1. Resoluci´n de Ecuaciones Parab´licas
o
o
Bidimensionales Mediante la Descomposici´n
o
del Operador Diferencial
Alvaro M. Naupay Gusukuma
anaupay@hotmail.com
Universidad Nacional de Ingenier´
ıa
Resumen
En el presente trabajo se aplica una t´cnica de descomposici´n
e
o
del operador diferencial dado por la EDP, en operadores diferenciales lineales respecto a cada variable independiente, con la finalidad de
desarrollar un m´todo recursivo que defina una serie de funciones de
e
tal modo que esta converja a la soluci´n. Emplearemos este m´todo
o
e
en la soluci´n de la ecuaci´n del calor en el caso bidimensional hoo
o
mog´neo con condici´n inicial C ∞ . Este m´todo es una alternativa
e
o
e
moderna y pr´ctica en comparaci´n al m´todo cl´sico de separaci´n
a
o
e
a
o
de variables, ya que no se utiliza las series de Fourier en ning´n mou
mento y el cual puede ser extendible a la resoluci´n de otros tipos de
o
EDP’s.
Palabras Clave: Operador, operador seudo inverso, convergencia,
serie de Taylor.
1.
Introducci´n
o
Iniciaremos con un ejemplo concreto.
Sea la siguiente EDP con valores iniciales y de frontera
EDP
ut = uxx + uyy ,
0 < x, y < π , t > 0 ,
Condiciones de contorno u(0, y, t) = u(π, y, t) = 0 ,
u(x, 0, t) = u(x, π, t) = 0 ,
Conidiciones iniciales
u(x, y, 0) = sen x sen y .
1
(1)

2. Soluci´n : Escribiendo en forma de operadores la EDP de (1) tenemos
o
Lt u = Lx u + Ly u
donde
Lt (·) =
∂(·)
,
∂t
Lx (·) =
∂ 2 (·)
,
∂x2
(2)
Ly (·) =
∂ 2 (·)
.
∂y 2
A cada uno de estos operadores les asociamos los siguientes seudo operadores
inversos respectivamente
x
t
L−1 (·) =
t
(·) dt ,
(·) dxdx ,
0
0
y
y
x
L−1 (·) =
x
L−1 (·) =
y
(·) dydy .
0
0
0
Esto implica
t
L−1 Lt u(x, y, t) =
t
ut dt = u(x, y, t) − u(x, y, 0) .
(3)
0
Luego, aplicando L−1 a (2) tenemos
t
L−1 Lt u = L−1 (Lx u + Ly u) .
t
t
(4)
De (3), (4) y aplicando la condici´n inicial de (1) tenemos que u(x, y, t) es
o
u(x, y, t) = sen x sen y + L−1 (Lx u + Ly u) .
t
(5)
El m´todo define la soluci´n de (1) como
e
o
∞
u(x, y, t) =
un (x, y, t) .
(6)
n=0
Reemplazando (6) en (5) tenemos
∞
∞
un = sen x sen y +
L−1
t
Lx
∞
un
n=0
+ Ly
n=0
un
n=0
Luego por la linealidad de los operadores tenemos que
∞
∞
L−1 (Lx (un ) + Ly (un )) .
t
un = sen x sen y +
n=0
n=0
2
.

3. El m´todo sugiere construir la siguiente relaci´n de recursividad para un ,
e
o
suponiendo que u0 no est´ afectado por el operador L−1 , es decir
a
t
u0 (x, y, t) = sen x sen y ,
un+1 (x, y, t) = L−1 (Lx un + Ly un ) , n ≥ 0 .
t
(7)
Luego de (7) y teniendo en cuenta el valor de los operadores tenemos que
t
u1 (x, y, t) =
0
∂ 2 u0 ∂ 2 u0
+
∂x2
∂y 2
t
(− sen x sen y − sen x sen y) dt
dt =
0
= −2t sen x sen y .
(8)
De manera an´loga para u2 , u3 y u4 tenemos que
a
t
u2 (x, y, t) =
0
=
u3 (x, y, t) =
0
= −
(2t sen x sen y + 2t sen x sen y) dt
dt =
0
(2t)2
(2t)2
sen x sen y −
sen x sen y dt
−
2!
2!
(2t)3
sen x sen y .
3!
t
u4 (x, y, t) =
0
···
t
t2
(2t)2
4 sen x sen y =
sen x sen y .
2
2!
t
=
∂ 2 u1 ∂ 2 u1
+
∂x2
∂y 2
(2t)3
(2t)3
sen x sen y +
sen x sen y dt
3!
3!
(2t)4
sen x sen y .
4!
= ···
(9)
Y as´ sucesivamente. Tomando los resultados de (7), (8), (9) y factorizando
ı
sen x sen y tenemos que
u(x, y, t) = sen x sen y 1 − 2t +
(2t)2 (2t)3 (2t)4
−
+
− ···
2!
3!
4!
3
(10)

