CINEMATICA

CINEMÁTICA
Se denomina así a aquel movimiento que se caracteriza porque su velocidad V permanece constante
en el tiempo. Esto implica que el móvil se mueve en línea recta y su rapidez de movimiento no
cambia en el tiempo.
En este tipo de movimiento el desplazamiento experimentado por el móvil es proporcional al tiempo
transcurrido, lo que equivale a decir que el móvil recorre distancias iguales en tiempos iguales.

MOVIMIENTO
 El movimiento se refiere al cambio de posición de una parte o de la totalidad de
un cuerpo animado o inanimado. Los tipos de movimiento varían según la
naturaleza del objeto que se observa.
 Además, se debe tener siempre en cuenta la trayectoria en relación al tiempo
transcurrido y la posición de referencia inicial.

TRAYECTORIA Y DESPLAZAMIENTO
 El desplazamiento, es el
cambio de posición de un
cuerpo entre dos instantes o
tiempos bien definidos.
 La trayectoria es el recorrido
que describe un objeto que
desplaza por el espacio.

VELOCIDAD
El concepto de velocidad está asociado al cambio de posición de
un cuerpo a lo largo del tiempo. Cuando necesitamos información
sobre la dirección y el sentido del movimiento, así como su
rapidez recurrimos a la velocidad.
La velocidad es una magnitud vectorial y, como tal, se representa
mediante flechas que indican la dirección y sentido del
movimiento que sigue un cuerpo y cuya longitud representa el
valor numérico o módulo de la misma. Depende de el
desplazamiento, es decir, de los puntos inicial y final del
movimiento, y no como la rapidez, que depende directamente de
la trayectoria.
Su unidad de medida en el Sistema Internacional (S.I.) es el metro
por segundo (m/s)

M.R.U.
Movimiento Rectilíneo Uniforme
Un movimiento rectilíneo uniforme (M.R.U.) es aquel que tiene su velocidad constante y su
trayectoria es una línea recta. Esto implica que:
 El espacio recorrido es igual que el desplazamiento.
 En tiempos iguales se recorren distancias iguales.
 La rapidez o celeridad es siempre constante y coincide con el módulo de la velocidad.
 La aceleración es nula
Un ejemplo claro son las puertas correderas de un ascensor, generalmente se abren y cierran en
línea recta y siempre a la misma velocidad.

VELOCIDAD
En los M.R.U. la velocidad del cuerpo es constante y por tanto igual a la velocidad inicial. Su unidad en el
Sistema Internacional (S.I.) es el metro por segundo (m/s).
V = v0 = cte
donde:
•v es la velocidad.
•v0 es la velocidad inicial.
Grafica v – t en MRU

POSICIÓN
Posición hace referencia a la disposición en un objeto en el espacio y el tiempo, representado a través de un
sistema de coordenadas. Su unidad en el Sistema Internacional (S.I.) es el metro (m) y se obtiene por medio
de la siguiente expresión:
x=x0+v⋅t
donde:
x0 es la posición inicial.
v es la velocidad que tiene el cuerpo a lo largo del movimiento.
t es el intervalo de tiempo durante el cual se mueve el cuerpo.

ACELERACIÓN
La aceleración es la variación de la velocidad de un objeto cuando se mueve. Si el objeto en cuestión
mantiene su velocidad de forma constante, entonces no está acelerando, algo que sí hará cuando su
velocidad cambia. La aceleración se mide en metros por segundo al cuadrado
Su unidad en el Sistema Internacional (S.I.) es el metro por segundo al cuadrado (m/s2). Su valor a lo
largo del movimiento siempre es cero

ACELERACIÓN
Para calcular la aceleración se deben tener en cuenta dos
velocidades: la de inicio y la que sucede después de acelerar, y
para eso se utiliza la siguiente fórmula:
a = dV / dt (a = aceleración, dV es la diferencia de velocidades y
dt es el tiempo en que ocurre la aceleración).
Para definir cada variable, usamos las siguientes fórmulas:
dV = Vf – Vi (Vf es velocidad final y Vi es velocidad inicial del
objeto en movimiento).
dt = tf – ti (tf es tiempo final y ti es tiempo inicial.
Recuerda que la aceleración es una variación de la velocidad, por
lo que si el objeto mantiene una velocidad constante en realidad
no está acelerando.

