Uso de ecuacioines de cinematica

1. Ecuaciones básicas de
cinemática Parte I
Practica en grupos de
trabajo
2016

2. Desplazamiento
 El desplazamiento es el cambio de posición de una
partícula.Matemáticamente esto se expresa así:
 ¿Cual es el desplazamiento de un objeto que se desplaza
desde una posición de x1 = 5m a una posición de x2 = 25m ?
2

3. Desplazamiento
 Supongamos que un chofer de autos maneja su auto por una carretera recta.
Para analizar este movimiento ,debemos utilizar un sistema de coordenadas
para analizar la posición del auto.
 Entonces tomamos el eje x a lo largo de la trayectoria recta del auto,con el
origen O en la línea de salida.
 Una forma describir el movimiento es representarlo como una partícula y
decir que el cambio de posición del carro o de la partícula ocurrió en un
intervalo de tiempo determinado.
 Suponiendo que el auto parte del reposo y su frente esta en el punto P1, a 5m
del origen ,y 3s más tarde está en P2, a 100m del origen.
 El desplazamiento es un vector que apunta de P1 a P2 .
 Entones la componenete x del desplazamiento del auto es el cambio del
valor de x (100m-5m)=95m ,que hubo en un intervalo de tiempo de (3s-
0s)=3s ,tal como se muestra en la siguientes figura.
3

4.  Entonces tomando en consideración el movimiento del auto , la velocidad
media se define como una cantidad vectorial cuya magnitud es igual al
cambio de posición dividido entre el intervalo de tiempo de manera que si
el cambio de posición es 95m y el intervalo de tiempo es de 3s ,entonces la
velocidad media es (95m/3s)=31.67m/s .Matemáticamente la velocidad
media se expresa así:
 ¿Cuál es la velocidad media de una partícula que se desplaza de una
posición x1 = 3m en un tiempo t1 = 0s, a una posición de x2 = 13m en un
tiempo de t2 = 2s?
Solución:
Calculamos el desplazamiento que es (13m-3m)=10m,luego calculamos el
lapso de tiempo en que se hizo este desplazamiento que es t2-t1 = 2s-0s =
2s, por tanto la velocidad media es :
4
Velocidad Media

5.  La figura siguiente muestra el proceso geometrico de
la velocidad media , la gráfica es una representación
de la posición en función del tiempo ,es decir una
gráfica x-t.
 La curva de la figura no representa la trayectoria de
una partícula u objeto ;ya que la trayectoria es una
línea recta como se puede ver en la figura donde
aparece un carro en movimiento .
 Entonces la gráfica es una manera de representar
cómo cambia la posición de la partícula u objecto con
el tiempo ,los puntos representados por P1 y
P2 corresponden a la trayectotia que sigue la partícula
u objecto.La línea P1P2 es la hipotenusa del triángulo
que se forma en la siguiente figura en donde los
catetos de este triángulo son:
5
Velocidad media

6.  Como se pudo ver la velocidad media de una partícula en un lapso de tiempo
no nos da información sobre que rapidez y en qué dirección se estaba
moviendo la partícula en un instante determinado de un intervalo de tiempo .
 Por tanto para describir el movimiento más detalladamente necesitamos
definir la velocidad en cualquier instante o punto especifico de una
trayectoria determinada.
 Esta velocidad es la velocidad instantánea.
La velocidad instantánea es el límite de la velocidad media en dónde el
intervalo de tiempo tiende a cero, y es igual a la tasa instantánea de cambio
de posición con el tiempo.
Matemáticamente esto se expresa así:
6
Velocidad instantánea

7.  En dónde siempre tomamos Δt como positivo ,entonces
si Δx es positivo la velocidad instantánea es positiva , si Δx
es negatitivo la velocidad instantánea es negativa.
La velocidad instantánea al igual que la velocidad media
también es un vector , la ecuación anterior define la
componente x de la velocidad instantánea y puede ser
positiva o negativa.En lo que concierne al movimiento
rectilíneo las demás componenetes (y) y (z) son cero,
entonces la velocidad instantánea definiendo el eje x cómo
el eje de acción es: Vx
7
Velocidad instantánea

