1. EDUCACIÓN SECUNDARIA PARA PERSONAS ADULTAS NIVEL II
ÁMBITO CIENTÍFICO TECNOLÓGICO
BLOQUE IX TEMA 3: Las matemáticas en el arte
3.- Las m atem á ticas en el a rte
¿Tienen algo en com ún los siguientes objetos?
,
una flo r, una c o n cha m arina
,
una foto de un edificio antiguo adm irado e im itado (conocido com o el P arten ón)
a
, una reproducción de un retrato conocido com o La G io nc on da o M ona Lisa
y un instrum ento m usical, violín
La respuesta esta en las M a te m áticas.

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Cada una de estas figuras contie ne en su estructura u na m isteriosa relación
m ate m á tica. Al dividir entre sí ciertas medidas clave de sus elementos obtenemos
siem pre el m is m o n úm e ro:
1,618...
y esto sin tener en cuenta la escala de la imagen, ni el patrón elegido.
Este número "mágico" también se puede escribir de esta form a:
Se denominaba núm e ro de oro, ra zó n á ure a y hasta divin a p ro p orción.
3.1.- E l origen de p hi
O tro nombre para definir esta proporción era p hi (φ o ϕ ), en
honor a un gran escultor y arquitecto griego de la
antigüedad llamado Fidia s (principal exponente de la época
más gloriosa de la Atenas clásica).
Si quieres conocer un poco más la vida y obra
de Fidias, puedes pulsar en este enlace:
Fidias, su vida y su ob ra
P ero, ¡qué casualidad!, también se ajustaba al nombre de un gran
matem ático italiano de comienzos del siglo XIII, conocido com o Fib onacci
(¿te suena de algo este nombre?, piensa, piensa que quizá ya lo hayas visto
a lo largo del tema de otra form a...) (su verdadero nombre era
Leonardo de P isa), famoso por la conocida su cesió n de F ibonacc i,
surgida como consecuencia del estudio del crecim iento de las
poblaciones de conejos.

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Esta sucesión está íntim amente ligada al número áureo.....
Una sucesión no es m as que una lista de núm eros relacionados entre sí de tal
forma que cada uno de ellos se obtiene haciendo una operación con alguno
de los anteriores.... pero siem pre la m isma operación.
Los ocho prim eros términos de la sucesión de Fibonacci son:1, 1, 2, 3, 5, 8,13, 21, ...
Pon a prueba tu lógica. ¿P odrías
decir cuáles son los dos siguientes
térm inos de esta sucesión, de la
sucesión de Fibonacci?
25 y 47
34 y 55
37 y 52
Si quieres saber algo más sobre la sucesión de
Fibo nacci, pincha en éste enlace:
Fibonacci

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3.2.- ¿ Q ue es p hi?
En la imagen de la izquierda se han señalado algunos segmentos
de distinto color
(verde, violeta, rojo y amarillo) para que lo aprecies mejor.
Si dividimos la medida correspondiente al segm ento verde
entre la correspondiente al segmento violeta dará com o
resultado 1,618.....
Igualmente si dividimos la medida del segm ento rojo entre el
amarillo volverá a dar como resultado 1,618...
Este resultado n o depe nde rá de si el pentágono es mayor
o m enor, si la unidad de medida que tomemos (en todo
caso siempre la m isma) sean m ilímetros, centímetros,
pulgadas o kilómetros. E s una proporción estable y
que sie m pre da rá co m o resulta do 1,6 18......, es decir,
φ.
Podemos verlo más gráficam ente en esta nueva representación:
¿E starían la diagonal AD y el lado AB
de un pentágono regular en proporción
áurea?
S i, sie m pre.
No
D e pen de del ta m añ o del pen tá go n o.