FORMULAS DE M.R.U.
𝐝 = 𝐭 ∗ 𝐯
𝐯 =
𝐝
𝐭
𝐭 =
𝐝
𝐯
Elementos que están involucrados
Distancia (d):
Velocidad (v):
Tiempo (t):
d m km cm
t s h s
v m/s km/h cm/s

 Además tenemos las siguientes formulas:
 Rapidez Media Promedio 𝑉𝑚𝑝 =
𝑑𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
𝑇𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
 Rapidez Media 𝑉𝑚 =
𝑑
𝑇 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
 Tiempo de Alcance; se obtiene a través de la siguiente interpretación
𝑡 𝑎𝑙𝑐 =
𝑑
𝑉1 − 𝑉2
Tiempo de Encuentro;
𝑡 𝑒𝑛𝑐 =
𝑑
𝑉1 + 𝑉2
FORMULAS DE M.R.U.

Ejemplo 1: Un tanque avanza a 5 m/s durante 20 s calcular la distancia
recorrida
Datos:
v=5 m/s
t=20 s
d= ???
Resolviendo
Para hallar la dirección utilizaremos la siguiente fórmula:
d = t ∗ v
Remplazamos con los datos:
d = 20 s ∗ 5
m
s
𝒅 = 𝟏𝟎𝟎 𝒎

Ejemplo 2: Carlos avanza con MRU a 10 m/s. teniendo en cuenta la gráfica
calcular el tiempo que le toma a Carlos para llegar al poste.
Datos:
v=10 m/s
d=200 m
t=????
Resolviendo
Para hallar el tiempo
utilizaremos la siguiente
fórmula:
t =
d
v
t =
200m
10m/s
𝒕 = 𝟐𝟎 𝒔

Ejemplo 3: Un bus avanza con MRU a 72 km/h, determinar el tiempo que avanza
200 m.
Datos:
v=72km/s
t=20 s
d= ???
Resolviendo
Primero realizaremos una
conversión de km/h a m/s:
72km
h
∗
1000𝑚
1𝑘𝑚
∗
1ℎ
3600𝑠
= 𝟐𝟎
𝒎
𝒔
para hallar el tiempo
t =
d
v
t =
200m
20m/s
𝒕 = 𝟏𝟎 𝒔

Ejemplo 4: Mario y Luigi se mueven con MRU y van al encuentro. Calcular el
tiempo que emplea para encontrarse tomando encuentra el grafico
Datos:
vM=10
m/s
vL=5
m/s
d=300m
Resolviendo
Para poder hallar el tiempo de
encuentro utilizaremos la
siguiente fórmula:
t enc =
d
vA + vB
t enc =
300m
10m
s
+
5m
s
t enc =
300m
15m
s
𝒕 𝒆𝒏𝒄 = 𝟐𝟎 𝒔

Ejemplo 5: Una ambulancia persigue a un ciclista si ambos avanzan con MRU,
calcular el tiempo que emplea la ambulancia en alcanzar al ciclista, tomando en
cuenta el grafico.
Datos
V1=12m/s
V2=36km/s
Primero hallaremos la distancia de la
ambulancia utilizaremos la siguiente
fórmula:
𝑑1 = 𝑣1 ∗ 𝑡 𝑑1 = 12 ∗ 𝑡 𝑑1 = 12𝑡
Luego hallaremos la distancia del ciclista:
𝑑2 = 𝑣2 ∗ 𝑡 𝑑2 = 10 ∗ 𝑡 𝑑2 = 10𝑡
Resolviendo
Ahora haremos la conversión de
unidades:
36km
h
∗
1000m
km
∗
1h
3600s
=
𝟏𝟎𝐦
𝐬
Para hallar el tiempo de encuentro
utilizaremos la distancia entre A y B:
20 + 10t =12t
Agrupamos entre términos semejantes
20 = 12t − 10t
20 = 2t
t =
20
2
𝒕 = 𝟏𝟎 𝒔

