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COMPETENCIAS
Al terminar esta unidad, el estudiante estará en capacidad de:
Comprender y aplicar con suficiencia, las nociones, conceptos, definiciones, axiomas y leyes que
fundamentan la teoría de conjuntos, en el estudio y análisis de las fuentes documentales, referenciadas para
dinamizar el proceso de aprendizaje y en situaciones específicas, donde es pertinente su aplicabilidad.
TEORÍA DE CONJUNTOS.
La teoría de conjuntos es una rama de las matemáticas; se considera como padre de la teoría de conjuntos,
al matemático George Ferdinand Cantor. La teoría de conjuntos, dentro de la lógica, es fundamental, ya que
permite desarrollar la simbolización y representación de las proposiciones y sus respectivas funciones de
manera grafica.
1. CONCEPTO Y PROPÓSITO DE LOS CONJUNTOS.
Un conjunto es una colección de objetos que tienen algo en común; acada objeto de un conjunto, se le
denomina elemento. La teoría de conjuntos, es uno de los fundamentos de la matemática y de los procesos
del ser humano.
Para este caso, de los términos y principios de la teoría de los conjuntos, se utilizarán para construir
proposiciones matemáticas, de manera más clara y precisa. En síntesis, un conjunto es una colección bien
definida de objetos de cualquier clase.
1.1. DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO
Los conjuntos se pueden determinar de dos formas:
1.1.1 Por Extensión ó Forma Tabular: Un conjunto se determina por extensión, o sea por enumeración,
cuando se listan los elementos del conjunto.
1.1.2. Por comprensión o Forma Constructiva
Un conjunto se determina por comprensión, cuando se da una propiedad, que la cumplan todos los
elementos del conjunto.
Ejemplo 1
A = {a, e, i, o, u} B = {0, 2, 4, 6, 8} C = {c, o, n, j, u, t, s}
En un conjunto determinado por extensión no se repite un mismo elemento.
Ejemplo 2 (Tomado de Curso Lógica matemática http://docencia.udea.edu.co/cen/logica/ Lic. Alberto Jaramillo Atehortúa)
A = {x/x es una vocal}
B = {x/x es un número par menor que 10}
C = {x/x es una letra de la palabra conjuntos}

Observe el siguiente cuadro comparativo de determinación de conjuntos:
Por Extensión Por comprensión
A = { a, e, i, o, u } A = { x/x es una vocal }
B = { 0, 2, 4, 6, 8 } B = { x/x es un número par menor que 10 }
C = { c, o, n, j, u, t, s } C = { x/x es una letra de la palabra conjuntos }
D = { 1, 3, 5, 7, 9 } D = { x/x es un número impar menor que 10 }
E = { b, c, d, f, g, h, j, . . . } E = { x/x es una consonante }
2. TIPOS DE CONJUNTOS
2.1. CLASES DE CONJUNTOS
Conjunto Finito: Es  aquel conjunto que tiene un número de elementos distintos y determinado. Cuando no
se puede llegar al final en el conteo de los elementos, el conjunto es infinito.
Conjuntos Iguales: Dos o más  conjuntos  son iguales, cuando tienen los mismos elementos, tanto en
número como en tipo. La igualdad se denota A = B. En la igualdad, el orden de los elementos de cada
conjunto no importa.
Conjunto Vacío: Conjunto  vacío o nulo, es aquel que no tiene?????. Se denota por el símbolo ø o {}.
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...} Conjunto infinito
P = {x / x es una ciudad de Colombia} Conjunto finito
V = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, ... } Conjunto infinito
Ejemplo 4
A = {3, 9,17, 22} y B = {22, 9, 3, 17}    A = B
X = {Consonantes de la palabra MERCURIO} y  Y = {M, R, C}  X= Y
Ejemplo 5
A = { Los caimanes que vuelan } A = { } A = Ø
B = { x / xes un mes que tiene 53 días} B = { } B = Ø
C = { x / x
3 = 8 y x es impar } C = { } C = Ø
D = { x / xes un día de 90 horas } D = { } D = Ø

