samsamsmaiiioosa

1. C a p ítu lo 9
Po t en c ia c ió n
HISTÓRICA
0
1C
1
&
Exponente d e una p oten cia
E
l primero que colocó el exponente en una posición elevada con res­
pecto a la línea base fue Nicolás Chuauet en el siglo XV. Sin embargo,
lo colocaba directamente en el coeficiente, de modo que 5 x2, lo
escribía como 52.
En 1636 James Hume publicó una edición del álgebra de Viéte en la que
utilizó una notación prácticamente igual a la actual, salvo en el detalle de uti­
lizar números romanos. Así, 5 x2 lo escribía como 5x".
Sería Descartes quien sustituyó en su obra Geometrie los incómodos nume­
rales romanos por los indoarábigos. No deja de ser curioso, sin embargo,
que para la potencia cuadrada no utilizara la notación elevada, sino que
siguiera escribiendo, como muchos hasta entonces, x 2como xx.
Estas expresiones son residuos de la época griega, en la cual los productos
x x (X2) o xxx (x3) sólo se entendían como áreas o volúmenes. Por eso noso­
tros, cuando calculamos el producto de un número x por sí mismo, decimos
que estamos elevando x "al cuadrado", aunque no pensemos en absoluto
en calcular el área de un cuadrado de lado x.

2. 9 C a p í t u l o
ÁLGEBRA
Definición
Es la operación en la cual la cantidad llam ada base se debe m ultiplicar por ella m ism a las veces que lo indique el
exponente.
O a" = a a ■ d onde a es la base y n e l exponente.
n - veces
EJEM PLOS
• • A l desarrollar*4, se obtiene:
.1 . Solución
uj
A l ser el exponente 4, la base * s e multiplica 4 veces ella misma:
x = *• *• *• *
Por consiguiente, cuando se tiene *4, e s lo mismo que si se multiplica 4 veces la base *.
2 •• •¿Cuál e s e l resultado de ( - 2 x f ?
Solución
Se multiplica la base por s í misma tres veces, por tanto:
( - 2 * r = ( - 2 , ) ( - 2 * ) ( - 2 ,) = - 8 ^
Finalmente, se obtiene: (-2 * )? - - 8 * 3
Teoremas de los exponentes
S i a , b , m , n s R y a, b * 0, entonces:
© a" am = a ' tm
D em ostración
a ”- a m= (a ■a - a a ... • á )(a • a a • a ... • á) = a - a a ■a ...-a = a "+m
ti veces m veces n + m veces
E JEM PLO S------------------------------------------------------------------------------------•
1 • • ¿Cuál e s e l resultado de * 3-* 5?
.SL Solución
tu
Se aplica el teorem a y se obtiene:
2 *Encuentra el resultado de (-5m )(8m 3X-2m2).
Solución
Se multiplican los coeficientes (-5)(8)(-2), después se aplica e l teorem a y se obtiene:
(-5m )(8m 3)(-2m 2) = 80w1+3f2= 80m6
218

3. Ejemplos
C a p í t u l o 9
Potenciodón
D e m o stra c ió n
m veces
a"
n veces rc
EJEM PLOS
m5
• • ¿Cuál es el resultado de — ?
m
Solución
Se aplica e l teorem a y se obtiene:
= m 5"2 = m }
Encuentra e l resultado de: .
-3 m
Solución
Primero se dividen los coeficientes y después se aplica el teorema:
-2 7 m7 _ -2 7
-3 m 3 - 3
O a# = 1
D e m o stra c ió n
Al aplicar el teorem a de división, con m = n , resulta que:
á a m
Ejemplo
¿Cuál es el resultado de (-1 2 m 7)°?
Solución
Se aplica e l teorem a y se determ ina que:
( - 1 2 m 7 )° = l
o a - = ¿
D e m o stra c ió n
0-1» o
a = a = — = -
a c
a ... a = (r~"
- ti veces
9m*
=a
2 1 9

