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1. ECUACIONES EXACTAS <br />Por supuesto que no todas las ecuaciones diferenciales de primer orden escritas en la forma Mx,ydx+Nx,ydy=0 corresponde a una diferencial de fx,y=c .<br />DEFINICION<br />Una expresión diferencial Mx,ydx+Nx,ydy es una diferencial exacta en una región R del plano x,y si esta corresponde a la diferencial de primer orden de la forma <br />Mx,ydx+Nx,ydy=0<br />Se dice que es una ecuación exacta si la expresión del lado izquierdo es una diferencial exacta.<br />CRITERIO PARA UNA DIFERENCIAL EXACTA <br />Sean Mx,ydx+Nx,ydy continuas y que tienen primeras derivadas parciales continuas en una región rectangular R definida por a<x<b,c<y<d. Entonces una condición necesaria y suficiente para que Mx,ydx+Nx,ydy sea una diferencial exacta es:<br />∂M∂y=∂N∂x<br />SOLUCION<br />Dada la ecuación en la forma diferencial Mx,ydx+Nx,ydy=0, determine si la igualdad de la ecuación es válida .si es así entonces existe una función f para la que <br />∂fdx=Mx,y.<br />Podemos determinar f integrando Mx,yrespecto a mientras y se conserva constante <br />fx,y=Mx,ydx+g´y<br />Donde la función arbitraria g(y) es la constante de integración . Ahora derivando respecto a y y suponiendo que ∂f∂y=Nx,y:<br />∂f∂y=∂∂yMx,ydx+g´y=Nx,y<br />Se obtiene<br />g´y=Nx,y-∂∂yMx,ydx<br />Por último se integra la ecuación respecto a y y se sustituye el resultado en la ecuación. La solución implícita de la ecuación es fx,y=c.<br />Haremos algunas observaciones en orden. Primero, es importante darse cuenta de que la expresión Nx,y-(∂∂y)Mx,ydx es independiente de x ya que <br />∂∂x[Nx,y-∂∂yMx,ydx]=∂N∂x-∂∂y(∂∂xMx,ydx)=∂N∂x-∂M∂y=0<br />Segunda, pudimos iniciar bien el procedimiento anterior con la suposición de que ∂f∂y=N(x,y).despues, integrando N respecto a y y derivando este resultado , encontraremos las ecuaciones que , respectivamente , son análogas a las ecuaciones <br />fx,y=Nx,ydy+h(x) y h´x=Mx,y-∂∂xNx,ydy.<br />