8. Rapidez:
 Es la magnitud del vector velocidad .
Como se puede observar la diferencia que existe entre la velocidad y la
rapidez es que la rapidez es una cantidad escalar mientras
la velocidad es una cantidad vectorial
Ejemplo: Si una partícula se mueve según la función de desplazamiento
 ¿Cuál es la velocidad instantánea en t=0s ,t=1s,t=2s ?
Solución: Tomamos la primera derivada
que corresponde a la velocidad instantánea
de la función desplazamiento de la partícula.
.
8

9. Rapidez:
 Ahora evaluamos la función de velocidad instantánea resultante
en t=0s , t=1s , t=2s .
 Cómo se puede ver la velocidad instantánea en los diferentes instantes
es 0m/s , 6m/s , 24m/s
9

10.  La aceleración se define cómo el ritmo al que cambia la velocidad de una
partícula u objeto con el tiempo.
 De manera que cómo la velocidad es la tasa de cambio de la posición en el
tiempo
 .La aceleración es la tasa de cambio de la velocidad en el tiempo.
Si observamos una partícula que se mueve en el eje x.
 Suponiendo que ,en el tiempo t1 ,la partícula está en el punto P1 y tiene una
componente x de la velocidad instantánea y en un instante más tarde t2 está
en P2 y tiene otra componente x de la velocidad instantánea , este cambio de
velocidad instantánea se expresa así:
 Este cambio de velocidad se dá en un intervalo de tiempo que se expresa así:
 De manera que la aceleración media en
el eje x se expresa matemáticamente así: 10
Aceleración media

11.  Ejemplo:
¿Cuál es la aceleración media de una partícula que se mueve a
lo largo del eje x, que en t1=2s tiene una velocidad instantánea
de 2m/s y en t2=4s tiene una velocidad instantánea de 12m/s?
Solución:
Sacamos los datos del problema luego los sustituimos
en la formula de aceleración media.
 Ahora sustituimos cada dato en la ecuación de la
aceleración media
11
Aceleración media

12.  La aceleración instantánea se define siguiendo el camino que se siguió
para definir la velocidad instantánea.
 Como se puede ver en la figura anterior para definir la aceleración en
el punto P1 ,acercamos el punto P2 cada vez más al punto P1 de modo
que la aceleración media se puede medir en intervalos de tiempo cada
vez menores.
La aceleración instantánea es el límite de la aceleración media en
dónde el intervalo de tiempo tiende a cero.En el mundo del cálculo la
aceleración instantánea es la tasa instantánea de cambio de la
velocidad con el tiempo. Matemáticamente esto se expresa así:
efg 12
Aceleración instantánea

13.  Ejemplo:
Un auto experimenta una velocidad dada por la siguiente función
 ¿Cuál es la aceleración instantánea
en t1=1s , t2=2s , t3=3s ?
Solución:
Obtenemos la primera derivada
de la función velocidad .
 Una vez obtenida la derivada de la velocidad instantánea que es igual a la
aceleración instantánea , evaluamos la misma en los tiempos dados de esta
manera obtenemos la aceleración
instantánea.
13
Aceleración
instantánea

14. Este es uno de los tipos de movimiento más fácil de analizar.
En este caso del movimiento rectilíneo , la velocidad cambia a un ritmo o tasa
constante todo el tiempo.
Este movimiento rectilíneo con aceleración constante es un caso muy especial
, pero que suele darse en la naturaleza , como veremos más adelante un
cuerpo que cae libremente tiene aceleración constante si los efectos del aire
son aproximadamente nulos . Esto también puede suceder con un cuerpo que
se desliza por una pendiente o línea horizontal sin fricción .
En el mundo tecnologico un avión que despega de un portaviones se le debe
imprimir cierta aceleración para que pueda despegar del portaviones sin caer
al mar.
Como se puede observar si la aceleración es constante la
gráfica a-trepresenta una línea horizontal.
14
Movimiento con Aceleración
constante

