1. TRIGONOMETRÍA
(Primera parte)

2. 2
INTRODUCCIÓN
Trigonometría significa, etimológicamente, medida de triángulos.
En los trabajos topográficos y de la construcción es necesario conocer
cotas, desniveles de terreno, etc., para lo cual se hace imprescindible
medir el valor de los ángulos que permiten calcular distancias.
El instrumento que se utiliza para medir ángulos en tierra firme es el
teodolito.
Conociendo algunos elementos de un triángulo- algún lado, algún
ángulo- , podremos determinar los restantes.
Tales de Mileto (640-550 a. J.C.) en uno de sus viajes a Egipto midió la
altura de una pirámide aprovechando el momento en que su propia
sombra medía tanto como su estatura

3. 3
• NOCIONES PREVIAS
• SISTEMAS DE MEDIDA DE ÁNGULOS. RADIÁN.
• RAZONES TRIGONOMÉTRICAS (R.T.) DE UN ÁNGULO
AGUDO.
• R.T. DE LOS ÁNGULOS 30º, 45º Y 60º.
• RELACIÓN FUNDAMENTAL DE TRIGONOMETRÍA
• R.T. DE LOS ÁNGULOS 0º Y 90º
• CIRCUNFERENCIA GONIOMÉTRICA.

4. NOCIONES PREVIAS
1. a. Proporcionalidad de segmentos y
semejanza
b.TEOREMA DE TALES
2. TEOREMA DE PITÁGORAS

5. 5
1.a. Proporcionalidad de
segmentos y semejanza
Sombra del árbol grande (S)
S. árbol
pequeño (s)
H
h
Las sombras de los dos árboles son proporcionales a
las respectivas alturas
H
h
S
s
OA’
A
B’
B
)alidadproporcionderazón(k
'AA
'BB
'OA
'OB

H
h
S
s

Tales de Mileto (640-550 a. J.C.)
en uno de sus viajes a Egipto
midió la altura de una pirámide
aprovechando el momento en
que su propia sombra medía
tanto como su estatura

6. 6
Si varias paralelas determinan
segmentos iguales sobre una
recta r, determinan también
segmentos iguales sobre
cualquier otra recta r’ a la que
corten
TEOREMA DE TALES:
Los segmentos determinados por
rectas paralelas en dos rectas
concurrentes son proporcionales.
O
A’A
B’
B
'OB
'B'A
OB
AB
tambieno
'OB
'OA
OB
OA

1.b. TEOREMA DE TALES
O
A’
A
B’
B
C’
D’
E’
EDC
B’’
C’’
D’’
E’’
r
r’

7. 7
Medida de ángulos
Los ángulos pueden medirse en tres sistemas:
Sistema sexagesimal (En la calculadora MODE DEG)
Sistema centesimal (En la calculadora MODE GRAD)
Radianes (En la calculadora MODE RAD)
Ángulo
completo
Ángulo
llano
Ángulo
recto
Un
grado
Un
minuto
SEXAGESIMAL 360º 180º 90º 60’ 60”
CENTESIMAL 400g 200g 100g 100m 100s
RADIANES 2  /2

8. 8
Expresa los siguientes ángulos en los tres
sistemas de medida
S.sexagesimal 60 º 210º
S. centesimal 50g 60g 100g
Radianes 2π/3 5π/6
S.sexagesimal 140º 240º
S. centesimal 350g 90g 25g
Radianes 7π/8 3

9. 9
Ángulos en los tres sistemas de medida
S.sexagesimal 60 º 45º 120º 54º 210º 90º 150º
S. centesimal
66g 66m
66s 50g 133g 33m
33s 60g 233g 33m
33s 100g 166g 66m
66s
Radianes
S.sexagesimal 140º 315º 157º 30’ 81º 240º 22º 30’
171º
53’14”
S. centesimal
155g
55m 55s 350g 175g 90g 266g 66m
66s 25g 190g 98m
59s
Radianes 3
3

4

10
3
6
7
2

3
2
6
5
8
7
18
14
4
7
20
9
3
4
8


10. 10
RAZONES
TRIGONOMÉTRICAS (R.T.)
Cˆsen
C"B
"B"A
C'B
'B'A
BC
AB

Cˆgcot
"B"A
C"A
'B'A
C'A
AB
AC

Cˆeccos
"B"A
C"B
'B'A
C'B
AB
BC

Cˆcos
C"B
C"A
C'B
C'A
BC
AC

Cˆtg
C"A
"B"A
C'A
'B'A
AC
AB

Cˆsec
C"A
C"B
C'A
C'B
AC
BC

Los triángulos ABC, A’B’C y A”B”C son
CA”
B”
A
B
A`
B` semejantes
porque tienen los ángulos iguales.
En consecuencia los lados son proporcionales :

