CA Circuitos Teoría
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Apuntes de corriente alterna de la materia Fundamentos de Electrotecnia.
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- 1. Circuitos de corriente alterna Fundamentos de electrotecnia Milagros Fernández Gavilanes Centro Universitario de la Defensa Curso 2018/2019
- 2. Teorı́a de circuitos de corriente alterna Teorı́a de circuitos de corriente alterna Magnitudes fı́sicas fundamentales y régimen sinusoidal Fasores y operaciones con complejos Elementos pasivos en circuitos de alterna Impedancias y admitancias Técnicas de análisis de circuitos de ca ˝ Divisores de tensión y corriente, nudos y mallas, transformación de fuentes, superposición ˝ Equivalentes de Thévenin y Norton Potencia ˝ Potencia activa y reactiva ˝ Potencia aparente y factor de potencia ˝ Máxima transferencia de potencia 2 de 59
- 3. Teorı́a de circuitos de corriente alterna Introducción: Tipos de corrientes Según el sentido del movimiento de los e´ se distingue: Corriente continua (CC): sus cargas en movimiento siempre se desplazan en el mismo sentido (no cambia de signo en el tiempo). Ej: pilas, baterı́as o células fotoeléctricas. Corriente alterna (CA): sus cargas se mueven en ambos sentidos de forma periódica (cambia de signo en el tiempo). Provoca alteraciones en polaridad y magnitud. Ej: alternadores 3 de 59
- 4. Teorı́a de circuitos de corriente alterna Introducción: Señales variables con el tiempo Formas de onda periódicas: 4 de 59
- 5. Teorı́a de circuitos de corriente alterna Introducción: ¿Porqué se empezó a usar la ca? Objetivo: Transportar la electricidad (de centrales al destino). Problemas de la CC: ˝ No es fácil aumentar la tensión; ˝ Problemas en la transmisión de potencia debido a pérdidas en conductores; ˝ Es muy ineficiente en largas distancias. Supuesto: queremos mantener acotadas esas pérdidas de potencia en cc ˝ Reducir la corriente transportada; ˝ Reducir la resistencia de los conductores (aumentando su sección). ¿Qué sección de conductor habrı́a que utilizar para tener pérdidas constantes si se opera a tensión fija? R “ P I2 y R “ ρ l S Por ejemplo, si la tensión es 230V : ˝ P “ 1kW, I “ 4,3A ñ Sección: 1mm2 ˝ P “ 1MW, I “ 4300A ñ Sección: 1x106 mm2 = ¡¡ 1m2 !! No es viable 5 de 59
- 6. Teorı́a de circuitos de corriente alterna Introducción: ¿Porqué se empezó a usar la ca? Figura 1: Esquema de transporte y distribución de la ca a consumidores Ventajas de la CA: ˝ Muy sencillo aumentar/reducir tensión y corriente mediante transformadores; ˝ Minimiza las pérdidas por calor (efecto Joule: P “ V ¨ I “ R ¨ I2 y E “ Pt); ˝ Muy eficiente a largas distancias transmitiendo alta tensión/baja intensidad. 6 de 59
- 7. Magnitudes fı́sicas más relevantes en circuitos alterna
- 8. Teorı́a de circuitos de corriente alterna Magnitudes fundamentales La expresión senoidal de la tensión con el tiempo es (aplicable a la corriente): vptq “ Vp ¨ sinpωt ` φq t vptq Para caracterizar su respuesta, se define: Ciclo: Sucesión de valores que toma una magnitud eléctrica antes de volver a repetirse (onda completa). Está formado por dos semiciclos. Perı́odo (T): Tiempo que dura un ciclo (en [s]). Frecuencia (f): Número de ciclos que hay en un segundo (en [Hz]). f “ 1 T (la frecuencia estándar en Europa es 50 Hz) Pulsación de la señal (ω): Velocidad de rotación en un ciclo (en [rad/s]). ω “ 2πf (la pulsación estándar en Europa es 100 π [rad/s]) 8 de 59
