIO.
Sean y1x , y2x,..., ynx funciones en CI
cada una de las cuales posee derivadas hasta el orden n − 1
en todos los puntos del intervalo I y supongamos que en algún
punto x0 ∈ I los vectores
 yix0 , yi
′
x0 , yi
′′
x0 , ..., yi
n−1
x0  , i  1,2,3,...,n
son linealmente independientes en n
.Entonces las funciones
y1x , y2x,..., ynx son linealmente independientes en CI.
Ejemplo.
Las funciones ex
, xex
,x2
ex
son linealmente independientes
pues i  1 y1x  ex
ex
,ex
,ex

i  2 y2x  xex
xex
,xex
 ex
,2ex
 xex

i  3 y3x  x2
ex
x2
ex
,x2
ex
 2xex
,2ex
 x2
ex
 4xex

con x  x0  0 se tienen los vectores 1,1,1 ; 0,1,2 ; 0,0,2
como estos son linealmente independientes en 3
se tiene que las

22. funciones ex
, xex
,x2
ex
son linealmente independientes en CI.
Ejercicios. Probar que las funciones son linealmente independientes
en CI para el intervalo dado.
i) eax
; ebx
, a ≠ b I  −,
ii) 1,x,x2
I  −,
iii) 1 , ln x − 1
x  1
I  1,
iv) x ; xlnx I  0,
v) eax
cosbx ; eax
sinbx , b ≠ 0 , I  −,
EL WRONSKIANO.
Sean y1x , y2x,..., ynx funciones en CI
cada una de las cuales posee derivadas hasta el orden n − 1
en todos los puntos del intervalo I el determinante
y1x y2x y3x ... ynx
y1
′
x y2
′
x y3
′
x ... yn
′
x
y1
′′
x y2
′′
x y3
′′
x ... yn
′′
x
... ... ... ... ...
y1
n−1
x y2
n−1
x y3
n−1
x ... yn
n−1
x
define una función real en el intervalo I que se conoce
como el Wronskiano de las funciones y1x , y2x,..., ynx
W y1,y2,.., yn 
y1x y2x y3x ... ynx
y1
′
x y2
′
x y3
′
x ... yn
′
x
y1
′′
x y2
′′
x y3
′′
x ... yn
′′
x
... ... ... ... ...
y1
n−1
x y2
n−1
x y3
n−1
x ... yn
n−1
x
Puesto que las columnas de un determinante sean vectores
linealmente independiente es equivalente a que el determinante
sea distinto de cero el corolario anterior queda mejor formulado
como: Si en algún punto x0 ∈ I el Wronskiano es distinto
de cero entonces el conjunto de funciones
y1x , y2x,..., ynx son linealmente independientes en CI.
Ejemplos.
1) Wex
,e−x
 
ex
e−x
ex
−e−x
 − 2 ≠ 0 , ex
,e−x
li
2) x , 3x l d Wx,3x 
x 3x
1 3
 0
3) x
, x
, x

23. W x
, x
, x

x
x
x
x−1
x−1
x−1
 − 1x−2
 − 1x−2
 − 1x−2
W x
, x
, x
 −x
x
x
 −  − 
−
x3
con ,, distintos las funciones son l i.
Teorema:
Un conjunto de soluciones de una ecuación diferencial
lineal normal de orden n es linealmente independiente en CI
y por lo tanto una base para el espacio solución si y solo si su
Wronskiano nunca se anula en I.
Ejercicios.
Usando el Wronskiano demostrar que el conjunto de funciones es
linealmente independiente en CI.
i) 1 , e−x
, 2e2x
en cualquier intervalo.
ii) ex
, sin2x en cualquier intervalo.
iii) ex
, ex
sinx en cualquier intervalo.
iv) e−x
, x e−x
, x2
e−x
en cualquier intervalo
v) ln x−1
x1
 ; 1 en − ,−1
De acuerdo a los resultados anteriores el Wronskiano de un conjunto
de soluciones de una ecuación diferencial lineal homogénea normal o
bien se anula identicamente o bien no se anula nunca.Este hecho queda
corroborado en el siguiente resultado.
TEOREMA.
Sean y1x , y2x,..., ynx soluciones sobre un intervalo I
de la ecuación normal de orden n.
dn
y
dxn  an−1x
dn−1
y
dxn−1
 ...a1x
dy
dx
 a0xy  0
entonces
W y1x , y2x,..., ynx  C e
an−1xdx
para alguna constante C adecuada.
Este resultado se conoce como la formula de Abel para el Wronskiano.
Veamos el caso n  2.Supongamos que y1x , y2x son soluciones
de
d2
y
dx2
a1x
dy
dx
 a0xy  0
d
dx
W y1x , y2x  d
dx
y1x y2x
y1
′
x y2
′
x
 d
dx
y1x y2
′
x − y1
′
x y2x
d
dx
W y1x , y2x  y1
′
x y2
′
x  y1x y2
′′
x − y1
′
x y2
′
x − y1
′′
x y2x
 y1x −a1xy2
′
x − a0x y2x − y2x −a1xy1
′
x − a0x y1x

