Adomian Ayri

1. Universidad Nacional de Ingenier´ıa
Aplicaciones del M´etodo de Descomposici´on
Alvaro M. Naupay Gusukuma
Julio 2015

2. ´Indice general
Resumen 4
1. Preliminares 5
1.1. Clasificaci´on de las EDP’s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2. Ecuaci´on de Airy 7
2.1. Soluci´on de la ecuaci´on de Airy . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2. Soluci´on de la ecuaci´on de Ayri con WxMaxima . . . . . . . . 9
3. Ecuaciones diferenciales parciales de primer orden 11
3.1. EDP homog´enea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.2. EDP no homog´enea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4. Ecuaci´on del flujo de calor 17
4.1. Ecuaci´on de calor homog´enea . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.2. Ecuaci´on de calor no homog´enea . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1

3. 5. Ecuaci´on de onda 24
5.1. Ecuaci´on de onda homog´enea . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5.2. Ecuaci´on de onda no homog´enea . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
6. Conclusiones 29
Bibliograf´ıa 30
2

4. Agradesco a mis padres por el apoyo incondicional y preocupaci´on.
3

5. Resumen
En este trabajo hemos tratado sobre un m´etodo iterativo llamado m´etodo
de descomposici´on de Adomian (MDA), para resolver algunas Ecuaciones
Diferenciales, tanto Ordinarias como Parciales.
En todo momento se trabajo con ecuaciones en las cuales existen soluciones y
estas se pueden representar como una serie que es absolutamente convergente,
esto es necesario para el uso del m´etodo.
Como herramienta computacional se utiliza el software WxMaxima, el cual
permite hacer c´alculo simb´olicos, este software utiliza Maxima como herra-
mienta principal y WxMaxima es una interfase que hace m´as amigable el
trabajo con Maxima.
George Adomian fue quien desarrollo este m´etodo por primera vez a mediados
de los 80, hoy en d´ıa es utilizado y aun se siguen escribiendo art´ıculos con el
fin de mejorar el m´etodo.
4

6. Cap´ıtulo 1
Preliminares
1.1. Clasificaci´on de las EDP’s
El orden de una EDP es el orden de la derivada parcial m´as alta que aparece
en la ecuaci´on.
Ejemplo:
1. ut = uxx+uyy , de segundo orden.
2. ux + uy = 0, de primer orden.
3. u4
uxx + uxxy = 2, de tercer orden.
4. uxx + uyyyy = 1, de cuarto orden.
Tambi´en EDP’s son clasificadas como lineales y no lineales. Una EDP es
llamada lineal si:
1. La potencia de la variable dependiente y cada derivada parcial conte-
nida en la ecuaci´on es uno, y
5

7. 2. Los coeficientes de la variable dependiente y los coeficientes de cada
derivada parcial son constantes o variables independientes.
Si alguna de estas dos condiciones es no satisfecha la ecuaci´on es llamada no
lineal.
Ejemplos:
1. xuxx + yuyy = 0 , es lineal.
2. uut + xux = 2, no lineal.
3. ux +
√
u = x, no lineal.
4. urr + 1
r
ur + 1
r2 uθθ = 0, lineal
Adicionalmente las EDP’s tambi´en se clasifican en homog´eneas y no ho-
mog´eneas. Una EDP de cualquier orden es llamada homog´enea si cual-
quier t´ermino de la EDP contiene la variable dependiente u o cualquiera de
sus derivadas, en caso contrario es llamada no homog´enea.
Ejemplos:
1. ut = 4uxx, es homog´enea.
2. ut = uxx + x, no homog´enea.
3. uxx + uyy = 0, es homog´enea.
4. ux + uy = u + 4, es no homog´enea.
6

8. Cap´ıtulo 2
Ecuaci´on de Airy
2.1. Soluci´on de la ecuaci´on de Airy
Ejemplo 2.1 Resolver a continuaci´on la ecuaci´on de Airy
u (x) = xu(x), u(0) = A, u (0) = B. (2.1)
donde A y B son constantes reales.
Soluci´on: Expresando la ecuaci´on (2.1) en forma de operadores tenemos
Lu = xu (2.2)
donde
L(·) =
∂2
(·)
∂x2
adem´as definimos el operador seudo inverso L−1
como sigue
L−1
(·) =
x
0
x
0
(·)dxdx
ahora aplicando el operador L−1
en la ecuaci´on (2.2) tenemos
L−1
(Lu) = L−1
(xu)
7

