Material del Curso

1. Algebra abstracta
Semestre 4
Fascículo No. 1
Tabla de Contenido
Contenido
Presentación
Programación general
Preliminares
Lógica proposicional
Proposiciones
Términos de enlace
Forma de las proposiciones moleculares
Simbolización de las proposiciones
Términos de enlace y simbología
Conjunción
Tabla de verdad
Disyunción
Tabla de verdad
Resumen
Bibliografía recomendada
Párrafo nexo
Autoevaluación formativa

2. Presentación
En este curso de Algebra Abstracta encontrarás algunas bases fundamentales e
interesantes que harán incrementar el ahínco por tu profesión. Para los temarios
en los que se basa el curso es necesario que conozcas algunos requisitos
mínimos sobre programación de tal manera que se muestren habilidades en
cuanto a análisis y compresión de conceptos para resolver problemas de lógica
aplicada en Ingeniería de Sistemas.
Los contenidos que se tratan están dados por: funciones, lógica, relaciones,
análisis combinatorio y teoría de grafos. El propósito e importancia de este curso
es que te brinde la capacidad de deducción y destreza en los razonamientos de la
Matemática Moderna, permitiendo un nivel de profundidad necesario, pero a la vez
sencillo, para adquirir una fácil comprensión.
Al preparar este módulo se tuvo cuidado en la forma de presentar las temáticas ,
de manera que puedan ser utilizadas satisfactoriamente y se puedan ejercitar las
relaciones lógicas que se presentan a diario en la labor del Ingeniero de Sistemas.
Recuerda que ante alguna dificultad podrás encontrar el apoyo de tu profesor y
compañeros.
Es necesario que conozcas la importancia que tienen las Matemáticas Discretas
en la ciencia computacional; por tal razón te deseo el mejor éxito en el desarrollo
de este curso.

3. Programación general
Lógica proposicional
Proposiciones
Términos de enlace
Forma de las proposiciones moleculares
Simbolización de las proposiciones
Términos de enlace y simbología
Conjunción
Tabla de verdad
Disyunción
Tabla de verdad
Fascículo 1
Autoaprendizaje
Proposiciones compuestas
Tablas de verdad
Equivalencia lógica
Negación
Proposición condicional
Tabla de verdad
Proposición bicondicional
Tabla de verdad
Fascículo 2
Autoaprendizaje
Tautologías y contradicciones

4. Concepto de tautología
Tabla de verdad
Concepto de contradicción
Tabla de verdad
Algebra declarativa
Leyes esenciales para el algebra declarativa
Reglas de inferencia y demostración
Modus ponendo ponens
Modus tolendo tollens
Fascículo 3
Autoaprendizaje
Términos, predicados y cuantificadores universales
Términos
Predicados
Cuantificadores universales
Certeza y Validez
Términos de enlace de certeza funcional
Conjunción
Disyunción
Proposiciones condicionales
Equivalencia
Consistencia
Fascículo 4
Autoaprendizaje
Conjuntos
Concepto de conjuntos

5. Conjunto vacío
Igualdad de conjuntos
Subconjuntos
Unión
Intersección
Diferencias y complementos
Universal
Fascículo 5
Autoaprendizaje
Tuplas, sucesiones y conjuntos de potencia
Par ordenado
Producto cartesiano
Colecciones de conjuntos
Sucesiones y cadenas
Fascículo 6
Autoaprendizaje
Relaciones
Concepto de relación
Relación binaria
Dígrafos
Dominios y rangos
Relación inversa
Composición de relaciones
Reflexiva

6. Simétrica
Antisimétrica
Transitiva
Relación de equivalencia
Fascículo 7
Autoaprendizaje
Relación de orden parcial
Orden parcial débil
Orden parcial estricto
Conjunto parcialmente ordenado
Conjunto totalmente ordenado
Diagrama de Hasse
Sucesión descendente
Fascículo 8
Autoaprendizaje
Funciones
Concepto de función
Dominio y contradominio de una función
Operador módulo: mód
Funciones localizadoras
Representación de funciones
Composición de funciones
Fascículo 9
Autoaprendizaje