4. 9 C a p í t u l o
ÁLGEBRA
Ejemplo
¿Cuál e s e l resultado de ( - 3 * ) 2 ?
Solución
Se aplica el teorem a y después se desarrolla la potencia:
-2 1 1 1
' ~ ( - 3 , ) ! (-3 x )(-3 * )
Por tanto, se tiene que: (—3a:)-2 = —
yA
O (« ■ )"= o*-
D em ostración
(a - )" = (a " )(a ')(a " )...(a " ) = d " = d m
m veces
Ejemplo
¿Cuál es una expresión equivalente a (m 4) ?
Solución
Se aplica el teorem a y se determ ina que:
( m * f = m{* 3) = m a
O (a
Demostroción
Al aplicar el teorem a de multiplicación, con m = n, entonces se obtiene:
( a b e ) " = ( a b c ) ( a b c ) . . . ( a b c ) = ( a a ‘. . ‘a ) ( b b . . . b ) ( c c . . . c ) = a ÑbÑcÑ
n veces
Ejemplo
Determ ina una expresión equivalente a: ( a 3 y 4 •z2) .
Solución
Al ap licar el teo rem a s e obtiene que: ( a 3 y4 z2)4 = x (* 4)y(4,<4)z<2,<4) = a 12 -y16 -z 8
• ( :í í
D em ostración
n veces
( « Y - ( E 'í ( Í E l ( - a a a ‘- a _ <*_
U J ~ { b ) { b ) { b ) " ' { b ) ~ b b b : . r b ~ b Ñ
Ejemplo
¿Cuál es e l resultado de desarrollar I m 2n I ?
220

5. C a p í t u l o 9
Potenciodón
Solución
Aplica el teorema, y determ ina que:
v5 / , 5 / , 5
( m 4 n 3Y (m 4 ) (n*) m » » ' 5
I r 2 J " (r>)5 " |V)'
O
D em ostración
Í-T" =- = - =- =í-í b ) ( a " « 1 a" W
U J y
Ejemplo
¿Cuál es el resultado de desarrollar j
Solución
Se aplica e l teorem a y se obtiene que:
-2
?
íNsf
Luego, a l elevar a l cuadrado se tiene el desarrollo:
1 (2 * )’ “ 4**
3y I 4 /
j | y J (3 y y 9 y 2
Por tanto, | ~ j = %
EJERCICIO 9 3
Aplica la definición y desarrolla las siguientes potencias:
M 3
1 B - ' I
5. - ( 2 a‘f 7.
S T
2. H v f 4 . ( - 6 x V ) S
* ( H
8. [ - ( 2 a t ) !
Simplifica las siguientes expresiones y muestra el resultado sin exponentes negativos:
9 . (3 y )(- 5 y 2) 12. ( - m V ) ( » T V ) ■3- 4 4« V a
18. ( Á - Í J
10. x Y x - y ■3. 4 16 m3" 516. _2 _2 19.
( " í ” 2)a m « v 3 ;
tnim
Hpi|m
1
H
H
p—«
m
17
‘ 17ítV
20. (-2 * )‘
221

6. 9 C a p í t u l o
ÁLGEBRA
21. -9 * ° 25. ( f l - V ) - ' 29. (2 a , )! (3 a )3 33. ^ ^
( a V )
22. 2 ( x - 5y)° 26. (*.**■ *> )- 30. 34. ^
23. 5 x ' 3 27. (z-J -z3 z0) '3 31.
24. - M - ’ 28. [ ( x + 2 , r f 32' {~ 0 jT
(6 a ‘l _
( 3 .) 3
Verifica t u s resultados en la sección da solucionas correspondíante
Simplificación
Se aplican los teorem as de los exponentes, según se presenten en la expresión; esto significa que e l orden en que se
realicen estará determ inado por las operaciones correspondientes, a s í com o por los signos de agrupación que estén
involucrados.
EJEM PLOS
• • Simplifica la siguiente expresión y da e l resultado con exponentes positivos.
w
Solución
Se aplica el teorem a (a-b)" = d b" y posteriormente se realiza e l producto de los exponentes.
El elem ento con exponente negativo se transform a a potencia positiva y se realiza la multiplicación de fracciones.
* V = — y6 =
X y x6 y
y6
Por tanto, la sim plificación es: ^
X
2 Simplifica la siguiente expresión y elim ina los exponentes negativos.
(*2 + l p ( - r 2 +l)*
(* ’ + i f
Solución
E n esta expresión la base involucrada e s e l binom io*2 + 1, por lo que se trabaja únicamente con los exponentes, se
sim plifica e l numerador y después se sim plifica la división com o sigue:
- P » .) - H - ( , . . . )
(* 2 + 1)2 ( ^ + l ) 5
222