24. d
dx
W y1x , y2x  −a1x y1x y2
′
x − y1
′
x y2x  −a1xW y1x , y2x
d
dx
W y1x , y2x  a1xW y1x , y2x  0
entonces W y1x , y2x satisface la ecuación y′
 a1xy  0
la solución general de esta es yx  C e
−a1xdx
de forma que para alguna constante C se tiene W y1x , y2x  C e
−a1xdx
Ejemplo.
Sea y1x ≠ 0x una solución de
d2
y
dx2
a1x
dy
dx
 a0xy  0
con yx tambien solución se tiene que
W y1x , yx 
y1x yx
y1
′
x y′
x
 y1x y′
x − y1
′
x yx  C e
−a1xdx
y′
x −
y1
′
x
y1x
yx  C 1
y1x
e
−a1xdx
/ e
− y1
′ x
y1x
dx
 1
y1x
d
dx
yx
y1x
 C
y1x2
e
−a1xdx
yx
y1x
  C
y1x2
e
−a1xdx
dx  K
yx  C y1x  e
−a1xdx
y1x2
dx  K y1x
Se tiene entonces
Teorema: Si y1x es una solución no trivial de
d2
y
dx2
a1x
dy
dx
 a0xy  0
entonces y2x  y1x  e
−a1xdx
y1x2
dx es una solución de la
ecuación en cualquier subintervalo donde y1x ≠ 0 además
y1x , y2x es linealmente independiente y la solución
general de la ecuación es y  c1y1x  c2y2x
Ejercicios:
1) Hallar el Wronskiano de las soluciones de la ecuación.
i) x2
y′′
 xy′
 x2
 1y  0 ; y11  0 ; y1
′
1  1 ;y21  y2
′
1  1
ii) x2
y′′
− 3xy′
 y  0 ; y1−1  y1
′
−1  2 ; y2−1  0 ; y2
′
−1  −1
2) Hallar la solución general de la ecuación dada una solucion no trivial.
i) y′′
− 2ay′
 a2
y  0 ; y1x  eax
ii) y′′
 tanxy′
− 6cot2
y  0 ; y1x  sinx3
iii) 2xy′′
− ex
y′
 0 ; y1x  1

25. iv) 1 − x2
y′′
− 2xy′
 2y  0 ; y1x  x
ECUACIONES CON COEFICIENTES CONSTANTES.
Esta tiene la forma
anyn
 an−1yn−1
....a1y′
 a0y  hx
donde a0 ,a1 ,...,an ∈  y an ≠ 0
L  anDn
 an−1Dn−1
....a1D  a0 es el operador lineal
con coeficientes constantes.
Algebraicamente este operador se comporta como un polinomio en D
y como tal puede ser factorizado completamente en  con factores
unicamente de grado uno y de grado dos con discriminante negativo.
Además los factores conmutan.
La ecuación homogénea tiene la forma
anyn
 an−1yn−1
....a1y′
 a0y  0
o anDn
 an−1Dn−1
....a1D  a0y  0
La ecuación homogénea de orden dos.
Lema:
Si L1 ,L2 ,...,Ln son operadores diferenciales lineales con
coeficientes constantes entonces el espacio nulo de cada uno de
ellos está contenido en el espacio nulo de su producto.
KerLj ⊂ KerL1L2L3 ...Ln , j  1,2,3,...,n
Sea yx ∈ KerLj  Ljy  0 
L1L2L3 ...Lny  L1L2L3...Lj−1Lj1 ...LnLj y
 L1L2L3...Lj−1Lj1 ...Ln Ljy
 L1L2L3...Lj−1Lj1 ...Ln 0x  0
de donde KerLj ⊂ KerL1L2L3 ...Ln , j  1,2,3,...,n
Consideremos la ecuación diferencial lineal homogénea con
coeficientes constantes de segundo orden.
D2
 a1D  a0y  0
La expresión cuadrática D2
 a1D  a0 en  se comporta
en cuanto a sus raices de tres maneras.Con  , sus raices.
Caso1)  , reales y  ≠ 
D2
 a1D  a0y  0
D − D − y  0
Ahora ex
es una solución de D − y  0 ( ex
∈ KerD −  
ex
es una solución de D − y  0 ( ex
∈ KerD −  
de forma que por el lema anterior ex
, ex
∈ Ker D − D − 
es decir son soluciones de D − D − y  0 como