11. 11
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS (R.T.)
DE UN ÁNGULO AGUDO
a
c
hipotenusa
opuestocateto
Cˆsen 
a
b
hipotenusa
adyacentecateto
Cˆcos 
c
a
opuestocateto
hipotenusa
Cˆeccos 
b
a
adyacentecateto
hipotenusa
Cˆsec 
b
c
adyacentecateto
opuestocateto
Cˆtg 
c
b
opuestocateto
adyacentecateto
Cˆgcot 
Cˆcos
1
Cˆsec 
Cˆsen
1
Cˆeccos 
Cˆtg
1
Cˆgcot 
Sea ABC un triángulo rectángulo en A.
Se definen seis razones trigonométricas
C
A
B
a
b
c
Cateto adyacente o contiguo a C

12. 12
RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES
TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO
a
c
Cˆsen 
a
b
Cˆcos 
Cˆsen
1
a
c
a
a
c
a
Cˆeccos 
Cˆcos
1
a
b
a
a
b
a
Cˆsec 
Cˆcos
Cˆsen
a
b
a
c
b
c
Cˆtg 
Cˆsen
Cˆcos
a
c
a
b
c
b
Cˆgcot 
Sea ABC un triángulo rectángulo en A.
C
A
B
a
b
c
Cateto adyacente o contiguo a C
Cˆcos
1
Cˆsec 
Cˆsen
1
Cˆeccos 
Cˆtg
1
Cˆgcot 
Cˆcos
Cˆsen
Cˆtg 
Cˆsen
Cˆcos
Cˆgcot 

13. 13
VALORES QUE PUEDEN TOMAR LAS RAZONES
TRIGONOMETRICAS DE UN ANGULO AGUDO
B
CA
a
b
C
1
a
c
Cˆsen0 
1
a
b
Cˆcos0  1
c
a
Cˆeccos 
1
b
a
Cˆsec 

b
c
Cˆtg0 
c
b
Cˆgcot0
En todo triángulo rectángulo los catetos son
menores que la hipotenusa.
Es decir: 0 < c < a 0 < b < a
En consecuencia:

14. RAZONES
TRIGONOMÉTRICAS DE 30º,
45º y 60º
1. R.T. DE 30º y 60º
2. R.T. DE 45º

15. 15
R.T. DE LOS ÁNGULOS 30º y 60º (1)
A B
C
Sea ABC un triángulo equilátero
H
ll
l
l/2
x
B
C
H
l
60º
30º
Es decir, cada uno de sus tres ángulos mide
En el triángulo CHB, rectángulo en H el ángulo B mide
Trazamos una altura CH
60º
Podemos calcular x en función de l, aplicando el
2
2
2
l
2
l
x 






Tª de Pitágoras
4
l
lx
2
22

4
ll4
x
22
2 

4
l3
x
2
2

4
l3
x
2

2
3l
x 
60º y el ángulo C mide 30º El lado BH mide l/2

16. 16
B
C
H
l
l/2
2
3l
60º
30º
2
3
l2
3l
l
2
3l
º60sen 
2
º60cos
1
º60sec 
3
2
º60sen
1
º60eccos 
3
3
3
1
º60tg
1
º60gcot 
2
1
l2
l
l
2
l
º60cos 
3
2
32
2
1
2
3
º60cos
º60sen
º60tg 
2
1
l2
l
l
2
l
º30sen 
2
3
l2
3l
l
2
3l
º30cos 
3
3
3
1
32
2
2
3
2
1
º30tg 
2
º30sen
1
º30eccos 
3
2
º30cos
1
º30sec 
3
3
33
3
3
º30tg
1
º30gcot 
R.T. DE LOS ÁNGULOS 30º y 60º (2)
Observa que:
sen 60º = cos 30º
cos 60º = sen 30º
tg 60º = cotg 30º
cotg60º = tg 30º
sec 60º =cosec30º
Cosec 60º =sec30º

17. 17
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 45º (1)
Sea ABCD un cuadrado
l
l
x
45º
Es decir, cada uno de sus cuatro ángulos mide
En el triángulo ABC, rectángulo en B, el ángulo A mide
Trazamos la diagonal AC
90º
Podemos calcular x en función de l, aplicando el
222
llx 
Tª de Pitágoras
22
l2x 
2
l2x 
2lx 
45º y el ángulo C mide 45º
A B
CD
lA B
C
l
45º

18. 18
2
2
2
1
2l
l
º45sen 
2
2
22
2
2
º45cos
1
º45sec 
1
1
1
º45tg
1
º45gcot 
1
l
l
º45tg 
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 45º (2)
45º
l
A B
C
l
45º
2l
2
2
2
1
2l
l
º45cos 
2
2
2
º45sen
1
º45eccos 
Observa que:
sen 45º = cos 45º
tg 45º = cotg 45º
sec 45º =cosec45º

19. 19
R.T. DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
Sea ABC un triángulo rectángulo ABC, rectángulo en A
α
Si el ángulo B mide α grados,
el ángulo C mide º90
 º90y
º90
AB
C
b
a
c
 cos
a
c
)º90(sen
   sen
a
b
º90cos
   gcot
b
c
º90tg
 