9. es decir
x
0
x
0
u dxdx = L−1
(xu)
u(x) − u(0) − xu(x) = L−1
(xu)
teniendo en cuenta las condiciones u(0) = A y u (0) = B y despejando u
tenemos
u(x) = A + Bx + L−1
(xu) (2.3)
sea la soluci´on u = ∞
i=0 ui y reemplazando esto en (2.3)
∞
i=0
ui = A + Bx + L−1
x
∞
i=0
ui
teniendo en cuenta que la serie converge absolutamente
∞
i=0
ui = A + Bx +
∞
i=0
L−1
(xui)
es decir
u0 + u1 + u2 + · · · = A + Bx + L−1
(xu0) + L−1
(xu1) + L−1
(xu2) · · ·
de esto obtenemos la siguiente relaci´on recursiva
u0(x) = A + Bx
uk+1(x) = L−1
(xuk(x)), k ≥ 0
obtenemos consecuentemente
u0(x) = A + Bx
u1(x) = L−1
(xu0(x)) =
x
0
x
0
xu0(x)dxdx = A
x3
6
+ B
x4
12
u2(x) = L−1
(xu1(x)) = A
x6
180
+ B
x7
504
8

10. ... =
...
substituyendo los ui en la serie tenemos que
u(x) = A 1 +
x3
6
+
x6
180
+ · · · + B x +
x4
12
+
x7
504
+ · · ·
los dem´as componentes de la serie pueden ser f´acilmente calculados.
2.2. Soluci´on de la ecuaci´on de Ayri con Wx-
Maxima
Considerando el mismo ejemplo de la secci´on anterior el siguiente c´odigo
hecho en WxMaxima (Maxima) resuelve la ecuaci´on (2.1).
--> u[0]:A+B*x$
k:5;
for i: 0 thru k do
(u[i+1]:integrate(integrate(x*u[i],x),x))$
define(u(x),sum(u[i],i,0,k))$
expand(u(x));
En la l´ınea 2 del c´odigo de arriba, “ K:5; ”, representa el n´umero de itera-
ciones que en este caso es 5.
Ejemplo 2.2 Resolver la siguiente ecuaci´on
u (x) = xu(x), u(0) = 2, u (0) = 3. (2.4)
Soluci´on: El c´odigo en WxMaxima que resuelve esta ecuaci´on es
9

11. --> u[0]:2+3*x$
k:70;
for i: 0 thru k do
(u[i+1]:integrate(integrate(x*u[i],x),x))$
define(u(x),sum(u[i],i,0,k))$
plot2d([u(x)], [x,-10,3], [plot_format, gnuplot])$
note en el c´odigo anterior que “ k:70; ”, es decir la soluci´on aproximada con
70 iteraciones.
El gr´afico de la soluci´on aproximada es
Figura 2.1: Aproximaci´on de la soluci´on de la ecuaci´on (2.4) con 70 iteraciones
10

12. Cap´ıtulo 3
Ecuaciones diferenciales
parciales de primer orden
3.1. EDP homog´enea
Veamos otro ejemplo de la soluci´on de una EDP homog´enea
Ejemplo 3.1 Resolver la siguiente EDP
xux + uy = 3u (3.1)
u(x, 0) = x2
, u(0, y) = 0
Soluci´on: Escribiendo con el lenguaje de operadores la ecuaci´on (3.1) y
reordenando tenemos
Lyu(x, y) = 3u(x, y) − xLxu(x, y) (3.2)
donde
Lx(·) =
∂(·)
∂x
, Ly(·) =
∂(·)
∂y
11