7. Clases de funciones
Función uno a uno
Función sobreyectiva
Función biyectiva
Función inversa
Sucesión de elementos
Cadena o arreglo sobre X
Inducción matemática
Definición
Proceso de inducción
Fascículo 10
Autoaprendizaje
Métodos de conteo
Enumeraciones, homomorfismos e isomorfismos
Primer Principio del conteo
Segundo Principio del conteo
Permutaciones y combinaciones
Combinaciones generalizadas
Relaciones de recurrencia
Concepto de recurrencia
Sucesión de Fibonacci
Desarreglos
Fascículo 11
Autoaprendizaje

8. Grafos
Definiciones y conceptos básicos
Grafo dirigido
Grafo no dirigido
Grafo simple
Orden de un Grafo
Camino simple
Costo
Ciclo simple
Camino hamiltoniano
Camino de Euler
Fascículo 12
Autoaprendizaje
Clases de grafos
Grafo conexo
Grafo planar
Grafos isomorfos
Representación de grafos
Matriz de adyacencia
Matriz de incidencia
Fascículo 13
Autoaprendizaje
Árboles

9. Concepto de árbol
Arbol libre
Arbol con raíz
Arboles de jerarquización
Propiedades de los árboles
Arbol binario
Arbol binario completo
Arbol binario de búsqueda
Fascículo 14
Autoaprendizaje

10. Lógica proposicional
En esta primera parte del Algebra Abstracta te encontrarás con relaciones entre
las Matemáticas y la Lógica, analizando ejemplos de razonamiento deductivo de
tal manera que te introduzcas en el análisis y comprensión de la teoría
proposicional.
El desarrollo de las actividades propuestas te permitirá comprender y razonar
diferentes conceptos que se presentan a lo largo del fascículo y que serán de gran
importancia y necesarios en el progreso continuo con el que se llevará a cabo el
curso.
Indicadores de logro
Al finalizar el estudio del presente fascículo, el estudiante:
Reconoce el lenguaje lógico y exacto que utilizan las proposiciones.
•
Razona de manera exacta los argumentos de las proposiciones.
•
Utiliza símbolos que identifiquen las proposiciones atómicas.
•
Identifica y explica los términos de enlace.
•
Identifica y explica los símbolos de los términos de enlace.
•
La lógica se encarga de estudiar los métodos de razonamiento que, en algunos
casos, pueden ser válidos y en otros no serlo. Una de las aplicaciones importantes
de ella para el Ingeniero de Sistemas es que permite mostrar la secuencia o el
razonamiento lógico que los programas realizan.

11. Proposiciones
Las proposiciones se caracterizan por ser afirmaciones que pueden resultar
siendo verdaderas o falsas. Las proposiciones involucran dos clases:
proposiciones atómicas y proposiciones moleculares.
Las proposiciones atómicas se identifican por ser proposiciones simples o
básicas; las proposiciones moleculares se obtienen al juntar varias
proposiciones atómicas con un término de enlace.
Ejemplo
Hoy es lunes festivo
No hay clase de Algebra Abstracta
Estas oraciones representan dos proposiciones atómicas; a través de un término
de enlace se puede obtener una proposición molecular:
Hoy es lunes festivo y no hay clase de Algebra Abstracta
En este caso el término de enlace es quot;yquot; el cual se utiliza para construir una
proposición molecular.
Términos de enlace
Los términos de enlace son palabras cortas que te permiten unir o enlazar
proposiciones atómicas y convertirlas en proposiciones moleculares. Los términos
de enlace utilizados son:

12. quot;yquot;, quot;oquot;, quot;noquot;, quot;si..., entoncesquot;
Observación
Recuerda que el añadir un término de enlace a una o dos proposiciones atómicas
se forma una proposición molecular. Los términos de enlace: quot;yquot;, quot;oquot;, quot;si...,
entoncesquot; se utilizan para enlazar dos proposiciones atómicas. El término de
enlace quot;noquot; se utiliza sobre una sola proposición atómica.
Ladillo
El término de enlace quot;noquot; es el único que no conecta dos proposiciones.
Cuando a una sola proposición se le agrega quot;noquot;, se forma una proposición
molecular.
Ejemplo
a. El Sol no está hecho de nubes blancas, es una proposición en la que actúa el
término de enlace quot;noquot; sobre una sola proposición atómica: quot;El sol está hecho
de nubes blancasquot;.
b. Los estudiantes de Algebra Abstracta estudiarán para el parcial o
probablemente les vaya bien. El término de enlace quot;oquot; conecta dos
proposiciones atómicas: quot;Los estudiantes de Algebra Abstracta estudiarán para
el parcialquot; y quot;Probablemente les vaya bienquot;.

13. c. Si la selección Colombia gana el mundial entonces habrá día cívico. Esta
proposición muestra el término de enlace quot;si...,entoncesquot;, que conecta dos
proposiciones atómicas.
d. Los Ingenieros de Sistemas desarrollan software y los Físicos analizan los
diferentes comportamientos del Universo. Este es otro ejemplo del término de
enlace quot;yquot; que conecta dos proposiciones atómicas.
Actividad 1.1
1. Señale cada proposición atómica con una A y cada proposición molecular con
una M. Escriba junto a cada proposición el término de enlace utilizado:
a. El Player permite ejecutar en Windows, aplicaciones interactivas multimedia
creadas en Director.
b. Las imágenes fijas pueden ser pequeñas o grandes, o incluso ocupar toda la
pantalla.
c. Los desarrolladores de multimedia deberían explorar el Photo CD como una
herramienta y como una plataforma de distribución.
d. La mayoría de los gerentes entran en contacto con la realidad sólo a través de
sus informes y reuniones diarias.
e. A este perro grande le gusta cazar gatos.
f. La asignatura preferida de los estudiantes de cuarto semestre es Algebra
Abstracta.
g. Luis es muy buen estudiante o es muy afortunado.
h. Yo hago mi cacareo y tú haces tus graznidos
i. Los gerentes de alto nivel comparten una comprensión común de la estrategia
de la organización.
j. Si realizaron la actividad, entonces habrá quiz.

14. 2. Formar cuatro proposiciones moleculares utilizando una o dos de las
proposiciones escritas a continuación, junto con un término de enlace. Por
ejemplo, se puede utilizar el término de enlace quot;yquot; entre dos de ellas y también
se puede utilizar la misma proposición atómica más de una vez. Utilice cada
uno de los términos de enlace una sola vez, de manera que cada una de las
proposiciones moleculares tenga distinto término de enlace:
a. El viento sopla muy fuerte.
b. Pablo podría ganar muy fácilmente.
c. La lluvia puede ser la causa de que abandone la carrera.
d. Veremos qué planes hay para mañana.
e. Todavía tendríamos tiempo de llegar a las siete.
f. El amigo de Juan tiene razón.
g. Estábamos confundidos respecto a la hora de la junta.
Forma de las proposiciones moleculares
El término de enlace es aquél que hace que se formen proposiciones moleculares,
es decir, no dependen del contenido de la proposición o de las proposiciones
atómicas. La forma sigue siendo la misma. Se puede hacer uso de paréntesis que
identifiquen cada una de las proposiciones atómicas.
Se pueden presentar varios casos en las proposiciones. Por ejemplo, se puede
incluir un quot;Oquot; inicial si se quiere:
O hace frío o hace calor
Ox+y=6 y y =2, o x = 0