7. C a p í t u l o 9
Potenciodón
Al elim inar el exponente negativo la expresión resultante es:
= 7 T í
Por consiguiente, la simplificación es:
1
*2 + l
3 ' Simplifica la siguiente expresión:
Solución
Se realiza la división dentro del paréntesis:
y
= (2y ^ r
Se eleva cada uno de los factores a l exponente 2” , aquellos que resulten con exponente negativo se transform an
a su expresión equivalente con exponente positivo hasta obtener la sim plificación deseada.
>2,-2_ _ L _ L v«2._L _ y12
(2 t y ! r = 2-’ ^ v 4 T ; ,’ r2 2 / ' Z2 4a:8z2
4 • • Simplifica a l m áximo la siguiente expresión:
í 1 5
2
(2 m " V ) (im r iy
Solución
Se resuelven las potencias para cada uno de los paréntesis:
2m 3 n ó í “
___________ 2 6m i n 6 26m 2n 5
(2 m “V ) '( 2 m n ) s ( W p V ) ( F w j p w )
Se multiplican los factores del denom inador y por último se realiza la división:
2 m n _ 2 m 2ns 26m 2ns _ 06-* m2-7M5-<-i) _ o?
( í V ^ V l ' r V ^ - i w - 2 m " " 2 m "
E l resultado contiene exponentes negativos, entonces se convierte a exponente positivo para obtener la simplifi­
cación final:
.6
-5 6 _ * 6 _
2 m n = 2 — - n = — —
m m
Por tanto, la sim plificación es: ^ 7-
m
2 2 3

8. 9 C a p í t u l o
ÁLGEBRA
5 • • •Simplifica la siguiente expresión a l m áximo y que no contenga exponentes negativos.
i i
Solución
Se desarrollan los paréntesis internos al elevar cada uno de los factores al exponente correspondiente:
3
( , - y y ) M * V ) r
3
( * - v * r
Se resuelve e l producto en el numerador de la fracción y se realiza la división:
3
3 2 1 4
i+3Z
3 ' 5 5 '
x 6y 6z
* y « x 2y 3z r y J
1 7 _ I 3
Se eleva cada uno de los factores a la potencia 3:
Los exponentes resultantes son negativos, por lo que se transform an a otro factor equivalente con exponente
positivo
" 7 - 7 1 1 1
* y ~ É '~ H = ~ z ~ W
x 2 y 2 x 2y 2
Por consiguiente, la sim plificación es: l7 ,3
6 ••'R e d u c e a su m ínim a expresión:
x 2y 2
( « y r - N T
(abcT
Solución
Se desarrollan los paréntesis internos:
-1
1
c 5
-1
a V 4 V [ a 2b 2
{a b e )1
1 ^ 1 { o’3
2 2 4