15.  Para deducir una expresión matemática para la velocidad en el movimiento
con aceleración constante , para esto usamos nueva vez la formula para
aceleración media.
 Ahora procedemos a sustituir cada término de la
formula por sus nuevos valores para el caso en 
que el cuerpo experimenta aceleración constante.
 Luego procedemos a sustituir cada valor en la formula de la aceleración
media de esta manera tenemos que:
 Ahora procedemos a despejar la velocidad final para esto primero
multiplicamos ambos miembros de la ecuación anterior por (t) .
Entonces la expresión anterior nos queda así .
Y finalmente despejamos la velocidad final pasando la velocidad inicial al
miembro derecho de la ecuación con su signo cambiado.
15

16.  Como se puede ver la formula deducida representa la velocidad final de un
cuerpo que experimenta aceleración constante , la velocidad en el
movimiento con aceleración constante se representa
graficamente con una línea recta que parte d
el origen P si la velocidad inicial es cero
en caso contrario parte de un punto diferente
del origen P .
Ahora deduciremos una expresión que nos permita obtener r la posición de
un cuerpo utilizando aceleración constante.
Para ello tomaremos las formula para la aceleración media.
Sustituimos cada una de las variables por su nuevos valores.

16

17.  También tomamos el promedio de la velocidad inicial y final que sólo se
cumple en el caso de movimiento
rectilíneo con aceleración constante
 Ahora sustuimos la velocidad final en la formula anterior para obtener.
 Luego igualamos las dos expresiones para
la velocidad media.
Ahora multiplicamos por (t) ambos
miembros de la igualdad.
 Ahora despejamos la posición final simplemente pasando al miembro
derecho de la expresión la variable que representa la posición inicial.
17

18.  De manera que la formula u expresión anterior
representa la posición final de una partícula que
experimenta movimiento rectlíneo con
aceleración constante.
La posición en el movimiento con aceleración
constante se representa graficamente con una
parábola que parte del origen P si la posición
inicial es cero en caso contrario parte de un
punto diferente del origen P .
18
 Para verificar que la velocidad es la derivada de la
posición y que ambas expresiones son congruentes
les invitamos a obtener la derivada de la posición y
así obtener que :
 La formula que nos permite calcular la posición cuándo desconocemos la
aceleración se deduce de las 2 ecuaciones de velocidad media
es

19. Ecuaciones del movimiento con aceleración
constante.
 Como se ha podido observar las ecuaciones que nos permiten resolver
cualquier problema de cinemática que se relacione con el movimiento
rectilíneo de una partícula con aceleración constante son las siguientes :
19

20. Ejemplo
 Una partícula se encuentra a una distancia de 6m de un
punto de referencia en t=0s, la aceleración de la
partícula es constante e igual 3m/s2 ,y se mueve a una
velocidad de 14m/s al este .
 a) Calcular la posición y velocidad de la partícula en
t=3s .
 b) ¿Dónde está la partícula cuando su velocidad es
30m/s ?.
 c) ¿En qué instante la velocidad de la partícula es de
30m/s ?.
20

21. Solución:
 Como el problema nos establece que la aceleración es constante usaremos
las fórmulas para aceleración constante que nos permitan resolver este
problema.
Primero extraemos los datos y las variables metas para la parte (a) del
problema.
 Ahora para obtener la posición de la
partícula en t=3s usaremos la fórmula
 Ahora hallaremos la velocidad final en
t=3s usando la fórmula que relaciona
la velocidad final con el tiempo , velocidad inicial y aceleración
 Para contestar la parte (b) y (c) del problema utilizamos los siguientes datos
21