13. definiendo el operador seudo inverso de L−1
y
L−1
y (·) =
y
0
(·)dy
aplicando en ambos lados de la ecuaci´on (3.2) tenemos
L−1
y Lyu(x, y) = L−1
y (3u(x, y) − xLxu(x, y))
y
0
∂u(x, y)
∂y
dy = L−1
y (3u(x, y) − xLxu(x, y))
u(x, y) − u(x, 0) = L−1
y (3u(x, y) − xLxu(x, y))
usando la condici´on u(x, 0) = x2
y despejando u
u(x, y) = x2
+ L−1
y (3u(x, y) − xLxu(x, y))
substituyendo u(x, y) = ∞
i=0 ui(x, y) en la ecuaci´on anterior
∞
i=0
un = x2
+ L−1
y 3
∞
i=0
un − xLx
∞
i=0
un
como la serie converge absolutamente
∞
i=0
un = x2
+
∞
i=0
L−1
y (3ui − xLxui)
u0 + u1 + u2 · · · = x2
+ L−1
y (3u0 − xLxu0) + L−1
y (3u1 − xLxu1) + · · ·
identificando obtenemos el siguiente esquema recursivo
u0(x, y) = x2
uk+1(x, y) = L−1
y (3uk − xLxuk) , k ≥ 0
c´odigo WxMaxima para este esquema iterativo
12

14. --> u[0]:x^2$
k:5;
for i: 0 thru k do
(u[i+1]:integrate(3*u[i]-x*diff(u[i],x),y))$
define(u(x,y),sum(u[i],i,0,k))$
plot3d(u(x,y), [x,-5,15], [y,0,5],
[plot_format,gnuplot])$
calculando las componente de la serie
u0(x, y) = x2
u1(x, y) = L−1
y (3u0 − xLxu0) = x2
y
u2(x, y) = L−1
y (3u1 − xLxu1) =
x2
y2
2!
u3(x, y) = L−1
y (3u2 − xLxu2) =
x2
y3
3!
... =
...
consecuentemente tenemos
u(x, y) =
∞
i=0
ui = x2
1 + y +
y2
2!
+ · · · = x2
ey
con lo que la soluci´on es u(x, y) = x2
ey
3.2. EDP no homog´enea
Ejemplo 3.2 Resolver la siguiente EDP
ux + uy = x + y (3.3)
u(0, y) = 0, u(x, 0) = 0
13

15. Soluci´on: Escribiendo en forma de operador la ecuaci´on (3.3) y despejando
Lxu tenemos
Lxu = x + y − Lyu (3.4)
donde
Lx(·) =
∂(·)
∂x
, Ly(·) =
∂(·)
∂y
definiendo los operadores seudo inversos de
L−1
x (·) =
x
0
(·)dx, L−1
(y)(·) =
y
0
(·)dy
Soluci´on usando L−1
x :
Aplicando L−1
x a la ecuaci´on (3.4) en ambos lados tenemos
L−1
x Lxu = L−1
x (x + y) − L−1
x (Lyu)
x
0
uxdx =
x
0
(x + y)dx − L−1
x (Lyu)
u(x, y) − u(0, y) =
x2
2
+ xy − L−1
x (Lyu)
despejando u y recordando que u(0, y) = 0
u(x, y) =
1
2
x2
+ xy − L−1
x (Lyu)
ahora reemplazando u = ∞
i=0 ui en esta ´ultima ecuaci´on tenemos
∞
i=0
un =
1
2
x2
+ xy − L−1
x Ly
∞
i=0
un
recordemos que ∞
i=0 un es absolutamente convergente, luego
∞
i=0
un =
1
2
x2
+ xy −
∞
i=0
L−1
x Ly(ui)
u0 + u1 + u2 + · · · =
1
2
x2
+ xy − L−1
x Ly(u0) − L−1
x Ly(u1) − L−1
x Ly(u2) + · · ·
14

