El documento introduce el cálculo de áreas entre curvas y ejes. Explica cómo calcular el área entre el gráfico de una función y el eje x mediante integrales definidas, considerando si la función es positiva, negativa o cambia de signo en el intervalo. Presenta ejemplos numéricos y también cómo calcular el área entre dos funciones.

1. Matemática II
Sesión 5

2. Elaborado por Elsa Guédez
Matemática II
Introducción al Cálculo de áreas

3. Elaborado por Elsa Guédez
Como primer paso, nos interesa calcular el área
comprendida entre el gráfico de una función f y el eje X,
entre x = a y x = b, sabiendo que f es integrable en [a; b].
Área entre el gráfico de una función y eje X
En primer lugar, consideraremos el caso en que el gráfico
de f esta por arriba del eje X:

4. Elaborado por Elsa Guédez
Ejemplo 1.
Calcular el área de la región comprendida entre el eje X y
el gráfico de la función f (x) = x2 − 1 entre x = 1 y x = 3.
…
Área entre el gráfico de una función y eje X

5. Elaborado por Elsa Guédez
Como la función f es positiva o cero en el intervalo [1; 3],
el área A esta dada por
Solución del Ejemplo 1:
El área pedida es la sombreada en el siguiente gráfico:

6. Elaborado por Elsa Guédez
Para calcular la integral, podemos usar T.F.C. (porque la
función es continua en el intervalo)
Una primitiva de f (x) = x2 − 1, es:
Entonces el Área es:
Solución del Ejemplo 1:

7. Elaborado por Elsa Guédez
es decir, la función f es negativa o cero en el intervalo [a; b].
Área entre el gráfico de una función y eje X
El segundo caso que consideraremos es cuando el
gráfico de f esta por debajo del eje X:

8. Elaborado por Elsa Guédez
En esta situación, la integral definida da el área de la región
comprendida entre el eje X y el grafico de la función f pero con
el signo cambiado (es decir, da negativo). Por lo tanto, para
calcular el área, bastará con cambiar el signo de la integral.
Área entre el gráfico de una función y eje X

9. Elaborado por Elsa Guédez
Solución:
En el siguiente gráfico aparece sombreada la región en cuestión:
Ejemplo 2
Ejemplo 2.
Calcular el área de la región comprendida entre el eje X y el
grafico de la función f (x) = −x2 − 1 entre x = −2 y x = 1.

10. Elaborado por Elsa Guédez
La función f toma valores negativos en todo ℝ, con lo cual el
área A buscada es
Solución del Ejemplo 2:
Para calcular la integral, podemos usar T.F.C. (porque la
función es continua en el intervalo)

11. Elaborado por Elsa Guédez
Por ejemplo, para calcular el área de la región sombreada en
la figura:
Finalmente, si se quiere calcular el área de la región
comprendida entre el grafico de una función f y el eje x entre
x = a y x = b en el caso en que f toma valores positivos y
negativos en el intervalo [a; b], se deben estudiar los cambios
de signo de la función en el intervalo considerado.
Área entre el gráfico de una función y eje X

12. Elaborado por Elsa Guédez
Puede descomponerse en dos áreas que ya sabemos calcular:
si c es el punto de intersección del gráfico de f con el eje X (es
decir, el punto del intervalo [a; b] donde la función vale cero,
entonces, como podemos ver en el grafico, f (x) ≤ 0 para todo
x ∈ [a; c] y f (x) ≥ 0 para todo x ∈ [c; b].
Área entre el gráfico de una función y eje X

13. Elaborado por Elsa Guédez
Entonces, podemos calcular el área A1 comprendida entre el
grafico de f y el eje x para a ≤ x ≤ c y el área A2 comprendida
entre el grafico de f y el eje x para c ≤ x ≤ b, y obtener el
área A como la suma de estas dos áreas:
Área entre el gráfico de una función y eje X

14. Elaborado por Elsa Guédez
Solución:
La función f corta al eje X para algún valor x ∈ [−1; 2]. Para esto,
buscamos los ceros de f :
Ejemplo 3
Ejemplo 3.
Calcular el área de la región comprendida entre el eje X y el
grafico de la función f (x) = x2 +2x − 3 entre x = −1 y x = 2.
De estos dos ceros, 1 ∈ [−1; 2] y −3 ∉ [−1; 2], con lo cual sólo
interesa x = 1.

15. Elaborado por Elsa Guédez
En el siguiente grafico aparece sombreada la región en cuestión:
Se tiene que f (x) ≤ 0 para todo x ∈ [−1; 1]
f (x) ≥ 0 para todo x ∈ [1; 2].
Solución del Ejemplo 3:

16. Elaborado por Elsa Guédez
Para calcular las integrales definidas en cuestión, usando T.F.C.
(la función es continua en el intervalo)
Solución del Ejemplo 3:
Entonces, el área a calcular es

17. Elaborado por Elsa Guédez
Interesa ahora calcular el área de una región comprendida
entre los gráficos de dos funciones integrables f y g.
Área entre el gráfico de dos funciones
Consideremos, en primer lugar, la situación del siguiente
grafico:

18. Elaborado por Elsa Guédez
Se quiere calcular el área comprendida entre los gráficos
de f y g para a ≤ x ≤ b. En este caso, f (x) ≥ g(x) para todo
x ∈ [a; b].
Área entre el gráfico de dos funciones
Si bien anteriormente consideramos el caso en que f y g son
funciones no negativas en el intervalo [a; b], la fórmula
anterior vale siempre que f y g cumplan que f (x) ≥ g(x),
aunque tomen valores negativos.