26. W ex
, ex

ex
ex
ex
ex
  − ex
≠ 0
son linealmente independientes y como el espacio solución tiene
dimensión dos,la solución general es yx  c1ex
 c2 ex
Caso 2)
raices reales e iguales
D − 2
y  0
aqui solo hay a la vista ex
pero ocupando la formula de Abel para
el Wronskiano se tiene que una segunda solución se puede obtener
con la formula y2x  y1x  e
−a1xdx
y1x2
dx
y2x  ex
 e
2dx
ex
2
dx  ex
 e2x
e2x
dx  xex
W ex
, xex

ex
xex
ex
xex
 ex
 e2x
≠ 0
son linealmente independientes y como el espacio solución tiene
dimensión dos,la solución general es yx  c1ex
 c2 xex
Caso 3) Raices complejas   a  bi ;   a − bi , b  0
considerando que son distintos según el caso 1 se tiene que la
solución general es
yx  c1ex
 c2ex
 c1eabix
 c2ea−bix
yx  eax
c1ebix
 c2e−bix

ocupando la formula de Euler ei
 cos  isin se tiene
yx  eax
c1cosbx  isinbx  c2cosbx − isinbx
yx  c1eax
cosbx  c2eax
sinbx la solución general.
Ahora eax
cosbx y eax
sinbx son soluciones linealmente
independientes de la ecuación D − a  biD − a − biy  0
D2
− 2aD  a2
 b2
y  0
y  eax
cosbx
y′
 acosbxeax
− beax
sinbx
y′′
 − eax
b2
cosbx − a2
cosbx  2absinbx
 − eax
b2
cosbx − a2
cosbx  2absinbx − 2aacosbxeax
− beax
sinbx 
 cosbxeax
a2
 b2
  0
análogamente eax
sinbx
W eax
cosbx , eax
sinbx 

eax
cosbx eax
sinbx
acosbxeax
− beax
sinbx bcosbxeax
 aeax
sinbx
bcosbx2
e2ax
 ae2ax
cosbxsinbx − ae2ax
cosbxsinbx  bsinbx2
e2ax
be2ax

27. W eax
cosbx , eax
sinbx  be2ax
≠ 0
luego son soluciones linealmente independientes.
Resumen:
Para resolver una ecuación diferencial lineal con coeficientes
constantes de orden dos de la forma
D2
 a1D  a0y  0 hallamos las raices de expresión
cuadrática D2
 a1D  a0 entonces la solución general
de la ecuación es como sigue:
 ,  raices SOLUCIÓN GENERAL
reales  ≠  yx  c1 ex
 c2 ex
reales    yx  c1 ex
 c2 x ex
complejas   a  bi ;   a − bi yx  c1 eax
cosbx  c2 eax
sinbx
Ejercicios:
1) Hallar la solución general de
i) y′′
− y′
− 6y  0
ii) y′′
− 10y′
 25y  0
iii) y′′
 6y′
 9y  0
iv) y′′
− 14y′
 49y  0
v) y′′
− 4y′
 8y  0
vi) y′′
 10y′
 26y  0
vii) y′′
− 2y′
 10y  0
Ecuaciones homogéneas de orden arbitrario.
El desarrollo anterior se extiende fácilmente a ecuaciones
de orden superior.Por ejemplo
D4
− 2D3
 2D2
− 2D  1y  0
factorizamos el operador completamente
D − 12
D2
 1y  0
los factores nos entregan las soluciones
ex
, xex
, cosx , sinx las cuales al ser un conjunto linealmente
independiente (Ver Wronskiano es muy largo) dan la solución general
yx  c1ex
 c2xex
 c3 cosx  c4 sinx .
La discusión está ahora completa salvo por casos como
D − 15
D2
 1y  0 o D − 12
D2
 16
y  0
para esto usamos
Lema.
Si yx ∈ KerL entonces xm−1
yx ∈ KerLm
En base a los dos lemas se tiene por ejemplo
ex
∈ KerD − 1 o sea satisface D − 1y  0
se tiene que xex
∈ KerD − 12
y por resultado anterior xex
∈ KerD − 15
x2
ex
∈ KerD − 13
; x3
ex
∈ KerD − 14
, x4
ex
∈ KerD − 15
En resumen se tiene entonces lo siguiente:
Si en la factorización completa del operador