16. de esto obtenemos la siguiente ley recursiva
u0(x, y) =
1
2
x2
+ xy
uk+1(x, y) = −L−1
x Ly(uk(x, y)) k ≥ 0
desarrollando obtenemos
u1(x, y) = −L−1
x Lyu0(x, y) = −
x
0
∂
∂y
1
2
x2
+ xy dx = −
1
2
x2
an´alogamente
u2(x, y) = −
x
0
∂
∂x
−
1
2
x2
= 0
as´ı tenemos que
uk(x, y) = 0, k ≥ 3
luego tenemos que la soluci´on es
u = u0 + u1 + u2 + · · · =
1
2
x2
+ xy −
1
2
x2
= xy
es decir
u(x, y) = xy (3.5)
es soluci´on de la ecuaci´on (3.4).
Soluci´on usando L−1
y :
Aplicando L−1
y en (3.4) tenemos
L−1
y Lxu = L−1
y (x + y) − L−1
y Lyu
despejanod u
u(x, y) =
y
0
(x + y)dy − L−1
y Lxu
15

17. u(x, y) = xy +
1
2
y2
− L−1
y (Lxu(x, y))
reemplazando u(x, y) = ∞
i=0 ui(x, y) en la ecuaci´on anterior
∞
i=0
ui(x, y) = xy +
1
2
y2
− L−1
y Lx
∞
i=0
ui(x, y)
por la convergencia de ∞
i=0 ui(x, y)
∞
i=0
ui(x, y) = xy +
1
2
y2
−
∞
i=0
L−1
y Lx(ui(x, y))
u0 + u1 + u2 + · · · = xy +
1
2
y2
− L−1
y Lxu0 − L−1
y Lxu1 − L−1
y Lxu2 − · · ·
de lo cual tenemos el siguiente esquema recursivo
u0(x, y) = xy +
1
2
y2
uk+1(x, y) = −L−1
y Lx(uk(x, y)) k ≥ 0
esto nos da
u1(x, y) = −L−1
y Lx(u0) = −
y
0
∂
∂x
xy +
1
2
y2
dy = −
1
2
y2
u2(x, y) = L−1
y Lx(u1(x, y)) = −
y
0
∂
∂x
−
1
2
y2
dy = 0
uk(x, y) = 0 k ≥ 3
con lo que tenemos que
u(x, y) = u0 + u1 + u2 + · · · = xy +
1
2
−
1
2
y2
= xy
es decir
u(x, y) = xy (3.6)
es soluci´on de la ecuaci´on (3.4).
Conclusi´on: Observando (3.5) y 3,6, podemos ver que independientemente
con que operador trabajemos, L−1
x o L−1
y , se llega a la misma soluci´on.
16

18. Cap´ıtulo 4
Ecuaci´on del flujo de calor
Soluci´on de la ecuaci´on del flujo de calor uno dimensional usando el m´etodo
de descomposici´on de Adomian.
4.1. Ecuaci´on de calor homog´enea
En este y en los siguiente ejemplos suponemos que las soluciones existen y
estas se pueden aproximar como una serie de funciones que converge absolu-
tamente, es decir.
u =
∞
i=0
ui
Ejemplo 4.1 Resolver la siguiente ecuaci´on de calor homog´enea.
ut = uxx, 0 < x < π, t > 0 (4.1)
u(0, t) = 0, t ≥ 0 (C.C.)
u(π, t) = 0, t ≥ 0
17

19. u(x, 0) = sen x (C.I.)
Soluci´on: Escribiendo la ecuaci´on (4.1) en el lenguaje de operadores tene-
mos
Ltu(x, t) = Lxu(x, t) (4.2)
donde
Lt(·) =
∂(·)
∂t
, Lx(·) =
∂2
(·)
∂x2
definamos loa operadores seudo inversos para estos
L−1
t (·) =
t
0
(·)dt, L−1
x (·) =
x
0
x
0
(·)dxdx
luego aplicando L−1
t a la ec. (4.2) tenemos
L−1
t Ltu(x, t) = L−1
t Lxu(x, t)
t
0
ut(x, t)dt = L−1
t Lxu(x, t)
u(x, t) − u(x, 0) = L−1
t Lxu(x, t)
usando la C.I. y despejando u(x, t) tenemos
u(x, t) = sen x + L−1
t Lxu(x, t) (4.3)
Sea la soluci´on u(x, t) y la representamos como una serie de la siguiente
manera
u(x, t) =
∞
i=0
ui(x, t) (4.4)
ahora reemplazamos (4.4) en (4.3) con lo que tenemos
∞
i=0
ui(x, t) = sen x + L−1
t Lx
∞
i=0
ui(x, t)
18