- 9. Teorı́a de circuitos de corriente alterna Magnitudes fundamentales Amplitud o valor de pico (Vp): Valor máximo positivo que alcanza la función durante el ciclo. Si es corriente será Ip. Valor de pico a pico (Vpp): Valor desdel el pico positivo hasta el pico negativo durante un ciclo. Si es corriente será Ipp. Vpp “ 2 ¨ Vp [V] e Ipp “ 2 ¨ Ip [A] Fase (φ): Medición angular que especifica la posición de la onda senoidal con respecto a una de referencia (en grados o rad). T 2 t φ Vp sinpωt ` φq vptq T 2 T t ´φ Vp sinpωt ´ φq vptq ωt Vp sinpωtq Vp sinpωt ` φq A B π 2 π ωt Vp sinpωtq Vp sinpωt ´ φq A B B va adelantada φ respecto a A B va retrasada φ respecto a A 9 de 59
- 10. Teorı́a de circuitos de corriente alterna Magnitudes fundamentales Para ilustrar todas esas magnitudes, supongamos vptq “ Vp sinpωt ´ φq: + - - + T Vp Vpp ´φ Amplitud máx 0 Amplitud min Tiempo (t) Voltaje (V) Estas magnitudes también son aplicables a la corriente. Demostración: vptq R iptq La ley de Ohm se cumple de forma instantánea: vptq “ R ¨ iptq ñ iptq “ Vp R sinpωt ´ φq ñ La corriente con misma forma de onda que el voltaje 10 de 59
- 11. Teorı́a de circuitos de corriente alterna Magnitudes fundamentales Valor instantáneo (vptq): Valores en los diferentes puntos de la onda senoidal. En la corriente es iptq. Valor eficaz (Vef o Vrms): Amplitud cuatrática media durante un perı́odo, es decir, la raı́z cuadrada de la media de los cuadrados durante T. En corriente es Ief o Irms. Vef “ Vrms “ d 1 T ż T 0 v2ptqdt “ Vp ? 2 Valor medio (Vm): Área total debajo de la curva de medio ciclo dividida entre la distancia en radianes de la curva a lo largo del eje horizontal. En corriente es Im. Vm “ 2 ¨ Vp π 11 de 59
- 12. Teorı́a de circuitos de corriente alterna Magnitudes fundamentales ´2π ´3π 2 ´π -π 2 π 2 π 3π 2 2π Vp Ip ´Ip ´Vp Ief Im Vef Vm ´φ Voltaje vptq Corriente iptq ωt 12 de 59
- 13. Teorı́a de circuitos de corriente alterna Circuitos en ca básicos: ¿Qué ocurrirı́a si tuviéramos este circuito? vptq R vRptq iptq L vLptq C vC ptq vptq “ vR ptq`vLptq`vC ptq ñ $ ’ ’ ’ ’ % vR ptq “ R ¨ iptq vLptq “ L ¨ diptq dt vC ptq “ 1 C ż t t0 iptqdt Para obtener el valor de iptq se debe resolver la ecuación diferencial: dvptq dt “ R diptq dt ` L d2 iptq dt ` 1 C iptq Cuestiones a tener en cuenta en un circuito de ca: vptq e iptq pueden tener amplitudes distintas, pero misma frecuencia. vptq e iptq pueden tener fases diferentes. En un dominio temporal, esto implica resolver ecuaciones con derivadas e integrales de magnitudes sinusoidales con diferentes fases ñ ¡Es engorroso! 13 de 59
- 14. Teorı́a de circuitos de corriente alterna Notación fasorial En circuitos donde la corriente generada es sinusoidal y la frecuencia es igual a la de la tensión, se concluye que la única información relevante es: ˝ Sus amplitudes o valores de pico, ˝ Sus fases. Por ejemplo: vptq “ Vp ¨ sinpωt ` φv q iptq “ Ip ¨ sinpωt ´ φi q Vp Ip φv ´φi iptq vptq ωt Relaciones útiles: sinpωt ˘ 90o q “ ˘ cospωtq cospωt ˘ 90o q “ ¯ sinpωtq sinpωt ˘ 180o q “ ´ sinpωtq cospωt ˘ 180o q “ ´ cospωtq φv es positivo y φi negativo en este ejemplo. Se define el fasor asociado a cada una de las ondas sinusoidales como un numero complejo que representa su amplitud y su fase. V “ |Vp|=φv y I “ |Ip|=φi 14 de 59