Ejemplo 6: Los móviles 1 y 2 se desplaza con velocidades de 12 m/s y 8 m/s al
cabo de que tiempo mínimo ambos móviles chocaran del muro Z a partir de las
posiciones indicadas en la figura.
Datos
V1=12m/s
V2=8m/s
Resolviendo
Para hallar d1 y d2 utilizaremos la
siguiente fórmula:
v1 =
d1
t
d1 = v1 ∗ t
d1 = 12t …………….. (1)
v2 =
d2
t
d2 = v2 ∗ t
d2 = 8t ……………….. (2)
Del gráfico:
x = d1 − 50 x = 30 − d2
d1 − 50 = 30 − d2
Agrupamos términos:
d1 + d2 = 30 + 50
d1 + d2 = 80 ………….. (3)
Remplazamos la ecuación 1
y 2 en la ecuación 3:
12𝑡 + 8𝑡 = 80
20𝑡 = 80
𝑡 =
80
20
𝐭 = 𝟒 𝐬
Hallando d1: Hallando
d2:
𝑑1 = 12𝑡 𝑑2 = 8𝑡
𝑑1 = 12 ∗ 4 𝑑2 = 8 ∗ 4
𝐝𝟏 = 𝟒𝟖 𝐦 𝒅𝟐 = 𝟑𝟐𝒎

Ejemplo 7: El auto de bomberos y el helicóptero avanza con MRU, encontrar el
valor de la rapidez del helicóptero si en el instante mostrado trascurre 10s para
que la separación sea 150m
Datos:
d=120m
t=10s
Resolviendo
Para el ejercicio utilizaremos el teorema de Pitágoras:
h2
= a2
+ b2
Remplazamos términos:
1502
= 1202
+ (40 + 10Vh)2
Separamos términos:
1502
− 1202
= (40 + 10Vh)2
22500 − 14400 = (40 + 10Vh)2
8100 = 𝟒𝟎 + 𝟏𝟎𝐕𝐡
Resolvemos la raíz
90 = 40 + 10Vh
Separamos términos:
90 − 40 = 10Vh
50 = 10Vh
Despejamos:
Vh =
50
10
𝑽𝒉 = 𝟓
𝐦
𝐬

M.R.U.V.
Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado
El movimiento rectilíneo uniformemente variado o MRUV es un movimiento que ocurre sobre una línea
recta con aceleración constante. En el MRUV la aceleración es constante, nunca va a cambiar, siempre es la
misma. Mucha atención, lo constante es la aceleración, no la velocidad.
Es aquel movimiento en el cual el móvil aumenta o disminuye progresivamente su velocidad, o sea, recorre
distancias diferentes en tiempos iguales, por tanto aparece la aceleración constante.

 DISTANCIA: La distancia es la longitud total recorrida por un objeto móvil en su trayectoria. Como tal,
es una magnitud escalar, y, por lo tanto, es expresada en unidades de longitud.
 VELOCIDAD: La velocidad es una magnitud física que expresa la relación entre el espacio recorrido por
un objeto, el tiempo empleado para ello y su dirección.
 VELOCIDAD INICIAL: Es la velocidad con la que empieza el móvil si parte del reposo su Vo=0
 VELOCIDAD FINAL: Es la velocidad final del móvil
 TIEMPO: El tiempo es una magnitud física con que se mide la duración o separación de
acontecimientos. El tiempo permite ordenar los sucesos en secuencias, estableciendo un pasado, un
futuro
 ACELERACION: La aceleración es el nombre que le damos a cualquier proceso en donde la velocidad
cambia. Como la velocidad es una rapidez y una dirección, solo hay dos maneras para que aceleres:
cambia tu rapidez o cambia tu dirección (o cambia ambas).