 




 eccos
sen
1
º90cos
1
º90sec
 
 




 sec
cos
1
º90sen
1
º90eccos
 
 




 tg
gcot
1
º90tg
1
º90gcot

20. 20
R.T. DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
Sea ABC un triángulo rectángulo ABC, rectángulo en A
Si el ángulo B mide α radianes,
el ángulo C mide



2
y


2
α
AB
C
b
a
c


2


cos
a
c
)
2
(sen








sen
a
b
2
cos








gcot
b
c
2
tg



















eccos
sen
1
2
cos
1
2
sec



















sec
cos
1
2
sen
1
2
eccos



















tg
gcot
1
2
tg
1
2
gcot

21. 21
RELACIÓN FUNDAMENTAL DE
TRIGONOMETRÍA
α
AB
C
b
a
c
222
acb 
Si en el triángulo rectángulo BAC, aplicamos el teorema de
Pitágoras, tenemos:
Si dividimos la expresión anterior por a2
2
2
2
2
2
2
a
a
a
c
a
b

Expresándolo de otra forma:
1
a
c
a
b
22












    1cossen
22
O lo que es lo mismo:
1cossen 22

1cossen 22

Que normalmente expresaremos
de la forma:

22. 22
Si dividimos la expresión anterior por b2 o por c2
2
2
2
2
2
2
b
a
b
c
b
b

Expresándolo de otra forma:
   22
eccosgcot1 
 22
sectg1
α
AB
C
b
a
c
222
acb 
Si en el triángulo rectángulo BAC, aplicamos el teorema de
Pitágoras, tenemos:
2
2
2
2
2
2
c
a
c
c
c
b

   22
sectg1 
 22
eccosgcot1
OTRAS RELACIONES FUNDAMENTALES

23. 23
R.T. DE LOS ÁNGULOS 0º Y 90º
sen
cos 
sen
sen
sen
sen Observa que al ir aumentando el ángulo hasta 90º el seno
va creciendo, hasta llegar a ser 1. Por lo tanto
sen 90º = 1
A su vez el coseno va disminuyendo hasta valer 0
cos 90º = 0
Observa que al ir disminuyendo el
ángulo hasta 0º el seno va
disminuyendo, hasta llegar a ser 0,
mientras que el coseno va
aumentando hasta valer 1. Es decir,
sen 0º = 0
cos 0º = 1
radio=1
P(x,y)
O X
Y


24. Circunferencia goniométrica
1. R.T. DE ÁNGULO CUALQUIERA
2. VALORES Y SIGNO DEL SENO Y DEL COSENO DE UN
ÁNGULO
3. VALORES Y SIGNO DE LA TANGENTE Y DE LA
COTANGENTE
4. R.T. DE ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS
5. R.T. DE ÁNGULOS QUE DIFIEREN EN 180º
6. R.T. DE ÁNGULOS QUE SUMAN 360º
7. R.T. DE ÁNGULOS OPUESTOS

25. 25
CIRCUNFERENCIA
GONIOMÉTRICA
Trazamos una circunferencia de radio 1 y centro en el origen de un
sistema de coordenadas
X
Y
O
a
Uno de los lados del ángulo
deberá coincidir con el
semieje positivo de las x, el
vértice en el origen de
coordenadas y el otro lado
donde corresponda
A esta circunferencia donde
situaremos los ángulos la
llamaremos circunferencia
goniométrica.
1

26. 26
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE
UN ÁNGULO CUALQUIERA
y
1
y
r
'y
radio
ordenada
sen 
x
1
x
r
'x
radio
abscisa
cos 
x
y
'x
'y
abscisa
ordenada
tg 
X
Y
O
a
1
P(x,y)
Q(x’,y’)
r
A partir de ahora trabajaremos
con la circunferencia de radio 1
(Circunferencia goniométrica)

27. 27
SENO Y COSENO DE UN ÁNGULO
CUALQUIERA. VALORES Y SIGNO.
X
Y
O 1
a
A
sen
cos 
senb
cos b
seng
cos g
send
cos d
b
B
g
C
d
D
-1 0 1
El seno y el coseno de cualquier
ángulo toma valores mayores o
iguales a –1 y menores o iguales a 1
1sen1 
1cos1 -1
-1
1
++_ _
SIGNO DEL SENO SIGNO DEL COSENO
_
_ +
+

28. 28
TANGENTE Y COTANGENTE DE UN ÁNGULO
CUALQUIERA. VALORES Y SIGNO.
X
Y
O 1
A
a
tg
cotg 
tgb
cotg b
tgg
cotg g
tgd
cotg d
g
C
d
D
B
b
La tangente y la
cotangente de un
ángulo puede tomar
cualquier valor .
 tg
 gcot
+_
+ _
TANGENTE Y
COTANGENTE

29. 29
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 120º
A
60º
120º
-1
-1
1
X
Y
O 1
En la circunferencia goniométrica dibujamos
120º (quitamos 60º a 180º)
A’
60º
x
y
-x
y
 yº120sen º60sen
 xº120cos  º60cos



x
y
º120tg 
x
y
 º60tg
2
3
2
1

3
2º120sec 
3
32
º120eccos 
3
3
º120gcot 
Dibujamos el ángulo de 60º y las líneas que
representan sus razones trigonométricas.