- 15. Teorı́a de circuitos de corriente alterna Analogı́a entre funciones sinusoidales y fasores Una función sinusoidal es la proyección de un vector giratorio sobre los ejes de un sistema de coordenadas (eje real y eje imaginario). Si V gira en el plano complejo a velocidad ω, se puede analizar el valor de su parte real en los distintos instantes de tiempo. Caso φ “ 0o: Caso φ “ 45o: Caso φ “ -45o: 15 de 59
- 16. Teorı́a de circuitos de corriente alterna Números complejos Un número complejo Z puede escribirse: φ e =m a |Z| b Resumen trigonometrı́a: |Z| “ ? a2 ` b2 sin φ “ b c ; cos φ “ a c tan φ “ sin φ cos φ “ a b φ “ tan´1 b a en forma cartesiana: Z “ a ` jb donde j “ ? ´1, a “ etZu y b “ =mtZu. en forma exponencial: Identidad de Euler: ejφ “ cos φ ` j sin φ Z “ |Z|ejφ “ |Z|pcos φ ` j sin φq donde |Z| es la magnitud de Z, y φ la fase de Z. en forma fasorial: Z “ |Z|=φ 16 de 59
- 17. Teorı́a de circuitos de corriente alterna Números complejos: Ejemplo Escribir la expresión sinusoidal para los fasores siguientes cuando la frecuencia es de 50Hz. Dominio de fasor Dominio del tiempo I “ 10=30o iptq “ 10 ¨ sinp2π50t ` 30oq V “ 115=-70o vptq “ 115 ¨ sinp2π50t ´ 70oq Ip “ 10 φi “ 30o iptq ωt Vp “ 115 φv “ -70o vptq ωt 17 de 59
- 18. Teorı́a de circuitos de corriente alterna Números complejos: Ejemplo Escribir la expresión sinusoidal para los fasores siguientes cuando la frecuencia es de 50Hz. Dominio de fasor Dominio del tiempo I “ 10=30o iptq “ 10 ¨ sinp2π50t ` 30oq V “ 115=-70o vptq “ 115 ¨ sinp2π50t ´ 70oq Si queremos convertir la forma fasorial a exponencial y cartesiana: φi “ 30o e =m |Ip| “ 10 8,66 ` j5 10 ¨ ej30o “ 10 ¨ pcos 30o ` j sin 30o q 10 ¨ pcos 30o ` j sin 30o q “ 8,66 ` j5 φv “ -70o e =m 39,33 ´ j108,06 |Vp| “ 115 115¨e´j70o “ 115¨pcos -70o `j sin -70o q 115¨pcos -70o `j sin -70o q “ 39,33´j108,06 18 de 59
- 19. Teorı́a de circuitos de corriente alterna Operaciones con complejos Sea Z1 “ |Z1|=φ1 ” a1 ` jb1, y Z2 “ |Z2|=φ2 ” a2 ` jb2 SUMA cartesiana Z1 ` Z2 pa1 ` a2q ` jpb1 ` b2q RESTA cartesiana Z1 ´ Z2 pa1 ´ a2q ` jpb1 ´ b2q PRODUCTO fasorial Z1 ˆ Z2 p|Z1| ˆ |Z2|q=pφ1 ` φ2q DIVISIÓN fasorial Z1 Z2 |Z1| |Z2|=pφ1 ´ φ2q INVERSO fasorial 1 Z1 1 |Z1|=´φ1 RAIZ fasorial a Z1 a |Z1|=φ1 2 CONJUGADO fasorial Z˚ 1 a1 ´ jb1 ” |Z1|=´φ1 ” |Z1|e´jφ1 19 de 59
- 20. Teorı́a de circuitos de corriente alterna Operaciones con complejos: Ejemplos Supongamos dos tensiones V1 “ 60=20o y V2 “ 110=105o . Analı́ticamente, el diagrama fasorial resultante de: 20o 105o e =m 56,38 ` j20,52 ´28,47 ` j106,25 la suma e =m V1 V2 ñ 83.16o e =m 27,91 ` j126,77 V3 V3 “ 27,91 ` j126,77 “ 129,80=83.16o ” 129,8 sinp2π50t ` 83.16o q la resta e =m V1 V2 ´V2 ñ -45.30o e =m 84,85 ´ j85,73 V3 V3 “ 84,85 ´ j85,73 “ 120,61=-45.30o ” 120,61 sinp2π50t ´ 45.30o q 20 de 59
- 21. Teorı́a de circuitos de corriente alterna Elementos pasivos del circuito Si se aplica una ca a un elemento pasivo y la corriente generada es senoidal con misma frecuencia que la tensión aplicada, se dice que es un receptor lineal. Difieren sólo en magnitud y ángulo de fase. Existen tres tipos de receptores: Resistencia Bobina Condensador Por lo tanto, para un circuito de ca, se puede plantear su equivalente fasorial definiendo todas las tensiones y corrientes, teniendo en cuenta que estos receptores pueden provocar desfases en ellas. 21 de 59