20. teniendo en cuenta la convergencia de la serie ∞
i=0 ui tenemos que
∞
i=0
ui(x, t) = sen x +
∞
i=0
L−1
t (Lx(ui(x, t)))
equivalentemente tenemos que
u0 + u1 + u2 + · · · = sen x + L−1
Lx(u0) + L−1
Lx(u1) + L−1
Lx(u2) + · · ·
lo que nos da el siguiente esquema iterativo
u0(x, t) = sen x
uk+1(x, t) = L−1
t (Lx(uk(x, t))) , k ≥ 0
el c´odigo WxMaxima con 50 iteraciones para este esquema iterativo es
--> u[0]:sin(x);
k:50;
for i: 0 thru k do
(u[i+1]:integrate(diff(diff(u[i],x),x),t));
define(u(x,t),sum(u[i],i,0,k))$
expand(u(x,t))$
plot3d(exp(-t)*sin(x), [x,-10,10], [t,-5,2],
[plot_format,gnuplot])$
por otra parte del esquema iterativo tenemos que
u0(x, t) = sen x
u1(x, t) = L−1
t (Lx (u0)) = −t sen x
u2(x, t) = L−1
t (Lx (u1)) =
1
2!
t2
sen x
u3(x, t) = L−1
t (Lx (u2)) = −
1
3!
t3
sen x
19

21. u4(x, t) = L−1
t (Lx (u3)) =
1
4!
t4
sen x
... =
...
consecuentemente tenemos que la soluci´on u(x, t) puede ser aproximada de
la siguiente manera
u(x, t) =
∞
i=0
ui(x, t) = sen x 1 − t +
1
2
t2
−
1
3!
t3
+
1
4!
t4
− · · ·
= sen x e−t
luego la soluci´on exacta es u(x, t) = e−t
sen x.
A continuaci´on mostramos las gr´aficas de las soluciones aproximada y exacta.
Figura 4.1: Soluci´on aproximada u(x, t) con 70 iteraciones con −10 ≤ x ≤ 10
y −4 ≤ t ≤ 0
Comparando con la gr´afica de la soluci´on exacta podemos ver que la gr´afica
de la soluci´on aproximada es muy semejante.
20

22. Figura 4.2: Soluci´on exacta u(x, t) = e−t
sen x con −10 ≤ x ≤ 10 y
−4 ≤ t ≤ 0
4.2. Ecuaci´on de calor no homog´enea
Ejemplo 4.2 Resolver la siguiente EDP no homog´enea
ut = uxx + sen x, 0 < x < π, t > 0 (4.5)
u(0, t) = e−t
, t ≥ 0 (C.C.)
u(π, t) = −e−t
,
u(x, 0) = cos x. (C.I.)
Soluci´on: Llevando la ecuaci´on (4.5) a la forma de operadores tenemos
Ltu(x, t) = Lxu(x, t) + sen x (4.6)
21

23. donde
Lt(·) =
∂(·)
∂t
, Lx(·) =
∂2
(·)
∂x2
luego el operador seudo inverso de Lt es
L−1
t (·) =
t
0
(·)dt
ahora aplicando L−1
t a la ecuaci´on (4.6) tenemos
L−1
t Ltu(x, t) = L−1
t (Lxu(x, t) + sen x)
t
0
∂u(x, t)
∂t
dt = L−1
t (Lxu(x, t)) + L−1
t (sen x)
u(x, t) − u(x, 0) = t sen x + L−1
t (Lxu(x, t))
recuerde que u(x, 0) = cos x, despejando u(x, t) tenemos
u(x, t) = t sen x + cos x + L−1
t (Lxu(x, t))
reemplazando u(x, t) = ∞
i=0 ui(x, t) en la ´ultima ecuaci´on tenemos
∞
i=0
ui(x, t) = t sen x + cos x + L−1
t Lx
∞
i=0
ui(x, t)
como la serie es absolutamente convergente tenemos que
∞
i=0
ui(x, t) = t sen x + cos x +
∞
i=0
L−1
t (Lx (ui(x, t)))
lo que nos lleva la siguiente esquema iterativos
u0(x, t) = t sen x + cos x
uk+1(x, t) = L−1
t (Lx (uk(x, t))) , k ≥ 0
el c´odigo WxMaxima para este esquema iterativo es
22