28. L  anDn
 an−1Dn−1
....a1D  a0 aparece el factor D − m
entonces en el espacio nulo del operador aparecen las funciones
ex
, xex
, x2
ex
,...., xm−1
ex
Para el caso de raices complejas a  bi , a − bi donde aparece el
factor D2
− 2aD  a2
 b2
m
en el espacio nulo aparecerán las
funciones
eax
cosbx ; x eax
cosbx ; x2
eax
cosbx , ...., xm−1
eax
cosbx
eax
sinbx ; x eax
sinbx ; x2
eax
sinbx , ...., xm−1
eax
sinbx
Ejemplos:
1) Resolver
yv
 3yiv
 2y′′′
 6y′′
 y′
 3y  0
D5
 3D4
 2D3
 6D2
 D  3y  0
D  3D2
 12
y  0
e−3x
corresponde al factor D  3
cosx , sinx corresponden al factor D2
 1
de forma que las funciones
e−3x
, cosx , sinx ,xcosx , xsinx son soluciones de la ecuación.
Para ver que son una base del espacio solución (que tiene dimensión 5)
hay que ver que es un conjunto linealmente independiente.Como el
Wronskiano es un determinante de orden 5 ese camino es ineficiente.
La solución general es
yx  ae−3x
 bcosx  csinx  d xcosx  e xsinx
2) Resolver y7
− 2y5
 y3
 0
D7
− 2D5
 D3
y  0
D3
D4
− 2D2
 1y  0
D3
D2
− 12
y  0
D3
D − 12
D  12
y  0
como D − y  0 tiene a ex
como solución tenemos
1 por D , 1 ,x ,x2
por D3
ex
por D − 1 ; ex
, xex
por D − 12
e−x
por D  1 ; e−x
, xe−x
por D  12
la solución general es
yx  c1  c2 x  c3 x2
 c4 ex
 c5 xex
 c6 e−x
 c7 xe−x
3) Hallar una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes
que tenga entre sus soluciones a e2x
y a x3
e−3x
.
Debe estar el operador D − 2 por e2x
Debe estar D  3 por e−3x
y D  34
por x3
e−3x
D − 2D  34
y  0 es la ecuación de minimo orden que tiene
a esas funciones entre sus soluciones.
4) Hallar un operador lineal de coeficientes constantes L que al ser apli-
cado a la ecuación D2
 1D − 1y  ex
 2 − 7xsinx produzca una
acuación homogénea.

29. L debe contener como factor D que aniquila al 2, debe contener
D − 1 para que aniquile a ex
, finalmente como D2
 1 anula a sinx
debe estar el factor D2
 12
o sea L  DD − 1D2
 12
aplicado a
la ecuación produce la ecuación homogénea
DD2
 13
D − 12
y  0
5) La ecuación D − 2D  53
D2
− 4D  13y  0
tiene las soluciones e2x
,e−5x
,xe−5x
,x2
e−5x
,e2x
cos3x,e2x
sin3x
probar que son un conjunto linealmente independiente y por
consecuencia una base para el espacio solución.
c1e2x
 c2e−5x
 c3xe−5x
 c4x2
e−5x
 c5e2x
cos3x  c6e2x
sin3x  0x
aplicamos a esta relación el operador D  53
D2
− 4D  13
el cual anula(aniquila) a las funciones e−5x
,xe−5x
,x2
e−5x
,e2x
cos3x,e2x
sin3x
pero no a e2x
y como es lineal se tiene
c1D  53
D2
− 4D  13e2x
 0 como D  53
D2
− 4D  13e2x
≠ 0
nos da c1  0 nos queda la relación
c2e−5x
 c3xe−5x
 c4x2
e−5x
 c5e2x
cos3x  c6e2x
sin3x  0x
aplicamos ahora el operador D  52
D2
− 4D  13 el cual aniquila
a todos los terminos salvo a x2
e−5x
lo que deja
c4D  52
D2
− 4D  13x2
e−5x
  0 de aqui c4  0
c2e−5x
 c3xe−5x
 c5e2x
cos3x  c6e2x
sin3x  0x / D  5D2
− 4D  13
c3D  5D2
− 4D  13xe−5x
  0 implica c3  0
a c2e−5x
 c5e2x
cos3x  c6e2x
sin3x  0x / D2
− 4D  13
c2D2
− 4D  13e−5x
  0 implica c2  0
c5e2x
cos3x  c6e2x
sin3x  0x x3
 3x2
− x − 3
x  0 implica c5  0
c6e2x
sin3x  0x implica c6  0
el conjunto es linealmente independiente.
Ejercicios:
1) Hallar la solución general de las siguientes ecuaciones.
i) y′′′
 3y′′
− y′
− 3y  0
ii) y′′′
 5y′′
− 8y′
− 12y  0
iii) y′′′
 6y′′
 13y′
 0
iv) yiv
 18y′′
 81y  0
v) 4yiv
− 8y′′′
− y′′
 2y′
 0
vi) yv
 6 yiv
 15y′′′
 26y′′
 36y′
 24y  0
2) Hallar operadores diferenciales lineales que aniquilen a cada
un de las funciones.
i) x2
ex1
ii) 3e2x
cos2x
iii) x2
sinxcosx iv) 3  4x − 2e−x
v) x2x  1sinx vi) x2
ex
sin2
x
vii) xex
 13
viii) x2
− 11  cosxe3x
LA ECUACIÓN NO HOMOGÉNEA.

30. METODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS.
Para introducir el método supongamos que tenemos la ecuación
D2
− 4y  3ex
La ecuación homogénea asociada tiene como solución general
yhx  c1e2x
 c2e−2x
Debido al aspecto de la ecuación se tiene la idea que hay una
solución particular de la ecuación que tiene la forma ypx  a ex
para conocer a la reemplazamos en la ecuación y se tiene
D2
− 4a ex
  a ex
− 4aex
 −3aex
 3ex
tomando a  −1 se tiene entonces que ypx  − ex
es una
solución particular de D2
− 4y  3ex
por lo tanto la solución
general es yx  − ex
 c1e2x
 c2e−2x
.
Este método donde una solución particular de la ecuación
se conoce salvo por algunas constantes que pueden ser
conocidas reemplazando esta solución en la ecuación se
conoce como el método de los coeficientes indeterminados.
Este método depende de la habilidad de reconocer la forma de
una solución particulares es por ello que carece de generalidad,
sin embargo la frecuencia con que puede usarse justifica que se
le tenga atención.
Un tipo de ecuaciones donde este método siempre funciona es una
ecuación lineal con coeficientes constantes Ly  hx donde hx
es una solución de alguna ecuación del mismo tipo,entonces podemos
hallar un operador L1 que aniquile a hx L1hx  0 para
convertir la ecuación en una que es homogénea L1 Ly  0 y así
obtener una solución particular de Ly  hx a partir de una adecuada
elección de las constantes desde la solución general de L1 Ly  0 .
Ejemplos
1) Resolver D2
 1y  3x2
 4 / D3
D3
D2
 1y  0
su solución es yx  c1  c2x  c3x2
 c4 cosx  c5 sinx
reemplazando en la ecuación original hallamos las constantes
adecuadas.Pero los dos últimos terminos son aniquilados por
el operador de la ecuación D2
 1 de forma que inevitablemente
en el proceso desaparecerán.Entonces diremos que la forma de
una solución particular será ypx  a  b x  c x2
.
y′′
 y  3x2
 4
ypx  a  b x  c x2
yp
′
x  b  2cx
yp
′′
x  2c
2c  a  b x  c x2
 3x2
 4
de aquí c  3 ; b  0 ; a  −2
ypx  3x2
− 2
solución general yx  −2  3x2
 c1 cosx  c2 sinx , c1 ,c2 ∈ .

31. 2) D2
− 4D  4y  2e2x
 cosx / D − 2D2
 1
D − 23
D2
 1y  0 ; ypx  Ax2
e2x
 Bcosx  Csinx
y′′
− 4y′
 4y  2e2x
 cosx
ypx  Ax2
e2x
 Bcosx  Csinx
yp
′
x  2Axe2x
 2Ax2
e2x
− Bsinx  Ccosx
yp
′′
x  2Ae2x
 4Axe2x
 4Axe2x
 4Ax2
e2x
− Bcosx − Csinx
————————————————————————————————
yp
′′
x  2Ae2x
 8Axe2x
 4Ax2
e2x
− Bcosx − Csinx
−4 yp
′
x  −8Axe2x
− 8Ax2
e2x
 4Bsinx − 4Ccosx
4 ypx  4Ax2
e2x
 4Bcosx  4Csinx 
—————————————————————————–
2e2x
 cosx  2Ae2x
 3B − 4Ccosx  4B  3Csinx
de aquí
A  1 ; 3B − 4C  1 ; 4B  3C  0
A  1 ; B  3
25
; C  −4
25
ypx  x2
e2x
 3
25
cosx − 4
25
sinx
la solución general
yx  x2
e2x
 3
25
cosx − 4
25
sinx  c1 e2x
 c2 x e2x
Ejercicios.
1) Usando el método de los coeficientes indeterminados resolver.
i) D2
 D − 6y  6x  1
ii) D2
− 5D  6y  −2  36x2
 ex
iii) D2
− 4D  8y  e2x
1  sin2x
iv) D3
 3D2
 3D  1y  x4
 4x3
 10x2
 20x  1
v) D3
− D2
− D  1y  2x  2e−x

