Problemas resuletos de cálculo

1. Universidad Nacional de Ingenier´ıa
Facultad de Ingenier´ıa de Petr´oleo, Petroqu´ımica y Gas Natural
Ciclo 2018-II
Pr´actica Calificada №6 C´alculo I
(PM-111)
Profesor : Alvaro Naupay Gusukuma.
Fecha : 22 de Junio de 2018
Son importantes el orden y claridad en la resoluci´on de los problemas, caso contrario se puede invalidar
completamente la respuesta.
No hay consultas, si considera que alguna pregunta est´a errada o mal propuesta corrija el enunciado
y justifique su proceder.
Tiempo: 100 minutos.
1. Determine la regla de correspondencia de la funci´on derivada de f : R Ñ R,
fpxq “
#
x2
cosp1{xq ` x, si x ‰ 0,
0, si x “ 0.
SOLUCI´ON :
Cuando x ‰ 0 tenemos que
f1
pxq “ 2x cosp1{xq ` sinp1{xq ` 1 .
Cuando x “ 0 usamos la definici´on
f1
p0q “ l´ım
xÑ0
fpxq ´ fp0q
x ´ 0
“ l´ım
xÑ0
x2
cosp1{xq ` x
x
“ l´ım
xÑ0
px cosp1{xq ` 1q “ 1 .
Por lo tanto tenemos que la funci´on derivada es
fpxq “
#
2x cosp1{xq ` senp1{xq ` 1, si x ‰ 0,
1, si x “ 0.
2. Los buques cisterna cargan petr´oleo en un muelle ubicado a 4 kil´ometros de la costa. La refiner´ıa
m´as pr´oxima es a 9 kil´ometros al este del punto de la costa m´as cercano al muelle. Se debe construir
una tuber´ıa que conecte el muelle con la refiner´ıa. La tuber´ıa cuesta $ 300,000 por kil´ometro si se
construye debajo del agua, y $ 200,000 por kil´ometro si se hace en tierra. En la figura, calcule el
valor de x para minimizar el costo de la construcci´on de la tuber´ıa.
9 Km.
4 Km.
Mar
Tierra

2. SOLUCI´ON :
El costo dado en millones de dolares en funci´on de x es:
Cpxq “ 0.3
?
16 ` x2 ` 0.2p9 ´ xq
luego C1
pxq “
0.3x
?
16 ` x2
´0.2, resolviendo C1
pxq “ 0 tenemos que x0 “
8
5
?
5, despu´es de calcular
C2
pxq, tendremos que C2
px0q ą 0 entonces x0 es un m´ınimo local.
Por lo tanto para minimizar el costo de la construcci´on x debe ser igual a
8
5
?
5km.
3. Sea f una funci´on tal que para todo x P R:
|fpxq ´ 2| ď ||x| ´ 1|3
.
Determine f1
p´1q
SOLUCI´ON :
Para x “ ´1 tenemos que
|fp´1q ´ 2| ď || ´ 1| ´ 1|3
“ 0
de lo cual |fp´1q ´ 2| “ 0, entonces fp´1q “ 2.
Luego tenemos |fpxq ´ fp´1q| ď ||x| ´ 1|3
, de esto para x ‰ ´1
|fpxq ´ fp´1q|
||x| ´ 1|
ď ||x| ´ 1|2
aplicando el l´ımite
l´ım
xÑ´1
|fpxq ´ fp´1q|
||x| ´ 1|
ď l´ım
xÑ´1
||x| ´ 1|2
note que cuando x toma valores muy cerca de ´1, entonces |x| “ ´x, luego
l´ım
xÑ´1
|fpxq ´ fp´1q|
| ´ x ´ 1|
ď l´ım
xÑ´1
| ´ x ´ 1|2
ñ l´ım
xÑ´1
|fpxq ´ fp´1q|
|x ´ p´1q|
ď 0
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ l´ım
xÑ´1
fpxq ´ fp´1q
x ´ p´1q
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ ď 0 ñ |f1
p´1q| ď 0
por lo tanto podemos concluir que f1
p´1q “ 0
4. Si f es derivable en x “ a, demuestre que
l´ım
xÑa
xfpaq ´ afpxq
x ´ a
“ fpaq ´ af1
paq
SOLUCI´ON :
l´ım
xÑa
xfpaq ´ afpxq
x ´ a
“ l´ım
xÑa
xfpaq ´ afpaq ` afpaq ´ afpxq
x ´ a
“ l´ım
xÑa
„
px ´ aqfpaq
x ´ a
´
apfpxq ´ fpaqq
x ´ a


3. “ l´ım
xÑa
„
fpaq ´ a
fpxq ´ fpaq
x ´ a

“ fpaq ´ a l´ım
xÑa
fpxq ´ fpaq
x ´ a
“ fpaq ´ af1
paq