Conjunto Unitario: Es el conjunto que solo tiene un elemento.
Conjunto Universal: Es el conjunto que contiene a todos los elementos del espacio muestral existente. Se
denota por la letra U.
Conjunto Potencia: Todos los subconjuntos de un conjunto M, se llaman conjunto potencia de M, y se
denota como 2
M
.
Conjuntos Disyuntos: Cuando dos o más conjuntos no tienen ningún elemento en común, entonces son
disyuntos.
Ejemplo 6(Tomado de Curso Lógica matemática http://docencia.udea.edu.co/cen/logica/ Lic. Alberto Jaramillo Atehortúa)
A = {5}
B = {números pares entre 16 y 20} = {1 8 }
C = {la capital del Perú} = {Lima}
Sean los conjuntos:
A = {Aves], P = {Peces}, M = {Mamíferos}, D= [Reptiles]. Existe un conjunto que incluye a los conjuntos A, P, M y D. Y
este es el conjunto U = {animales}, o conjunto universal.
Gráficamente se representa por un rectángulo tal como se observa a continuación
a) M = { 1, 2 }
2
M = { {1}, {2}, {1, 2}, ø}
El conjunto M tiene 2 elementos entonces 2
2 = 4 elementos
Si un conjunto M es finito con "n" elementos, entonces su conjunto potencia 2
M tendrá 2
n elementos.
Conjuntos disyuntos Conjuntos no disyuntos
A = { 2, 4, 6 } M = { o, p, q, r, s }
B = { 1, 3, 5 } N = { s, t, v, u }
A y B son disyuntos. M y N no son disyuntos.
U
A P M D

2.2. DIAGRAMAS DE VENN
Son la forma diseñada para representar gráficamente las proposiciones; su autor fue el matemático Leonhard
Euler, pero quien los utilizo y dio a conocer fue Jhon Venn. Los diagramas de Veen se emplean para
representar las proposiciones y sus operaciones en forma de conjuntos; éstos constituyen una poderosa
herramienta geométrica.
A continuación se analiza la representación grafica de las relaciones entre proposiciones, veamos los
siguientes ejemplos que servirán para ilustrar dichas relaciones:
P: Estudiantes que aprueban el curso de lógica matemática
Q: Estudiantes que aprueban el primer semestre académico
U: El conjunto universal que representa a los estudiantes de primer semestre de la Universidad.
Las posibles relaciones entre estas proposiciones son de cuatro formas:
Forma 1: Ningún estudiante que apruebe el curso de lógica matemática, aprueba el semestre:
Forma 2: Algunos estudiantes que aprueben el curso de lógica matemática, aprueban el semestre:
Forma 3: Todos los estudiantes que aprueben el curso de lógica matemática, aprueban el semestre:
Forma 4: Todos los estudiantes que aprueben el semestre, aprueban el curso de lógica matemática, siendo
esté el reciproco de la forma 3:
U
P
Q
U
P Q
U
P Q

2.3. REPRESENTACIÓN GRAFICA DE LOS CONECTIVOS LÓGICOS MEDIANTE DIAGRAMAS DE VENN
1. Negación: P = ¬ P
2. Disyunción (y): P v Q
3. Conjunción (o): P ^ Q
4. Condicional (Si… entonces): P → Q
5. Bicondicional (Si y solo si): P ↔ Q
U
P P
U
P ¬ P
U
P
Con Exclusión                         Con Intersección Con Inclusión
Q
P
Q
U
P
Q
U
U
P
Q P Q
U
Q
P
U
U
P
Q P Q
U
P
Q
U
U
Q
P

3. OPERACIONES Y FUNCIONES.
3.1. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS.
Unión de Conjuntos: La unión entre conjuntos  da como resultado otro conjunto, formado por todos los
elementos que pertenecen  a cada conjunto que participa en la unión. Se denota A U B. Se define como:
A U B = {x / x Î A o x Î B}
Y se grafica de la siguiente manera:
U
A
Sin elementos comunes Con elementos comunes Todos elementos de A Î B
B A B
U
B
A
U
U
P
Q
P Q
U
P
Q
U
Ejemplo 10
Dados los conjuntos: A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, B = {0, 2, 4} y C = {5, 6, 8}, efectuar y construir los diagramas
respectivos:
1. AUB 2. B U C 3. A U C
Resolviendo tendríamos:
1. A = {0, 1, 2, 3, 4, 5 } y C = { 5, 6, 8 } A U C = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8 }
2. B = {0, 2, 4} y C = {5, 6, 8} B U C = {0, 2, 4, 5, 6, 8}
A C
0  1
2  3
4
6
8
5
U
U
C
B
5
6
8
0
2
4