30. 30
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 135º
A
45º
135º
-1
-1
1
X
Y
O 1
En la circunferencia goniométrica dibujamos
135º (quitamos 45º a 180º)
A’
45º
x
y
-x
y  yº135sen º45sen
 xº135cos  º45cos



x
y
º135tg 
x
y
 º45tg
2
2
2
2

1
2º135sec  2º135eccos  1º135gcot 
Dibujamos el ángulo de 45º y las
líneas que representan sus razones
trigonométricas.

31. 31
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 150º
150º
-1
-1
1
X
Y
O 1
En la circunferencia goniométrica dibujamos
150º (quitamos 30º a 180º)
A
30º
x
y
A’
30º
-x
y  yº150sen º30sen
 xº150cos  º30cos



x
y
º150tg 
x
y
 º30tg
2
1
2
3

3
3

3
32
º150sec  2º150eccos  3º150gcot 
Dibujamos el ángulo de 30º y las
líneas que representan sus razones
trigonométricas.

32. 32
RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES
TRIGONOMÉTRICAS DE
ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS
a
A
180º-a
-1
-1
1
X
Y
O 1
a y 180º- a
a y p-a
En la circunferencia goniométrica
dibujamosay 180º- a
A’
a
x
y
-x
y
  yº180sen   sen
  xº180cos   cos
 
x
y
º180tg


x
y
  tg
   sensen    coscos    tgº180tg

33. 33
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 210º
-1
-1
1
X
Y
O 1
210º
30º
A
x
y
A’
30º-x
-y
yº210sen   º30sen
xº210cos   º30cos
x
y
º210tg



x
y
  º30tg
En la circunferencia goniométrica dibujamos
210º (añadimos 30º a 180º).
Dibujamos el ángulo de 30º y las líneas que
representan sus razones trigonométricas.
2
1

2
3

3
3
3
32
º210sec  2º210eccos  3º210gcot 

34. 34
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 225º
-1
-1
1
X
Y
O 1
225º
45º
45º
-x
-y
En la circunferencia goniométrica dibujamos
225º (añadimos 45º a 180º).
Dibujamos el ángulo de 45º y las líneas que
representan sus razones trigonométricas.
 yº225sen  º45sen
 xº225cos  º45cos




x
y
º225tg 
x
y
º45tg
2
2

2
2

1
2º225sec  2º225eccos  1º225gcot 

35. 35
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 240º
-1
-1
1
X
Y
O 1
240º
En la circunferencia goniométrica dibujamos
240º (añadimos 60º a 180º).
Dibujamos el ángulo de 60º y las líneas que
representan sus razones trigonométricas.
º240sen  º60sen
º240cos  º60cos
º240tg º60tg
2
3

2
1

3
2º240sec 
3
32
º240eccos 
3
3
º240gcot 

36. 36
RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES
TRIGONOMÉTRICAS DE
ÁNGULOS QUE DIFIEREN EN 180º
a
A
-1
-1
1
X
Y
O 1
a y 180º+ a
a y p+a
En la circunferencia goniométrica
dibujamos a y 180º+a
A’
180º+a
a x
y
-x
-y
  yº180sen   sen
  xº180cos   cos
 
x
y
º180tg



x
y
  tg
   sensen    coscos    tgtg

37. 37
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 300º
-1
-1
1
X
Y
O 1
300º
En la circunferencia goniométrica
dibujamos 300º (quitamos 60º a 360º).
º300sen  º60sen
2
3

º300cos º60cos
2
1
º300tg  º60tg 3
2º300sec 
3
32
º300eccos 
3
3
º300gcot 

38. 38
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 315º
-1
-1
1
X
Y
O 1
315º
En la circunferencia goniométrica
dibujamos 315º (quitamos 45º a
360º).
º315tg 1º45tg 
º315sen  º45sen
2
2

º315cos º45cos
2
2
2º315sec  2º315eccos  1º315gcot 

39. 39
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 330º
(las mismas que las de –30º)
-1
-1
1
X
Y
O 1
En la circunferencia goniométrica
dibujamos 330º (quitamos 30º a
360º).
º330cos º30cos
º330sen  º30sen
2
1