24. --> u[0]:t*sin(x)+cos(x)$
k:5;
for i: 0 thru k do
(u[i+1]:integrate(diff(diff(u[i],x),x),t))$
define(u(x,t),sum(u[i],i,0,k))$
plot3d(u(x,t), [x,-5,15], [t,0,5],
[plot_format,gnuplot])$
luego determinando las componentes tenemos
u0(x, t) = cos x + t sen x
u1(x, t) = L−1
t (Lx(u0(x, t))) = −t cos x −
1
2!
t2
sen x
u2(x, t) = L−1
t (Lx(u1(x, t))) =
1
2!
t2
cos x +
1
3!
t3
sen x
u3(x, t) = L−1
t (Lx(u2(x, t))) = −
1
3!
t3
cos x −
1
4!
t4
sen x
u4(x, t) = L−1
t (Lx(u3(x, t))) =
1
4!
t4
cos x +
1
5!
t5
sen x
... =
...
consecuentemente la soluci´on en forma de serie es
u(x, t) =
∞
i=0
ui(x, t)
= sen x t −
1
2!
t2
+
1
3!
t3
+ · · · + cos x 1 − t +
1
2!
t2
− · · ·
luego la forma exacta es
u(x, t) = (1 − e−t
) sen x + e−t
cos x
23

25. Cap´ıtulo 5
Ecuaci´on de onda
5.1. Ecuaci´on de onda homog´enea
Ejemplo 5.1 Resolver la siguiente ecuaci´on de onda
utt = uxx, 0 < x < π, t > 0, (5.1)
u(0, t) = 0, u(π, t) = 0, t ≥ 0 (C.C.)
u(x, 0) = sen x, ut(x, 0) = 0 (C.I.)
Soluci´on: Escribiendo a la forma de operadores la ecuaci´on (5.1) tenemos
Ltu(x, t) = Lxu(x, t) (5.2)
donde
Lt(·) =
∂2
(·)
∂t2
Lx(·) =
∂2
(·)
∂x2
definamos el operador seudo inverso
L−1
t (·) =
t
0
t
0
(·)dtdt
24

26. por otra parte notemos que
L−1
t Ltu(x, t) =
t
0
t
0
∂2
u(x, t)
∂t2
dtdt
= u(x, t) − u(x, 0) − tu(x, 0)
teniendo en cuenta las (C.I.) tenemos
L−1
t Ltu(x, t) = u(x, t) − sen x (5.3)
Ahora aplicando L−1
t en ambos lados de la ecuaci´on (5.2) tenemos
L−1
t Ltu(x, t) = L−1
t Lxu(x, t)
reemplazando (5.3) tenemos
u(x, t) − sen x = L−1
t Lxu(x, t)
despejando u(x, t)
u(x, t) = sen x + L−1
t Lxu(x, t)
reemplazando u(x, t) = ∞
i=0 ui(x, t) en esta ´ultima ecuaci´on tenemos
∞
i=0
ui(x, t) = sen x + L−1
t Lx
∞
i=0
ui(x, t)
o equivalentemente
u0 + u1 + u2 + · · · = sen x + L−1
t Lxu0 + L−1
t Lxu1 + · · ·
lo que nos lleva al siguiente esquema iterativo
u0(x, t) = sen x
uk+1(x, t) = L−1
t Lx(uk), k ≥ 0
25

27. el c´odigo WxMaxima para esto es
--> u[0]:sin(x)$
k:25;
for i: 0 thru k do
(u[i+1]:
integrate(integrate(diff(diff(u[i],x),x),t),t))$
define(u(x,t),sum(u[i],i,0,k))$
plot3d(u(x,t), [x,-5,5], [t,-5,5],
[plot_format,gnuplot])$
luego la serie que aproxima la soluci´on es
u(x, t) = sen x 1 −
1
2!
t2
+
1
4!
t4
−
1
6!
t6
+ · · ·
es decir
u(x, t) = sen x cos t
5.2. Ecuaci´on de onda no homog´enea
Ejemplo 5.2 Resolver la siguiente ecuaci´on
utt = uxx + sen x, 0 < x < π, t > 0 (5.4)
u(0, t) = 0, u(π, t) = 0, t ≥ 0 (C.C.)
u(x, 0) = sen x, ut(x, 0) = sen x (C.I.)
Soluci´on: Reescribiendo la ecuaci´on con operadores
Ltu(x, t) = Lxu(x, t) + sen x (5.5)
26

