Matematica I: Logica proposicional :La lógica matemática, también llamada lógica simbólica, lógica teorética, lógica formal o logística,1​ es el estudio formal y simbólico de la lógica, y su aplicación a algunas áreas de la matemática y la ciencia. Comprende la aplicación de las técnicas de la lógica formal a la construcción y el desarrollo de las matemáticas y el razonamiento matemático, y conversamente la aplicación de técnicas matemáticas a la representación y el análisis de la lógica formal. La investigación en lógica matemática ha jugado un papel crucial en el estudio de los fundamentos de las matemáticas. La lógica matemática estudia la inferencia mediante la construcción de sistemas formales como la lógica proposicional, la lógica de primer orden o la lógica modal. Estos sistemas capturan las características esenciales de las inferencias válidas en los lenguajes naturales, pero al ser estructuras formales susceptibles de análisis matemático, permiten realizar demostraciones rigurosas sobre ellas.

1. Lógica Matemática
y Funciones
Unidad I - Semana 1
Lógica Proposicional
Equipo docente de
Lógica Matemática y Funciones

2.  Lógica Proposicional
 Conectores Lógicos
 Cuantificadores

3. LOGRO DE APRENDIZAJE
Al finalizar la sesión de aprendizaje,
el estudiante aplica las leyes de los
conectores lógicos y cuantificadores
en un conjunto de ejercicios.

4. Presentación del vídeo
El niño prodigio “el príncipe de los matemáticos”
Johann Carl Friedrich Gauss
https://www.youtube.com/watch?v=NcdsQaAAEAk

5. Que es la Lógica…?
Lógica es el estudio del razonamiento, que se refiere
específicamente a si el razonamiento es correcto. La
lógica se centra en la relación entre las afirmaciones y
no en el contenido de una afirmación en particular.

6. 1) ¿Cómo te llamas?
2) Jueves es un día de la semana
3) 2x + 8 = 6
4) (2) (6) = 12
5) Buenos días
6) Corre
7) Ella es un estudiantes de Farmacia y bioquímica
8) Ciro alegría es autor de los perros hambrientos
Enunciado: Es toda frase u oración
Proposición
Ejemplos:
Enunciado
Proposición
Enunciado
Enunciado
Enunciado abierto
Enunciado abierto
Proposición

7. Proposiciones
Una proposición es una unidad semántica que, o solo es
verdadero, o solo es falsa, pero no ambas cosas a la vez.
PROPOSICIÓN VERDADERO FALSO
Jueves es un día de la semana
(2) (6) = 12
Ciro alegría es autor de los perros
hambrientos
Machu picchu es una de las maravillas
del mundo
Ejemplos:

8. Lógica Proposicional
La lógica proposicional permite el razonamiento, a través de un
mecanismo que primero evalúa sentencias simples y luego sentencias
complejas, formadas mediante el uso de conectivos proposicionales.
por ejemplo.
• Un proposición: es un enunciado a la cual se le puede dar el
concepto de verdadero o falso
• Determinar la verdad o falsedad de una premisa

9. Clases de proposiciones
Proposición
simple o
atómica
Proposición
compuesta o
Molecular
3 es un numero par
2 es un número entero y es positivo
Si estudio y hago las tareas, entonces apruebo y paso el
curso de lógica matemática.
No es seguro caminar por el sendero cuando se han
visto osos pardos por la zona y las bayas del sendero
están maduras.
El sueldo mínimo en el Perú equivale a $/. 250.
El ingeniero agroindustrial Julio Garay Barrios es
Ayacuchano y creador de las galletas contra la
anemia.
Lima es capital de Perú así como Santiago es capital de
Chile.

10. Variables proposicionales
p: Lima es capital de Perú
q: El interés simple permanece constante.
r: Jueves es un día de la semana
Cada proposición es representada mediante letras minúsculas del
alfabeto "p", "q", "r, …

11. Conectivos Lógicos
Son símbolos que sirven de enlaces entre las proposiciones simples, a
excepción del negador
No
•ni
•nunca
•jamás
•Tampoco
•No es cierto que
•Es falso que
•Es mentira que
•Es inaceptable que
•No es verdad que
~
Negador
Ejemplo:
p: Hoy es martes
~𝑝: Hoy no es martes
p: Hoy es martes
~𝑝: No es cierto que hoy es martes
p: Hoy es martes
~𝑝: Es falso que hoy es martes

12. •pero
•Sin embargo
•Tanto como
•También
•A pesar de que
^ y
Conjunción
Ejemplos de Conectores lógicos
Ejemplo:
p: Hoy es martes
q: amaneció lloviendo
Hoy es martes y amaneció lloviendo
Rosita es estudiante también es trabajadora social

13. Ejemplos de Conectores lógicos
•Salvo que
•a menos que
•o incluso
•Excepto que
•Ya sea …. sea
•o solamente
•o únicamente
o
v
Disyunción débil Disyunción fuerte o
exclusiva
Δ o….o
Hoy a las 3 voy al Parque de la
exposición o a la plaza de armas.
Ejemplo:
O el cero es un número natural o
es entero
O trabajas o estudias
Tres es un número natural o es racional