2
3
º330tg  º30tg
3
3

3
32
º330sec  2º330eccos  3º330gcot 

40. 40
RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES
TRIGONOMÉTRICAS DE
ÁNGULOS QUE SUMAN 360º
a
A
-1
-1
1
X
Y
O 1
a y 360º-a
a y 2 p-a
En la circunferencia goniométrica
dibujamosay 360º- a
A’
360º-a
a x
y
-y
  yº360sen   sen
  xº360cos   cos
 
x
y
º360tg


x
y
  tg
   sen2sen    cos2cos    tg2tg

41. 41
RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES
TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS
OPUESTOS
a
A
-1
-1
1
X
Y
O 1
a y - a
En la circunferencia
goniométrica dibujamosay - a
A’
-a x
y
-y
  ysen   sen
  xcos   cos
 
x
y
tg


x
y
  tg
   sensen    coscos    tgtg

42. 42
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
DE UN ÁNGULO MAYOR DE
UNA CIRCUNFERENCIA
a
A
-1
-1
1
X
Y
O 1
Las razones trigonométricas de un
ángulo mayor que una circunferencia
( a+360ºk, donde k es un número
entero) son las mismas que las del
ángulo a
x
y
 2sen sen
 2cos cos
 2tg tg
   senº360sen    cosº360cos    tgº360tg
 k,k2
 k,kº360
2p+

43. 43
-1
-1
1
X
Y
O 1
RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES
TRIGONOMÉTRICAS DE
ÁNGULOS QUE DIFIEREN EN 270º
a
A
a y 270º+a
En la circunferencia goniométrica
dibujamos a y 270º+ a
A’
270º+a
x
y
  xº270sen   cos
  yº270cos   sen
 
y
x
º270tg


y
x
  gcot



2
3
y
y
-x








cos
2
3
sen 







sen
2
3
cos 







gcot
2
3
tg

44. 44
-1
-1
1
X
Y
O 1
RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES
TRIGONOMÉTRICAS DE
ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
a
A
a y 90º - a
En la circunferencia goniométrica
dibujamos a y 90º- a
A’
90º-a
x
y
  xº90sen   cos
  yº90cos   sen
 
y
x
º90tg   gcot



2
y
y
x








cos
2
sen 







sen
2
cos 







gcot
2
tg

45. 45
SENO DE 0º , 90º,180º, 270º y 360º
Observa que al ir aumentando el ángulo de 0º a 90º el seno
va creciendo, de 0 a 1.
sen 0º = 0 sen 90º = 1
-1
-1
1
X
Y
O 1
Al ir aumentando el ángulo de 90º a 180º el seno
va decreciendo, de 1 a 0.
sen 180º = 0
Al ir aumentando el ángulo de 180º a 270º el seno
va decreciendo, de 0 a -1.
sen 270º = -1
Al ir aumentando el ángulo de 270º a 360º el seno va creciendo, de -1 a 0.
sen 360º = 0

46. 46
COSENO DE 0º , 90º,180º, 270º y 360º
Observa que al ir aumentando el ángulo de 0º a 90º
el coseno va decreciendo, de 1 a 0.
cosen 0º = 1 cosen 90º = 0
-1
-1
1
X
Y
O 1
Al ir aumentando el ángulo de 90º a 180º el
coseno va decreciendo, de 0 a -1.
cosen 180º = -1
Al ir aumentando el ángulo de 180º a 270º el
coseno va creciendo, de -1 a 0.
cosen 270º = 0
Al ir aumentando el ángulo de 270º a 360º el coseno va creciendo, de 0 a 1.
cosen 360º = 1

47. 47
TANGENTE DE 0º , 90º,180º, 270º y
360º
Observa que al ir aumentando el ángulo de 0º
a 90º la tangente va decreciendo, de 0 a + ∞.
tg 0º = 0 tg 90º  + ∞.
-1
-1
1
X
Y
O 1
Al ir aumentando el ángulo de 90º a 180º la
tangente va creciendo, de - ∞. a 0.
tg 90º  - ∞ tg 180º = 0
Al ir aumentando el ángulo de 180º a 270º el
tangente va creciendo, de 0 a +∞. .
tg 270º  + ∞.
Al ir aumentando el ángulo de 270º a 360º el
coseno va creciendo, de - ∞ a 0.
tg 270º  - ∞ tg 360º = 0

48. 48
COTANGENTE DE 0º , 90º,180º,
270º y 360º
Observa que al ir aumentando el ángulo de 0º a 90º
la cotangente va decreciendo, de + ∞ a 0
cotg 0º  + ∞ cotg 90º =0
-1
-1
1
X
Y
O 1
Al ir aumentando el ángulo de 90º a 180º la
cotangente va creciendo, de 0 a - ∞
cotg 180º  - ∞
Al ir aumentando el ángulo de 180º a 270º
la cotangente va decreciendo, de + ∞ a 0
cotg 180º  + ∞ cotg 270º = 0
Al ir aumentando el ángulo de 270º a 360º la cotangente va decreciendo, de
0 a - ∞ cotg 360º  - ∞

49. 49
VALORES Y SIGNO QUE TOMAN LAS RAZONES
TRIGONOMETRICAS DE UN ANGULO
1sen1 
1cos1  1sec 
 tg  gcot
1sec 
1eccos 1eccos 
++_ _
SIGNO DEL SENO Y
DE LA COSECANTE
SIGNO DEL COSENO
Y DE LA SECANTE
_
_ +
+
+
_
+ _
SIGNO DE LA
TANGENTE Y
COTANGENTE

