Matemáticas

1. COLEGIO DE BACHILLERATO CARMEN MORA DE
ENCALADA
Integrantes:
Jordy Clemente, James García,
Daniela Ajila
Profesora:
Linc. Lady Quishpe
PROYECTO DE NÚMEROS COMPLEJOS
Curso:
3ro
de bachillerato ciencias “G”
Año lectivo:
2019-2020

2. Métodos de Demostración Matemática
¿Qué significa Axioma?
Los axiomas son verdadesincuestionables universalmente válidas y evidentes,
que se utilizan a menudo como principios en la construcción de una teoría o
como base para una argumentación.
La palabra axioma deriva del sustantivo griego αξιωμα, que significa 'lo que
parece justo' o 'lo que se considera evidente, sin necesidad de demostración'.
El término viene del verbo griego αξιοειν (axioein), que significa 'valorar', que
a su vez procede de αξιος (axios): 'valioso', 'válido' o 'digno'.
Entre losfilósofosgriegosantiguos,un axiomaera lo que parecíaverdaderosin
necesidad de prueba alguna. En muchos contextos, axioma es sinónimo de
postulado, ley o principio.
Un sistema axiomáticoesel conjuntodeaxiomasque definenunadeterminada
teoría y que constituyen lasverdadesmás simples de las cualesse demuestran
los nuevos resultados de esa teoría.
Los sistemas axiomáticos tienen un papel importante en las ciencias exactas,
sobre todo en matemáticas y en física, y los resultados demostrados en
múltiples teorías de estas ciencias generalmente se llaman teoremas o leyes.
Entre las diversas axiomáticas de la matemática y de la física ganaron
notoriedad los principios de Euclides en Geometría clásica, los axiomas de
Peano en Aritmética, las leyes de Newton en Mecánica clásica y los postulados
de Einstein en la Teoría de la relatividad.
Existen sistemas axiomáticos en muchasotrasciencias. Por ejemplo, en Teoría
de la comunicación, PaulWatzlawick y suscolegaspresentaron los axiomasde
la comunicación, que definen los efectos conductuales de la comunicación
humana.

3. ¿Qué es Lema?
En matemáticas, un lema es una proposición demostrada, utilizada para
establecer un teorema menor o una premisa auxiliar que forma parte de un
teorema más general. El término proviene del griego λήμμα, que significa
cualquier cosa que es recibida, tal como un regalo, una dádiva o un soborno.
Ciertoslemasdemostradossonmásfamososqueel teoremaparaelque fueron
creados, desempeñando a veces la función de teorema. Muchoslemas son de
hecho muy celebrados y generales y se usan por doquier como resultados
auxiliares en muchas ramas de la matemática.
¿Qué es corolario?
Dentro de un marco formaldado, F, formado por los presupuestos o axiomas
{a1, …, aN}, un corolario C es una consecuencia que se sigue de una ley L o un
teorema T anterior, digamosque un corolario de un teorema es otro teorema
que se deriva naturalmente de este.
Por ejemplo:
Teorema 1: para elconjunto M= {a, b, c, …} y la relación R de elementosde M,
se cumple que tara todo a, b y c tales que aRb y bRc entonces aRc.
Corolario 2: para todo elemento a de M se cumple que aRa.
Demostración: recordemosque si A => B, entonces no B => no A; supongamos
que aRa es falso,
entonces no aRa = aNRa => no(aRb y bRa) => aNRb o bNRa también será
falso. Sin embargo,sib = a,obtenemosque aNRa => aNRa o aNRa, o sea, aNRa
=> aNRa. Esto es una tautología, o sea, es verdadera por sí misma, por loq ue
nuestro supuesto es falso, así que la premisa del corolario esverdadera.Q.E.D.
Y más o menos así es como funcionan estas cosas de los teoremas y los
corolarios…