ACELERACIÓN
La aceleración indica la variación de la velocidad por
unidad de tiempo.
Por ejemplo, tenemos un auto que parte del reposo
(v0 = 0 m/s) y avanza con una aceleración constante de
2 m/s2. Este valor de la aceleración, podemos
expresarlo de la siguiente manera:
¿Qué significa eso? Significa que en cada segundo,
la velocidad va a cambiar 2 m/s, tal como podemos ver
en el siguiente gráfico:

FORMULAS DE M.R.U.V.
Distancia (d):
Velocidad inicial (Vo):
Velocidad final (Vf):
Tiempo (t):
Aceleración (a):
Distancia d m km cm
Tiempo t s h s
Vel. Inicial vo m/s km/h cm/s
Vel. Final vf m/s km/h cm/s
Aceleración a m/s2 km/h2 cm/s2
RESTRICCIONES FORMULA
Sin Distancia d 𝑉𝑓 = 𝑉𝑜 ± 𝑎𝑡
Sin Velocidad Final Vf
𝑑 = 𝑉𝑜𝑡 ±
𝑎t2
2
Sin Aceleración a
𝑑 = (
𝑉𝑜 + 𝑉𝑓
2
) ∗ 𝑡
Sin Tiempo t Vf2
= Vo2
± 2𝑎𝑑
Se usa el signo:
(+) La rapidez aumenta (POSITIVO)
(-) La rapidez disminuye (NEGATIVO)

 Tiempo Máximo (t Max): tiempo que tarda un cuerpo, con movimiento retardado, en detenerse.
t Max =
Vo
a
 Distancia Máxima (d Max): distancia que recorre un cuerpo, con movimiento retardado, hasta
detenerse.
d Max =
Vo2
2 ∗ 𝑎
 Numero de Galileo: todo móvil que parte del reposo con aceleración constante, recorrerá en
tiempos iguales distancias proporcionales a los números 1, 2,3,4….2n−1
 Distancia Enésima:
𝑑𝑛 = 𝑉𝑜 ±
𝑎
2
∗ (2𝑛 − 1)
FORMULAS DE M.R.U.V.

Ejemplo 8: Un tanque avanza con MRUV como se muestra en la gráfica si parte
del reposo con una aceleración de 4 m/s2, calcular la rapidez luego de 5 s.
Datos:
t=5 s
a=4m/s2
Vf=??
Resolviendo
Primero como el tanque parte en reposo su
Vo=0
Para hallar la Velocidad final utilizaremos la siguiente fórmula:
𝑉𝑓 = 𝑉𝑜 ± 𝑎𝑡
𝑉𝑓 = 0𝑚/𝑠 + 4m/s2 ∗ 5𝑠
𝑽𝒇 = 𝟐𝟎
𝒎
𝒔

Ejemplo 9: Un auto avanza con MRUV cuando su rapidez es de 10m/s se le
aplica los frenos y se detiene después de recorrer 50m ¿Qué tiempo
demora el auto en detenerse?
Datos:
Vo=10 m/s
t=??
d= 50m
Vf=0 m/s
Resolviendo
Para hallar el tiempo utilizaremos la
siguiente fórmula:
𝑑 = (
𝑉𝑜 + 𝑉𝑓
2
) ∗ 𝑡
Remplazamos los datos:
50 = (
10+0
2
) ∗ 𝑡 50 = (
10
2
) ∗ 𝑡
50 = 5 ∗ 𝑡
De la formula despejamos el tiempo
(t):
𝑡 =
50
5
𝐭 = 𝟏𝟎 𝐬

