El algebra de funciones y su función inversa...

1. UNIVERSIDAD SAN MARTIN DE PORRES
FACULTAD DE MEDICINA HUMANA
ALGEBRA DE FUNCIONES Y
FUNCION INVERSA
MATEMATICA APLICADA A LA
MEDICINA
2015

2. TRANSFORMACION DE FUNCIONES
Desplazamiento Horizontal:
Sea f(x) = 𝑥
Si: c > 0 ;
y= f(x – c) y=
f(x+c)
c - c
Desplazamiento Desplazamiento
hacia la derecha hacia la izquierda

3. TRANSFORMACION DE FUNCIONES
Desplazamiento Vertical:
Si: c > 0;
y = f(x) + c y = f(x) - c
c
- c
Desplazamiento Desplazamiento
vertical hacia arriba vertical hacia
abajo

4. TRANSFORMACIÓN DE FUNCIONES
Hallar el dominio, rango y el grafico de la siguiente
función.
f(x)= 𝑥 − 3 + 2
Desplazamiento horizontal: x – 3 = 0; x = 3
Desplazamiento vertical: + 2
2
3

5. EJERCICIOS DE APLICACIÓN
Hallar el dominio; rango y grafico de la siguiente función:
g(x) = 𝑥 + 3 2 + 2
Solución.
Desplazamiento horizontal: x + 3 = 0; x = - 3
Desplazamiento Vertical: y = 2
2
- 3
Dg(x) = R
Rg(x) = [ 2; ∞ >

6. ALGEBRA DE FUNCIONES
Si f(x) y g(x) son dos funciones con dominios Df y Dg
donde se cumple que Df Dg
Suma de funciones:
( f + g )(x)= f(x) + g(x)
Diferencia de funciones:
( f – g )(x)= f(x) – g(x)
Multiplicación de funciones:
( f . g )(x) = f(x).g(x)
División de funciones:
- 𝑥 ∈ 𝐷𝑔 /𝑔(𝑥) = 0

7. ALGEBRA DE FUNCIONES
Ejercicios:
1. Dada las funciones : f(x) = {(-1,2),(0,0),(2,4),(3,- 1),(4,3)}
g(x) = {(2,0),(3,4),(4,7),(6,2)}
Hallar: (f + g)(x); (f – g)(x); (f . g)(x) y (f / g )(x)
Solucionario
Primero hallamos los dominios de : Df = {- 1, 0, 2, 3, 4}
Dg = {2, 3, 4, 6} entonces hallamos: Df Dg: { 2, 3, 4}
(f + g)(2)= f(2) + g(2) = 4 + 0 = 4 (2, 4) (f + g)
(f + g)(3)= f(3) + g(3) = -1 + 4 = 3 (3, 3) (f + g)
(f + g)(4)= f(4) + g(4) = 3 + 7 = 10 (4, 10) (f + g)
(f – g)(2) = f(2) – g(2) = 4 – 0 = 0 (2, 0) (f – g )
(f – g)(3) = f(3) – g(3) = -1 – 4 = -5 (2, 0) (f – g )
(f – g)(4)= f(4) – g(4) = 3 – 7 = - 4 (2, 0) (f – g )

8. OPERACIONES CON FUNCIONES
(f . g)(2) = f(2) .g(2) = 4 . 0 = 0 (2, 0) f . G
(f . g)(3) = f(3) .g(3) = - 1 . 4 = -4 (3, - 4) f . g
(f . g)(4) = f(4) .g(4) = 3 . 7 = 21 (4, 21) f . g
Df Dg = { 3,4} – { 2 Dg /( g(2) = 0 )
( 3, -1/4) f/ g
( 4, 3/7) f/ g

9. OPERACIONES CON FUNCIONES
2. Si: y
Hallar : (f + g)(x); (f . g)(x); (f / g)(x)
Solución
Hallamos la intersección de los dominio de f y g.
Df Dg = {[- 3,0 > [0, 4]} { [ - 2, 2] < 2, 5] }
Df Dg = [- 2, 0 > [ 0, 2] < 2, 4]
[
[

10. OPERACIONES CON FUNCIONES
a) Si X [- 2, 2] g(x)=
b) Si X < 2, 5] g(x) = x – 4 = 0 x = 4 x <2,5] –
{4}
D(f/g) = Df Dg – { 4 } = [ - 2, 0 > < 0, 2] < 2, 4>
[