Intersección de Conjuntos:
La intersección entre conjuntos da como resultado otro conjunto de elementos que son comunes a los
conjuntos intersectados. Se denota: A ∩ B, se define:
A ∩ B = {x / x Î A y x Î B}
Y su representación gráfica, mediante diagrama de Venn, es:
U
A
Con elementos comunes Sin elementos comunes Todos elementos de A Î B
B A B
U
B
A
U
3. A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} y B = {0, 2, 4} A U B = {0, 1, 2, 3, 4, 5}
U
B
A
0
2
4
1
3
5
Ejemplo 11
Dados los conjuntos: A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, B = {3, 5, 7} y C = {2, 4}, efectuar y construir los diagramas respectivos:
1. A ∩ C 2. B ∩ C 3. A ∩ B
1. A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} y C = {2, 4} A ∩ C = {2,4}
2. B = {3, 5, 7} y C = {2, 4} B ∩ C = { }
U
2
4
0 1
3
5
A
C
3
5
7
2
4
U
B C

Diferencia de conjuntos:
La diferencia entre conjuntos, da como resultado otro, formado por todos los elementos del conjunto A, que
no pertenecen al conjunto  B. Se denota: A B y se lee: A diferencia B o A menos B. Se define como:
A B = {x / x ÎA y x ÏB}
La representación gráfica, mediante diagramas de Venn, queda:
U
A
Sin elementos comunes Con elementos comunes Todos elementos de A Î B
B A B
U
B
A
U
3. A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} y B = {3, 5, 7} A∩B = {3,5}
U
0
1    2
4
7
3
5
A B
Ejemplo 12
Dados los conjuntos: A = {a, b, c, d, e}, B = {a, e} y C = {d, f, g}, efectuar y construir los diagramas respectivos:
1. A – C 2. B – C 3. A – B
1. A = {a, b, c, d, e} y C = {d, f, g} A C = {a, b, c, e}
2. B = {a, e} y C = {d, f, g} B C = {a, e}
3. A = {a, b, c, d, e} y B = {a, e} A B = {b, c, d}
a
b    c
e
U
A C
f
g
d
a
e
d
f
g
U
C
B
a
e
B
A b
c
d
U

Complemento de un Conjunto:
Cuando un conjunto determinado, es subconjunto de otro conjunto, el cual corresponde al conjunto Universal
U. El conjunto conformado por todos los elementos que están en el conjunto universal, pero que no están en
el conjunto determinado, se denomina complemento. Se denota como A'. Y se define como:
A' = {x/x Î U y x Ï A}
3. 2. FUNCIONES DE CONJUNTOS.
3.2.1. Propiedades de las operaciones entre conjuntos
3.2.1.1. Propiedades relacionadas con la Intersección y Unión.
1.1.  Leyes de Idempotencia
a. A U A = A
b. A ∩ A = A
1.2. Leyes Asociativas
a. (A U B) U C = A U (B U C)
b. (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
1.3. Leyes Conmutativas
a. A U B = B U A
b. A ∩ B = B ∩ A
1.4. Leyes Distributivas
a. A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C)
b. A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U ( A ∩ C)
2.1.2. Propiedades relacionadas con conjuntos universal y vacío:
2.1. Leyes de identidad
a. A U Un = Un A ∩ Un = A
b. A U Ф = A A ∩ Ф = Ф
2.1.3. Propiedades relacionas con el complemento
3.1. Leyes del complemento
a. A U A´ = Un A ∩ A´ = Ф
b. (A´)´= A Un´ = Ф Ф´= Un
3.2 . Leyes  de D´Morgan
a. ( A U B) ´ = A´ ∩ B´
Ejemplo 13
Dados los conjuntos:
1. U = {m, a, r, t, e} y A = {t, e} A' = {m, a, r}
2. U = {a, r, i, t, m, e, c} y B = {i, a} B' = {r, t, m, e, c}
U
A
t        e
m
a
r
i        a m
r e
t
c
A
U