9. C a p í t u l o 9
Potenciodón
Luego, si una fracción está elevada a un exponente negativo, ésta e s igual a su recíproco elevado a l exponente
positivo, í ^ j = í “ J entonces:
r a v ‘ r a'b
' 1 >
c 3
[ « V “ J 3
a2b
L a expresión resultante se sim plifica de diversas form as, una de ellas es multiplicar las fracciones y por último
Balizar la división resultante:
A 1 A
= a 3=a'b'°c 3
V ¿rV 3l
< 1
c3 fl^ V 3"3 <rV3c 3
3
a'b
13
a *b~*
El factor con exponente negativo se transform a en otro equivalente de exponente positivo:
7
Por tanto, la sim plificación es:
7 ■Reduce a su m ínim a expresión:
a h 10
x 2 + x 1
Solución
Se transform an cada uno de los sumandos a exponente positivo y se sim plifica la fracción com pleja resultante:
1 1 + x
X +X
= i -
¿ _ _ _ .y2 ( l + x ) _ 2
x-2+x~' J l l± x x*(+x) *
1 > *
X2 X x~
Por tanto, la sim plificación es: —
X
8 ■Simplifica la siguiente expresión y elim ina los exponentes negativos.
a 2- b~2
a 1 + b ~ l
Solución
C ada uno de los sumandos con exponente negativo se expresa en otro equivalente con exponente positivo:
_1 1_
a '-b -2 _ a2~b2
a-'+b~l 1 1
a b
{continúa)
2 2 5

10. 9 C a p í t u l o
ÁLGEBRA
(continuación)
Las transform aciones dan com o resultado una fracción compleja, la cual a l sim plificarla se obtiene:
J___l_ b2- a 2
~2 Í l _ _ a2b 2 _ a b b 2 ~ ° 2) _ c ¡b (b + a )(b -a ) _ b - a
I + I b + a a2b 2 (b + a ) a 2b 2(b + a ) ab
a b ab
Por consiguiente, la sim plificación es: -
ab
EJE ÍC IC IO 9 4
Aplica tos teoremas de tos exponentes y simplifica cada una de las siguientes expresiones:
( * - 3 n * - 3 ) s
( * - 3 ) 3
1. x * y sz 2
3.
4.
x 2y 3
x*y^
x y z
2x-'y~ ¡
6.
_ 3 i I
a ~ 2b'c~2
3 4 I
a'~2b V 2
8.
9.
4 a*b-
(2 a w y
( *x3y * z 4
W V z *
10.
1 1 .
1 2 .
13.
14.
15.
16.
(jr+ 3y)2 (jr+ 3 y ) 5
( 5 * y r - ( - ^ - y f
( * v r
x 2y *z
x * y 6z 2
( « V c 6)3
a 'b 2c
11. -— l— T (2ab-2)'
(3a2b 3) - 1 }
18.
( m v y
(«V)i
19. [ ( ^ v r ^ y ^ f j 2
(* 2 ^ r
20.
2 1 .
22.
23.
24.
( x - 2 y ) - 2 - ( x - 2 y r
( x - 2 y y r
a~3-¿ T 3
a~*+b~3
y -y
* ° - y
25. (x-2 + y ^ ) ( x - 2-y-> )
x V ( y ~ 2 - x - 2)
26.
27.
x - y
xy~2 + x ~ 2y
x - ' + y -'
£} V# riflea tu s resulta dos e n la sección de soluciones c o rres po n d ie n te
2 2 6

11. Ejemplos!
C a p í t u l o 9
Potenciodón
Potencia de un binomio
Factorial de un número
A la expresión r! se le denom ina “factorial de i ' y se define com o e l producto de todos los números naturales ante­
riores a r.
r! = r ( r - l X r - 2 )-...-1 c o n r > 0
Si r = 0, entonces 0! - 1
E JE M P L O S----------------------------------------------------------------------------------- •
1 Obtén e l resultado de: 4!
Solución
Al aplicar la definición, se obtiene que:
4! = 4-3-2-1 = 24
Por tanto, 4! = 24
2 • • Determina e l resultado de 6!
Solución
Se desarrolla cada uno de los factoriales y se realiza la operación resultante:
6! = 6-5-4-3-2-l= 720
Por consiguiente, 6! = 720
Binomio de Newton
Para un número n e l desarrollo de:
(a = + + ^ cf~ 2b 2 + n ^n 2^ ( f~ 3bi + . . .
w(« — —2 ) ....( « - r + 1)
... + -^ -------------- '---- }-cC t f + ... + n a tf ’ + ¿>"
r!
El procedimiento anterior se llam a teorema d el binom io de Newton o fórmula para e l binomio de Newton.
Si n es natural, el desarrollo de (a + b )"cum ple con las siguientes características:
a) E l primer térm ino e s a " y e l último térm ino es b
b) A l desarrollar el binomio se obtienen (n + 1) términos.
c) Conform e aum entan los térm inos, la potencia del prim er térm ino a dism inuye en 1 y la del segundo térm ino b
aum enta en 1.
d) Para obtener e l i-ésim o térm ino se utiliza la fórmula:
«simo, «("- 'X"-2)-•<"~1+2)
( 1-1)1
2 2 7