vi) D4
 5D2
 4y  2cosx.
2) Dar la forma de una solución particular.
i) D2
− 4D  4y  x2e2x
 xsinx
ii) D2
 2D  2y  x2
− 3xe−2x
cos5x
ii) D3
− 13
 2x  12
ex
 1
2
xsinx
LA ECUACIÓN NO HOMOGÉNEA.
Variación de parámetros.
Recordemos que la solución general de la ecuación diferencial lineal normal
anx
dn
y
dxn  an−1x
dn−1
y
dxn−1
....a1x
dy
dx
 a0xy  hx

32. puede ser escrita como yx  ypx  yhx donde ypx es una solución
particular de la ecuación y yhx es la solución general de la ecuación
homogénea asociada.Bajo la premisa de que la ecuación homogénea
asociada anx
dn
y
dxn  an−1x
dn−1
y
dxn−1
....a1x
dy
dx
 a0xy  0
está resuelta (lo cual es cierto en el caso de coeficientes constantes) se
tiene yhx  c1y1x  c2y2x ....cnynx se hace la suposición
que es posible encontrar una solución particular de la ecuación haciendo
que los parámetros sean ahora variables y hallarlos via sustitución en la
ecuación.
Concretamente ypx  c1xy1x  c2xy2x ....cnxynx
En el caso n  2
d2
y
dx2
 a1x
dy
dx
 a0xy  hx
definida en un intervalo I con yhx  c1y1x  c2y2x , c1,c2 ∈ 
la solución general de la ecuación homogénea asociada.Buscamos una
solución
ypx de
d2
y
dx2
 a1x
dy
dx
 a0xy  hx que cumpla
yx0  0 ∧ y′
x0  0
donde x0 ∈ I un punto arbitrario.
ypx  c1xy1x  c2xy2x reemplazando en la ecuación omitiendo la x.
c1y1  c2y2′′
 a1c1y1  c2y2′
 a0c1y1  c2y2  hx
c1
′
y1  c1y1
′
 c2
′
y2  c2y2
′
′
 a1c1
′
y1  c1y1
′
 c2
′
y2  c2y2
′
  a0c1y1  c2y2  hx
los terminos c1y1
′′
 a1y1
′
 a0y1   0 ; c2y2
′′
 a1y2
′
 a0y2   0 porque
y1x ; y2x son soluciones de
d2
y
dx2
 a1x
dy
dx
 a0xy  0
c1
′′
y1  2c1
′
y1
′
 c2
′′
y2  2c2
′
y2
′
  a1c1
′
y1  c2
′
y2  hx
c1
′
y1  c2
′
y2′
 a1c1
′
y1  c2
′
y2  c1
′
y1
′
 c2
′
y2
′
  hx
para que esto se cumpla
c1
′
xy1x c2
′
xy2x  0
c1
′
xy1
′
x c2
′
xy2
′
x  hx
con la regla de Cramer
c1
′
x 
0 y2x
hx y2
′
x
y1x y2x
y1
′
x y2
′
x

−y2xhx
Wy1x,y2x
, c1x  
x0
x
−y2tht
Wy1t,y2t
dt
c2
′
x 
y1x 0
y1
′
x hx
y1x y2x
y1
′
x y2
′
x

y1xhx
Wy1x,y2x
; c2x  
x0
x
y1tht
Wy1t,y2t
dt

33. ypx  c1xy1x  c2xy2x
ypx  
x0
x
−y2tht
Wy1t,y2t
dt y1x  
x0
x
y1tht
Wy1t,y2t
dt y2x
o bien
ypx  
x0
x
y1ty2x − y2ty1x
Wy1t,y2t
htdt
Ejemplo. Resolver y′′
− y′
− 2y  e2x
D2
− D − 2y  0 homogénea asociada.
D − 2D  1y  0 , yhx  c1e2x
 c2e−x
sea y1x  e2x
; y2x  e−x
Wy1t,y2t 
e2t
e−t
2e2t
−e−t
 −3et
ypx  
0
x
e2t
e−x
− e−t
e2x
−3et e2t
dt  −1
3
e−x