- 22. Teorı́a de circuitos de corriente alterna Elementos pasivos del circuito: Resistencia iRptq R +vRptq - IR R + VR - Usando el dominio del tiempo: iRptq “ Ip ¨ sinpωtq vRptq “ R ¨ iRptq * vRptq “ R ¨ Ip ¨ sinpωtq Usando fasores: VR “ RIp ¨ ej0o ” RIp=0o IR “ Ip ¨ ej0o ” Ip=0o ñ VR “ RIR La corriente y el voltaje están en fase. e =m VR IR iR ptq vR ptq 22 de 59
- 23. Teorı́a de circuitos de corriente alterna Elementos pasivos del circuito: Bobina iLptq L +vLptq - IL jωL + VL - Usando el dominio del tiempo: iLptq “ Ip ¨ sinpωtq vLptq “ L diL dt + vLptq “ LIp d dt sinpωtq “ ωLIp ¨ cospωtq “ “ ωLIp ¨ sinpωt ` 90o q Usando fasores: VL “ ωLIp ¨ ej90o ” ωLIp=90o jωLIp ” jωLIp=0o IL “ Ip ¨ ej0o ” Ip=0o ñ VL “ jωLIL 90o e =m VL IL La corriente está retrasada 90o con respecto al voltaje. φv iLptq vLptq 23 de 59
- 24. Teorı́a de circuitos de corriente alterna Elementos pasivos del circuito: Condensador iC ptq C +vC ptq - IC ´j{ωC + VC - Usando el dominio del tiempo: vC ptq “ Vp ¨ sinpωtq iC ptq “ C dvC dt + iC ptq “ CVp d dt sinpωtq “ “ ωCVp ¨ cospωtq “ “ ωCVp ¨ sinpωt ` 90o q Usando fasores: IC “ ωCVp ¨ ej90o ” ωCVp=90o jωCVp ” jωCVp=0o VC “ Vp ¨ ej0o ” Vp=0o ñ VC “ ´j 1 ωC IC 90o e =m Vc Ic La corriente está adelantada 90o con respecto al voltaje. φi vc ptq ic ptq 24 de 59
- 25. Teorı́a de circuitos de corriente alterna Concepto de impedancia Los elementos R, L y C en forma fasoriales son: Elemento Dominio del tiempo Dominio de la frecuencia Resistencia vRptq “ R ¨ iRptq VR “ R ¨ IR Bobina vLptq “ L diLptq dt VL “ j ω L ¨ IL Condensador iC ptq “ C dvC ptq dt VC “ -j 1 ωC ¨ IC Se define la magnitud compleja denominada impedancia Z como la oposición al paso de la ca, y se representa como : Z “ V I rΩs I Z + V - El concepto de impedancia generaliza le ley de Ohm en el estudio de ca. 25 de 59
- 26. Teorı́a de circuitos de corriente alterna Concepto de impedancia La impedancia puede expresarse como: Z “ » — — — — — — — — – |Z| θ “ Vp=φv Ip=φi ñ $ % |Z| “ Vp Ip θ “ φv ´ φi forma fasorial |Z|ejθ ñ $ % |Z| “ a R2 ` X2 θ “ tan´1 X R forma polar R ` jX forma cartesiana e =m θ X(Reactancia) R(Resistencia) |Z| Gráficamente: R ” Resistencia X ą 0 ” Reactancia inductiva X ă 0 ” Reactancia capacitiva 26 de 59
- 27. Teorı́a de circuitos de corriente alterna Concepto de admitancia La admitancia de cualquier impedancia se define como el recı́proco de la impedancia Z y se representa por Y . Y “ 1 Z rSspSiemensq La admitancia puede expresarse como: Y “ » — — — — – 1 |Z| θ “ |Y | ´θ forma fasorial 1 |Z|ejθ “ |Y |e´jθ ñ $ % |Y | “ a G2 ` B2 θ “ tan´1 B G forma polar G ` jB forma cartesiana e =m ´θ B(Susceptancia) G(Conductancia) |Y | Gráficamente: G ” Conductancia B ą 0 ” Susceptancia capacitiva B ă 0 ” Susceptancia inductiva 27 de 59
- 28. Teorı́a de circuitos de corriente alterna Impedancia y admitancia de elementos del circuito Tomando Z “ V I e Y “ I V la impedancia y admitancia de resistencia, bobina y condensador son: Elemento Impedancia Z Admitancia Y Resistencia ZR “ R ñ R=0o YR “ 1 R “ G ñ 1 R =0o “ G=0o Bobina ZL “ jωL “ jXL ñ XL=90o YL “ ´j 1 ωL “ ´jBL ñ BL=-90o Condensador ZC “ ´j 1 ωC “ ´jXC ñ XC =-90o YC “ jωC “ jBC ñ BC =90o ZR ZL ZC 28 de 59
- 29. Teorı́a de circuitos de corriente alterna Asociación de impedancias: En serie Sea el siguiente circuito: I Z1 Z2 ¨ ¨ ¨ Zn V ñ I ZT V Como la corriente fasorial I circula por cada impedancia con la misma intensidad, se tendrá (1a Ley de Kirchhoff): V “ V1 ` ¨ ¨ ¨ ` Vn “ I ¨ Z1 ` ¨ ¨ ¨ ` I ¨ Zn “ I ¨ ` Z1 ` Z2 ` ¨ ¨ ¨ ` Zn ˘ Por lo tanto, V “ I ¨ ZT ñ ZT “ Z1 ` Z2 ` ¨ ¨ ¨ ` Zn “ ÿ Zi 29 de 59