19. Elaborado por Elsa Guédez
En cuyo caso, se tiene que el área de la región se ha
trasladado pero no cambia su forma ni dimensiones.
Área entre el gráfico de dos funciones
Así, el área de la región es:

20. Elaborado por Elsa Guédez
Matemática II (BPTMI02)
Cálculo de áreas (Ejercicios)

21. Elaborado por Elsa Guédez
Considera la región “R” limitada por las gráficas de :
Asumiendo “x” e “y” en metros.
CÁLCULO DEL ÁREA DE UNA REGIÓN PLANA
Ejemplo 1
y - 2x + 1 = 0
2y – x – 1 = 0
y.x = 1 , donde x <0
Calcular el área exacta de la región “R” .

22. Elaborado por Elsa Guédez
Solución del Ejemplo 1
Se tiene y - 2x + 1 = 0; 2y – x – 1 = 0 ; y.x = 1
Para 2y – x – 1 = 0 →
Determinando el área de la región:
Es una recta de pendiente m = 0,5>0
Corta los ejes en (0, 1/2) y (-1, 0)
Para y - 2x + 1 = 0 → Es una recta de pendiente m = 2>0
Corta los ejes en (0, -1) y (1/2, 0)
Para y.x = 1, donde x <0 → Es una hipérbola (sólo el cuadrante III)

23. Elaborado por Elsa Guédez
Diferenciando las funciones:
Gráfico de las funciones
P(x) y N(x): (-2, -1/2)
M(x) y P(x): (1, 1)
M(x) y N(x): (1/2, -2)
, x<0
Puntos donde se intersectan:
Solución del Ejemplo 1

24. Elaborado por Elsa Guédez
Se puede calcular el área “A” como la
suma de dos áreas: A = A1 + A2 , donde:
Para A1 : x ∈ [-2, -1/2]
Para A2 : x ∈ [-1/2, 1]
Solución del Ejemplo 1

25. Elaborado por Elsa Guédez
A = 1,9487 + 2,4375 = 4,3862
Se asumirá constante a M(x) , P(x) y N(x), en cada subintervalo
Conclusión:
El área de la región es A ≈ 4,3862 m2
Solución del Ejemplo 1

26. Elaborado por Elsa Guédez
Considera la región “R” limitada por:
Asumiendo “x” e “y” en metros.
CÁLCULO DEL ÁREA DE UNA REGIÓN PLANA
Ejemplo 2
y – x3 = 4
4x = 16 – y2
y = -4
y ≥ -4
b) Calcular el área exacta de la región “R” respecto al eje Y.
a) Calcular el área exacta de la región “R” respecto al eje X.

27. Elaborado por Elsa Guédez
Solución a) del Ejemplo 2
Se tiene y – x3 = 4, de allí: y = x3 + 4  H(x) = x3 + 4
Además, 4x = 16 – y2 , de allí:
Es decir, se tienen dos funciones:
Se considerará x∈ [-2, 4]
Determinando el área de la región y despejando respecto de “x”:
El intervalo se divide en dos intervalos:
cuando x∈ [-2, 0] y cuando x∈ [0, 4],
El gráfico de la región

28. Elaborado por Elsa Guédez
Solución a) del Ejemplo 2
Se asumirá constante a H(x) , S(x) y U(x), en cada subintervalo y dada
por su valor en el punto muestra respectivo.
Se considera que el área “A” de la región es: A = A1+ A2
Conclusión:
A =
c.v: z = 16 - 4x
El área de la región es A ≈ 33,33 m2

29. Elaborado por Elsa Guédez
Solución b) Ejemplo 1
Determinando el área de la región despejando respecto de “y”:
Además: y = -4 con y ≥ -4
Se tiene: y – x3 = 4, de allí:
Asimismo: 4x = 16 – y2, de allí:

30. Elaborado por Elsa Guédez
Solución del Ejemplo 1
El gráfico de la región se muestra a continuación:
donde:
Se considera y∈ [-4, 4]

31. Elaborado por Elsa Guédez
Se plantea:
Solución b) Ejemplo 1
Dada la continuidad de la función a integrar, es posible la
aplicación del Teorema fundamental del Cálculo, para lo cual se
obtiene de forma inmediata (por el formulario):

32. Elaborado por Elsa Guédez
Hacer el cambio de variable: u = y – 4, y a partir de este
cambio modificar el límite inferior y superior de la integral.
Solución b) Ejemplo 1
Quedando la integral definida:
Para el límite inferior y = -4: se obtiene u = (-4) – 4 = -8,
Para el límite superior y = 4: se obtiene u = (0) – 4 = -4
Se sugiere para la integral que falta resolver:

33. Elaborado por Elsa Guédez
Entonces, el cálculo del área queda:
Solución b) Ejemplo 1
Conclusión
El área de la región es 2
m
33
,
33
3
100
A 