0
x
e3t
dt  1
3
e2x

0
x
dt
ypx  −1
3
e−x
 1
3
e3x
− 1
3
  1
3
e2x
x  − 1
9
e2x
 1
9
e−x
 1
3
xe2x
al ser − 1
9
e2x
 1
9
e−x
soluciones de la homogénea se descartan
entonces ypx  1
3
xe2x
la solución general es yx  1
3
xe2x
 c1e2x
 c2e−x
Ejemplo: y′′
 4y  tan2x
y′′
 4y  0 , yhx  c1 cos2x  c2 sin2x
sea y1x  cos2x ; y2x  sin2x
Wy1t,y2t 
cos2t sin2t
−2sin2t 2cos2t
 2
ypx  
0
x
cos2t sin2x − sin2t cos2x
2
tan2t dt
ypx  1
2
sin2x 
0
x
sin2t dt − 1
2
cos2x 
0
x
sin2t tan2t dt

0
x
sin2t dt  1
2
− 1
2
cos2x

34. 
0
x
sin2t tan2t dt  
0
x
sin2
2t
cos2t
dt  
0
x
1 − cos2
2t
cos2t
dt  
0
x
sec2t dt − 
0
x
cos2t dt

0
x
sin2t tan2t dt  1
2
ln sec2x  tan2x − 1
2
sin2x
ypx  1
2
sin2x 1
2
− 1
2
cos2x − 1
2
cos2x 1
2
ln sec2x  tan2x − 1
2
sin2x
ypx  − 1
4
cos2x ln sec2x  tan2x
solución
yx  − 1
4
cos2x ln sec2x  tan2x  c1 cos2x  c2 sin2x
Ejercicios.
Resolver usando el método de variación de parámetros.
i) y′′
 9y  3sec3x
ii) y′′
 2y′
 y  1
x e−x
iii) y′′
 y′
− 6y  x
iv) y′′
− 5y′
 6y  8sin2
4x
v) y′′
− 3y′
 2y  cose−x

REDUCCIÓN DE ORDEN.
El método de variación de parámetros exige que la ecuación homogénea
asociada esté resuelta,pero podemos simplificar y en algunos casos resolver
la ecuación aun cuando no tengamos una base completa del espacio solución
de la ecuación homogénea asociada.En este caso el método de variación de
parámetros conduce a la reducción del orden de la ecuación.
Ejemplo
Resolver la ecuación xy′′
− xy′
− 2y′
 2y  x3
 x
se tiene como dato que ex
es una solución de xy′′
− xy′
− 2y′
 2y  0
ponemos y  cxex
; y′
 c′
xex
 cxex
;
y′′
 c′′
xex
 2c′
xex
 cxex
reemplazo en la ecuación
xc′′
xex
 2c′
xex
 cxex
 − xc′
xex
 cxex
 − 2c′
xex
 cxex
  2cxex
 x3
xc′′
xex
 xc′
xex
− 2c′
xex
 x3
 x
c′′
x  1 − 2
x c′
x  x2
e−x
 e−x
ponemos ux  c′
x
u′
x  1 − 2
x ux  x2
e−x
 e−x
/ e
1−
2
x dx
 ex
x2
d
dx
ex
x2
ux  1  1
x2

35. ex
x2
ux  x − 1
x  c1
ux  x3
e−x
− xe−x
 c1 x2
e−x
c′
x  x3
e−x
− xe−x
 c1 x2
e−x
cx 
x3
e−x
dx  − 6 x
ex − 3 x2
ex − x3
ex − 6
ex
xe−x
dx  − x
ex − 1
ex
x2
e−x
dx  − 2 x
ex − x2
ex − 2
ex
cx  −6 x
ex − 3 x2
ex − x3
ex − 6
ex  − − x
ex − 1
ex   c1 −2 x
ex − x2
ex − 2
ex  c2
cx  − e−x
x3
 3x2
 5x  5  c1 −2 x
ex − x2
ex − 2
ex  c2
con ello
yx  −x3
 3x2
 5x  5  c1 −2x − x2
− 2  c2 ex
Ejercicios.
Hallar la solución general de la ecuación usando la solución dada de la
ecuación homogénea asociada.
i) y′′
 xy′
 3x ; 1
ii) 4x2
y′′
− 8xy′
 9y  0 ; x
3
2
iii) xy′′
 2  xy′
 y  e−x
; x−1
iv) xy′′
 x − 1y′
− y  0 ; e−x
LA ECUACIÓN DE EULER.
Una ecuación de la forma
xn dn
y
dxn  an−1xn−1 dn−1
y
dxn−1
 an−2xn−2 dn−2
y
dxn−2
....a2x2 d2
y
dx2
 a1x
dy
dx
 a0y  0
o en la forma de operadores Ly  0
xn
Dn
 an−1xn−1
Dn−1
....a1xD  a0y  0
con a0,a1,...,an−1 constantes
se conoce como la ecuación de Euler homogénea de orden n.
Un cambio de variables convierte esta ecuación en una con coeficientes
constantes.
Para g función n veces diferenciable definimos Tgx  glnx
T es lineal y tiene inversa con T−1
fx  fex

