Determinación de máximos y mínimos de una función

1. APLICACIONES DE LA DERIVACIONAPLICACIONES DE LA DERIVACION
TEOREMATEOREMA (Teorema de los valores extremos)
Si es una función continua definida en el intervalo cerrado ,
existe (por lo menos) un punto tal que , en el cual
toma el mayor valor, y existe, (por lo menos) un punto , tal
que en el cual toma el menor valor.
f [ ]ba,
[ ]bax ,1 ∈ bxa << 1
f [ ]bax ,2 ∈
bxa << 2
f
MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE UNA FUNCIÓNMÁXIMOS Y MÍNIMOS DE UNA FUNCIÓN

2. GráficamenteGráficamente
[ ]bax ,∈∀ se cumple en que)()()( 12 xfxfxf ≤≤
)( 1xf es el máximo valor de enf [ ]ba, y
)( 2xf es el mínimo valor de enf [ ]ba,
x
y
a0 1x 2x b
)( 2xf
)( 1xf
)(xfy =

3. TEOREMA:TEOREMA: Supóngase que es continua en un intervalo que toma su
valor máximo (o mínimo) en algún punto que está en el interior del
Intervalo. Si existe , entonces
f
0x
)( 0xf ′ 0)( 0 =′ xf
COROLARIO: Sí es un mínimo de , entonces ,
Siempre que exista la derivada
)( 0xf f 0)( 0 =′ xf
NOTA: Es importante hacer notar que debe ser un punto interior al
intervalo, puesto que , definida en
0x
2
)( xxf = 21 ≤≤ x
Tiene un máximo en y un mínimo en y además
en todo punto del intervalo
2=x 1=x 0)( ≠′ xf
[ ]2,1

4. x
y
0
2
)( xxfy ==
1 2
1)1( =f
4)2( =f
es un mínimo de
es un máximo de
[ ]2,1enf
[ ]2,1enf

5. APLICACIONES DE LA DERIVADA A LAAPLICACIONES DE LA DERIVADA A LA
REPRESENTACION GRAFICA DE FUNCIONESREPRESENTACION GRAFICA DE FUNCIONES
Estudiaremos los siguientes conceptos en forma simultánea: Función
Creciente, Función Decreciente, Máximo y/o Mínimo Relativo, Concavidad
hacia arriba, Concavidad hacia abajo y punto de inflexión en la función.
Analizando el comportamiento de la función se tiene, sí:)(xfy =
),(0)( 111 yxxf ⇒=′ es un máximo o un mínimo
⇒′′ )(xf concavidad
⇒=′′ 0)(xf Punto de inflexión de la función, cambio de
concavidad

6. Entonces:
)(0)(0)( 111 xfxfxf ′⇒<′′∧=′1) es un máximo relativo de la
función en 1x
2) )(0)(0)( 111 xfxfxf ′⇒>′′∧=′ es un mínimo relativo de
en 1x
)(xf
3) )(0)( 1 xfxf ⇒=′′ tiene un punto de inflexión en 1x
NOTA 1: Los puntos donde tiene un máximo, un mínimo y un punto de
inflexión se llaman puntos críticos de la función.
)(xf
NOTA 2: No siempre cuando la función tiene un0=
dx
dy )(xfy =
punto extremo (máximo o mínimo).

7. Ej: Estudie y grafique la función 15)( 5
+−= xxxf
Dominio de existencia: R
Intervalos de crecimiento y decrecimiento:
010)(,55)( 44
=−⇒=′−=′ xxfxxf
0)1()1()1(
0)1()1(
2
22
=+−+⇒
=+−⇒
xxx
xx
Rix
x
x
∉±=
=
−=
∨
∨
1
1⇒
Puntos extremos 11 =−= xyx∴
-1 1

8. Sí
)(0)(1 xfxfx ⇒>′⇒−<
)(0)(11 xfxfx ⇒<′⇒<<−
)(0)(1 xfxfx ⇒>′⇒>
es creciente
es decreciente
es creciente

9. Concavidad:
00)(,20)( 3
=⇒=′′=′′ xxfxxf Punto de inflexión )1,0(⇒
Sí
)(0)(0
)(0)(0
xfxfx
xfxfx
⇒>′′⇒>
⇒<′′⇒< es cóncava hacia abajo
es cóncava hacia arriba
Ahora: )(0)1(0)1( xfff ⇒<−′′=−′ y tiene un máximo, su valor
5)1( =−f
)(0)1(0)1( xfff ⇒>′′=′ tiene un mínimo, su valor
3)1( −=f

10. Así la gráfica resulta:
x
y
0
15)( 5
+−= xxxf
-1 1
1
5
-3