50. FUNCIONES
TRIGONOMÉTRICAS
1. FUNCIÓN SENO
2. FUNCIÓN COSENO
3. FUNCIÓN TANGENTE
4. FUNCIÓN COTANGENTE
5. FUNCIÓN SECANTE
6. FUNCIÓN COSECANTE

51. 51
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN SENO
f(x)=sen x
6

3

2

3
2
6
5 
6
7
3
4
2
3
3
5
3
11 2
4

4
3
4
5
4
7
2
1
2
1

2
3
2
3

1
1
2
2
2
2

0
a
sen a
2
2

2
2

2
2
2
2
2
1

2
1

2
1
2
1
2
3

2
3

2
3
2
3
0 1 0 01
6

4

3

2

3
2
6
5
 6
7
3
4
2
3
3
5
3
11
24
3
4
5
4
7
0

52. 52
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN SENO
f(x)=sen x

53. 53
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COSENO
f(x)=cos x
2

3

4

6
 2
3
11
4
7
3
5
3
2
4
3
6
5 
6
7
4
5
3
4
2
1
2
1

2
3
2
3

1
1
2
2
2
2

0
2
3
a
COS a
2
2

2
2

2
2
2
2
2
1

2
1

2
1
2
1
2
3

2
3

2
3
2
3
01 0 11
6

4

3

2

3
2
6
5
 6
7
3
4
2
3
3
5
3
11
24
3
4
5
4
7
0

54. 54
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COSENO
f(x)=cos x

55. 55
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN TANGENTE
f(x)=tg x
3
3

1
1
6

3

2

3
2
6
5 
6
7
3
4
2
3
3
5
3
11 2
4

4
3
4
5
4
70
3
3
3
3

56. 56
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN TANGENTE
f(x)=tg x

57. 57
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COTANGENTE
f(x)=cotg x
3
3

1
1
6

3

2

3
2
6
5 
6
7
3
4
2
3
3
5
3
11 2
4

4
3
4
5
4
70
3
3
3
3

58. 58
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COTANGENTE
f(x)=cotg x

59. 59
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN SECANTE
f(x)=sec x
1
1
6

3

2

3
2
6
5 
6
7
3
4
2
3
3
5
3
11 2
4

4
3
4
5
4
70

60. 60
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN SECANTE
f(x)=sec x

61. 61
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COSECANTE
f(x)=cosec x
1
1
6

3

2

3
2
6
5 
6
7
3
4
2
3
3
5
3
11 2
4

4
3
4
5
4
70

62. 62
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COSECANTE
f(x)=cosec x

63. TRIGONOMETRÍA
(Segunda parte)
Realizado por Mª Jesús Arruego Bagüés

64. 64
INTRODUCCIÓN
Trigonometría significa, etimológicamente, medida de triángulos.
En los trabajos topográficos y de la construcción es necesario conocer
cotas, desniveles de terreno, etc., para lo cual se hace imprescindible
medir el valor de los ángulos que permiten calcular distancias.
El instrumento que se utiliza para medir ángulos en tierra firme es el
teodolito.
Conociendo algunos elementos de un triángulo- algún lado, algún
ángulo- , podremos determinar los restantes.
Tales de Mileto (640-550 a. J.C.) en uno de sus viajes a Egipto midió la
altura de una pirámide aprovechando el momento en que su propia
sombra medía tanto como su estatura

65. 1. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA SUMA
Y DE LA DIFERENCIA DE ÁNGULOS
2. R.T. DEL ÁNGULO DOBLE.
3. R.T. DEL ÁNGULO MITAD
4. TEOREMA DEL SENO
5. TEOREMA DEL COSENO
6. ÁREA DE UN TRIÁNGULO. FÓRMULA DE
HERON

66. 66
SENO DE LA SUMA DE DOS ÁNGULOS
A
O X
Y
N
M
b b
P
B


Dibujamos el ángulo a y a continuación el ángulo b.
Tenemos el ángulo a+b en el triángulo rectángulo OPB.
Trazamos MN y BM.
  b
OB
BP
sen

bb

OB
sencosOBcossenOB



OB
senOAcosAB
  bbb sencoscossensen
Trazamos AB perpendicular a OA y obtenemos el
triángulo rectángulo OAB.


