1. CAPITULO 4: Temas adicionales de la Derivada
Ejercicios Propuestos 4.1
1. f crece en ( −1,0 ) ∪ ( 2, +∞ ) ; f decrece en ( −∞, −1) ∪ ( 0, 2 )
2. f crece en ( −∞, −2 ) ∪ ( 2, +∞ ) ; f decrece en ( −2,0 ) ∪ ( 0, 2 )
3. f crece en ( −∞, −2 ) ∪ ( 2, +∞ ) ; f decrece en ( −2, 2 )
4. f es creciente ∀x ∈ R
5. f crece en ( −1,0 ) ∪ (1, +∞ ) ; f decrece en ( −∞, −1) ∪ ( 0,1)
6. f crece en (1, +∞ ) ; f decrece en ( −∞,1)
Ejercicios Propuestos 4.2
1. f ( −2 ) = 73 Máximo ; f ( 2 ) = −15 Mínimo
2. f ( 3) = 63 Máximo ; f ( −3) = − 63 Mínimo
5 5
3. f ( −2 ) = 22 Máximo ; f ( −5 ) = − 59 Mínimo
3 3
4. f (1) = 7 Máximo ; f ( −1) = −23 Mínimo
5. f ( −2 ) = 81 Máximo ; f (1) = f ( −1) = 0 Mínimo
6. f ( 2 ) = 7 Máximo ; f (1) = 0 Mínimo
4
Ejercicios Propuestos 4.3
1. f ( 0 ) = 17 Máximo Local ; f ( 2 ) = −15 Mínimo Local ; f ( −1) = 12 Mínimo Local
2. f ( −2 ) = 64 Máximo Local ; f ( 2 ) = − 64 Mínimo Local
15 15
3. f ( −2 ) = 22 Máximo Local ; f ( 2 ) = −10 Mínimo Local
3 3
4. No hay extremo local
5. f ( 0 ) = 1 Máximo Local ; f ( −1) = 0 Mínimo Local ; f (1) = 0 Mínimo Local
6. f (1) = 0 Mínimo Local
Ejercicios Propuestos 4.4
1. f ( −∞,1 − 7 ) ∪ (1 + 7, +∞ ) ;
es cóncava hacia arriba en
f es cóncava hacia abajo en (1 − 7,1 + 7 )
2. f es cóncava hacia arriba en ( − 2, 0 ) ∪ ( 2, +∞ ) ;
f es cóncava hacia abajo en ( −∞, − 2 ) ∪ ( 0, 2 )
3. f ( 0, ∞ )
es cóncava hacia arriba en;
f es cóncava hacia abajo en ( −∞, 0 )
4. f es cóncava hacia arriba en( 13 , ∞ ) ;
f es cóncava hacia abajo en ( −∞, 1 ) 3
⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞
5. f es cóncava hacia arriba en ⎜ −∞, − ⎟∪⎜ , +∞ ⎟ ;
⎝ 7⎠ ⎝ 7 ⎠

2. ⎛ 1 1 ⎞
f es cóncava hacia abajo en ⎜− , ⎟
⎝ 7 7⎠
⎛ 2 ⎞
6. f es cóncava hacia arriba en ( −∞, 0 ) ∪ ⎜ 3 , +∞ ⎟ ;
⎜ 11 ⎟
⎝ ⎠
⎛ 2 ⎞
f es cóncava hacia abajo en ⎜ 0, 3 ⎟
⎜
⎝ 11 ⎟ ⎠
Ejercicios Propuestos 4.5
1)
Máx.
Local y = 3x 4 − 4 x 3 − 12 x 2 + 17
(0,17•
) P.C.E:
P.I.
•−0.55, 14.32)
(
•
(−1, 12 )
P.C.E:
Mín. Local
(1.21, − 1.35•) P.I.
•
(2,−15)
P.C.E:
Mín.
Absoluto
2)
y = 3 x 5 − 20 x 3
(− 2, 64)
•
(− 2 , 39.6 )
•
•
( •
2 ,−39.6 )
(− 2• − 64)
,

3. 3)
y = 1 x3 − 9 x + 2
(− 3,20) 3
•
(0,2)
•
(3•−16)
,
4)
y
6
y = 3 x − 3 x + 12 x − 5
3 2
4
2
0 x
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
( )
P.I.
1
3
− 11
9
-2
-4
5)
y = ( x 2 − 1) 4
(− 1
7
, 0.54 ) •
( 1
7
, 0.54 )
• •
• •

4. 6)
( )
f ( x) = x 3 − 1
4
•
(3 2
, 0.45
11
)
Ejercicios Propuestos 4.6
1
1)
f ( x) = x 2 4 − x
(16, 9.16)
5
•
•(1.9;5.2)
•

5. 2)
(
f ( x) = 3 2 5 3 x 2 − 3 x 5 )
(− 1, 6 2 ) •
3
(2,• )
6
3)
f ( x) = e − x
2
(− 1
2
, 1
e
)• •( 12 , 1
e
)
4)
f ( x) =
( x − 2 )2
x2
P.I. (3, 4 )
1
•
P.C.E.

6. 5)
3x − 5
f ( x) =
x−2
6)
2x 2
f ( x) =
9 − x2
P.C.E
Mín. Local
7)
f ( x) = e
1
x
(− 1
; e −2 )
•
2

7. 8)
(2, 4 )
3
f ( x) = ( x + 2) − ( x − 2)
2 2
3 3
(− 2, − 4 )
3
9)
2 + x − x2
f ( x) =
(x − 1)2
• •
(5;−1.125) (7; − 1.11)
10)
y = −x
2 + x − x2
f ( x) =
x −1

8. 11)
f ( x) =
(x + 2)2
x
y = x+4
(2•,8)
•
12)
x3 − 4 y=x
f ( x) =
x2
(− 2,−3)
•

9. 13)
y= x+3
x2
f ( x) =
x −3
(6,12)
3
3
14)
1
f ( x) = xe x
y = x +1
•
(1, e)

10. Ejercicios Propuestos 4.7
a+b
1. x 0 =
2
2. x = 0 , x = 1
, x=− 1
.
2 2
4. a) f (1) = f (2) = 64 b) f ´(x 0 ) = 0 para algún x 0 ∈ [1,2]
Ejercicios Propuestos 4.8
1) +∞ , 2) −1 , 3) 1 4) 0 5) 0
6) −1 7) 1 8) 1 9) 1 10) e −6
11) e 12) e 3 13) − 9
4
14) 1 15) 1
Misceláneos
1)
a)
x−2
f ( x) =
x −1

11. b)
x−2
f ( x) =
x2 − 1
•
(0.23;1.87 )
•
c)
x
f ( x) =
x −1
2

12. d)
2
f ( x) =
x2 − 1
e)
f ( x) = 3 x (8 − x )

13. f)
2
x
f ( x) = xe 3 + 1
(− 1•5;0.45)
.
g)
y=x
x2 − 1
f ( x) =
x
h)
9
y
8
7
6
f ( x) = x + x − 5 x − 5
3 2
5
4
3
2
1
0 x
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0
-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9

14. i)
f ( x) = x 5 − x3
j)
f ( x) = x
2
3
(x 2
− 8)

15. k)
x2 − 4x
f ( x) =
x − 4x + 3
2
1
6) a) 1 b) c) 0 d) 3
2
e) −2
4