22. Solución:
 Ahora buscamos una fórmula que nos relacione la posición con los datos
anteriores , luego despejamos la posición y sustituimos los datos anteriores
 
 Sustituyendo los datos obtenemos que :
 Para contestar la parte (c) del problema utilizamos los siguientes datos .
22

23.  Ahora buscamos una fórmula que relacione todo estos datos y luego
despejamos el tiempo en que la velocidad es 30m/s .
Una vez hecho esto sustituimos los datos que se nos dan .
23

24. Resolución de problemas de
cinematica
 "Solución" para obtener la posición final .
Posición inicial, Velocidad inicial, Aceleración, Tiempo
Posición final
24

25. El movimiento en caída libre
 El movimiento en caída libre como el título así lo indica es cuando un
objeto o cuerpo cae libremente bajo la influencia de la atracción
gravitacional de la tierra ,Tal como se muestra en la figura de la
izquierda .
 Este tipo de movimiento vertical ha capturado la atención de filósofos y
científicos desde tiempos antiguos .
 De tal manera que en el siglo IV a.C, Aristósteles afirmaba de manera
equivocada que los cuerpos pesados caen más rapido que los cuerpos
menos pesados o más ligero , de manera proporcional al peso .
 Pasados 19 siglos , el científico Galileo afirmó que los cuerpos caen con
una misma aceleración constante independientemente del peso del
objeto .Se dice que Galileo hacía pruebas en la torre de Pisa de Francia ,
dejando caer objetos .
 Desde aquel tiempo se viene estudiando el movimiento de los cuerpos
en caída libre con mucha mayor exactitud
25

26. El movimiento en caida libre
 Como ya se ha podido demostrar Galileo estaba en lo correcto si se
ignora los efectos del aire , todo cuerpo cae con la misma aceleración
, sin importat su peso siempre y cuando la distancia de caida de el
cuerpo sea muy pequeña en comparación con el radio terrestre .
 Como se puede ver el movimiento en caida libre se puede analizar de
manera idealizada ya que todos los cuerpos en caida libre
experimenta cierta resistencia del aire que hace que la aceleración
pueda variar en ocasiones y no ser constante .
Si medimos la velocidad de un cuerpo en caida libre en diferente
instante , siendo la diferencia de estos instantes o tiempos iguales se
demuestra que el cambio de velocidad dividido entre la diferencia de
estos instantes o intervalos de tiempo el valor que se obtiene es
constante , por tanto la aceleración del cuerpo en caida libre es
constante y se conoce como aceleración de la gravedad ,
y es representada por la letra "g" , siendo su valor
aproximado de :
 Ejemplo la aceleración de la gravedad en la superficie de la luna es
aproximadamente 1.6m/s2 . 26

27. Analizar un problema de movimiento
en caída libre
 Para analizar un problema de movimiento en caida libre utilizamos las
mismas ecuaciones o fórmule que se utilizan para aceleración
constante ya que la aceleración de la graveada es constante , pero si
queremos indicar que el objeto o cuerpo se mueve hacia abajo
debemos tomar la aceleración , la velocidad inicial y posición inicial
como negativa .
 Ahora bien si el movimiento del objeto o partícula es hacia arriba
tomamos la aceleración de la gravedad como negativa y la velocidad y
posición como positiva .
 De manera que el signo negaitivo de la aceleración nos indica que esta
siempre actúa hacia abajo sin importar la dirección del movimiento del
objeto .
27

28. Analizar un problema de movimiento
en caida libre
 Ejemplo. Un objeto se deja caer desde una edificio , si el objeto parte desde
el reposo .¿Cuál será su posición y velocidad después de t=2s , t=3s ?
Solución:
Primero sustituimos las fórmulas para la posicón y velocidad en el eje x por
el eje y , entonces la aceleración la sustituimos por la aceleración de la
gravedad.
 Ahora encontramos la posición y la velocidad en t=2s ,sustituyendo este
valor en las expresiones encontradas.