- 30. Teorı́a de circuitos de corriente alterna Asociación de impedancias: En paralelo Sea el siguiente circuito: I I1 Z1 V I2 Z2 ¨ ¨ ¨ In Zn ñ I ZT V Varias impedancias están conectadas en paralelo y sometidas a la misma tensión fasorial V y se tendrá (2a Ley de Kirchhoff): I “ I1 ` I2 ` ¨ ¨ ¨ ` In “ V ¨ ˆ 1 Z1 ` 1 Z2 ` ¨ ¨ ¨ ` 1 Zn ˙ Por lo tanto, I “ V ¨ 1 ZT ñ 1 ZT “ 1 Z1 ` 1 Z2 ` ¨ ¨ ¨ ` 1 Zn “ ÿ 1 Zi 30 de 59
- 31. Teorı́a de circuitos de corriente alterna Asociación de admitancias: En serie y paralelo Sea los siguientes circuitos de admitancias: I Y1 ¨ ¨ ¨ Yn V equivalente a I I1 Z1 V ¨ ¨ ¨ In Zn YT “ Y1 ` Y2 ` ¨ ¨ ¨ ` Yn “ ÿ Yi ” 1 ZT “ 1 Z1 ` 1 Z1 ` ¨ ¨ ¨ ` 1 Zn “ ÿ 1 Zi I I1 Y1 V ¨ ¨ ¨ In Yn equivalente a I Z1 ¨ ¨ ¨ Zn V 1 YT “ 1 Y1 ` 1 Y1 ` ¨ ¨ ¨ ` 1 Yn “ ÿ 1 Yi ” ZT “ Z1 ` Z2 ` ¨ ¨ ¨ ` Zn “ ÿ Zi 31 de 59
- 32. Teorı́a de circuitos de corriente alterna Asociación de impedancias y admitancias: Elementos Elemento Impedancia Admitancia R 1 R “ G jXL ´j XL “ ´jBL ´jXC j XC “ jBC R ` jXL 1 R ` jXL R ´ jXC 1 R ´ jXC R ` jXL ´ jXC 1 R ` jpXL ´ XC q 1 G ´ jBL G ´ jBL 1 G ` jBC G ` jBC 1 G ` jpBC ´ BLq G ` jpBC ´ BLq 32 de 59
- 33. Técnicas de análisis de circuitos de alterna
- 34. Técnicas de análisis de circuitos de alterna Análisis de circuitos de ca 1 Verificar que todas las fuentes del circuito sean de la misma frecuencia. En caso contrario aplicar el principio de superposición. 2 Expresar el valor de todas las fuentes con la misma función trigonométrica (función seno o coseno). 3 Reemplazar las fuentes por sus fasores correspondientes. 4 Reemplazar cada elemento pasivo por su impedancia compleja. 5 Aplicar las técnicas de análisis de circuitos (leyes de Kirchhoff, etc) para resolver el circuito. 6 En caso necesario, transformar los fasores obtenidos al dominio temporal. 34 de 59
- 35. Técnicas de análisis de circuitos de alterna Divisor de tensión y de corriente Divisor de tensión: La tensión que cae en cada elemento es una porción de la tensión total: Z1 I Zn Vk “ Zk ¨ I “ Zk ¨ V Z1 ` ¨ ¨ ¨ ` Zn ñ Vk “ Zk ZT ¨ V Divisor de corriente: La corriente que cae en cada elemento es una porción de la corriente total: I I1 Z1 V ¨ ¨ ¨ In Zn Ik “ 1 Zk ¨ V “ Yk ¨ V “ Yk ¨ I Y1 ` ¨ ¨ ¨ ` Yn ñ Ik “ Yk YT ¨ I 35 de 59
- 36. Técnicas de análisis de circuitos de alterna Divisor de tensión y de corriente: Ejercicio En el circuito indicado a continuación, calcular, usando divisores de tensión y de corriente, la tensión en la resistencia de 6Ω, la corriente en el condensador de 1mF (versión del ejercicio 4). isptq “ 8 ¨ cosp200tq R1 “ 10Ω I1 R2 “ 6Ω L “ 40mH I2 C “ 1mF I3 36 de 59
- 37. Técnicas de análisis de circuitos de alterna Transformación de fuentes Toda fuente de tensión en serie con Z, puede representarse como una fuente de corriente en paralelo con esa misma Z (y viceversa). Ambas fuentes serán totalmente equivalentes para lo que haya conectado en los terminales (NO para la impedancia ni la fuente incluidas en la transformación) ` V “ Z ¨ I Z a b ” I a Z b 37 de 59