4. Pero lo que est´ entre par´ntesis es el desarrollo en series de Taylor de una
a
e
−2t
funci´n exponencial, e , entonces finalmente tenemos la soluci´n expl´
o
o
ıcita
u(x, y, t) = e−2t sen x sen y .
En este caso a partir de (7) se pudo obtener (10) en donde la expresi´n entre
o
par´ntesis es el desarrollo de Taylor de una funci´n conocida, en el caso de
e
o
no tener esto, la exactitud de la soluci´n estar´ determinada por la cantidad
o
a
de t´rminos que se puedan obtener de (7).
e
La idea del esquema (7) es inspirada en el m´todo de Picard de aproxie
maciones sucesivas.
Desventaja: La condici´n de contorno est´ predeterminada por las cono
a
diciones iniciales.
Ventaja: Esta se encuentra en la simpleza de calcular la soluci´n.
o
2.
Resultados
Ahora veamos el caso general en la ecuaci´n de calor
o
EDP
ut = k(uxx + uyy ) ,
0 < x, y < π , t > 0 ,
Conidiciones iniciales u(x, y, 0) = f (x, y).
(1)
Con f (x, y) C ∞ y k es una constante arbitraria diferente de cero. Escribiendo
la EDP en forma diferencial, tenemos
Lt u = k(Lx u + Ly u)
(2)
donde
∂ 2 (·)
∂(·)
, Lx (·) =
,
∂t
∂x2
Los operadores seudo inversos asociados son
Lt (·) =
t
L−1 (·) =
t
x
(·) dt ,
y
(·) dxdx ,
0
∂ 2 (·)
.
∂y 2
x
L−1 (·) =
x
0
Ly (·) =
0
y
L−1 (·) =
y
(·) dydy .
0
0
Luego esto implica que
t
L−1 Lt u(x, y, t) =
t
ut dt = u(x, y, t) − u(x, y, 0) .
0
4
(3)

5. Por otra parte, aplicando L−1 en (2) tenemos
t
L−1 Lt u(x, y, t) = kL−1 (Lx u + Ly u)
t
t
(4)
igualando (3), (4), despejando u y reemplazando la condici´n inicial tenemos
o
u(x, y, t) = f (x, y) + kL−1 (Lx u + Ly u)
t
(5)
el m´todo define la soluci´n de (1) en forma de serie
e
o
∞
u(x, y, t) =
un (x, y, t)
n=0
reemplazando esto en (5) y teniendo presente la linearidad de los operadores
tenemos
∞
L−1 (Lx un + Ly un )
t
un (x, y, t) = f (x, y) + k
n=0
con esto definimos de manera recursiva la serie de la siguiente forma
u0 = f (x, y)
un+1 = kL−1 (Lx un + Ly un ) n ≥ 0
t
(6)
Esta es la id´a fundamental del m´todo luego la serie
e
e
∞
un
u=
n=0
converge a una soluci´n de la EDP, ver ([1]), la presici´n de la soluci´n
o
o
o
depender´ de la cantidad de t´rminos con que se desarrolle la serie, esto en
a
e
caso no se llegue a una soluci´n como en el ejemplo de la secci´n anterior.
o
o
Comentarios: En la actualidad este m´todo es conocido como el m´todo
e
e
de descomposici´n de Adomian(Adomian Decomposition Method, ADM),
o
quien fue el creador a mediados de 1980.
Este m´todo se puede aplicar tanto para EDP’s como para EDO’s, lineales
e
y no lineales, en el caso no lineal es necesario el uso de los llamados polinomios
de Adomia, gracias a estos es posible resolver las ED no lineales .
5

6. Referencias
[1] Cherruault, Y., convergence of Adomian’s Method, Kybernetes,
18(2): 31-38, 1989.
[2] Adomian, George, Solving frontier Problems of Physics: The Decomposition Methods, Kluwer Academis Publishers, 1994.
[3] Wazwaz, Abdul-Majid, Partial differential Equation and Solitary
Wave, Springer-Verlag, 2009.
6