28. donde
Lt(·) =
∂2
(·)
∂t2
, Lx(·) =
∂2
(·)
∂x2
definiendo el operador seudo inverso
L−1
t (·) =
t
0
t
0
(·)dtdt
luego notemos que
L−1
t Ltu(x, t) = u(x, t) − sen x − t sen x (5.6)
ahora aplicando L−1
t en (5.5) tenemos
L−1
t Ltu(x, t) = L−1
(sen x) + L−1
t Lxu(x, t)
reemplazando (5.6) y despejando u(x, t) tenemos
u(x, t) = sen x + t sen x +
1
2
t2
sen x + L−1
t Lxu(x, t)
reemplazando u(x, t) = ∞
i=0 ui(x, t) en esta ´ultima ecuaci´on tenemos
∞
i=0
ui(x, t) = sen x + t sen x +
1
2
t2
sen x + L−1
t Lx
∞
i=0
ui(x, t)
lo que nos da el siguiente esquema iterativo
u0(x, t) = sen x + t sen x +
1
2
t2
sen x
uk+1(x, t) = L−1
t Lxuk(x, t), k ≥ 0
el c´odigo WxMaxima para este esquema iterativo es
27

29. --> u[0]:sin(x)+t*sin(x)+(t^2/2)*sin(x)$
k:50;
for i: 0 thru k do
(u[i+1]:
integrate(integrate(diff(diff(u[i],x),x),t),t))$
define(u(x,t),sum(u[i],i,0,k))$
plot3d(u(x,t), [x,-5,5], [t,-5,5],
[plot_format,gnuplot])$
procediendo como siempre tenemos que
u0(x, t) = sen x + t sen x +
1
2!
t2
sen x
u1(x, t) = −
1
2!
t2
sen x −
1
3!
t3
sen x −
1
4!
t4
sen x
u2(x, t) =
1
4!
t4
sen x +
1
5!
t5
sen x +
1
6!
t6
sen x
u3(x, t) = −
1
6!
t6
sen x −
1
7!
t7
sen x −
1
8!
t8
sen x
... =
...
con lo que tenemos
u(x, t) = sen x + sen x t −
1
3
t3
+
1
5!
t5
− · · ·
= sen x + sen x sen t
es la soluci´on buscada.
28

30. Cap´ıtulo 6
Conclusiones
1. Vemos que este es un metodo alternativo a los ya conocidos.
2. En algunos casos se puede obtener la soluci´on exacta de la ecuaci´on.
3. El uso de WxMaxima ayuda en el trabajo con este m´etodo ya que es
un CAS (Computer Algebraic System).
4. La convergencia es r´apida para regiones peque˜nas pero muy lento en
regiones grandes.
5. Este m´etodo se puede aplicar a una gran cantidad de ecuaciones dife-
renciales, ordinaria y parciales, lineales y no lineales.
6. Aun queda mejorar el m´etodo de convergencia para regiones m´as gran-
des, sobre este tema no hay investigaci´on ni art´ıculos escritos hasta el
momento.
29

31. Bibliograf´ıa
[1] Cherruault, Y., convergence of Adomian’s Method, Kybernetes,
18(2): 31-38, 1989.
[2] Adomian, George, Solving frontier Problems of Physics: The Decom-
position Methods, Kluwer Academis Publishers, 1994.
[3] Wazwaz, Abdul-Majid, Partial differential Equation and Solitary
Wave, Springer-Verlag, 2009.
[4] J. Rafael Rodr´ıguez Galv´an, Maxima con wxMaxima: software
libre en el aula de matem´aticas, Departamento de Matem´aticas de la
Universidad de C´adiz, 2007.
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