14. • Por ello
• Por lo tanto
• En consecuencia
• Es una condición necesaria para
• Es una condición suficiente para
• Porque
• Debido a
• Si y solo si
• Es una condición necesaria y
suficiente
• Equivalente
• siempre y cuando
Condicional Bicondicional
→ ↔ Si y solo si
Si …entonces
Ejemplos de Conectores lógicos
Ejemplo:
Si no hay ningún beneficio por
recibir la vacuna, no hay riesgo de
enfermermarse
El señor Manuel se irá de viaje si y solo si se
vacuna
Ana pasa a migraciones siempre y cuando ya hizo
su checkin

15. p q p ∧ q p ∨ q p Δ q p → q p ↔ q
V V V V F V V
V F F V V F F
F V F V V V F
F F F F F V V
Tabla de valores de verdad
PROIEDAD
El exponente n es el numero
de veces que se repite la
proposición simple número
combinaciones, se representa
como 2𝑛
Cantidad de
proposiciones
Número de
combinaciones
1
2
3
4
.
.
n

16. Clasifique como tautología, contradicción y contingencia los siguientes
esquemas moleculares:
a) [(p q) → q] v p
a) ~ (p v q) p
a) ~(p q) → (q v p)
Ejemplo 1:

17. Ejemplo 2:
Indicar la equivalencia de los siguientes esquemas moleculares,
utilizando tablas de verdad
A: [(~ p v q) ~ q] → ~ p
B: ~ { (~ p v ~ q) v ~ q }

18. Función proposicional
Función proposicional o también llamado enunciado abierto son
expresiones que contienen una o más variables en su definición.
Ejemplos:
q(x) : x2 + 3x > 0
Para x= 3, q(x) es V,
si x=0 , q(x) es F
p(x,y) : x es hermano de y
q(x,y) : x2 +y2 = 25

19. Cuantificadores
Cuantificador Universal: ∀ x; quiere decir para todos los valores de “x”
Cuantificador Existencial: ∃ x; quiere decir existe para un “x”
Ejemplos:
1.Todos los países del mundo están de acuerdo para cuidar el medio ambiente
2. Existen algunos decretos de urgencia que protegena la madre, al
menor de edad y al impedido

20. b) ∀ x ∈ R / x2 + 2x < 4
Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
a) ∃ x ∈ R / x2 - 8x = 0
Ejemplo 3:

21. Demuestre si los siguientes esquemas moleculares son equivalentes o
implicancias
Ejemplo 4:

22. Negar las siguientes proposiciones
a) ∀ x ∈ Z / x² ≤ 0
b) ∃ x ∈ N / x+1 < 0
c) ∀ x ∈ Z / x < 4 ⇒ x² = 16
Ejemplo 5:

23. Escriba en forma simbólica los siguientes enunciados
Ejemplo 6:
a. Si las exportaciones disminuyen entonces bajarán las utilidades
b. Los precios son altos si y sólo sí los costos aumentan
c. Si la producción aumenta entonces bajarán los precios
d. Si aumenta la demanda esto implica que aumenta la oferta y viceversa
e. Si la contaminación aumenta entonces existirá restricción
vehicular adicional

24. Si p y r son proposiciones verdaderas y q es falsa ,determine el
valor de verdad de :
a. [ ( p ∧ ∼ q ) v ∼ r ] ⇒ q
b. [ (∼ r v q ) ∧ ( r v ∼ p) ] ⇔ ∼ r
c. [ (∼ p ⇒ q ) ⇒ ∼ r ] v [ ∼ q ⇒r ]
Ejemplo 7:

25. Trabajo en clase
1. Determine cuáles de los siguientes expresiones son proposiciones lógicas, y su valor
de verdad colocando un aspa “x” en el recuadro correspondiente:
N° Proposición ¿Es una
proposición
lógica?
Valor de
verdad
si no V F
01 Probablemente llueva mañana.
02 ¡Alto! Prohibido ingresar
03 Los pacientes consultan debido a la aparición de una
erupción vesiculosa o pustulosa que puede ser dolorosa
04 ¿Se puede definir una conducta a partir de la
observación?
05 La Luna no es un satélite de la Tierra.

26. 2. Considere la proposición p (x) : x es un número mayor o igual que
-2 y menor que 3 . Determine los valores de verdad de .
a) ( ∀ x ) ( x ∈ E ) p(x) si E = {-2 , -1 , 0 }
b) ( ∃ x ) ( x ∈ F ) p (x) si F = { 3,4,5 }
Trabajo en clase
3. Sean las proposiciones:
p: la computación es fácil
q: los ingenieros deben saber computación
Entonces, traduzca a lenguaje verbal las proposiciones siguientes y
¿Cuál(es) a su juicio representa(n) una expresión aceptable en el sentido
cotidiano?
a) p ∧ q
b) ∼ (p v q)
c) ∼ (q v ∼p)
d) ∼ (p v ∼q)
e) p ⇒ q

27. 2. Prueba diagnóstica
1. FORO para colocar las ideas principales
Cierre de sesión