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Seguim os con el segundo objeto: La co nc h a m arina conocida
tam bién com o Nautilus:
Esta preciosa pieza nacarada, equivaldría a una de las figuras
matem áticas más bella, la es piral lo garítm ica.
Esa figura geométrica recibe el nombre de E spiral de D urero
Está form ada por sucesivos rectángulos
en proporción aurea. Por ejem plo el
rectángulo A B C D es áureo, es decir:
El rectángulo E FC D es igualm ente áureo
3.3.- L a fa m o sa historia de cone jos de Fibo nacc i
Supongamos que tenemos una pareja de conejos recién nacidos,
deberán esperar un m es para poder reproducirse, teniendo una
nueva pareja de conejitos. Así, al cabo de dos meses, serán dos
las parejas: la inicial y la pequeñita. En el tercer m es la primera
pareja se vuelve a reproducir, teniendo una nueva parejita, los
pequeños no se reproducen porque aún deben madurar. En el cuarto mes ya
hay dos parejas reproductivas y una inmadura, en total cinco.

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Seguim os la m ism a pauta, aparecerán los núm eros que conform an la serie de Fibonacci,
observa la siguiente im agen y la tabla donde recogem os los datos de m ás m eses:
Jugando con los términos de la sucesión de Fibonacci (que coinciden, como puedes observar con el
total de pares de conejos) se obtendría una curiosa propiedad:
Al dividir cada térm ino de la sucesión de Fibonacci entre el término
anterior, se va obteniendo un cociente que cada vez se aproxima más
y más al valor del número de oro.
Jam ás podremos escribir con cifras el valor exacto de phi, al ser un n úm e ro
irracio nal, es decir, un número con infinita s cifra s de cim ales no periód icas.

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Cuál es el valor del cociente, con diez cifras decim ales,
entre los térm inos vigésim o prim ero y vigésim o de la
sucesión de Fibonacci? ¿A cuántas cifras decim ales de phi
nos aproxim arem os?
10946 : 6765 = 1,6180339985 ( aproximación a 7 cifras decimales de phi
10477 : 6475 = 1,6180 694980 ( ap roxim ació n a 4 cifras d ecim ale s de ph i)
10477 : 6475 = 1,6180694980 (aproximación a 5 cifras decimales de phi)
En esta presentación tienes otros ejem plos de cóm o, en m uchos casos, la
Naturaleza se com porta com o un perfecto geóm etra:
Arm onía natural
3.4.- La im p orta ncia de phi en el arte
Este dibujo es a menudo considerado com o un sím bolo de
la simetría básica del cuerpo humano y, por extensión, del
Universo en su conjunto.
Se trata de un estudio de las proporciones del cuerpo
humano, realizado a partir de los textos del arquitecto de la
antigua Roma, Vitrubio, del que el dibujo toma su
nombre.
De acuerdo con las notas del propio Leonardo en el Hombre
de Vitrubio se dan otras relaciones:
Proporciones hum anas

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Lo mismo ocurre con muchos de los diseños de los objetos creados por el
hombre, desde la forma de un coche, de una ventana, de un libro, de un
pupitre, la clásica calculadora, de cómo se ha construir una habitación para
que el sonido sea perfecto en ella, un Ipod... Los objetos con esas
proporciones tienen aspectos agradables a la vista pues proporciona armonia.
Arte áureo
Com o crear un rectángulo aúreo
C rear rectángulo aúreo
3.5.- ¿Que es eso del "teorema de Pitágoras"?
Nosotros usamos el Teorema de Pitágoras, cuando queremos saber la longitud
restante del lado de un triángulo rectángulo para los que ya sabemos dos
longitudes.
Sabemos que la palabra
triángulo significa que tiene tres
ángulos y por tanto tres lados. Si
hablamos de triángulo
rectángulo, es que tiene un
ángulo recto.
En este caso sus tres lados
tienen nombre.
Lado mayor = Hipotenusa,
Lados menores = Catetos

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Teorema de Pitágoras.- En un triángulo rectángulo, el cuadrado de
la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
x2 + y2 = h2
Demostración del Teorema de Pitágoras