Ahora encontramos la posición y velocidad en t=3s .
28

29. Ejemplo 2:
 Un pitcher lanza una bola de baseball directamente hacia arriba con una
velocidad inicial de 10m/s .
a) ¿Qué altura máxima alcanza la bola?
b) ¿En cuánto tiempo alcanza esta altura?
c) ¿Qué velocidad tiene la bola en t = 1.5s ?
Solución:
Para resolver la parte a) del problema buscamos una de la fórmulas de
aceleración constante que relacione la velocidad final , la velocidad inicial y
la altura .
 Luego sustituimos los datos en la fórmula
anterior.
 Ahora procedemos a despejar la altura .
  
 Para resolver la parte b) del problema una vez más buscamos una fórmula
que relacione la velocidad final que es cero cuándo la bola alcanza su
máxima altura , la velocidad inicial y el tiempo y luego sustituimos los datos
correspondientes 
29

30. Ejemplo 2:
 Para resolver la parte b) del problema una vez más buscamos una fórmula
que relacione la velocidad final que es cero cuándo la bola alcanza su
máxima altura , la velocidad inicial y el tiempo y luego sustituimos los datos
correspondientes 
 Ahora procedemos a despejar el tiempo
 
 Ahora vamos a resolver la parte c) del
problema sustituyendo los datos que se nos dan
en una expresión que relacione la velocidad
final , la velocidad inicial y el tiempo .
 Como se puede ver la velocidad en un tiempo igual 1.5s tiene un signo
negativo , lo que nos da ha entender que la bola se está moviendo hacia abajo
con una magnitud de velocidad igual a 4.7m/s .. 30

31. Ecuaciones básicas de cinemática
31

32. Ecuaciones básicas de cinemática
32

33. Ecuaciones cinemáticas para Caída
Libre
33

34. Ejemplos de MRU y MRUA
 EJEMPLO 1
Un auto de fórmula1, recorre la recta de un circuito, con velocidad constante. En el
tiempo t1 = 0,5 s y t2 = 1,5 s, sus posiciones en la recta son x1 = 3,5 m y x2 = 43,5 m.
Calcular: a) ¿A qué velocidad se desplaza el auto?.
b) ¿En qué punto de la recta se encontraría a los 3 s?.
Desarrollo Datos: t1 = 0,5 s x1 = 3,5 m
t2 = 1,5 s x2 = 43,5 m
a) Δv = (43,5 m - 3,5 m)/(1,5 s - 0,5 s) Δv = 40 m/s Δv = 40 m/s
b) Para t3 = 3 s se debe tener en cuenta que la velocidad es constante a partir de t1.
Por lo tanto:
Δt = t3 - t1 ⇒ Δt = 3,0 s - 0,5 s ⇒ Δt = 2,5 s
v = Δx/Δt ⇒ Δx = v.ΔtΔx = (40 m/s).2,5 s ⇒ Δx = 100 m
Entonces: x3 = Δx + x1 ⇒ x3 = 100 m + 3,5 m x = 103,5 m
34

35. Ejemplos de MRU y MRUA
 EJEMPLO 2
Un móvil viaja en línea recta con una velocidad media de 1.200 cm/s durante 9 s, y
luego con velocidad media de 480 cm/s durante 7 s, siendo ambas velocidades del
mismo sentido:
a) ¿cuál es el desplazamiento total en el viaje de 16 s?.
b) ¿cuál es la velocidad media del viaje completo?.
Desarrollo Datos: v1 = 1.200 cm/s t1 = 9 s v2 = 480 cm/s t2 = 7 s
a) El desplazamiento es: x = v.t
Para cada lapso de tiempo: x1 = (1200 cm/s).9s x1 = 10800 cm
x2 = (480 cm/s).7 s x2 = 3360 cm
El desplazamiento total es: Xt = X1 + x2 Xt = 10800 cm + 3360 cm
Xt = 14160 cm = 141,6 m
b) Como el tiempo total es: tt = t1 + t2 = 9 s + 7 s = 16 s
Con el desplazamiento total recien calculado aplicamos: Δv = xt/tt Δv = 141,6
m/16 s Δ v = 8,85 m/s
35