15. En el último ejemplo se puede notar que se ha utilizado el término de enlace quot;yquot;, y
esto hace que se puedan incluir las palabras quot;a la vezquot;, por ejemplo:
A la vez llueve y hace sol
Las palabra quot;a la vezquot; e quot;yquot; hacen parte de un mismo término de enlace. En otros
casos, cuando es utilizado el término de enlace quot;si...,entoncesquot;, se incluyen ambas
palabras, sin embargo, generalmente se suprime la palabra quot;entoncesquot;, por
ejemplo:
Si el día es frío, es invierno
Si Javier quiere a Pilar, Pilar quiere a Javier
Cuando se utiliza el término de enlace quot;noquot;, es posible escribir quot;no ocurre quequot; en
lugar del quot;noquot;, por ejemplo:
Algebra Abstracta no es difícil
No ocurre que el Algebra Abstracta sea difícil
Entonces es posible presentar una proposición molecular utilizando el término de
enlace quot;No ocurre quequot;.
Simbolización de las proposiciones
Para denotar las proposiciones se utilizan símbolos en lugar de las proposiciones
completas. Se usan letras minúsculas, como: quot;pquot;, quot;qquot;, o quot;rquot;. Por ejemplo:
La clase de sistemas ya empezó o el profesor llegó temprano
• p: La clase de sistemas ya empezó

16. • q: El profesor llegó temprano
Si sólo se utilizan los símbolos, entonces las proposiciones quedarán de la
siguiente forma:
• (p) o (q)
De la misma manera sucede con el término de enlace quot;yquot;. Cuando se simboliza el
término de enlace quot;noquot;, éste se pone delante del símbolo que sustituye la
proposición atómica; el término de enlace no es una parte de la proposición
atómica, por lo cual, debe separarse de ésta. Por ejemplo:
• Las vacas no son animales de dos patas
• q: Las vacas son animales de dos patas
Luego la proposición molecular será entonces:
• No (q)
Observación
Recuerda que una afirmación puede ser verdadera o falsa, pero no ambas cosas a
la vez.
Actividad 1.2
1. Traducir al lenguaje corriente las siguientes proposiciones, especificando cuál
es la proposición atómica representada por cada uno de los símbolos.

17. a. Si (p), entonces (q)
b. (r) o (p)
c. (p) y (q)
d. No (r)
e. Si (q), entonces (r)
f. No (p)
g. (r) y (q)
h. (r) o (q)
i. No (q)
k. Si (r), entonces (p)
2. Cada una de las proposiciones siguientes es molecular. Primero, indique cuáles
son los términos de enlace en cada proposición, luego escriba por separado las
proposiciones atómicas que se encuentran en las proposiciones moleculares y
finalmente, represente y especifique las proposiciones con las letras (p), (q) y
(r).
a. Juan es el segundo y Tomás es el cuarto.
b. O la selección Colombia es la ganadora o Brasil es el ganador.
c. Paraguay no es el ganador.
d. Si la selección Colombia es la ganadora entonces obtendrá el título mundial.
e. Si los estudiantes de cuarto semestre estudian entonces aprobarán el curso.
f. Los Alpes son montañas jóvenes y los Apalaches son montañas viejas.
g. Si un material se calienta entonces se dilata.
h. Muchos planetas son demasiado cálidos para que vivan seres como nosotros o
demasiado fríos para que vivan seres como nosotros.
i. La Universidad San Martín no ofrece la carrera de Ingeniería Civil.
j. Si llueve con frecuencia, los campesinos se quejan. Si no llueve con
frecuencia, los campesinos se quejan. Por consiguiente, los campesinos se
quejan.

18. Términos de enlace y simbología
De la misma manera como las proposiciones utilizan símbolos para poderlas
representar, los términos de enlacen tienen el mismo comportamiento. A cada
término de enlace se le asigna un símbolo.
Conjunción
La unión de dos proposiciones atómicas a través de la palabra quot;yquot; se llama
conjunción de las dos proposiciones y se simboliza por quot;∧quot;. Sean p y q dos
proposiciones. Entonces p∧q es verdadera si y sólo si tanto p como q son
verdaderas; p ∧q se llama conjunción.
Ejemplo
• El programa tiene un error y la entrada es errónea
• p: El programa tiene un error
• q: La entrada es errónea
• (p) y (q) ≡ p ∧ q
Observación
Recuerda que el símbolo ∧ sustituye al término de enlace completo tanto si se
refiere a quot;yquot; como si es quot;a la vez... y...quot; en lengua castellana