OB
ANAM

67. 67
COSENO DE LA SUMA DE DOS ÁNGULOS
A
O X
Y
N
M
b b
P
B


Dibujamos el ángulo a y a continuación el ángulo b.
Trazamos AB perpendicular a OA y y obtenemos el
triángulo rectángulo OAB.
Tenemos el ángulo a+b en el triángulo rectángulo OPB.
Trazamos MN y BM.
  



b
OB
BMON
OB
NPON
OB
OP
cos

bb

OB
sensenOBcoscosOB



OB
senABcosOA
  bbb sensencoscoscos

68. 68
COSENO DE LA SUMA DE DOS ÁNGULOS
(otra forma de deducir la fórmula)
 bcos
bb sensencoscos
  





b

2
sen   





b







2
sen





b

2
sen
   b







b







 sen
2
coscos
2
sen
 bb sensencoscos
  bbb sensencoscoscos

69. 69
TANGENTE DE LA SUMA DE DOS ÁNGULOS
 btg 
bb
bb
sensencoscos
sencoscossen

b
b

b
b
b
b

b
b

coscos
sensen
coscos
coscos
coscos
sencos
coscos
cossen
b
b
tgtg1
tgtg
  bbb sencoscossensen
  bbb sensencoscoscos
  
b
b
b
tgtg1
tgtg
tg
Si dividimos numerador
y denominador por
cosa.cosb
Simplifi-
cando
 
 

b
b
cos
sen

70. 70
R.T. DE LA DIFERENCIA DE DOS ÁNGULOS
(nos basaremos en las fórmulas de las r.t. de la suma de dos ángulos)
  bsen bsen    bb sencoscossen
1
 bb sencoscossen
bb sencoscossen
  bcos bcos    bb sensencoscos
 bb sensencoscos
bb sensencoscos
 btg
 
 

b
b
tgtg1
tgtg 
 

b
b
tgtg1
tgtg
  btg

b
b

tgtg1
tgtg

71. 71
R.T. DE LA SUMA Y DIFERENCIA DE DOS
ÁNGULOS
 bsen
 bcos
 btg
 bsen bb sencoscossen
 bcos bb sensencoscos
 btg
b
b
tgtg1
tgtg
bb sencoscossen
bb sensencoscos
b
b
tgtg1
tgtg

72. 72
R.T. DEL ÁNGULO DOBLE
(nos basaremos en las fórmulas de las r.t. de la suma de dos ángulos)
 sen
 cos
 tg
2sen  sencoscossen
 sensencoscos



tgtg1
tgtg
 cossen2
2cos  22
sencos
2tg


2
tg1
tg2
2sen  cossen2
2cos  22
sencos
2tg


2
tg1
tg2

73. 73
R.T. DEL ÁNGULO MITAD
(nos basaremos en las fórmulas de las r.t. Del ángulo doble)
2cos  22
sencos
tg
 22
sensen1  2
sen21
2
sen2  2cos1
2
sen
2
2cos1 
2
2cos1 
sen
2cos  22
sencos  22
cos1cos 1cos2 2

2
cos2  2cos1
2
cos
2
2cos1 
2
2cos1 
cos



2cos1
2cos1
2
cos1
2
sen



2
cos1
2
cos


 



cos1
cos1
2
tg

74. 1. Teorema del seno
2. Teorema del coseno

75. 75
TEOREMA
DEL SENO
Los lados de un triángulo son proporcionales a
los senos de los
ángulos opuestos. Cˆsen
c
Bˆsen
b
Aˆsen
a

El Teorema del seno sirve para relacionar los
lados de un triángulo con los ángulos opuestos.
Consideremos un triángulo ABC.





Bˆsenah
Aˆsenbh
C
C
 BˆsenaAˆsenb
Bˆsen
b
Aˆsen
a

Del mismo modo, si trazamos la altura
correspondiente al vértice A:





Bˆsench
Cˆsenbh
A
A BˆsencCˆsenb 
Cˆsen
c
Bˆsen
b

hC
hA
C
BA
ab
c H
Trazamos la altura correspondiente al vértice C.
Los triángulos AHC y BHC son rectángulos.
Entonces:

76. 76
Medida de los ángulos en una
circunferencia
 Los ángulos inscritos miden la mitad del ángulo central correspondiente
A
B
C
O

180º-2 
b
b
180º-2b
360º-(180º-2 180º-2 b
360º - 360º + 2 2 b 
 2 2 b  2  b
2b
O
2b
b
g
2 g

77. 77
 Todos los ángulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia,
son iguales
g
2g
g
g
g
180º
90º
 Todos los ángulos
inscritos que abarcan
un diámetro, son
rectos.
Medida de los ángulos en una
circunferencia

78. 78
Consecuencia del TEOREMA DEL SENO
La constante de proporcionalidad entre los lados de un triángulo
y los senos de los ángulos opuestos es igual al diámetro de la
circunferencia circunscrita a dicho triángulo.
R2
Cˆsen
c
Bˆsen
b
Aˆsen
a

Consideremos un triángulo ABC y R el radio de la
circunferencia circunscrita a dicho triángulo.