- 38. Técnicas de análisis de circuitos de alterna Método de mallas Procedimiento: (para calcular las corrientes en las mallas del circuito) 1 Convertir las expresiones sinusoidales en su notación fasorial equivalente. Si necesario, convertir las fuentes de corriente en fuentes de voltaje equivalentes. 2 Simplificar las impedancias obtenidas siempre que sea posible. 3 Identificar las mallas del circuito: m1, m2, ¨ ¨ ¨ 4 Definir un sentido para las corrientes en cada malla (normalmente sentido de las agujas del reloj) y un nombre: i1, i2, ¨ ¨ ¨ 5 Por cada malla definir una ecuación: ˝ Recorrer los elementos de la malla (fuentes, impedancias) en el sentido de la corriente de malla y sumar sus voltajes ˝ Usar la Ley de Ohm para calcular el voltaje en las impedancias a partir de la corriente de malla ˝ Por la LKM, la suma de los voltajes en cada malla debe ser cero 38 de 59
- 39. Técnicas de análisis de circuitos de alterna Método de mallas: Ejercicio Calcular la corriente en R2 por el método de las mallas. ` XC “ 3Ω V “ 5V =0o R1 “ 2Ω R2 “ 1Ω IA XL “ 4Ω I “ 1,25A=-90o R3 “ 3Ω 39 de 59
- 40. Técnicas de análisis de circuitos de alterna Método de nudos Procedimiento: (para calcular los voltajes en los nudos del circuito) 1 Convertir las expresiones sinusoidales en su notación fasorial equivalente. Si necesario, convertir las fuentes de corriente en fuentes de voltaje. 2 Simplificar las impedancias obtenidas siempre que sea posible y denominarlas en forma de admitancias. 3 Identificar los nudos del circuito: n1, n2, ¨ ¨ ¨ 4 Identificar los voltajes de cada nudo Vn1 , Vn2 , ¨ ¨ ¨ 5 Elegir un nudo como referencia de voltaje o tierra asumiendo que en ese nudo el voltaje es cero 6 Por cada nudo (menos el de referencia) definir una ecuación: ˝ Definir un sentido para las corrientes en cada nudo (saliendo del nudo) ˝ Usar la Ley de Ohm para calcular la corriente en las admitancias a partir de los voltajes de nudo ˝ Por la LKN, la suma de las corrientes en cada nudo debe ser cero 40 de 59
- 41. Técnicas de análisis de circuitos de alterna Método de nudos: Ejercicio Calcular el voltaje en la bobina XL por el método de los nudos. I1 “ 1A=0o XL “ 2Ω R “ 2Ω XC “ 4Ω I2 “ 2A=0o 41 de 59
- 42. Técnicas de análisis de circuitos de alterna Teorema de superposición Dado un circuito lineal con varias fuentes independientes de tensión y/o corriente, la tensión en un elemento (o la corriente a través de él) se determina por la suma de la tensión (o la corriente) por cada fuente. Procedimiento: 1 Si hay en el circuito N fuentes independientes, apagar N ´ 1, para ello: ˝ Fuente de tensión: reemplazar por cortocircuito (tensión cero) ˝ Fuente de corriente: reemplazar por circuito abierto (corriente cero) 2 Resolver el circuito con la única fuente que se deja activa usando otros métodos 3 Apagar la fuente activa y encender otra y repetir el proceso con las N ´ 1 fuentes restantes del circuito 42 de 59
- 43. Técnicas de análisis de circuitos de alterna Teorema de superposición Calcular la corriente I mediante el teorema de superposición. ` Vs “ 5V =0o R1 “ 4Ω XL “ 5Ω XC “ 2Ω I Is “ 2A=0o 43 de 59
- 44. Técnicas de análisis de circuitos de alterna Teoremas de Thévenin y Norton Estas técnicas se usa cuando se quiere conocer el comportamiento de un circuito complejo en unos terminales a y b. ˝ ¿Qué voltaje y corriente se entrega al elemento conectado en los terminales a y b? ¿Qué ocurrirı́a si cambiamos lo que hay entre a y b? ¿Qué resultado se obtiene? El circuito estará formado de una fuente y una impedancia que producirán el mismo efecto en los terminales que el circuito original ˝ Thévenin: la fuente de tensión VTH y la impedancia ZTH estarán en serie. ˝ Norton: la fuente de corriente IN y la impedancia ZN estarán en paralelo. Lo que se conecte entre (a,b) recibirá misma tensión y corriente (y por tanto potencia) con el circuito original que con el equivalente. 44 de 59