11. OPERACIONES CON FUNCIONES
Dadas las funciones: f(x) = 2x – 3 y g(x) = 1 - 𝑥2
Hallar el dominio y su regla de correspondencia:
ℎ 𝑥 =
𝑓+𝑔
𝑔 𝑥
Solución
Dh = ( Df ∩ Dg ) – { x ∈ g(x) / g(x) = 0 }
= ( R ∩ R ) – { -1 ; 1}
Dh = R – { - 1; 1 }
h(x) =
− 𝑥2 + 2𝑥−2
1−𝑥2
h(x) =
𝑥2− 2𝑥 + 2
𝑥2−1

12. COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
Dadas 2 funciones: f: A B y g: B C
Es decir: f g
A B C
g o f
La composición de g con f, denotada por g o f está definida por:
Regla de correspondencia: g o f = g [ f (x) ]
Donde: Dom(g o f)={x / x ϵ Dom (f)^ f(x) ϵ Dom (g)}
A f B g C
Df Rf Dg Rg
x f(x) g(f(x))
Dgof g o f Rgof

13. COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
Su regla de correspondencia es: g o f = g [ f(x) ],
donde según el gráfico se puede apreciar:
Dom (g o f) Dom (f) A
Rang (g o f) Rang (g) C
Rang (f)  Dom (g) ≠ ɸ
EJEMPLO
Entonces: Si: 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 2 y 𝑔 𝑥 = 2𝑥 + 1; hallar la regla
de correspondencia de f(g(x)) y g(f(x)).
f(g(x))= f( 2x+1) = 2𝑥 + 1 2
+ 2 = 4𝑥2
+ 4𝑥 + 3
g(f(x))= g(𝑥2 + 2)= 2(𝑥2 + 2) + 1= 2𝑥2 + 5




14. ¿CUÁL ES EL DOMINIO DE G O F?
Dom (g o f) =
1 Dom(f) f(1) = b Dom (g)
2 Dom(f) f(2) = d Dom (g)
3 Dom(f) f(3) = a Dom (g)
4 Dom(f) f(4) = d Dom (g)
Dom (g o f) = {2, 3, 4}

15. ¿CUÁL ES EL RANGO DE G O F ?
(gof)(x) = g(f(x))
(gof)(2) = g(f(2)) = g(d) = 6 (2, 6 gof
(gof)(3) = g(f(3)) = g(a) = 4 (3, 4) gof
(gof)(4) = g(f(4)) = g(d) = 6 (4, 6) gof
gof = { (2, 6) , (3, 4) , (4, 6) }
Ran (g o f) = { 4, 6 }

16. COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
Si f(x) = 2x + 3 , x [ -2, 5] ; g(x) = ; x [-3, 7]
Hallar : (g o f)(x) y dominio de g o f.
(g o f)(x) = g(f(x)) = g(2x + 3) =
(g o f)(x) = x + 2
Dominio g o f: x [-2, 5] ^ f(x) = 2x + 3 [-3, 7]
x [-2, 5] ^ -3 ≤ 2x + 3 ≤ 7
- 6 ≤ 2x ≤ 4
- 3 ≤ x ≤ 2
[-2, 5]  [-3, 2] = [-2, 2]
Dom (g o f) = [-2, 2]
2
1x
2
132 x

17. COMPOSICION DE FUNCIONES
2. Dadas las funciones : f(x) = 3x – 2 , si x < 0, > ; g(x)=
;
si: x < - 3, 5 > . Hallar fog y gof .
Solución
Hallamos el D(fog) = { x Dg /x Dg g(x) Df }
x <-3, 5> g(x) < 0, > entonces
x <- 3, 5 > < 0, > = < 0; 5 >
Calculamos la regla de correspondencia de fog:
(fog)(x)= f(g(x)) = f( ) = 3 - 2 para x < 0, 5>
Hacer lo mismo para gof :
D(gof) x < 0, 7/3 >
Regla de correspondencia: gof(x)= 9 - 12x + 4.
∩

18. COMPOSICION DE FUNCIONES
Dada las funciones f(x) = 3x – 4 y f(g(x)) = 6x + 5. Hallar la
regla de correspondencia de la función g(x).
Solución
Sea: f(x)= 3x – 4
Entonces: f(g(x)) = 3g(x) – 4
6x + 5 = 3g(x) – 4
6x + 9 = 3g(x)
2x + 3 = g(x)

19. RESOLVER
Si f(x) = 2x2 – 3x + 1 y g(x) = {(-1, 2), (0, -1), (1, 3), (2, 0)}
Determinar:
a) (f2 – 3g)(-1) b) (2f + 3g2)(0) c) (f o g)(2)
SOLUCIÓN:
a) (f2 – 3g)(-1) = f2 (-1) – 3g(-1) = [f(-1)]2 – 3(2) = 36 – 6 = 30
b) (2f + 3g2 )(0) = 2f(0) + 3[g(0)]2 = 2(1) + 3(-1)2 = 2 + 3 = 5
c) (f o g)(2) = f(g(2)) = f(0) = 1