12. 9 C a p í t u l o
ÁLGEBRA
EJEMPLOS---------------------------------------------------------•
1 • • Desarrolla: (x + 2y)4.
.1. Solución
Se aplica el desarrollo del binomio de Newton, hasta obtener e l segundo térm ino elevado al exponente 4:
( ¿ + 2 y ) ‘ = (x )‘ + 4 (x )‘ - 2 y ) ' + M ‘ ~2 ( 2 y f + 4 (4 ~ ' K 4 ~ 2 ) (x )‘ - 2 y f *
♦ 4<4 - ' ) ^ 2)(4 - 3> « ~ c W
Se desarrollan los factoriales en los denominadores de cada fracción, se desarrollan las potencias y se sim plifica
a l máximo cada uno de los sum andos:
= <*)‘ + 4 ( * ) W + W (2y)! + 4g 22)(1l) « P C W
= *‘ + 4<r'X2>.) + ( t f W ) + 4 « ( 8 / ) + (*°X 1 6 /)
Finalmente, se realizan los productos y se obtiene el desarrollo:
= x* + 8 ^ y + 24x2y2 + 32ry? + 16y4
2 ••-D esarro lla: ( Z ^ - S y 2)5.
Solución
Se aplica el teorem a del binomio de N ewton y se tiene que:
( 2 / - 3 / ) s= ( 2 tJ)5+ 5(2t 2)s - |( - 3 / ) l + 5 Í 1 J 1 ( 2 / ) 5- 2(—3 / ) '+
2!
+ 5(5^ 2) (^ - !(_ 3 y I)!+ S(S - l )(5 - 2)(S - 3) (^ 5. 4(_ ^
, 5 ( 5 —1)(5—2 )(5 —3 )(5 —4)
Se sim plifican las fracciones y se desarrollan las potencias:
= (2V2)5+ 3 / ) ' + ^ (2 r!)í( - 3 y 2)2 + (Z «*)’( - 3 / ) 3 +
= 3 2 t10 + 5(16t!)( - 3 / ) + 10(&t6) ( V ) + 1 0(4*4X - 2 7 / ) + 5(2t2)(81ys) + (2 í2)°(- 2 4 3 /°)
Por último, se realizan los productos y se obtiene e l desarrollo:
= 32**° - 2 4 0 * y + 7 2 0 /y 4 - 10 8 Q ry + 81Q ry8 - 243y10
2 2 8

