1. ESCUELA SECUNDARIA
TECNICA 118
Nombre: Regina Hernández Romero
Profesor: Luis Miguel Villareal Matías
Grado: 3° Grupo: c
Fecha de entrega: jueves 24 de octubre
Ejercicio: Numero Aureo y Serie de
Fibonnacci
Sra. Roxana
Hdz.
Firma del padre
O Tutor
Salón: 9
NL: 21
Índice

2. Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . p
Contenido
(Número Aureo). . . . . . . . . . . . . . . . 4p
(Serie de Fibonacci). . . . . . . . . . . . . . 5p
Relación entre ellos. . . . . . . . . . . . . . 6p
(Aplicación con la naturaleza..). . . . . . 7p
Conclusión. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8p
Actividad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9p
Ficha. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10p
2p

3. Introducción
Esta investigación nos ayuda a entender la
relación matemática existente en toda la
naturaleza que a su vez es aplicada en diversos
campos. Las matemáticas intervienen en todo lo
que nos rodea, nada se concebiría si los números
no existieran. Es increíble que desde nuestro inicio
de la vida hasta el fin este determinado por una
secuencia numérica.
3p

4. NÚMERO AUREO
El número áureo surge de la división en dos de un segmento guardando
las siguientes proporciones: La longitud total a+b es al segmento más largo
„a‟ como „a‟ lo es al segmento más corto b.
Se trata de un número algebraico irracional (decimal infinito no
periódico) que posee muchas propiedades interesantes y que fue
descubierto en la antigüedad, no como “unidad” sino como relación o
proporción entre segmentos de rectas. Esta proporción se encuentra tanto
en algunas figuras geométricas como en la naturaleza. Puede hallarse en
elementos geométricos, en las nervaduras de las hojas de algunos árboles,
en el grosor de las ramas, en el caparazón de un caracol, en los flósculos
de los girasoles, etc.
Asimismo, se atribuye un carácter estético a los objetos cuyas medidas
guardan la proporción áurea. Algunos incluso creen que posee una
importancia mística. A lo largo de la historia, se ha atribuido su inclusión
en el diseño de diversas obras de arquitectura y otras artes, aunque
algunos de estos casos han sido cuestionados por los estudiosos de las
matemáticas y el arte.
Cálculo del valor del número áureo
Dos números a y b están en proporción áurea si se cumple:
Si al número menor (b) le asignamos el valor 1, la igualdad será:
Multiplicando ambos miembros por a, obtenemos:
Igualamos a cero:
La solución positiva de la ecuación de segundo grado es:
que es el valor del número áureo, equivalente a la relación .
4p

5. SERIE DE FIBONACCI
La sucesión de Fibonacci es aquella cuya ley de
recurrencia es:
an = an-1 + an-2
Es decir, cada término de la sucesión se obtiene
sumando los dos anteriores.
Para iniciar a construir una de estas series
necesitamos dos números de partida, a1 y a2; de
esta forma, a3 sería a2 + a1 ; a4 sería a3 + a2 y así
sucesivamente.
La más conocida es la que tiene a1 = 1 y a2 = 1,
cuyos términos son números que son conocidos
como Números de Fibonacci:
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 ...
Los términos de una sucesión de Fibonacci tienen
la particularidad de que el cociente entre dos
términos consecutivos se aproxima al Número de
Oro (1.6180339887499...), es decir, el límite de los
cocientes an+1/an tiende al Número de Oro cuando
n tiende a infinito; además, las series de Fibonacci
cumplen otras curiosas propiedades, como por
ejemplo, que la suma de n términos es igual al
término n+2 menos uno:
a1 + a2 + a3 + a4 + ..... + an-1 + an = an+2 - 1
5p

6. Relación entre el número aureo y la serie de
Fibonacci
Los números de Fibonacci tienen
propiedades matemáticas interesantes, y
muchas operaciones aritméticas entre ellos
vuelven a dar números de Fibonacci. Una de
ellas, apuntada por el astrónomo Johannes
Kepler es la siguiente: si vamos dividiendo
entre ellos números de Fibonacci
consecutivos cada vez mayores, su cociente
se acerca al valor 1.618033... Esta constante
se denomina número de oro, número áureo o
divina proporción, e históricamente se le
han atribuido propiedades estéticas.
6p

7. Relación con la naturaleza y otras
aplicaciones (Imágenes)
Una pareja de conejos tarda un mes en alcanzar la
edad fértil, y a partir de ese momento cada vez
engendra otra pareja de conejos, que a su vez (tras
llegar a la edad de la fertilidad) engendrarán cada
mes una pareja de conejos. ¿Cuántos conejos habrá
al cabo de un determinado número de meses?
Acertaste: cada mes habrá un número de conejos que coincide con cada
uno de los términos de la sucesión de Fibonacci. ¿Asombroso, verdad?
Pero hay más.
El número de conejos coincide con cada uno de los términos de la sucesión
de Fibonacci.
Las espirales en los girasoles o las piñas: si contamos
las espirales que giran hacia un lado, y las dividimos
entre el número de espirales que giran hacia el lado
contrario, da Φ. Suelen ser números de la serie de
Fibonacci: 89 espirales hacia un lado y 144 hacia el
otro, por ejemplo.
El mensaje cifrado que ha dejado el conservador
envía precisamente a uno de sus cuadros La
Gioconda, cuyo famoso rostro sigue la proporción
Áurea:
La razón entre la estatura de una persona y la distancia del ombligo al
suelo.
La razón entre la distancia del hombro a la punta de los dedos y la de ésta
al codo.
Para mayor redundancia, el cociente entre cada dos términos
consecutivos de la Sucesión de Fibonacci tiene como límite a la Razón
Áurea. Así que, a buen entendedor, el mensaje del conservador es incluso
repetitivo: la pista a seguir está en la obra de Leonardo da Vinci y su llave
es la Sucesión de Fibonacci. 7p

8. Si cortamos transversalmente frutas y vegetales y
encontraremos que muchos de ellos tienen el
número de secciones de la serie Fibonacci.
Beethoven (1770-1827) en su Quinta Sinfonía,
distribuye el famoso tema siguiendo la sección
áurea.
Bartók (1881 - 1945) usó la serie de Fibonacci
para crear su "escala Fibonacci". En su obra
Música para instrumentos de cuerda, percusión y celesta, un análisis de
su fuga nos muestra la aparición de la serie (y de la razón áurea).
8p

9. Actividad
9p

10. Conclusión
El número de oro es un número importante en
todo lo que nos rodea, ya que se llegó a descubrir la
multitud de situaciones de la vida cotidiana en las
que aparece; es utilizado tanto en la naturaleza,
como en el arte y en las matemáticas. La sucesión
de Fibonacci es una proporción muy precisa, y
gracias a esto se han representado grandes
cuadros como es “El hombre de Vitrubio” de
Leonardo Da Vinci.
10p