20. TIPOS DE FUNCIONES
1) Función Inyectiva
Si f: A B; f es inyectiva si x1 , x2 A debe cumplir que si:
f(x1) = f(x2) en B. Entonces x1 = x2
Gráficamente una función es inyectiva
si es cortada por una recta horizontal f
a lo más en un punto.
2) Función Sobreyectiva o Sobre
Si f: A B ; f es suryectiva si el
Rang (f) = B
3) Función Biyectiva
Si f: A B ; f es biyectiva, si es inyectiva y suryectiva, a la
vez.
B

21. ¿CUÁL ES FUNCIÓN NO INYECTIVA?
A
B
C
D
M
N
p
f
A
B
C
D
M
N
P
Q
g

22. EJERCICIOS DE FUNCIONES INYECTIVAS
1) Probar que la funcion f(x)= 2x + 5, es inyectiva:
Solución
f(x1) = 2x1 + 5 f(x2) = 2x2 + 5
entonces : f(x1) = f(x2)
2x1 + 5 = 2x2 + 5
donde: x1 = x2 ; es inyectiva
2) Probar que la funcion : ; es inyectiva:
Solución:
; es inyectiva.

23. FUNCION INVERSA
Dada la funcion f(x)={(x , f(x))/x Df } con dominio Df y
rango Rf . Si “ f (x)” es inyectiva, entonces posee inversa.
Notación: denota la inversa de f .
; donde : y
Ejemplo:
Consideremos la funcion: f = {( a, 1),(b, 2),(c, 3),(d, 4),(e,
5)}
funcion inyectiva por lo tanto tiene inversa.
Df f Rf
D = { 1, 2, 3, 4, 5 }
R = { a, b, c, d, e }
=
{(1,a),(2,b),(3,c),(4,d),(5,d)}
a
b
c
d
e
1
2
3
4
5

24. GRAFICO DE LA FUNCION INVERSA
Gráficamente f y f -1 son simétricas con respecto al eje de
simetría y = x

25. ¿CÓMO SE HALLA UNA FUNCIÓN INVERSA?
Si f = { (x, y) R2 / 2x – 3y = 6 } Hallar la regla de
correspondencia de f y f -1 y graficarlo.
f : 2x – 3y = 6 f -1:
1. Demostrar que f es
inyectiva:
f(x1) = f(x2) x1 = x2
Si: x = 0 y = - 2
y = 0 x = 3
2. Despejamos:
Cambiamos la variable x
por y
e y por x
Si : x = 0 f -1 (0) = 3
f -1 (x) = 0 x = - 2
3
62 

x
y
2
36
)(1 x
yxf


2121
21
6262
3
62
3
62
xxxx
xx




2
36 y
x



26. GRÁFICA DE F Y F -1
y
x
y = x
f
f -1
3
-2
-2
3

27. FUNCION INVERSA
2. Hallar la inversa de la funcion: f(x)= 2x – 7 , x < - 3 ; 6 ]
Solución
1ro Demostramos que la funcion es inyectiva:
2x1 – 7 = 2x2 – 7 x1 = x2 ; la funcion es
inyectiva.
2do. Se despeja “x” de la ecuación: < - 3; 6]
3ro. Se permuta “x” por “y” :
, x < - 13; 5]
ojo: f
<- 3,6] < -13, 5]
− 13 < 𝑦 ≤ 5

28. FUNCION INVERSA
OBSERVACION: En el problema anterior la inversa se
puede obtener resolviendo la ecuación: f( (x) )= x
Entonces: f( (x) ) = 2 (x) - 7 = x
(x) =
2. Hallar la inversa de la funcion: f(x)= - 2
Solución: es inyectiva
f( (x) )= x , D (x) = R
3. Hallar la inversa de la funcion:
f( (x) ) = x , D (x) = R – { 2/3}

29. FUNCION INVERSA
4. Hallar la inversa de la siguiente funcion:
Solución: Del grafico de la funcion se tiene:
y Si: Rf1 = < - , 1]
1 Si: Rf2 = < 1 , >
- 0,5 1 x Además : son inyectivas y
-0,5 como: Rf1 Rf2 = , entonces f(x) es
inyectiva.
Calculo de la inversa de la funcion:

30. EJERCICIOS DE APLICACION
1. Calcular: (f+g),(f-g),(f.g) y (f/g) de las funciones:
y
2. Si: f(x) = 2x² +1 para x є <-2, 20>;
g(x)= 2x +3 para x є < 6, ∞>
Hallar el dominio, rango y regla de
correspondencia de fog(x).
3. Hallar la función inversa de: f(x)=x²+4x-1,
si
x є <-4,-3>
30