19. Tabla de verdad
Es una tabla de veracidad que muestra las posibles combinaciones de los valores
de verdad para una proposición P(p1...,pn).
p∧q
p q
V V V
V F F
F V F
F F F
Disyunción
La unión de dos proposiciones atómicas a través de la palabra quot;oquot; se llama
disyunción de las dos proposiciones y se simboliza por quot;∨quot;.
Sean p y q dos proposiciones. Entonces p ∨ q es falso solo sí tanto p como q son
q son verdaderos, entonces p ∨ q es verdadero; p ∨ q se llama la
falsos. Si p
disyunción de p y q.
Ejemplo
• O éste es el laboratorio de Física o es el laboratorio de Biología
• p: Éste es el laboratorio de Física
• q: Es el laboratorio de Biología
• (p) o (q) ≡ p ∨ q

20. Observación
Recuerda que el símbolo ∨ sustituye al término de enlace completo tanto si en la
lectura o escritura de la proposición se emplea sólo quot;oquot; o bien quot;o..., o...quot;.
Tabla de verdad
p∨q
p q
V V V
V F V
F V V
F F F
Actividad 1.3
1. A partir de las siguientes proposiciones moleculares, establezca las
proposiciones atómicas utilizando la simbolización de las proposiciones; luego
determine si cada una de ellas es verdadera o falsa y establezca el criterio de
verdad, a partir de las tablas de verdad.
Ejemplo
Las rosas son rojas y las violetas son azules.
p: Las rosas son rojas
q: las violetas son azules
Luego: p:V ∧ q:V entonces, p ∧ q : V
a. Estamos en Diciembre y celebramos Amor y Amistad.
b. El viento arrastra las nubes o lloverá con seguridad.

21. c. Hoy es sábado y no hay clase.
d. El programa ha efectuado una operación no válida y se cerrará.
e. La música está muy suave o la puerta está cerrada.
f. San Andrés está al Oriente de Colombia y Cali está al Norte de Colombia.
g. Ha llegado el invierno y los días son más cortos.
h. El año tiene doce meses o sale el sol.
i. En la noche sale el Sol y la Luna sale en la mañana.
j. Inicio el computador o instalo el programa.
Resumen
Durante el desarrollo de este fascículo reconocimos el lenguaje lógico de las
proposiciones y razonamos los argumentos de ellas; además se logró simbolizar
las proposiciones con letras de tal manera que representara lo que decían cada
una de ellas y finalmente, logramos identificar los términos de enlace que
conectan dos o más proposiciones atómicas, identificando las tablas de verdad
que los caracterizan.
Bibliografía recomendada
GROSSMAN, Stanley. Matemática discreta y lógica. Grupo Editorial Iberoamérica.
Capítulo 1. México 1988.
JOHNSONBAUGH, Richard. Matemáticas discretas. Grupo Editorial Iberoamérica.
Capítulo 1. México 1988.
SUPPES, Patrick y HILL, Shirley. Introducción a la lógica matemática. Editorial
Reverté Colombiana. Capítulo 1, páginas 1 - 37. Barcelona, 1988.

22. Nexo
En el siguiente fascículo, continuaremos con los razonamientos que nos conlleva
la lógica proposicional, es decir, analizaremos las proposiciones compuestas y las
tablas de verdad, ya que son claves e importantes para la mayoría de conceptos
que se desarrollarán a lo largo del curso.

23. Autoevaluación formativa
1. Realice una historia (tema libre) no menor a 15 renglones, de tal manera que
utilice los términos de enlace trabajados; luego simbolice las proposiciones
atómicas a través de quot;pquot;, quot;qquot;, quot;rquot;, quot;squot;, quot;tquot;, y quot;uquot; y finalmente establezca el criterio
de verdad para:
a. p ∧ r e. p ∧ q i. q ∨ r
b. q ∧ r f. q ∧ p j. r ∨ q
c. r ∧ p g. r ∨ p k. p ∨ q
d. r ∧ q h. p ∨ r l. q ∨ p
2. Con los símbolos quot;squot;, quot;tquot; y quot;uquot;, establezca todas las posibilidades para la
conjunción y la disyunción como se estableció con quot;pquot;, quot;qquot; y quot;rquot; en el punto
anterior y determine el criterio de verdad.