2015-II, Cálculo I, PC3

1. P-UNI
IP-UNI
FIP-UNI
FIP-UNI
FIP-UNI
FIP-UNI
FIP-UNI
FIP-UNI
FIP-UNI
FIP-UNI
FIP-UN
FIP-U Universidad Nacional de Ingenier´ıa
Facultad de Ingenier´ıa de Petr´oleo, Gas Natural
y Petroqu´ımica
Ciclo 2015-II
Pr´actica Calificada №3 de C´alculo I
(PM-111)
Profesor : Alvaro Naupay Gusukuma.
Fecha : 13 de Octubre de 2015
1. Responder los siguiente y justificar: (4pts.)
a) Sea A “ r0, 1y Y x1.1, 3s, ¿es 1 punto de acumulaci´on de A?.
SOLUCI´ON :
S´ı, 1 es un punto de acumulaci´on de A porque
@ε ą 0 se cumple que A X I1
p1, εq ‰ H
donde I1
p1, εq “ x1 ´ ε, 1 ` εyzt1u.
b) Sea A “ x0, 1y y a P R fijo. Si a es un punto de acumulaci´on de A y Ac
a la vez entonces a “ 0
´o a “ 1
SOLUCI´ON :
a) Si a P R con 0 ă a ă 1, tenemos que para ε “
1
4
m´ınta, 1´au se tiene que AXI1
pa, εq “ H
y Ac
X I1
pa, εq “ H, entonces ning´un a P x0, 1y es punto de acumulaci´on de A y Ac
.
b) An´alogamente, si a P R con a ă 0 o 1 ă a, no puede ser punto de acumulaci´on de A y Ac
.
c) Por otra parte, si a “ 1 o a “ 0, estos si son puntos de acumulaci´on de A y Ac
, ya que
@ε ą 0, A X I1
pa, εq ‰ H y @ε ą 0, Ac
X I1
pa, εq ‰ H
Por lo tanto si a es punto de acumulaci´on de A y Ac
a la vez entonces por lo hecho en (a),
(b) y (c) las ´unicas opciones son que a “ 0 ´o a “ 1.
2. Demostrar los siguientes l´ımites: (4pts.)
a) l´ım
xÑ2
p3x2
´ x ´ 2q “ 8
SOLUCI´ON :
Tenemos que demostrar que
@ε ą 0, Dδ ą 0, tal que 0 ă |x ´ 2| ă δ entonces |3x2
´ x ´ 2 ´ 8| ă ε .
Sea ε ą 0 fijo (porque es positivo) pero arbitrario ( porque puede ser cualquier positivo).
En busca de un delta adecuado para este ε.
Primero busquemos una relaci´on entre |x ´ 2| y |3x2
´ x ´ 2 ´ 8|, transformando este ´ultimo
valor absoluto
|3x2
´ x ´ 2 ´ 8| “ 3
ˇ
ˇ
ˇ
ˇx2
´
x
3
´
10
3
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ “ 3
ˇ
ˇ
ˇ
ˇx2
´ 4x ` 4 ` 4x ´
x
3
´ 4 ´
10
3
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ

2. P-UNI
IP-UNI
FIP-UNI
FIP-UNI
FIP-UNI
FIP-UNI
FIP-UNI
FIP-UNI
FIP-UNI
FIP-UNI
FIP-UN
FIP-U “ 3
ˇ
ˇ
ˇ
ˇpx ´ 2q2
`
11
3
px ´ 2q
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ “ |3px ´ 2qpx ´ 2q ` 11px ´ 2q|
aplicando la desigualdad triangular tenemos que
|3x2
´ x ´ 2 ´ 8| ď 3|x ´ 2||x ´ 2| ` 11|x ´ 2| . (a)
Por otra parte.
i) Si 0 ă |x ´ 2| ă δ ď δ1 para alg´un δ1 ą 0, entonces |x ´ 2| ă δ1, reemplazando esto en
(a) tenemos que
|3x2
´ x ´ 2 ´ 8| ă 3δ1|x ´ 2| ` 11δ1 (b)
ii) (En busca de un δ1 adecuado).
Ahora la idea es acotar num´ericamente |x ´ 2|, entonces.
Si tambi´en se cumpliera que 0 ă |x ´ 2| ă δ ď 1, entonces |x ´ 2| ă 1, reemplazando esto
en (b) tenemos que
|3x2
´ x ´ 2 ´ 8| ă 3δ1|x ´ 2| ` 11δ1 ă 3δ1 ` 11δ1 “ 14δ1 . (c)
Luego haciendo 14δ1 “ ε tenemos que el δ1 adecuado en funci´on de ε es δ1 “
ε
14
.
Reemplazando este δ1 en (c) tenemos que
|3x2
´ x ´ 2 ´ 8| ă ε
Finalmente nuestro delta adecuado es δ “ m´ın
! ε
14
, 1
)
, ya que con esto podemos decir que
δ ď δ1 “
ε
14
entonce se cumple (i)
^
δ ď 1 entonces tambi´en se cumple (ii)
por lo que podemos concluir que
|3x2
´ x ´ 2 ´ 8| ă ε
b) l´ım
xÑ0
3x ´ 1
x ´ 2
“
1
2
SOLUCI´ON :
Tenemos que demostrar que
@ε ą 0, Dδ ą 0, tal que 0 ă |x| ă δ entonces
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
3x ´ 1
x ´ 2
´
1
2
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ ă ε .
Sea ε ą 0 fijo (porque es positivo) pero arbitrario ( porque puede ser cualquier positivo).
En busca de un delta adecuado para este ε.
Primero busquemos una relaci´on entre |x| y
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
3x ´ 2
x ´ 1
´
1
2
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ, transformando este ´ultimo valor
absoluto ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
3x ´ 1
x ´ 2
´
1
2
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ “
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
5x
2px ´ 2q
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ “
5 |x|
2 |x ´ 2|
(a)
Por otra parte

3. P-UNI
IP-UNI
FIP-UNI
FIP-UNI
FIP-UNI
FIP-UNI
FIP-UNI
FIP-UNI
FIP-UNI
FIP-UNI
FIP-UN
FIP-Ui) Si 0 ă |x| ă δ ď δ1 para alg´un δ1 ą 0, entonces |x| ă δ1, reemplazando esto en (a)
tenemos que ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
3x ´ 1
x ´ 2
´
1
2
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ ă
5δ1
2|x ´ 2|
(b)
ii) (En busca de un δ1 adecuado).
Ahora la idea es acotar num´ericamente |x ´ 2|, entonces.
Si tambi´en se cumpliera que 0 ă |x| ă δ ď 1, entonces |x| ă 1 es decir ´1 ă x ă 1,
´3 ă x ´ 2 ă ´1, ´1 ă
1
x ´ 2
ă ´
1
3
, de lo cual
1
|x ´ 2|
ă 1, reemplazando esto ´ultimo
en (b) tenemos que ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
3x ´ 1
x ´ 2
´
1
2
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ ă
5δ1
2
(c)
Luego haciendo
5δ1
2
“ ε tenemos que el δ1 adecuado en funci´on de ε es δ1 “
2
5
ε.
Reemplazando este δ1 en (c) tenemos que
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
3x ´ 1
x ´ 2
´
1
2
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ ă ε
Finalmente nuestro delta adecuado es δ “ m´ın
"
2
5
ε, 1
*
, ya que con esto podemos decir que
δ ď δ1 “
2
5
ε entonce se cumple (i)
^
δ ď 1 entonces tambi´en se cumple (ii)
por lo que podemos concluir que ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
3x ´ 1
x ´ 2
´
1
2
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ ă ε
3. Usando ´algebra de l´ımites calcular (4pts.)
a) l´ım
xÑ64
?
x ´ 8
3
?
x ´ 4
SOLUCI´ON :
Haciendo y6
“ x, tenemos que cuando x Ñ 64 entonces y Ñ 2, luego reemplazando esto en el
l´ımite tenemos
l´ım
xÑ64
?
x ´ 8
3
?
x ´ 4
“ l´ım
yÑ2
y3
´ 8
y2 ´ 4
“ l´ım
yÑ2
py ´ 2qpy2
` 2y ` 4q
py ´ 2qpy ` 2q
“ l´ım
yÑ2
y2
` 2y ` 4
y ` 2
“
4 ` 4 ` 4
2 ` 2
“ 3
b) l´ım
xÑ´2
3
?
3x ` 5 ` x ` 3
3
?
x ` 1 ` 1