36. Ejemplos de MRU y MRUA
 Resolver el problema
Un móvil viaja en línea recta con una velocidad media de 1.200 cm/s
durante 9 s, y luego con velocidad media de 480 cm/s durante 7 s,
suponiendo que las velocidades son de distinto :
a) ¿cuál es el desplazamiento total en el viaje de 16 s?.
b) ¿cuál es la velocidad media del viaje completo?.
Desarrollo
a) Si son de distinto sentido:
Xt = X1 - x2 Xt = 10800 cm - 3360 cm Xt = 7440 cm =
74,4 m
b) Δv = xt/tt Δv = 74,4 m/16 s Δ v = 4,65 m/s
36

37. Ejemplos de MRU y MRUA
EJEMPLO 3
Un cohete parte del reposo con aceleración constante y logra alcanzar en 30
s una velocidad de 588 m/s. Calcular:
a) Aceleración. b) ¿Qué espacio recorrió en esos 30 s?.
Desarrollo Datos: v0 = 0 m/s vf = 588 m/s t = 30 s
Ecuaciones: (1) vf = v0 + a.t (2) x = v0.t + a.t²/2
a) De la ecuación (1): vf = v0 + a.t vf = a.t a = vf/t a = (588 m/s)/(30 s)
a = 19,6 m/s²
b) De la ecuación (2): x = v0.t + a.t²/2 x = a.t²/2 x = (19,6 m/s²).(30 s)²/2
x = 8820 m
Resolver
¿Cuánto tiempo tardará un móvil en alcanzar una velocidad de 60 km/h, si
parte del reposo acelerando constantemente con una aceleración de 20 km/h²?
Desarrollo Datos: v0 = 0 km/h vf = 60 km/h a = 20 km/h²
Aplicando: vf = v0 + a.t vf = a.t t =vf/a t =
(60 km/h)/(20 km/h²) t = 3 h
37

38. Interpretar el grafico
Para la gráfica de la figura, interpretar como
ha variado la velocidad, trazar el diagrama
v = f(t) y hallar la distancia recorrida en
base a ese diagrama.
A partir de la pendiente de cada tramo de recta obtenemos la velocidad.
v AB = Δx AB/Δt AB v AB = (20 m - 0 m)/(10 s - 0 s) v AB = 2 m/s
v BC = Δx BC/Δt BC v BC = (30 m - 20 m)/(30 s - 10 s) v BC = 0,5 m/s
v CD = Δx CD/Δt CD v CD = (30 m - 30 m)/(40 s - 30 s) v CD = 0 m/s
v DE = Δx DE/Δt DE v DE = (10 m - 30 m)/(50 s - 40 s)⇒ v DE = - 2 m/s
Δx AE = xE - xA Δx AE = 10 m - 0 m Δx AE = 10 m
Esto se debe a que el móvil regresa por el mismo
camino.
38

39. Encuentro
Dos puntos a y b están separados por una distancia de 100 m. En un mismo
momento pasan dos móviles, uno desde a hacia b y el otro desde b hacia a,
con M.R.U., de tal manera que uno de ellos tarda 2 s en llegar al punto b y el
otro 1,5 s en llegar al punto a ..
Hallar: a) El punto de encuentro. b) El instante del encuentro.
Desarrollo
Datos: d AB = 100 m t AB = 2 s t BA = 1,5 s
Ecuaciones: v AB = d AB/t AB (1) v BA = d AB/t BA (2)
El gráfico:
a) Para el punto de encuentro: d AB = d AO + d BO (3)
39

