Proposiciones lógicas, Tablas de verdad, Proposiciones equivalentes, Leyes lógicas, Inferencia lógica y Conjuntos.

MATEMÁTICA APLICADA A LAS
CIENCIA HUMANAS Y
JURÍDICAS
• Atencia Mónica
• Ynca Grace
• Ccori Yeferson
• Medina Marcos
• Motta Gabriella
• Quintana Giulliana
• Villanueva Adrián

* Ciencia que estudia el lenguaje científico.
LÓGICA FORMAL LÓGICA SIMBÓLICA
LÓGICA PROPOSICIONAL
*Estudia la formación de
proposiciones complejas.

ENUNCIADO
ENUNCIADO ABIERTO
X<7
(V)
(F
)
Para:
X=3 , 3<7 ……… (V)
X=9 , 9<7 ……… (F)
PROPOSICIONES LÓGICAS
*Pueden ser (V)
(F).
*Se denotan con letras
minúsculas p, q, r,
s….(variables
proposicionales).
*Ejemplos:
1) p:15-4=11……………………………………..(V)
2) q:Lima es capital de Perú………………(V)
3) s:7 es un numero par…………………….(F)

PROPOSICIONES LÓGICAS
Proposición que no tiene
conectivo lógico.
Ejemplo:
• 6 es par.
• 9 es múltiplo de tres.
Constituida por
proposiciones simples
enlazadas entre si por
conectivos lógicos.
6 es par 9 es múltiplo
de tres
p q
6 es par y 9 es múltiplo de
tres
p ^ q

CONECTIVOS LÓGICOS
Símbolos que sirven para
la unión de dos o mas
proposiciones
*conjunción
*disyunción
*condicional
*bicondicional
*negación
*disyunción fuerte

TABLA DE VALORES DE
PROPOSICIONES
COMPUESTAS

Proposiciones compuestas
Concepto:
 Es aquella que puede ser separada en proposiciones más simples, caso contrario se
le llama proposición primitiva o sub-proposiciones.
Ejemplo:
 p: Juan lee libros de historia. Proposición primitiva
 q: Juan aprobó el examen de historia. Proposición primitiva
p q

TABLAS DE VERDAD DE CONECTORES LÓGICOS
 Negación:  La conjunción:  Disyunción:

TABLAS DE VERDAD DE CONECTORES LÓGICOS
 Condicional:  Bicondicional:
 Disyunción fuerte:

Construcción de una tabla de verdad
 FORMULA:
2
n
; n: Número de proposiciones

DEFINICIÓN:
Dos formas proposicionales P y Q se dicen lógicamente
equivalentes, y se escribe P ≡ Q, si sus tablas de verdad
coinciden.
NOTA:
Esto equivale a decir que P ↔ Q es una tautología; así, P ≡ Q
es lo
mismo que decir P ⇔ Q.
EJEMPLO:
El programa está bien escrito y bien documentado.
El programa está bien documentado y bien escrito.

Equivalencias lógicas que involucran
declaraciones condicionales:
1. p→q≡﹁p∨q
2. p→q≡﹁q→﹁p
3. p∨q≡﹁p→q
4. p∧q≡﹁(p→﹁q)
5. ﹁(p→q)≡p∧﹁q
6. (p→q)∧(p→r)≡p→(q∧r)
7. (p→q)∨(p→r)≡p→(q∨r)
8. (p→r)∧(q→r)≡(p∨q)→r
9. (p→r)∨(q→r)≡(p∧q)→r
Equivalencias lógicas que
involucran
bicondicionales:
1. p↔q≡(p→q)∧(q→p)
2. p↔q≡﹁p↔﹁q
3. p↔q≡(p∧q)∨(﹁p∧﹁
q)
4. ﹁(p↔q)≡p↔﹁q

Concepto:
 Usados para simplificar el cálculo proposicional.
 Su demostración se reduce a la confección de las correspondientes tabla de
verdad.

