Este documento explica cómo derivar funciones definidas implícitamente mediante una ecuación. Explica que para derivar estas funciones se deriva cada término de la ecuación miembro a miembro y que la derivada de y puede calcularse usando una fórmula. También presenta la regla de la cadena para derivar términos que contengan a y cuando las variables no coincidan. Finalmente, muestra un ejemplo de cómo aplicar estos conceptos para derivar una función implícita concreta.

1. INSTITUTO UNIVERSITARIO TECNOLOGICO
ANTONIO JOSE DE SUCRE
EXTENCION DE BARQUISIMETO
Rafael Angel Peña Izarra
Sencc 85 Diseño Grafico
Materia:Matematica

2. Derivación implícita
En los cursos de cálculo la mayor parte de las
funciones con que trabajamos están expresadas
en forma explícita, como en la ecuación
dónde la variable y está escrita explícitamente
como función de x. Sin embargo, muchas
funciones, por el contrario, están implícitas en
una ecuación. La función y = 1 / x, viene
definida implícitamente por la ecuación: x y = 1.
Derivacion implícita . Es una función está definida
en forma implícita cuando no aparece despejada
la y sino que la relación entre x e y viene dada por
una ecuación de dos incógnitas cuyo segundo
miembro es cero.

3. Derivadas de funciones implícitas
Para hallar la derivada en forma
implícita no es necesario despejar y.
Basta derivar miembro a miembro,
utilizando las reglas vistas hasta
ahora y teniendo presente que:

4. Ejemplo
hasta ahora y teniendo presente que:
x'=1.
En general y'≠1.
Por lo que omitiremos x' y dejaremos
y'.

5. Ejemplos
Derivar las funciones:

6. Cuando las funciones son más
complejas vamos a utilizar una regla
para facilitar el cálculo:

7. Ejemplo
Derivada de funciones implícitas. La derivada de la función
implícita definida mediante la ecuación puede calcularse:
o bien despejando la y , o bien, mediante la siguiente
fórmula:
siempre que

8. El método de regla de la cadena
para funciones implícitas
Ya sabemos que cuando se derivan términos
que solo contienen a x, la derivación será la
habitual. Sin embargo, cuando tengamos que
derivar un término donde aparezca la y, será
necesario aplicar la regla de la cadena.

9. Ejemplo 1:
Aquí las variables coinciden:
se deriva normalmente.
Ejemplo 2:
Aquí las variables no coinciden:
se usa regla de la cadena.

10. Ejemplo 3:
Hallar , de la función implícita:
Aplicando la notación
, a cada término y extrayendo las constantes;