40. Solucion
Datos: d AB = 100 m t AB = 2 s t BA = 1,5 s
Ecuaciones: v AB = d AB/t AB (1) v BA = d AB/t BA (2)
: Para el punto de encuentro: d AB = d AO + d BO (3)
Siendo el punto "O" el punto de encuentro.
Como ambos comienzan su movimiento en el mismo instante el tiempo de
encuentro es el mismo para ambos móviles. t AO = t BO = t E
Para el encuentro las (1) y (2) ecuaciones quedan:
v AB = d AO/t E d AB/t AB = d AO/t E v BA = d BO/t E d AB/t BA = d BO/t E
Despejamos (t E) y luego igualamos: t E = t AB.d AO/d AB (4)
t E = t BA.d BO/d AB (5)
40

41. Solucion
Despejamos (t E) y luego igualamos: t E = t AB.d AO/d AB (4)
t E = t BA.d BO/d AB (5)
t AB.d AO/d AB = t BA.d BO/d AB t AB.d AO = t BA.d BO
De la ecuación (3): d AO = d AB - d BO t AB.(d AB - d BO) =
t BA.d BO t AB.d AB - t AB.d BO = t BA.d BO
t AB.d AB = t AB.d BO + t BA.d BO t AB.d AB = (t AB + t BA).d BO
d BO = t AB.d AB/(t AB + t BA)
d BO = (2 s)(100 m)/(2 s + 1,5 s) d BO = 57,14 m (desde el punto B)
ó d AO = 42,86 m (desde el punto A)
b) Empleando la ecuación (4) ó (5): t E = (2 s).(42,86 m)/(100 m)
t E = 0,86 s
Resolver el problema anterior, suponiendo que el primer móvil partió 0,1 s antes
que el otro. Desarrollo Datos: d AB = 100 m t AB = 2 s t BA = 1,5 s
Ecuaciones: v AB = d AB/t AB (1) v BA = d AB/t BA (2) 41

42. Tiro vertical
Se dispara verticalmente hacia arriba un
objeto desde una altura de 60 m y se observa
que emplea 10 s en llegar al suelo.
¿Con que velocidad se lanzo el objeto?
Desarrollo
Datos: h0 = 60 m t = 10 s g = 9,81 m/s².
Ecuaciones: Δy = v0.t + g.t²/2
Solución: La gráfica que representa los vectores velocidad y gravedad es:
Despejamos la velocidad inicial:
Δh = hf - h0 = V0.t + g.t²/2 V0.t = hf - h0 - g.t²/2 V0 = (hf - h0 - g.t²/2)/t
Empleamos los signos correctos para las variables, según la gráfica:
V0 = [0 m - 60 m - (-9,81 m/s²).(10 s)²/2]/(10 s)
V0 = [- 60 m + (9,81 m/s².100 s²)/2]/(10 s)
V0 = (- 60 m + 490,5 m)/(10 s) V0 = (- 60 m + 490,5 m)/(10 s)
V0 = 43,05 m/s 42

43. Tiro vertical
Se lanza verticalmente hacia abajo una piedra de la parte alta de un
edificio de 14 pisos, llega al suelo en 1,5 s, tomando en cuenta que cada piso
mide 2,6 m de altura. Calcular la velocidad inicial de la piedra y la velocidad
al llegar al piso.
Desarrollo Datos:Número de pisos = 14 Altura de cada piso = 2,6 m
t = 1,5 s g = 9,81 m/s²
Ecuaciones: 1) Δh = v0.t + g.t²/2 2) vf = v0 + g.t
Solución: La altura será: Δh = 14.2,6 m Δh = 36,4 m
Despejando v0 de la ecuación (1): Δh = v0.t + g.t²/2 ⇒ v0.t = Δh - g.t²/2
⇒ v0 = (Δh - g.t²/2)/t
v0 = (36,4 m - [(9,81 m/s²).(1,5 s)²]/2)/(1,5 s) v0 = (36,4 m - [(9,81
m/s²).(2,25 s²)]/2)/(1,5 s)
v0 = (36,4 m - (22,0725 m)/2)/(1,5 s) v0 = (36,4 m - 11,03625 m)/(1,5 s)
v0 = (25,36375 m)/(1,5 s) v0 = 16,91 m/s
Luego, empleando la ecuación (2): vf = v0 + g.t vf = 16,91 m/s + (9,81
m/s²).(1,5 s) vf = 16,91 m/s + 14,715 m/s vf = 31,625 m/s 43