13. Ejemplos
C a p í t u l o 9
Potenciodón
Si n es entero negativo o fraccionario, el desarrollo de (a + b j cumple con las siguientes características:
á) E l primer térm ino e s a" y no existe un último término.
b) El número de términos e s infinito.
c) E l desarrollo de estos binomios recibe e l nombre de series.
d ) Conform e aum entan los térm inos la potencia del primer térm ino a dism inuye en 1, y la del segundo térm ino b,
aum enta en 1.
é) Para obtener e l i-ésim o térm ino se utiliza la fórmula:
i-ésimo = n(n ~ » )(" ~ 2 ) " " ( n ~ ' + 2 )
0 - 1 ) !
EJEMPLOS
1 • • Desarrolla: (x + l)"3.
Solución
Se aplica el desarrollo de New ton hasta obtener los términos deseados, en este caso se desarrolla hasta cinco términos
21
+ ( - 3 ) ( - 3 - l ) ( - 3 - 2 ) w - v j í + ( - 3 ) ( - 3 - l ) ( - 3 - 2 ) ( - 3 - 3 ) (x)- , - . ( 1 ) V
3! ’ 4!
Se sim plifican todos y cada uno de los coeficientes de cada térm ino, a s í com o los exponentes:
=(*)"*+(-3x*)_1(i) + I'-=y y ^ w 5c>2+ (~33 ~^)(,~5>w 6(D3+
= ^ - 3- 3 ( a: - 4X1) + 6(J: - 5X 1 ) - 1 0 ( í - 6X l)+
= JC-3 - l t - 4 + 6 t - 5 - l a t - 6 + 1 5 í - , - . . .
C om o los exponentes son negativos, éstos se expresan en su equivalente positivo, lo que resulta en:
___ 3 15 _
“ x 3 " ^ + / " / + / “ -
2 • • E tsarrolla:(A :+2)2.
Solución
Al aplicar el teorem a de New ton hasta cinco términos:
( , + 2)3 = (* )3 + ( Í ) M í - '( 2 ) ' ' ) ( # - 3(2 )3 +
+ E i ^ W i-3(2,3+E H p í H ) W i - , 2 r+ _ .
y» ®♦
{continúa)
2 2 9

14. 9 C a p í t u l o
Á lg ebra
(continuación)
Se simplifica cada uno de los sumandos a l máximo:
- ( 4 + ( 0 * ) h 2 y 4 * r 3(2)3+
- m
i - I 1 - 2 1 - ^ 5 _2
= x 2 + x 2 - - x 2 + - x 2 - - x 2 + ...
2 2 8
Por último, se convierten los exponentes negativos a positivos y se obtiene el desarrollo:
1 1 1
2 x 2 l x 2 %x2
= x 2 + — ------- r + — ------ =-+...
EJE IC IC IO 9 5
Desarrolla tos siguientes binomios:
i. ( 3 - 2 * r 5. ( ^ - l ) 6
9 ( H J
13. ( at- 1 ) " 4
z ( i + , r 6. ( 2 - , ) ' 10. (a:3 + 5 y 3)3
i
14. ( 3 a + 1 ) ’
3. ( x - 2 y f 7. p + f ' f .1 . ( * - l ) -
4
15. ( at+ 2 ) '
* M f , í f - . r 12. ( 2 at—1) ~3 16. ( at- 2 ) ' 4'
V s riflea tu s resu ltad os e n la se c d ó n d e soluciones c o rre s p o n d ie n te --------------
Cálculo del hésimo término
fó ra determ inar e l i-ésim o térm ino del binom io (a + b)R, se utiliza la siguiente fórmula:
i-ésimo
0 * -l)!
EJEM PLOS
1 • • C alcula e l cuarto térm ino de (2j»r+ 3) .
.1. Solución
U J
E n este caso i = 4, por tanto, en el numerador sólo habrá tres factores numéricos:
4o. térm ino = ^ ^ 1 ( 2 * ) ^ ( 3 ) ^ = | | M ( Z t)I (3 )5= I0 (4 a» )(2 7 ) = 1 080.r:
Entonces, el cuarto térm ino del binom io (2 * + 3)s es: 1 080a:2
2 3 0