- 45. Técnicas de análisis de circuitos de alterna Teoremas de Thévenin y Norton Procedimiento para el Th. de Thévenin: 1 Desconectar la carga que exista entre los terminales a y b. 2 Para calcular ZTH ˝ Apagar las fuentes (reemplazar las de tensión por cortocircuito y las de corriente por circuito abierto) ˝ Convertir los elementos pasivos en forma fasorial equivalente. ˝ Calcular la impedancia equivalente en los terminales a y b. 3 Para calcular VTH ˝ Conectar todas las fuentes y determinar Vab a circuito abierto. ˝ Calcular Vab usando mallas, nudos, superposición,... 4 Dibujar el circuito equivalente incluyendo la porción quitada en 1. Procedimiento para el Th. de Norton: 1 Aplicar el procedimiento de Thévenin, obteniendo ZTH y VTh. 2 Aplicar una conversión de fuente, de tal forma que quede expresado: ZTH “ ZN e IN “ VTh ZTH 45 de 59
- 46. Técnicas de análisis de circuitos de alterna Teorema de Thévenin y Norton Determine el circuito equivalente de Thévenin externo a ZL y obtenga el equivalente de Norton. ` Vs “ 20V =0o XL “ 80Ω a R “ 40Ω ZL b XC “ 60Ω 46 de 59
- 47. Potencia en circuitos de alterna
- 48. Potencia Potencia en circuito Supongamos un circuito con |Vp|=0o e |Ip|=φ, φ iptq vptq V I φ ñ iptq pm pptq vptq Potencia instantánea: pptq “ vptq ¨ iptq (W) pptq “ Vp ¨ sinpωtq ˆ Ip ¨ sinpωt ` φq “ VpIp 2 ¨ rcosp2ωt ` φq ` cospφqs ñ pptq “ Vef Ief ¨ cospφq ` Vef Ief ¨ cosp2ωt ` φqrW s Tenemos un término constante y un término fluctuante pptq “ Pconstante ` Pfluctuante Pconstante + Pfluctuante = pptq 48 de 59
- 49. Potencia Potencia en circuito La potencia instantánea pptq no es un concepto de uso común. En general se dice que un receptor consume X Watts. ñ El receptor consume el valor medio de la potencia instantánea. Potencia media o constante: Pm “ 1 T ż T 0 pptqdt “ Vef Ief T ż T 0 rcospφq ` cosp2ωt ` φqsdt ñ Pm “ Vef Ief ¨ cospφq Pm depende del desfase entre V e I 49 de 59
- 50. Potencia Potencia en una resistencia Tensión y corriente están en fase ñ φ “ 0 V I Potencia instantánea: pR ptq “ Vp ¨ sinpωtq ˆ Ip ¨ sinpωtq “ Vef Ief rcosp0q ` cosp2ωtqs pR ptq “ Vef Ief ¨ r1 ` cosp2ωtqs Potencia media: PmR “ Vef ¨ Ief ¨ cosp0q ñ PmR “ Vef ¨ Ief PmR pR ptq iptq vptq Caracterı́sticas: ˝ Con forma pulsante ˝ Con doble frecuencia ˝ Siempre positiva. ñ La resistencia consume potencia. 50 de 59
- 51. Potencia Potencia en una bobina Intensidad retrasada π 2 de la tensión ñ φ “ ´π 2 V I φ Potencia instantánea: pLptq “ Vp ¨ sinpωtq ˆ Ip ¨ sinpωt ´ π 2 q “ Vef Ief ” cosp´ π 2 q ` cosp2ωt ´ π 2 q ı “ “ Vef Ief ¨ cosp2ωt ´ π 2 q ñ pLptq “ ´Vef Ief ¨ sinp2ωtq Potencia media: PmL “ Vef ¨ Ief ¨ cosp´ π 2 q ñ PmL “ 0 Absorbe Cede pLptq iptq vptq Caracterı́sticas: ˝ Con doble frecuencia ˝ Cuando V o I negativa, P negativa. ñ La bobina no consume potencia. 51 de 59
- 52. Potencia Potencia en un condensador Intensidad adelantada π 2 de la tensión ñ φ “ π 2 V I φ Potencia instantánea: pC ptq “ Vp ¨ sinpωtq ˆ Ip ¨ sinpωt ` π 2 q “ Vef Ief ” cosp π 2 q ` cosp2ωt ` π 2 q ı “ “ Vef Ief ¨ cosp2ωt ` π 2 q ñ pC ptq “ Vef Ief ¨ sinp2ωtq Potencia media: Pmc “ Vef ¨ Ief ¨ cosp π 2 q ñ Pmc “ 0 Absorbe Cede pc ptq iptq vptq Caracterı́sticas: ˝ Con doble frecuencia ˝ Cuando V o I negativa, P negativa. ñ El condensador no consume potencia. 52 de 59