44. Ejercicios
resolver en clase
44

45. Ejercicio 1.
1. Un ciclista marcha por una región donde hay muchas subidas y
bajadas
En las cuestas arriba lleva una rapidez constante de 5 km/h y en
las cuestas abajo 20 km/h. Calcular:
a) ¿Cuál es su rapidez media si las subidas y bajadas tienen la
misma longitud?
b) ¿Cuál es su rapidez media si emplea el mismo tiempo en las
subidas que en las bajadas?
c) ¿Cuál es su rapidez media si emplea doble tiempo en las
subidas que en las bajadas?
45

46. Ejercicio 2.
Un auto está parado ante un semáforo.
Después viaja en línea recta y su distancia respecto al semáforo
está dada por x(t) = bt2 - ct3 ,
donde b = 2,40 m/s2 y c = 0,120 m/s3.
a) Calcule la velocidad media del auto entre t = 0 y t = 10,0 s.
b) Calcule la velocidad instantánea en
1) t = 0; 2) t = 5,0 s; 3) t = 10,0 s.
c) ¿Cuánto tiempo después de arrancar vuelve a estar parado el
auto?
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47. Ejercicio 3.
En el momento en que se enciende la luz verde en un semáforo, un
auto arranca con aceleración constante ac =2.5 m /s2 .
En el mismo momento, un camión que lleva una velocidad
constante 10( ) cv = m s alcanza al auto y lo pasa.
a) Construya un gráfico velocidad versus tiempo para dos móviles,
b) ¿a qué distancia del punto de partida, el auto alcanzará al
camión?,
c) ¿qué velocidad llevará el auto en ese momento?
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48. Ejercicio 4.
Se deja caer una piedra desde un globo
que asciende con una velocidad de 3 m/s;
si llega al suelo a los 3 s
Calcular:
a) Altura a que se encontraba el globo
cuando se soltó la piedra.
b) Distancia globo-piedra a los 2 s del
lanzamiento.
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49. Ejercicio 5.
Una maceta con flores cae del borde de una ventana y pasa
frente a la ventana de abajo.
Se puede despreciar la resistencia del aire.
La maceta tarda 0,420 s en pasar por esta ventana, cuya altura
es de 1,90 m.
¿A qué distancia debajo del punto desde el cual cayó la
maceta está el borde superior de la ventana de abajo?
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50. Aceleración en función del
tiempo
 La gráfica de la figura muestra la magnitud de la aceleración de una
partícula que se mueve sobre un eje horizontal dirigido hacia la
derecha, que llama-remos x'x. Sabiendo que cuando t = 1 s, x = 3 cm y
v = − 4.5 cm/s, calcule: a) la posición de la partícula cuando su
velocidad es nula; b) su velocidad cuando t = 3 s y su posición cuando
t = 5 s.
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51. Aceleración en función del
tiempo
 Un tren que parte de la estación A aumenta su velocidad
uniformemente hasta alcanzar los 60 km/h.
 A partir de ese instante comienza a frenar, también uniformemente,
hasta detenerse en la esta-ción B.
 Si el viaje dura veinte minutos, ¿cuánto distan las estaciones A y B? .
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52. Aceleración en función del
velocidad
 La aceleración de un avión que aterriza en una pista a 50
m/s se puede expresar, para un cierto lapso, como a = − 4
(10)−3v2, donde si v está en m/s, a resulta en m/s2.
Determine el tiempo requerido para que el avión reduzca
su velocidad a 20 m/s.
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53. Entregar el trabajo
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