Aˆsen
a
Los ángulos A y A’ son iguales (Todos los ángulos inscritos que abarcan
el mismo arco son iguales). Luego:
A
a
C
B
A’
R2
1
R2
º90sen
R2
'Aˆsen
a

Trazamos el diámetro CA’ y unimos A’ con
B. El triángulo A’BC es rectángulo (Todo
ángulo que abarca un diámetro es recto).
R2
'Aˆsen
a


79. 79
Consecuencia del TEOREMA DEL SENO
Área de un triángulo
hC
C
BA
ab
c H
La superficie del triángulo ABC es:
chc
2
1
S 
En el triángulo AHC :

b
h
Aˆsen C
AˆsenbhC 
Sustituyendo en la primera expresión:
Aˆsenbc
2
1
S 

80. 80
Consecuencia del TEOREMA DEL SENO
Área de un triángulo
Sea un triángulo ABC inscrito en una circunferencia de radio R.
La superficie del triángulo ABC es:
Por el Teorema del seno :
Sustituyendo en la primera expresión:
Aˆsenbc
2
1
S 
C
BA
ab
c
R
 R2
Aˆsen
a
R2
a
Aˆsen 
R2
a
bc
2
1
S 
R4
cba
S



81. 81
TEOREMA DEL
COSENO
h
C
BA
ab
c H
m c-m
  
222
mcha
Aplicando el Tª de Pitágoras en el triángulo BHC:
 222
mcm2ch
 2222
mcm2cmb
(en AHC)
 2222
mcm2cmb
cm2cb 22

(Como en AHC m = b . cos A) Aˆcoscb2cba 222

Bˆcosca2cab 222

Cˆcosba2bac 222

Análogamente (trazando las
otras alturas) obtendríamos:
El cuadrado de un lado es igual a la suma
de los cuadrados de los otros dos lados
menos el doble producto de estos lados por
el coseno del ángulo correspondiente

82. 82
A
C
c
B
b
a
C
B A
b
a
c
222
cba 
222
cba 
CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DEL COSENO
Clasificación de triángulos
En un triángulo ABC, el Tª del coseno dice que: Aˆcoscb2cba 222

Si A < 90º  cos A >0 
222
cba Si A = 90º  cos A = 0 
Si A > 90º  cos A < 0 
ab
c BA
C
( Teorema de Pitágoras )

83. 83
CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DEL COSENO
Área de un triángulo. Fórmula de Herón
Por el Tª del coseno
La superficie del triángulo ABC es: Aˆsenbc
2
1
S 
AˆsenbcS2 
 AˆsenbcS4 2222
  Aˆcos1bc 222
 Aˆcosbcbc 22222
cb2
acb
Aˆcos
222


  


 22
2222
2222
cb4
acb
bcbc
  


4
acbbc4
222222
  


4
acbbc2acbbc2 222222
     


4
cbaacb
2222
hC
C
BA
ab
c H

84. 84
CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DEL COSENO
Área de un triángulo. Fórmula de Herón
Si a+b+c=2p
La superficie del triángulo ABC es: Aˆsenbc
2
1
S 
AˆsenbcS2 
 AˆsenbcS4 2222
    


4
cbacbaacbacb
...
 b+c-a=2p-2a=2(p-a) ....
     


4
bp2cp2ap2p2
      bpcpapp4
2
S        bpcpapp      cpbpappS 
(p será el semiperímetro)
FÓRMULA
DE HERÓN
hC
C
BA
ab
c H
     


4
cbaacb
2222

85. 85
Trigonometría es la rama de las Matemáticas que trata las relaciones
entre los lados y los ángulos de un triángulo.
La Trigonometría ayuda a determinar distancias a las que no se
puede acceder directamente.
Se usa en la navegación, en Agrimensura y en Astronomía . Tiene
aplicación en Física, en Química y en Ingeniería, en especial en el
estudio de fenómenos periódicos como la vibración del sonido, en el
flujo de la corriente alterna,...
La Trigonometría comenzó con las civilizaciones babilónica y egipcia y
se desarrollo en la Antigüedad gracias a los griegos e hindúes. A partir
del siglo VIII d.C., astrónomos islámicos perfeccionaron los
conocimientos descubiertos por griegos e hindúes.
La Trigonometría moderna comenzó con el trabajo de matemáticos en
Occidente a partir del siglo XV. La invención de los logaritmos por el
escocés John Naiper y del cálculo diferencial e integral por Isaac
Newton ayudaron al progreso de los cálculos trigonométricos.

86. 86
PÁGINAS WEB
http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/trigonom/trigonometria.htm
http://www.eneayudas.cl/trigentrada.htm#ejyej
http://www.sectormatematica.cl/proyectos/como_aprender.htm
http://www2.polito.it/didattica/polymath/htmlS/argoment/APPUNTI/TESTI/Mar_04/
APPUNTI.HTM
http://www.dm.unibo.it/matematica/Trigonometria/trigono.htm
http://www.vialattea.net/eratostene/cosmimetria/metodo.htm
http://www.univie.ac.at/future.media/moe/galerie/trig/trig.html
http://descartes.cnice.mecd.es/
http://astro.if.ufrgs.br/trigesf/trigesf.htm
http://www.nauticoartiglio.lu.it/trigsfer/trigsferica.htm