15. C a p í t u l o 9
Potenciodón
2 • • E tterm ina el sexto térm ino de ( - t+ l) 2.
Solución
Para encontrar e l sexto térm ino se tom a en cuenta que i = 6 y, por tanto, sólo se tienen cinco térm inos en e l numerador,
luego:
S ex to térm in o = í r í ^ R ~ 3h ^ l {x^ {lr =J - X~ h r =
2 5 6 a: 2
Por tanto, el sexto térm ino del binom io (-*+ 1)2 es: T
2 5 6 a: 2
E JE R C IC IO 9 6
Determina el término que se indica en cada uno de b s siguientes ejercidos:
1. Tercer térm ino de (3a:+ 5 )7 5. Octavo térm ino de (3a: - 5 ) 10
2. Q uinto térm ino de 6. Sexto térm ino de ( x - 2 ) " 4
3. C uarto térm ino de (4 x y - 7 )6 7. Q uinto térm ino de ( a :- l)"‘
1 1
4 . Sexto térm ino de ( 8a:+ l)S 8. Cuarto térm ino de (4a:+ 9)5
M irifica tu s resu ltad o s a n la sección d a solucionas co rresp o n d ian ta
Triángulo de Pascal
Al desarrollar el binom io (a + b)", los elem entos tienen com o coeficientes:
, n ( / i - l ) w ( n - l ) ( n - 2 )
1,* ,----------------- j -----L etcaera.
Específicamente:
(a + b )° = 1
(a + b )1= a + b
(a + b )2 = a 2 + 2ab + b2
(a + b)3 = a 3 + 3><?b + 3 ab2 + b3
y así sucesivamente.
E l triángulo de Pascal se forma con los coefidentes de los elementos al elevar un binomio a una potenda n con n e Z
Entonces se tom an los coeficientes de los términos:
(a + b f 1
(a + b)1 1 1
(a + b)2 1 2 1
(a + b)3 1 3 3 1
(a + b)* 1 4 6 4 1
2 3 1

16. 9 C a p í t u l o
ÁLGEBRA
A hora bien, los extremos de cada potencia siem pre son la unidad y los siguientes números de cada potencia se
obtienen al sum ar dos a dos los dígitos que se tienen en e l renglón inmediato superior.
EJEM PLOS
1 • ® Halla los coeficientes de (a + b f .
.1 . Solución
iu
A este binomio le antecede (<a + b)*, cuyos coeficientes son:
(a + b)* 1 4 6 4 1
luego se coloca la unidad a los extremos y se sum an dos a dos de la siguiente forma:
1 1 + 4 4 + 6 6 + 4 4 + 1 1
Finalmente, los coeficientes son:
( a + b)s 1 5 10 10 5 1
2 •• Desarrolla e l siguiente binomio (3* - 2y)4.
Solución
A l tom ar los números del triángulo en la fila de un binom io con potencia 4, se tiene:
(3x - 2y)4= l(3x)4 + 4(3x)3( - 2y) + 6 ( 3 x )- 2y)2 + 4(3*)(- 2y)3 + 1 (- 2y)4
= (8Ur4) + 4(27A - 2y ) + 6(9*W ) + 4(3*)(- Sy3) + (16y4)
= 81* - 2 1 6 ^ y + 21 6 * V - 96*y3 + 16y4
3 • • Desarrolla e l siguiente binomio (x 2 +2y)6.
Solución
Se utilizan los coeficientes para la potencia 6 y se obtiene:
(x2 + 2 y f =
= l ( / ) ‘ + 6fx2f(2 y ) + 1 + 2 0 ( /) 5(2y)3+ 1 5 (/)!(2y)4+ 6 ( /) < 2 /5+ 1(2y f
= (*“ ) + (*x'°)(2y) + 1 5 ( /) ( 4 /) + 2 0 C /X 8 /) + 1 5 (/)( 1 6 /) + 6(^K 32ys) + (6 4 /)
= x a + 1 2 /°y + 6 0 / / + 1 6 0 / / + 2 4 0 / / + 1 9 2 / / + 6 4 /
EJE ÍC IC IO 9 7
Desarrolla tos siguientes binomios con el triángulo d e Pascal:
1. (2 x+ l)4 4. (1 - x ) 6 7. (x2 + 5y)6 10.
( H
2. (3 - 2y)7 5. (5m - 2rif
‘■ ( M í
11. ( r - 1 ) 12
3. (r + 1)8 6. (a + 2b)* 9. (x + y - 2 f 12.
m i
Verifica tu s resulta dos en la se cd ó n d a solucionas c o rres po n d ie n te
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