2. Se dice que una variable aleatoria es continua si toma valores
en el conjunto de los números reales, o en un intervalo de
números reales.
Por ejemplo, consideremos que vamos a tomar la estatura a los
miembros de un grupo de personas. Entonces si seleccionamos
una persona al azar la estatura de esta persona no tendrá un valor
discreto (entero), si no que estará en un intervalo real.
Distribución de Probabilidades
Variable aleatoria continua

3. ∞<<∞−∫
∞−
=≤= xpara
x
duufxXPxF )()()(
.),( ∞<<∞− xxf
∫
∞
∞−
== dxxxf
X
XE )()( µ
∫
∞
∞−
−== dxxf
X
x
X
XV )(2)(2)( µσ
La función de distribución acumulada de una v.a.c. X es
Con lo cual es extendida la definición de distribución acumulada a todos los números reales.
Valor Esperado De Una Variable Aleatoria Continua
Supóngase que X es una v.a.c. con f.d.p.
La media de X, denotada E(X) o µX
, es
La varianza de X, denotada por V(X) o
σ2
X
, es
Asimismo, la desviación estándar de X es σX
=[V(X)]½

4. Variable aleatoria discreta
VARIABLE ALEATORIA DISCRETA: Se dice que una Variable
aleatoria Discreta o Discontinua X, tiene un conjunto definido de valores
posibles x1,x2,x3,…..xn con probabilidades respectivas p1,p2,p3,…..pn.,
Es decir que sólo puede tomar ciertos valores dentro de un campo de
variación dado. Como X ha de tomar uno de los valores de este conjunto,
entonces p1 + p2 +…+ pn=1. En general, una variable aleatoria discreta X
representa los resultados de un espacio muestral en forma tal que por P(X
= x)

5. En general, si se tienen n ensayos Bernoulli con probabilidad
de éxito p y de fracaso q, entonces la distribución de
probabilidad que la modela es la distribución de
probabilidad binomial y su regla de correspondencia es:
para x=0,1,2,…,n.
La variable binomial es una variable aleatoria discreta, sólo
puede tomar los valores 0, 1, 2, 3, 4, ..., n suponiendo que se han
realizado n pruebas. Como hay que considerar todas las
maneras posibles de obtener k-éxitos y (n-k) fracasos debemos
calcular éstas por combinaciones (número combinatorio n sobre
k).

6. 6
La Distribución Normal: Ejemplo
x
110 115 120 125 130 135 140 145
0
0,03
0,06
0,09
0,12
0,15
0.3
5.126
=
=
σ
µ
X : Largo de un tornillo en mm
LIE = 115 LSE = 139

7. 7
La Distribución Normal: Ejemplo
• ¿Cuál es el porcentaje de mediciones del largo de un
tornillo en mm que están dentro de las especificaciones
de 115 mm y 139 mm, sabiendo que μ =126,5 mm y σ
=3mm ?
( )
( )
%4,86864.0
17.117.2
3
5.126130
3
5.126120
130120
==
≤≤−=





 −
≤≤
−
=≤≤
ZP
ZPXP

8. 8
Distribución de la Media Muestral
Si la población de la cual provienen las muestras
tiene distribución normal con media y varianza
2
y σµ
entonces la media muestral sigue una distribución
normal con media y varianza
n
2
y
σ
µ

9. 9
Distribución de la Media Muestral
Ejemplo
Si se tomaran muestras, cada una de 4 mediciones, de
Los largos de tornillos (X), y si esta variable tiene
distribución normal con
9y5,126 2
== σµ
entonces la media muestral sigue una distribución
normal con
4
9
y5,126
2
==
n
σ
µ

10. 10
Ejemplo
• Suponga una pequeña población con 4 posibles
mediciones
• Valores de la variable X:
18 20 22 24
18 20 22 24
Distribución Uniforme
P(X)
X
0.25
( )
5
21
1
2
2
1
=
−
=
==
∑
∑
=
=
N
x
N
x
N
i
i
N
i
i
µ
σ
µ

11. 11
Ejemplo
1° 2° Obs
Obs 18 20 22 24
18 18,18 18,20 18,22 18,24
20 20,18 20,20 20,22 20,24
22 22,18 22,20 22,22 22,24
24 24,18 24,20 24,22 24,24
16 muestras tomadas
con reemplazo
16 medias
muestrales
1° 2° Obs
Obs 18 20 22 24
18 18 19 20 21
20 19 20 21 22
22 20 21 22 23
24 21 22 23 24

12. 12
Ejemplo
1° 2° Observation
Obs 18 20 22 24
18 18 19 20 21
20 19 20 21 22
22 20 21 22 23
24 21 22 23 24
Distribución muestran de todas las medidas
muéstrales
18 19 20 21 22 23 24
0
.1
.2
.3
X
Distribución de
las medias
muéstrales
16 medias muéstrales
_

13. 13
Ejemplo
Media y varianza de la distribución muestral
( )
496.2
16
21
16
24...191918
16
16
1
2
2
16
1
=
−
=
=
++++
==
∑
∑
=
=
i
Xi
i
i
X
X
X
µ
σ
µ

14. 14
Ejemplo
18 19 20 21 22 23 24
.0
.1
.2
.3
X
Distribución de las
medias muestrales
n = 2
18 20 22 24
.0
.1
.2
.3
Población
N = 4
X
2 1 2 .2 3 6µ σ= = 21 1.58X X
µ σ= =