Ejemplo 10: Un camión avanza con MRUV y varia su velocidad de 18 km/h
a 72 km/h en 10 s. ¿Cuál es la aceleración del camión?
Datos:
t=10 s
Vo=18km/h
Vf=72km/h
a=??
Resolviendo
Primero realizaremos una conversión de km/h a m/s
18
𝑘𝑚
ℎ
∗
1000𝑚
1𝑘𝑚
∗
1ℎ
3600𝑠
= 𝟓
𝐦
𝐬
72
𝑘𝑚
ℎ
∗
1000𝑚
1𝑘𝑚
∗
1ℎ
3600𝑠
= 𝟐𝟎
𝐦
𝐬
Para hallar la aceleración
utilizaremos la siguiente fórmula:
𝑉𝑓 = 𝑉𝑜 ± 𝑎𝑡
20 = 5𝑚/𝑠 + a ∗ 10𝑠
20 − 5 = +a ∗ 10𝑠
15 = +a ∗ 10𝑠
Despejamos la aceleración:
𝑎 =
15
10
El resultado será:
𝐚 = 𝟏, 𝟓 𝐦/𝐬𝟐

Ejemplo 11: Un ciclista debe recorrer 400km en 12 horas con MRU a la
mitad del camino sufre un desperfecto que lo detiene 1 hora. ¿Con que
rapidez debe continuar su marcha, para llegar 1 hora antes de lo
establecido?
Datos:
Vo=0m/s
Vf=20m/s
d1=20m
t1=2s
t2=3s
Resolviendo
Para hallar la aceleración usaremos el tramo A y B:
𝑑1 = 𝑉𝑜 ∗ 𝑡1 ±
𝑎t12
2
20 = 0 ∗ 2 +
𝑎22
2
20 =
𝑎 ∗ 4
2
𝑎 =
20 ∗ 2
4
𝒂 = 𝟏𝟎
𝒎
𝐬𝟐
Para hallar la distancia d2 entre el tramo B y C:
𝑑2 = 𝑉𝑜 ∗ 𝑡2 ±
𝑎t22
2
𝑑2 = 20 ∗ 3 +
10 ∗ 32
2
𝑑2 = 60 +
10 ∗ 9
2
𝑑2 = 60 +
90
2
𝑑2 = 60 + 45
𝒅𝟐 = 𝟏𝟎𝟓 𝒎

Ejemplo 12: Un auto de policía inicia un MRUV desde el reposo, si en los
primeros 2s recorre 20m, determine la distancia recorrida en los 3 s
Datos:
Vo=0m/s
Vf=20m/s
d1=20m
t1=2s
t2=3s
Resolviendo
Para hallar la aceleración usaremos el tramo A y B:
𝑑1 = 𝑉𝑜 ∗ 𝑡1 ±
𝑎t12
2
20 = 0 ∗ 2 +
𝑎22
2
20 =
𝑎 ∗ 4
2
𝑎 =
20 ∗ 2
4
𝒂 = 𝟏𝟎
𝒎
𝐬𝟐
Para hallar la distancia d2 entre el tramo B y C:
𝑑2 = 𝑉𝑜 ∗ 𝑡2 ±
𝑎t22
2
𝑑2 = 20 ∗ 3 +
10 ∗ 32
2
𝑑2 = 60 +
10 ∗ 9
2
𝑑2 = 60 +
90
2
𝑑2 = 60 + 45
𝒅𝟐 = 𝟏𝟎𝟓 𝒎
Vo=20m/s

Ejemplo 13: Un ciclista inicia un MRUV partiendo del reposo si en los primeros 2s
recorre 20m determine cuando recorre en los siguientes 2s.
Datos:
d=20m
t=2s
Resolviendo
Para hallar el recorrido tenemos el valor de k y con la formula hallaremos el resultado:
3k=3*20
3k=60m
5k=5*20
5k=100m
7k=7*20
7k=140m
20m
1k+3k+5k+7k=16k 16k=16*(20) 16k=320m
1k=1*20
1k=20m

Ejemplo 14: Un auto parte del reposo realizando un MRUV si en el tercer
segundo de su movimiento recorre 10m. Calcular el recorrido en los 4
primeros segundos.
Resolviendo
Para hallar el recorrido tenemos el valor de k y con la formula hallaremos el resultado:
1k+ 3k+ 5k+ 7k =16k 16k=16*(2m) 16k=32m
Podemos hallar el valor de k:
5k=10m k=(10/5)m k=2m
k=2m