b. (A ∩ B) ´ = A´ U B´
3.2.2. Algebra de Conjuntos
El algebra de conjuntos es la forma o el lenguaje, con el que se puede traducir e interpretar la teoría de
conjuntos, al lenguaje de la lógica matemática. Para hacer dicha interpretación, se debe tomar de la
siguiente manera, la teoría de conjuntos.
P: Ser un elemento de un conjunto A
Q: Ser un elemento de un conjunto B
TABLA DE EQUIVALENCIA DE LAS OPERACIONES DE TEORIA DE CONJUNTOS CON LA LOGICA
Conjuntos Lógica Lectura
La Unión A U B quedaría P v Q Y se lee: Ser de A o de B
La Intersección A ∩ B quedaría P ^ Q Y se lee: Ser de A y de B
El complemento de A´ quedaría ¬ P Y se lee: No ser de A
El contenido A B quedaría P → Q Y se lee: Si es de A entonces es de B
La diferencia A – B quedaría P ^ (¬ Q) Y se lee: Ser de A y no ser de B
Teniendo la interpretación de la teoría de conjuntos podemos también hacer la traducción de las leyes.
Veamos las leyes de D´Morgan traducidas:
Operación Símbolo Definición Simbólica
Unión U A U B = { x/x Î A v x Є B}
Intersección ∩ A ∩ B = { x/x Î A ^ x Ï B}
Diferencia A – B = {x/s Î A ^ x Ï B}
Diferencia Simetrica Å A Å B = {x/x Î A Å x Î B}
4. CONJUNTOS PARCIALMENTE ORDENADOS.
Son relaciones binarias especiales que formalizan el concepto de ordenar. Cuando se tiene el conjunto A y
una relación binaria ≤ en A, entonces, la relación binaria ≤ en A es un orden parcial, si cumple con las
condiciones de ser reflexiva, antisimétrica, y transitiva. O sea que para todo a, b y c en A, se tiene que:
a ≤ a (reflexibidad)
si a ≤ b y b ≤ c entonces a ≤ c (transitividad)
si a ≤ b y b ≤ a entonces a = b, (antisimetría).
Al comprobar esta propiedad, se puede ver que, las conocidos órdenes de los números naturales, enteros,
racionales y reales, son todas órdenes parciales.

Debido al amplio uso y aplicación de las órdenes, existen varias clases de conjuntos ordenados; veamos
algunos ejemplos:
4.1. ELEMENTOS ESPECIALES DENTRO DE UN ORDEN
Uno de los elementos especiales de los conjuntos parcialmente ordenados, es el elemento mínimo. Un
ejemplo es el 0 en los números naturales y el conjunto vacío en los subconjuntos de un conjunto, y se denota
como:
0 ≤ a, para todo elemento a del conjunto ordenado.
Otro ejemplo del elemento mínimo es el 1, para el conjunto formado por la divisibilidad de a/b, ya que éste es
el elemento que puede dividir a todos los demás.
Todos los subconjuntos de un conjunto, parcialmente ordenado, heredan el orden. Hay también elementos de
un orden que son especiales, con respecto a cierto subconjunto del orden.
4.2. RELACIÓN ENTRE LA TEORÍA DE CONJUNTOS Y LA LÓGICA PROPOSICIONAL
Como en párrafos anteriores se dijo, existe una relación muy estrecha entre la teoría de conjuntos y la lógica
matemática.
Pero a su vez, existe diferencia, y esta radica en que, mientras en la teoría de conjuntos las letras, identifican
Cuando se habla de matemáticas, el orden es un concepto que parece casi en todo momento, y de esta manera,
es que se relaciona con la lógica. Veamos:
a. El conjunto de los números naturales son un orden ≤. También, los conjuntos de los números enteros y los
reales, son de orden ≤; la razón es que cada elemento de estos conjuntos, puede ser mayor o menor que otro
elemento, dentro del conjunto.
b. Otro ejemplo popular de un orden, es el orden lexicográfico del conjunto de las palabras en un diccionario. O
sea, el orden alfabético.
Estos conjuntos, tienen una propiedad especial: cada elemento se puede comparar con cualquier otro elemento;
es decir, es o mayor, o menor, o igual; es de anotar que, a veces,é no es requisito deseable.
a. 5 es un elemento mínimo de los números naturales como subconjunto de los enteros.
b. Si se tiene un conjunto de conjuntos, su elemento máximo se da por la Unión de estos conjuntos
c. Si se considera la relación de divisibilidad en los números naturales, el elemento mínimo de dos números es
el menor número, que es divisible por ambos; o sea, el mínimo común múltiplo; y el elemento máximo es el
máximo común divisor.