~(~p) = p Doble negación
p v q = q v p
p Λ q = q Λ p
Conmutativa
p v p = p
p Λ p = p
Idempotencia

Condiciones de
negación
(p v ~p) = V
(p Λ ~p) = F
(p v q) v r = p v (q v r)
Asociativa
(p Λ q) Λ r = p Λ (q Λ r)

P ∧ ( q ∨ r ) ≡ ( p ∧ q ) ∨ ( p ∧ r )
P ∨ ( q ∧ r ) ≡ ( p ∨ q ) ∧ ( p ∨ r )
Distributiva
∼ ( p ∧ q ) ≡ ∼ p ∨ ∼ q
∼ ( p ∨ q ) ≡ ∼ p ∧ ∼ q
Ley de Morgan

Concepto:
 Cuando se habla de cuantificadores en términos de Lógica, teoría de conjuntos o
matemática en general, se hace referencia a aquellos simbolos que se utilizan para
indicar cantidad en una proposición, es decir, permiten establecer “cuantos” elementos
de un conjunto determinado, cumplen con cierta propiedad.

Cuantificador universal: ∀
• Se utiliza para afirmar que todos los elementos de un conjunto, cumplen con una
condición o propiedad determinada.
 Y se lee:
- “Para todo”
- “Para cualquier”
- “Para cada”

Cuantificador existencial: ∃
 Cuando existe uno o más elementos que cumplen esta condición.
 Se lee:
- “Existe un”
- “Para algún”
- “Al menos para un”

Cuantificador existencial
único: !∃
 Cuando exactamente existe un solo elemento en el conjunto que cumple dicha
propiedad.
 Se lee:
- “Existe un único”

 El resultado de la condicional puede ser un tautología, una contingencia o una
contradicción.
(p1 ∧ p2 ∧ p3 ….. pn) → q

(p1 ∧ p2 ∧ p3 ….. pn) → q
 El resultado de la condicional puede ser un tautología, una contingencia o una
contradicción.
1) Si la condicional es una tautología, entonces se tiene una argumento válido.
2)Si la condicional resulta ser falsa entonces se tiene la llamada falacia formal.

IMPLICACIONES NOTABLES
 LEY DE MODUS PONENDO PONENS
 LEY DE MODUS TOLLENDO TOLLENS
 LEY DEL SILOGISMO DISYUNTIVO
 LEY DE LA INFERENCIA EQUIVALENTE
 LEY DE SILOGISMO HIPOTÉTICO

 LEY DE MODUS PONENDO PONENS (MPP)
 Si soy obrero, soy proletario. Soy obrero. Por lo tanto soy proletario.

 LEY DE MODUS TOLLENDO TOLLENS (MTT)
 Si Manuel aprueba el ciclo entonces irá de viaje. Manuel no fue de
viaje. Por lo tanto Manuel no aprobó el ciclo.

EL MÉTODO ABREVIADO
El desarrollo de la tabla de valores de la inferencia
(p1 ∧ p2 ∧ p3 ….. pn) → q resulta muy laborioso y
engorroso
cuando se desea saber su validez.

EL MÉTODO ABREVIADO
PASOS:
1.-Analizamos la única posibilidad de ser falsa la
condicional.
2.- Asignamos los valores correspondientes a las variables.
3.-Si necesita corrección: INFERENCIA VÁLIDA.
4.- Si la suposición fue correcta: INFERENCIA INVÁLIDA.

 Un conjunto es toda agrupación colección, reunión o colección de objetos cualquier
especie siempre que exista un criterio preciso que nos permita que un objeto
pertenece o no a dicha agrupación.

 Sea A el conjunto formado por los nombres de los siguiente deportes, futbol,
basquetbol, vóley, natación, podemos describir entonces:
Futbol ϵ A
Vóley ϵ A
Atletismo ϵ A
El conjunto A expresaremos encerrado entre llaves a sus elementos:
A = { futbol, vóley, natación, basquetbol}

 Para facilitar la comprensión de un conjunto, se grafica una figura cerrada para
representar la agrupación de sus elementos.

 Unitario: todo conjunto que solo contengan un solo elemento.

 Infinito: Conjunto en la que el numero de sus elementos no tienen un fin.

 Finito: Tipo de conjunto en el que sus elementos son limitados.

 Vacío: Es todo conjunto que carece de un elemento. Y se representa con este símbolo:
{ꬾ}

 Disyuntivo: todo conjunto que no tiene elementos en común con otros conjuntos.

 Referencial o universal: Este tipo de conjuntos posee dentro de si a un grupo de
conjuntos más.

 Iguales: Cuando dos o más conjuntos poseen elementos iguales.

 Congruentes: Están conformados por elementos que tienen una distancia entre sí,
siempre son resultados de una operación matemática.

 Incongruente: Estos conjuntos no están determinados por una operación matemática
determinada, son aleatorios.

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