Ejemplo 15: Un auto parte del reposo con aceleración de 2 m/s2. Hallar la distancia
recorrida en el quinto segundo, sabiendo que avanza con MRUV.
Datos:
v=0m/s
a=2m/s2
n=5
Resolviendo
Para hallar el tiempo utilizaremos la siguiente fórmula:
𝑑𝑛 = 𝑉𝑜 ±
𝑎
2
∗ (2𝑛 − 1)
Remplazamos los datos:
𝑑5 = 0 ±
2
2
∗ (2(5) − 1)
𝑑5 = 1 ∗ (9)
𝐝𝟓 = 𝟗𝐦

Ejemplo 16: Del siguiente grafico encontrar la velocidad inicial y la aceleración de la
ambulancia
Datos:
d1=64m
d2=60m
t1=4s
t2=5s
Resolviendo
Para hallar la velocidad V2:
𝑣2 =
𝑑2
𝑡2
=
60
5
𝒗𝟐 = 𝟏𝟐𝒎/𝒔
Para hallar la velocidad v1 usaremos la siguiente formula:
𝑑 = (
𝑉𝑜+𝑉𝑓
2
) ∗ 𝑡 64 =
𝑣1+12
2
∗ 4
𝑣1+12
2
∗ 4=64
(𝑣1 + 12) ∗ 2=64 (2𝑣1 + 24)=64 2𝑣1=64 - 24
Despejamos:
2 𝑣1 = 40 𝑣1 = 40/2 𝒗𝟏 = 𝟐𝟎𝒎/𝒔
Finalmente realizamos la ecuación
𝑣2 = 𝑣1 − 𝑎 ∗ 𝑡1
12 = 20 − 𝑎 ∗ 4
12 − 20 = −𝑎 ∗ 4
−8 = −𝑎 ∗ 4
−
8
4
= −𝑎
−2 = −𝑎 *(-1)
𝒂 = 𝟐
𝒎
𝐬𝟐

M.V.C.L.
Movimiento Vertical de Caída Libre
Se denomina Movimiento Vertical de Caída Libre
al movimiento vertical que describen los cuerpos al
ser dejados caer o al ser lanzados verticalmente
cerca de la superficie terrestre y sin considerar los
efectos del rozamiento del aire.
Se comprueba experimentalmente que en el vacío
todos los cuerpos, sin importar su inercia, tamaño o
forma, se mueven con una aceleración constante
denominada aceleración de la gravedad (g).

GRAVEDAD
 Se verifica experimentalmente que si el cuerpo se
encuentra cerca a la superficie de la tierra (alturas
pequeñas comparadas con el radio de la tierra: Rt=6 400
km) la aceleración de la gravedad se puede considerar
constante y su valor aproximado es:
𝑔 = 9,8
𝑚
s2
 Este movimiento se puede considerar un caso particular
del MRUV donde la aceleración constante (la aceleración
de la gravedad) es conocida de antemano.
Frecuentemente, el valor de la aceleración de la gravedad
g se aproxima a:
𝑔 = 10
𝑚
s2

FORMULAS DE M.V.C.L.
Altura (h):
Velocidad inicial (Vo):
Velocidad final (Vf):
Tiempo (t):
Gravedad (g):
Altura h m km cm
Tiempo t s h s
Aceleración g m/s2
Sin Altura h 𝑉𝑓 = 𝑉𝑜 ± 𝑔𝑡
Sin Velocidad Final Vf
ℎ = 𝑉𝑜𝑡 ±
𝑔t2
2
Sin Gravedad g
ℎ = (
𝑉𝑜 + 𝑉𝑓
2
) ∗ 𝑡
Sin Tiempo t Vf2
= Vo2
± 2𝑔ℎ
Se usa el signo:
(+) El móvil baja (POSITIVO)
(-) El móvil sube (NEGATIVO)

Momentos en M.V.C.L.
Como se puede ver en el
grafico los distintos
estados que existen en el
movimiento de caída libre
tanto cuando cae un
objeto, cuando es
lanzado un objeto y
cuando un objeto sube y
cae.

