Taller TVM

1. TEOREMA DEL VALOR MEDIO
Si:
1. 𝑓( 𝑥) es continua en [ 𝑎, 𝑏].
2. 𝑓( 𝑥) es diferenciable en ( 𝑎, 𝑏).
Entonces:
𝑓 ′( 𝑐) =
𝑓( 𝑏) − 𝑓(𝑎)
𝑏 − 𝑎
Actividad:
1. Un vehículo entró en el túnel de occidente a las 13h25' y sale a las 13h29', lo cual queda registrado por
las cámaras instaladas en ambas bocas del túnel de 4.663m de longitud. El dueño del vehículo recibió
una multa por un valor de 438900 pesos, el equivalente a 15 (SMLDV) salarios mínimos legales diarios
vigentes, por rebasar la velocidad permitida de 60Km/h dentro del túnel.
¿Se puede comprobar mediante el TVM que la sanción fue justa?
2. Un automóvil pasa por dos controles de policía separados entre sí 10 km. Por el primero pasa a las
12:00 y por el segundo a las 12:04. La velocidad máxima permitida en esa región es de 120 km/h.
¿Hubo infracción al tope de velocidad?
3. Diariamente manejo mi automóvil desde mi casa a la universidad en un trayecto de unos 9 kilómetros,
que los recorro en 15 minutos. Como 15 minutos es un cuarto de hora, esto implica que mi velocidad
promedio es de 36 kilómetros por hora.
Ahora bien, durante el recorrido, hay partes donde puedo moverme a 100 kilómetros por hora, y en
otrasestoy completamente detenido en unsemáforo.Lapregunta esesta: ¿en algún momento me estoy
moviendo a, exactamente, 36 km/h?
LOS RADARES DE LAGRANGE
4. Supongamos que colocamos en una autovía dos radares con una separación entre
ellos de 5 kilómetros. Cada uno de ellos identifica cada coche que pasa a su altura y
detecta su velocidad, registrando la hora exacta en la que cada coche entra en ese
tramo de 5 kilómetros (mediante el primer radar) y la hora en la que sale de él
(mediante el segundo).
HIPOTESIS
TESIS

2. Supongamos ahora que nosotros viajamos en un coche que entra en ese tramo de carretera (donde la
velocidad máxima permitida es 120 km/h) a las 12 horas, 38 minutos y 41 segundos a una velocidad
de 110 km/h y sale del mismo a las 12 horas, 41 minutos y 5 segundos también a una velocidad de 90
km/h. En principio las mediciones de los radares indican que en los dos puntos circulamos a velocidad
permitida tanto en el comienzo del tramo como en el final, pero ¿qué ocurre entre esos dos puntos?
5. A las 2:00 PM el velocímetro de un automóvil señala 30 millas/h. A las 2:10 PM indica 50 millas/h.
Demuestre que en algún instante entre las 2:00 y las 2:10 la aceleración es exactamente 120 millas/h2.
6. Dos corredores inician una carrera al mismo tiempo y terminan empatados. Demuestre que en algún
momento durante la carrera tuvieron la misma velocidad.
Sugerencia: considere 𝑓( 𝑡) = 𝑔( 𝑡) − ℎ(𝑡), donde 𝑔 y ℎ son las funciones de posición de los dos
corredores.
Atención:
Por ejemplo, si sabemos que una carretera tiene como velocidad máxima (legal) 60km/h, entonces, en un
par de horas, no debemos avanzar más de 2X 60 = 120 kilómetros. Si lo hacemos, el teorema del valor
medio implica que en algún momento corríamos a exceso de velocidad.