4. ¿Qué es Hipótesis?
En lógica matemática una hipótesis es una fórmula de la que se parte para
alcanzar finalmente otra fórmula mediante deducciones válidas. Esdecir, en la
demostración de una fórmula, las hipótesis son el conjunto de afirmaciones
adicionales que son añadidas al conjunto de axiomas, para determinar si la
fórmula es deducible del conjunto formado por axiomas e hipótesis mediante
la aplicación de reglas de inferencia. Cuando una fórmula A se sigue
deductivamentedeun conjuntodehipótesis H1,...,Hn,enunsistema deaxiomas
y reglas de inferencia S, escribimos:
Un teorema es una fórmula que se sigue de los axiomas sin hipótesis
adicionales, lo cual se escribe formalmente:
O simplemente:
En matemática una hipótesis es una conjetura.
En estadística también se llama hipótesis a cada una de las dos
proposiciones mutuamente contradictorias que se afirman en
un contraste de hipótesis. La hipótesis alternativa Hicontra
la hipótesis nula H0.
¿Qué es una tesis?
Una tesis (griego θέσις thésis «establecimiento, proposición, colocación», es
información de «lo propuesto, lo afirmado, lo quese propone»; originalmente
de tithenai, «archivar») es elinicio de un texto argumentativo, una afirmación
cuya veracidad ha sido argumentada, demostrada o justificada de alguna
manera. Generalmente enuncia una proposicióncientífica, un axioma o un
hecho demostrable.

5. Derivadadel método científico, una tesis es la afirmación concreta de una idea
que se expone de manera abierta y fundamentada. También puede
llamársela teoría científica, toda vez que un sustento teórico puede ser
considerado como parte del conocimiento establecido. Normalmente en un
texto argumentativo se conforma la opinión que tiene el articulista sobre el
tema del queestá hablando. Despuésdeeso el articulista defiendesu tesis con
argumentos.
En la antigua Grecia, principalmente en el contexto de la medicina, se trataba
de una afirmación que el sustentante exponía. Sus ideas se sometían a un
interrogatorio, una discusión o prueba dialéctica para sostener en público las
posibles objeciones que le oponían los examinadores.[cita requerida]
Una tesis se considera como la afirmación culminada de una hipótesis para la
cual puede incluso no existir ningún tipo de evidencia inicial y los hechos que
la apoyan pueden estar en gran medida por descubrir. Una tesis se interpreta
generalmente como una proposición ya demostrable cuyo objetivo consiste
en hacer válido, en un sentido eficazmente ya que pragmático, lo «esencial»
de lo «complejo de las proposiciones».
Los pasos encaminados a validar o invalidar una hipótesis, para establecerla
provisionalmente como una tesis justificada, dependen del tipo de reglas
propicias para esto.
Literalmente la tesis es la opinión, el punto de vista del escritor, y a partir de
ella, se crean los argumentos y como conclusión el texto argumentativo,
muchas veces representado en cartas al director.
Una tesis es un documento de carácter expositivo, donde se presentan los
resultados obtenidos por el aspirante en su trabajo de investigación. Los
resultados se deben conducir de forma sistemática, lógica y objetiva, para la
posible búsqueda de soluciones al problema de estudio planteado. Existen
muchas y diversas definiciones de lo que es una tesis, a continuación se
mencionan algunas.
¿Qué es un teorema?
Un teorema es un enunciado que puede ser demostrado como verdadero
mediante operaciones matemáticas y argumentos lógicos.

6. En matemática, un teorema es una proposición teórica, enunciado o fórmula
que incorpora una verdad, axioma o postulado que es comprobada por otros
conjuntos de teorías o fórmulas. Un teorema también es una regla o ley que
se expresa en forma de ecuaciones y / o fórmulas matemáticas.
En lógica, un teorema es una proposición deducida por premisas y
asumpciones de un sistema siendo ideas o creencias generalmente aceptadas
como verdaderas.
La diferencia entre un teorema y un axioma o postulado es que el primero es
una verdad comprobable en cambio un axioma es una verdad que se asume
como tal pero que no ha sido comprobada. Axioma es un concepto más
antiguo y sinónimo del concepto moderno postulado.
Corolario es una deducción de una afirmación lógicaque deriva deun teorema
que puede ser previamente demostrado.
Inferencia lógica matemática en la obtención
de conclusiones
Una inferencia lógica es el proceso deobtención de una proposición a partir de
otra u otrasproposicionesdadas,alas cuales seaplican reglas deinferencia, de
tal manera que la conclusión sea consecuencia lógica de las premisas.
“Una inferencia es válida si, y solo si la conjunción de las premisas implica la
conclusión. Una inferencia es concluyente o correcta si se realiza de acuerdo
con una regla de inferencia válida6.
Simbólicamente: sean pi (con i=1, 2, 3, 4, …n) premisas y q la conclusión,
entonces,
Una inferencia lógica es el proceso deobtención de una proposición a partir de
otra u otrasproposiciones dadas,alas cuales seaplican reglas deinferencia, de
tal manera que la conclusión sea consecuencia lógica de las premisas.
“Una inferencia es válida si, y solo si la conjunción de las premisas implica la
conclusión. Una inferencia es concluyente o correcta si se realiza de acuerdo
con una regla de inferencia válida6.
Simbólicamente: sean pi (con i=1, 2, 3, 4, …n) premisas y q la conclusión,
entonces,