Momentos en M.V.C.L.
a) En la altura máxima la
velocidad instantánea es cero
VB=0
a) En un mismo nivel la rapidez
de subida es igual a la rapidez
de bajada
VA= VC
a) Entre 2 niveles el tiempo de
subida es igual al tiempo de
bajada
tAB= tBC

Ejemplo 15: Un maceta resbala y cae desde un techo ubicado a 45m de altura determine
el tiempo que demora en llegar al piso. g=10m/s2
Resolviendo
Primero como la maceta parte en reposo su:
Vo=0
Para hallar el tiempo utilizaremos la siguiente
fórmula:
𝑔t2
2
45 = 0 ∗ 𝑡 +
10 ∗ t2
2
45 =
10 ∗ t2
2
Despejamos t:
t2
=
2 ∗ 45
10
t2
=
90
10
t = 9
La respuesta es:
𝒕 = 𝟑 𝒔
Datos:
h=45 m
g=10m/s2
Vo=0
t=???

Ejemplo 16: Una pelota se deja caer desde lo alto de un edificio de 50m de altura.
Calcular la velocidad con la que llega al piso y el tiempo que toma en caer. g=9,8m/s2
Resolviendo
Como la pelota cae su reposo será:
Vo=0
Primero para hallar la Velocidad final utilizaremos la fórmula:
Vf2
= Vo2
± 2𝑔ℎ
Vf2
= 0 ± 2 ∗ 9,8 ∗ (50)
Vf2
= 980
Despejamos t:
Vf = 980
La respuesta es:
𝑽𝒇 = 𝟑𝟏, 𝟑𝟎 𝒎/𝒔
Datos:
h=50 m
g=9,8m/s2
Vo=0
t=???
Vf=???
Para poder hallar el tiempo utilizaremos la fórmula:
𝑉𝑓 = 𝑉𝑜 ± 𝑔𝑡
31,30 = 0 + 9,8 ∗ 𝑡
31,30 = 9,8 ∗ 𝑡
Despejamos t:
t =
31,30
9,8
La respuesta es:
𝒕 = 𝟑, 𝟏𝟗 𝒔

Ejemplo 17: Una persona deja caer una pelota desde el alto de una torre de 405m de
altura ¿Cuánto tiempo después del instante en que la persona dejo caer la pelota escuchara
el crujido. g=10m/s2
Resolviendo
Primero hallaremos el tramo 1 para ello utilizaremos
la siguiente fórmula:
𝑔t12
2
405 = 0 ∗ 𝑡 +
10 ∗ t12
2
405 =
10 ∗ t12
2
Despejamos t1:
t12
=
2 ∗ 405
10
t12
=
810
10
t1 = 81
La respuesta es:
𝒕𝟏 = 𝟗 𝒔
Datos:
h=405 m
g=10m/s2
Vo=0
t1=???
t2=???
Vson=34
0m/s
Para hallar el tramo 2 utilizaremos la siguiente fórmula de MRU:
𝑡2 =
𝑑
𝑣 𝑠𝑜𝑛
𝑡2 =
405𝑚
340𝑚/𝑠
La respuesta del tiempo es:
𝒕𝟐 = 𝟏, 𝟏𝟗 𝒔

Ejemplo 18: Un objeto es lanzado verticalmente hacia arriba con la rapidez de 40m/s.
determinar en cuanto tiempo alcanza su altura máxima y el valor de la altura. g=9,8m/s2
Resolviendo
Primero hallaremos el tiempo para ello
0 = 40 − 9,8 ∗ 𝑡
9,8𝑡 = 40
Despejamos el tiempo:
𝑡 =
40
9,8
El resultado del tiempo es:
𝒕 = 𝟒, 𝟎𝟖 𝒔
Datos:
g=9,8m/s2
Vo=40m/s
Vf=0
t=???
h=???

