Este documento describe tres distribuciones de probabilidad: la hipergeométrica, la binomial y la de Poisson. La distribución hipergeométrica se aplica cuando se realiza un muestreo sin reemplazo de una población finita. La distribución binomial se aplica para muestreos con reemplazo y la de Poisson modela datos discretos cuando el tamaño de muestra es grande. Cada distribución tiene una función de densidad y parámetros específicos. El documento también incluye ejemplos para ilustrar el cálculo de probabilidades usando

3. 3
Distribución hipergeométrica
 Se aplica cuando n > 0.1N
 El muestreo se hace sin reemplazo
 P(x,N,n,D) es la probabilidad de exactamente
x éxitos en una muestra de n elementos
tomados de una población de tamaño N que
contiene D éxitos. La función de densidad de
distribución hipergeométrica:

4. N
nD
 




















1
12
N
nN
N
D
N
nD


5. Distribución hipergeométrica
Ejemplo: De un grupo de 20 productos, 10 se
seleccionan al azar para prueba. ¿Cuál es la
probabilidad de que 10 productos
seleccionados contengan 5 productos buenos?
Los productos defectivos son 5 en el lote.
N = 20, n = 10, D = 5, (N-D) = 15, x = 5
P(x=5) = 0.0183 = 1.83%

6. 6
Distribución binomial
 Se aplica para poblaciones grandes N>50
y n<0.1N con p >= 0.1.
 El muestreo binomial es con reemplazo
 La binomial es una aproximación de la
hipergeométrica
 La distribución normal se aproxima a la
binomial cuando np > 5

7. 7
La variable aleatoria X tiene una distribución binomial
Tiene media y varianza.

8. Ejercicio
Sea X=número de preguntas contestadas correctamente en el test
de un total de 10
preguntas. Calcular las probabilidades de contestar:
a) cinco preguntas correctamente
b) uno ó más preguntas correctamente
c) cinco o más preguntas correctamente
d) entre 3 y 6 preguntas correctamente.
Solución:
n=10
p=p(éxito)=p(pregunta contestada correctamente)=0.5, por tanto p
permanece constante.
Asumiendo independencia entre las contestaciones de las
preguntas, obtenemos que X~ b(10,0.5).
Entonces:
a) P(x=5)=b(x=5,n=10,p=0.5)
b) P(X≥1)=1-P(X<1)=1-P(X=0)=1-b(x=0,n=10,p=0.5).
c) P(X≥5)=1-P(X<5)=1-P(X≤4)=1-B(x≤4,n=10,p=0.5).
d) P(3≤x≤6)= B(x≤6;n=10,p=0.5)-B(x≤2;n=10,p=0.5)

9. 9
Distribución de Poisson
 Se utiliza para modelar datos
discretos
 Se aproxima a la binomial cuando p
es igual o menor a 0.1, y el tamaño
de muestra es grande (n > 16) por
tanto np > 1.6

10. Distribución de Poisson
Una Variable aleatoria X tiene distribución Poisson si
toma probabilidades con.

11. Ejercicio:
Supongamos que el número de imperfecciones en un alambre delgado de cobre
sigue
una distribución Poisson con una media de 2.4 imperfecciones por milímetro.
(a) Determine la probabilidad de 2 imperfecciones en un milímetro de alambre.
(b) Determine la probabilidad de 10 imperfecciones en 5 milímetros de alambre.
(c) Determine la probabilidad de al menos una imperfección en 2 mm de alambre
Solución:
Usando las tablas estadística de Poisson
(a) P(x=2;λ=2.4)= 0.2613
(b) Sea que X denote el número de imperfecciones en 5 milímetro de alambre.
Entonces, X tiene una distribución Poisson con λ=5mmx2.4 imperfecciones/mm
λ = 12.0 imperfecciones. Entonces P(x=10;λ=12.0)=0.1048.
(c) Sea que x denote el número de imperfecciones en 2 milímetros de alambra.
Entonces, X tiene una distribución de Poisson con λ=2mmx2.4 imperfecciones
xmm =λ=4.8 imperfecciones. Entonces P(x≥1;λ=4.8)=1-P(x<1;λ=4.8)=1-
0.0082=0.9918.