4. P-UNI
IP-UNI
FIP-UNI
FIP-UNI
FIP-UNI
FIP-UNI
FIP-UNI
FIP-UNI
FIP-UNI
FIP-UNI
FIP-UN
FIP-USOLUCI´ON :
l´ım
xÑ´2
3
?
3x ` 5 ` x ` 3
3
?
x ` 1 ` 1
“ l´ım
xÑ´2
p 3
?
3x ` 5 ` 1q ` px ` 2q
3
?
x ` 1 ` 1
“ l´ım
xÑ´2
3
?
3x ` 5 ` 1
x ` 2
`
x ` 2
x ` 2
3
?
x ` 1 ` 1
x ` 2
“ l´ım
xÑ´2
3
p 3
?
3x ` 5q2 ´ 3
?
3x ` 5 ` 1
` 1
1
p 3
?
x ` 1q2 ´ 3
?
x ` 1 ` 1
“
3
1 ` 1 ` 1
` 1
1
1 ` 1 ` 1
“
2
1
3
“ 6
4. Sea la siguiente funci´on (4pts.)
fpxq “
"
bx2
` ab si x ě 0
2px2
` bq1{2
´ b si x ă 0
hallar a y b para que l´ım
xÑ0
fpxq “ fp0q y fp1q “ 1.
SOLUCI´ON :
Como queremos que se cumpla l´ım
xÑ0
fpxq “ fp0q, entonces los l´ımites laterales tienen que ser
iguales, es decir
l´ım
xÑ0`
fpxq “ fp0q “ l´ım
xÑ0´
fpxq
de este tenemos que
ab “ 2b1{2
´ b (1)
por otra parte como tambi´en queremos que fp1q “ 1, entonces se debe cumplir que
b ` ab “ 1 (2)
reemplazando (1) en (2) tenemos que b “
1
4
, adem´as reemplazando esto en (2) tenemos que
a “ 3.
5. Decir si existe o no el siguiente l´ımite (4pts.)
l´ım
xÑ7{3
a
|x| ` v3xw
SOLUCI´ON :
Sea 2 ď x ă
7
3
, entonces 6 ď 3x ă 7, por lo tanto v3xw “ 6, hallando el l´ımite por la izquierda
tenemos que
l´ım
xÑ7{3´
a
|x| ` v3xw “ l´ım
xÑ7{3´
?
x ` 6 “
5
?
3
3
Por otra parte, sea
7
3
ď x ă
8
3
, entonces 7 ď 3x ă 8, por lo tanto v3xw “ 7, hallando el l´ımite

5. P-UNI
IP-UNI
FIP-UNI
FIP-UNI
FIP-UNI
FIP-UNI
FIP-UNI
FIP-UNI
FIP-UNI
FIP-UNI
FIP-UN
FIP-Upor la derecha tenemos que
l´ım
xÑ7{3`
a
|x| ` v3xw “ l´ım
xÑ7{3`
?
x ` 7 “
c
28
3
Como los l´ımites laterales son diferentes por lo tanto el l´ımite no existe.