- 53. Potencia Potencia activa y reactiva En circuitos con elementos resistivos y reactivos, la potencia tiene dos términos: Potencia activa (P) (la potencia constante): disipada en componentes resistivos. P “ Vef Ief ¨ cospφq [W=vatio] ” Pm La potencia activa es la que realmente realiza el trabajo. Potencia reactiva (Q): almacenada en componentes reactivos y devuelta al circuito. Q “ Vef Ief ¨ cosp2ωt ` φq “ Vef Ief ¨ sinpφq[VAr=Voltamperios reactivos] La potencia reactiva no se disipa, pero aumenta las pérdidas La potencias activa y reactiva en circuitos puramente ... Elemento P. activa=P P. reactiva=Q Vef Ief 0 0 Vef Ief 0 ´Vef Ief 53 de 59
- 54. Potencia Potencia aparente Potencia aparente (S): es la que aparentemente proporciona el generador, pero sólo una parte produce el trabajo. S “ P ` jQ Sean una tensión y una impedancia en ca, de fasores respectivos V e Z, en valores eficaces. V “ Vef =0o Z “ |Z|=φ * ñ I “ V Z “ Vef |Z| =´φ “ Ief =´φ V ¨ I˚ “ Vef =0o ¨ Ief =φ “ Vef Ief =φ ñ Vef Ief ¨ cospφq ` jVef Ief ¨ sinpφq S “ V I˚ “ Vef Ief pcospφq ` j sinpφqq “ I2 ef Z “ Vef Ief =φ “ P ` jQ 54 de 59
- 55. Potencia Triángulo de potencias Para una mejor comprensión y una correcta interpretación fı́sica, se suele representar el triángulo de potencias: P “ Vef Ief ¨ cospφq Q “ Vef Ief ¨ sinpφq |S| “ Vef Ief φ |S| “ ? P2 ` Q2 “ Vef Ief tan φ “ Q P S “ |S|=φ “ P ` jQ El módulo de la potencia aparente S es: |S| “ Vef Ief “ I2 ef Z [VA=Voltamperios] La parte real es la potencia activa P: etSu “ Vef Ief ¨ cospφq “ I2 ef Z cospφq “ I2 ef R [W=vatio] La parte imaginaria es la potencia reactiva Q: =mtSu “ Vef Ief ¨ senpφq “ I2 ef Z senpφq “ I2 ef X [VAr=Voltamperios reactivos] 55 de 59
- 56. Potencia Factor de potencia El factor de potencia (FP) es: FP “ Potencia activa (W) Potencia aparente (VA) “ P |S| “ Vef Ief cospφq Vef Ief “ cospφq Cuanto más cercano a la unidad, más eficiente es el sistema Cuanto más lejano de la unidad, aumentan las pérdidas, hay que sobredimensionar las instalaciones, hay caı́das de tensión ñ se puede corregir añadiendo al circuito componentes adicionales que lo hagan cercano a la unidad. 56 de 59
- 57. Potencia Balance de potencias La potencia activa total consumida del circuito se calcula como: PT “ ÿ Pi , donde Pi es la parte real de S La potencia reactiva total consumida del circuito se calcula como: QT “ ÿ Qi |XLi ´ ÿ Qi |XCi , donde Qi es la parte imaginaria de S La potencia aparente total absorbida se calcula como: ST “ ÿ Si ñ |ST | “ b P2 T ` Q2 T , donde ÿ Si es la suma vectorial El factor de potencia total de un circuito: FP “ cosptan´1 QT PT q pero también FP “ PT |ST | 57 de 59
- 58. Potencia Teorema de máxima transferencia de potencia El teorema de máxima transferencia de potencia permite determinar el valor que se requiere de la impedancia de carga ZL entre A y B para que reciba la máxima cantidad de potencia del circuito. La carga ZL entre dos terminales A y B recibe la máxima transferencia de potencia cuando la impedancia de carga es el conjugado de la impedancia de Thévenin entre A y B: ZL “ Z˚ TH “ pRTH ` jXTHq˚ “ RTH ´ jXTH VTH ZTH A ZL B ZT “ ZTH ` ZL “ pRTh ` jXTH q ` pRTH ´ jXTH q “ 2RTH 58 de 59
- 59. Esta obra está bajo una licencia Creative Commons “Reconocimiento-NoCommercial- SinObraDerivada 4.0 Internacional”. 59 de 59