DTg  Dglnx  1
x g′
x  1
x TDg
D2
Tg  D DTg  D 1
x TDg  − 1
x2
TDg  1
x DTDg  − 1
x2
TDg  1
x2
TD2
g
D2
Tg  1
x2
TDD − 1g
D3
Tg  D 1
x2
TDD − 1g  −2
x3
TDD − 1g  1
x2
DTDD − 1g

36. D3
Tg  −2
x3
TDD − 1g  1
x3
TD2
D − 1g  1
x3
TDD − 1D − 2g
en general
Dk
Tg  1
xk
TDD − 1D − 2...D − k  1g
con ello
xk
Dk
T  TDD − 1D − 2...D − k  1
el operador
L  xn
Dn
 an−1xn−1
Dn−1
....a1xD  a0
LT  xn
Dn
T  an−1xn−1
Dn−1
T ....a1xDT  a0T
LT  T

L
con

L  DD − 1...D − n  1  an−1DD − 1...D − n  2 ...a1D  a0
La ecuación
Ly  0
LT T−1
y  0
T

LT−1
y  0

LT−1
y  0 la cual es una ecuación con coeficientes constantes.
Ejemplo:
Resolver x3
y′′′
 x2
y′′
− 2xy′
 2y  0

L  DD − 1D − 2  DD − 1 − 2D  2  D3
− 2D2
− D  2

L  D − 1D − 2D  1

LT−1
y  0
T−1
y  c1 ex
 c2 e2x
 c3 e−x
/ T
y  c1 Tex
  c2 Te2x
  c3 Te−x

y  c1 x  c2 x2
 c3
1
x
Ejemplo.
x2
y′′
 2xy′
− 2y  0

L  DD − 1  2D − 2  D2
 D − 2  D  2D − 1

LT−1
y  0
T−1
y  c1 ex
 c2 e−2x
y  c1 x  c2
1
x2
Ejercicios:
Hallar la solución general de las siguientes ecuaciones de Euler.
i) x2
y′′
 xy′
 9y  0
ii) x2
y′′
− 3xy′
 7y  0
iii) x3
y′′′
 9x2
y′′
 19xy′
 8y  0
iv) x3
y′′′
− 5x2
y′′
 18xy′
− 26y  0
v) x3
y′′′
− 7x2
y′′
 19xy′
 104y  0
Para el caso de la ecuación de Euler no homogénea hacemos.
Ly  h
L T T−1
y  T T−1
h

37. T

L T−1
y  T T−1
h

L T−1
y  T−1
h
la cual es una ecuación con coeficientes constantes.
Ejemplo
Resolver x2
y′′
 xy′
 x  x2

L  DD − 1  D  D2
; T−1
x  x2
  T−1
x  T−1
x2
T−1
x  x2
  ex
 e2x
D2
T−1
y  ex
 e2x
pongamos ux  T−1
y
La homogénea tiene la solución uhx  c1  c2 x
upx  Aex
 Be2x
up
′
x  Aex
 2Be2x
up
′′
x  Aex
 4Be2x
Aex
 4Be2x
 ex
 e2x
de donde A  1 ; B  1
4
entonces T−1
y  ex
 1
4
e2x
 c1  c2 x / T
y  x  1
4
x2
 c1  c2 lnx
Ejercicios
Resolver
i) x2
y′′
 xy′
− 9y  x3
 1
ii) x2
y′′
 4xy′
 2y  2lnx
iii) x2
y′′
 xy′
 9y  sinlnx3

iv) x3
y′′′
 4 x2
y′′
 xy′
 y  x