conjuntos en la lógica matemática, las letras identifican proposiciones, las cuales se traducen en las
propiedades de los conjuntos. Veamos la siguiente tabla para que identificar las relaciones:
Teoría de Conjuntos A   B A = B A   B A   B A'
Lógica Proposicional P → Q P ↔ Q P v Q P   Q ¬ P
Nombre Condicional Bicondicional Disyunción Conjunción Negación
El conjunto vacío corresponde a una contradicción; el conjunto universal corresponde a una tautología.
Con esta tabla podemos interpretar todos los resultados sobre conjuntos, en términos de lógica matemática y
viceversa; veamos los siguientes ejemplos:
4.3. LOS CUANTIFICADORES
Existen dos clases de cuantificadores. El universal que se representa    y el cuantificador existencial
representado por   (); éstos se utilizan en la lógica para enunciar proposiciones.
Si se tiene un conjunto A y una proposición  P(x), el cuantificador universal está dado por la expresión   x   A
→ P(x), y se lee "Para todo x que pertenece a A se verifica P(x)"; y representa la proposición {x   A: P(x)} =
A
Y el cuantificador existencial está dado por la expresión   x   A | P(x). Se lee  "existe x que pertenece a A tal
que P(x)", y representa la proposición {x   A : P(x) }
Estas dos proporciones, las se pueden negar; para ello, se niega la proposición P(x) y se cambia el
cuantificador universal por el cuantificador existencial, o viceversa.  Veamos:
1.   x   A  → P(x) es   x   A | P(x)'
2.   x   A | P(x)" es   x   A → P(x)'
4.4. CÍRCULOS DE EULER
Anteriormente se vieron los denominados diagramas de Venn; pues éstos son los mismos círculos de Euler.
Su utilidad es ilustrar o graficar las relaciones entre proposiciones, mediante círculos o regiones ovaladas; su
creador inicial fue Leonhard Euler, posteriormente se les ajusto denominándoseles Diagramas de Venn,
gracias a Jhon Venn.
Recuerde brevemente, con un ejemplo, su aplicabilidad e importancia, dentro de la lógica matemática:
Ejemplo 16
TEORIA DE CONJUNTOS LOGICA MATEMATICA
A U ( B ∩ C ) = ( A U B ) ∩ ( A U C ) A v (B ^ C) ↔ (A v B) ^  (A v  C)
A U (A ∩ B) = A A v (A ^ B) ↔ A

5. ORDENES LINEALES.
Para comprender el concepto de orden lineal, es necesario que primero analice el concepto de isomorfismo
simple, entre conjuntos o biyección. La biyección en teoría de conjuntos, es una operación que permite hacer
corresponder un elemento de un conjunto, con un sólo elemento de otro conjunto.
Y se representa a través de un teorema, el concepto en si es que Para cada n finito, hay esencialmente un
sólo orden lineal con n elementos, veámosle teorema:
“Teorema: Dos órdenes lineales finitas son isomorfos, si y sólo si, sus conjuntos base tienen el mismo
número de elementos. La prueba de necesidad, cuya dirección es se hace por inducción en n, el número
de elementos de los conjuntos base”
1
.
1 Definición tomada del Libro Lógica Matemática, Editorial Unad. 2001. Pág. 59. Nubia J. Galindo
Ejemplo 17
Si se tienen las siguientes proposiciones:
P: Alumnos que aprueban lógica matemática
Q: Alumnos que aprueban el semestre académico
U: Conjunto universal Alumnos de 1er. Semestre Fesad
Probabilidad 1. Ningún alumno que aprueba matemática, aprueba el semestre
Probabilidad 2: Algunos alumnos que aprueban lógica, aprueban el semestre
P Q
U
P
Q U
Probabilidad 3: Todos los alumnos que aprueban lógica, aprueban el semestre
Probabilidad 4: Todos los alumnos que aprueban el semestre, aprueban Lógica
P
Q
U
P
Q
U

En resumen, dos conjuntos son isomorfos cuando la correspondencia es biunívoca
2 entre dos estructuras
que conserva las operaciones; y esta característic,a es la que da lugar al orden lineal entre conjuntos.
2 A cada elemento de un conjunto le corresponde uno de otro conjunto

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