7. Principio de inducción matemática
La inducción matemática es un método de demostración queseutiliza cuando
se trata de establecer la veracidad de una lista infinita de proposiciones. El
método es bastante natural para usarseen una variedad de situaciones en la
ciencia de la computación. Algunas aplicaciones tienen un sabor muy
matemático, tal como verificar que todo entero positivo satisface cierta
fórmula. Otra utilización frecuente es la de demostrar que un programa de
computación o que un algoritmo con ciclos funciona como se espera.
Demostrar (3k - 2) = 1/2(3n² - n) n +
.
Demostración: La n-ésima proposición p(n) es verdadera, esto es
(3k - 2) = 1/2(3n² - n)
Notese que:
p(1) = 1 = 1/2[3(1)² - 1)] de aqui que 1 = 1
p(2) = 1 + 4 = 1/2[3(2)² - 2)] de aqui que 5 = 5
p(3) = 1 + 4 + 7 = 1/2[3(3)² - 3)] de aqui que 12 = 12
.
.
.
En particular, p(1) es verdadera por inspección y esto establece la base de la
inducción. Ahora supongase que p(n) es verdadera para algún n, esto es:
(3k - 2) = 1/2(3n² - n)
necesitamos demostrar que p(n + 1)
(3k - 2) = 1/2[3(n + 1)² - (n + 1)]
tal como lo establece el paso inductivo.
Utilizando p(n) tenemos que

8. (3k - 2) = (3k - 2) + [3(k + 1) - 2]= 1/2(3k² - k) + (3k + 1)
para verificar p(n + 1) necesitamos comprobar que:
1/2(3k² - k) + (3k + 1) = 1/2[3(k + 1)² - (k + 1)]
Esto ya es un problema puramente algebraico, para lo cual setrabajara con el
lado izquierdo de la igualdad, esto es:
1/2(3k² - k) + (3k +
1)
= 1/2(3k² - k + 6k + 2)
= 1/2(3k² + 5k + 2)
= 1/2(3k + 2)(n + 1)
= 1/2[3(k + 1) -1](k + 1)
= 1/2[3(k + 1)² - (k + 1)]
Entonces p(n + 1) es verdadera siemprequep(n) lo sea. Por el primer principio
de inducción matemática se concluye que p(n) es verdadera n +
.
No siempre es necesario el uso del simbolo de sumatoria para aplicar la
inducción matemática, puede también utilizarse parte del desarrollo de la
misma, como lo muestra el siguiente:
Ejemplo:
Demostrar por inducción que:
2 + 4 + ... + 2(n) = n(n + 1)
Demostración: Nuestra n-ésima proposición p(n) es:
2 + 4 + ... + 2(n) = n(n + 1)
y notese que:
p(1) = 2 = 1(2), donde 2 = 2
p(2) = 2 + 4 = 2(3), donde 6 = 6
p(3) = 2 + 4 + 6 = 3(4), donde 12 = 12
p(4) = 2 + 4 + 6+ 8 = 4(5), donde 20 = 20
.

9. .
.
Así p(1) asegura 2= 1( 1 + 1) y como es verdadera por inspección tal como lo
establece la base de la inducción matemática.
Para el paso inductivo, supongamos que p(n) es verdadera para algún n, esto
es
2 + 4 + ... + 2(n) = n(n + 1)
es verdadera. Ahora queremos probar que para p(n + 1)
2 + 4 + ... + 2(n) + (2(n + 1) = (n + 1)((n + 1) + 1)
es decir
2 + 4 + ... + 2(n) + (2n + 2) = (n + 1)(n + 2)
tal como lo establece el paso inductivo.
Como p(n) es verdadera por hipótesis, y trabajando con el lado izquierdo de la
igualdad, temos que:
2 + 4 + ... + 2(n) + (2n +
2)
= [2 + 4 + ... + 2n] + (2n +2)
= n(n + 1) + (2n + 2)
= n(n + 1) + 2(n + 1)
= (n + 1)(n + 2)
Entonces p(n + 1) es verdadera siemprequep(n) lo sea. Por el primer principio
de inducción matemática se concluye que p(n) es verdadera n +
.

10. INTEGRANTES:
Jordy Plazarte
Daniela Ajila
James García

11. Ejemplos:
1)

12. 2)
3)

13. 4)
Link del video en Youtube:
https://youtu.be/IsYOkvHRHOM