Un objeto es lanzado verticalmente hacia arriba con la rapidez de 40m/s. determinar en
cuanto tiempo alcanza su altura máxima y el valor de la altura. g=9,8m/s2
Luego hallaremos el valor de la altura
con la siguiente fórmula:
ℎ = (
𝑉𝑜 + 𝑉𝑓
2
) ∗ 𝑡
ℎ = (
40 + 0
2
) ∗ 4,08
ℎ = (
40
2
) ∗ 4,08
ℎ = 20 ∗ 4,08
La altura es:𝒉 = 𝟖𝟏, 𝟔 𝒎
Datos:
g=9,8m/s2
Vo=40m/s
Vf=0
t=???
h=???

Ejemplo 19: Dos esferas mostradas en el gráfico, llegan al piso simultáneamente, luego
de 4s. Calcular el valor de “d”. g=9,8m/s2
Resolviendo
Primero hallaremos la altura h1 para ello
ℎ1 = 𝑉𝑜𝑡 ±
𝑔t12
2
ℎ1 = 20 ∗ 4 +
10 ∗ 42
2
ℎ1 = 80 + 80
La altura h1 es:
𝒉𝟏 = 𝟏𝟔𝟎 𝒎
Datos:
g=10m/s2
Vo1=20m/s
Vo2=30m/s
t=4s
h1=??
H2=??

Luego hallaremos la altura h2 para ello utilizaremos la siguiente
fórmula:
ℎ2 = 𝑉𝑜𝑡 ±
𝑔t12
2
ℎ2 = 30 ∗ 4 +
10 ∗ 42
2
ℎ2 = 120 + 80
La altura h2 es:
𝒉𝟐 = 𝟐𝟎𝟎 𝒎
Remplazamos los datos en la ecuación 1:
𝑑 + ℎ1 = ℎ2
𝑑 + 160 = 200
Despejamos la distancia:
𝑑 = 200 − 160
La distancia es:
𝒅 = 𝟒𝟎 𝒎

Ejemplo 20: Una persona lanza verticalmente una pelota hacia arriba con 30m/s y
observa que luego de 8s llega al piso usando el grafico calcular la altura. g=10m/s2
Resolviendo
Dividiremos en 3 tramos. Primero hallaremos el tiempo entre
el tramo A-B:
0 = 30 − 10 ∗ 𝑡
10𝑡 = 30
Despejamos t:
𝒕 = 𝟑 𝒔
Datos:
h=??
g=10m/s2
Vo=0
t1=3s
t2=3s
t3=??
Ahora en el tramo B-A:
𝑡𝑠𝑢𝑏 = 𝑡𝑏𝑎𝑗
𝑡1 = 𝑡2
𝟑𝒔 = 𝟑𝒔
𝑉𝑠𝑢𝑏 = 𝑉𝑏𝑎𝑗
𝑉1 = 𝑉2
𝟑𝟎𝒎/𝒔 = 𝟑𝟎𝒎/𝒔

Del tramo B-C:
𝑡1 + 𝑡2 + 𝑡3 = 8𝑠
3 + 3 + 𝑡3 = 8𝑠
𝑡3 = 8 − 3 − 3
𝒕𝟑 = 𝟐𝒔
Datos:
h=??
g=10m/s2
Vo=0
t1=3s
t2=3s
t3=??
Ahora hallaremos la altura:
𝑔t2
2
La distancia es:
ℎ = 30 ∗ 2 ±
10 ∗ 22
2
ℎ = 60 + (5 ∗ 4)
ℎ = 60 + (20)
El resultado es:
𝒉 = 𝟖𝟎 𝒎

Ejemplo 21: Si una piedra es lanzada hacia arriba desde cierta altura con rapidez igual a
20m/s y el tiempo de vuelo es 9s. Calcula la altura de lanzamiento. g=9,8m/s2
Resolviendo
Primero hallaremos el tiempo entre el tramo A-B:
0 = 20 − 10 ∗ 𝑡
10𝑡 = 20
Despejamos t:
𝒕 = 𝟐 𝒔
Por teoría:
𝑡𝐴𝐵 = 𝑡𝐵𝐶 = 4𝑠
Luego se puede ver:
𝑡𝐶𝐷 = 5𝑠
Ahora hallaremos la altura entre el tramo C-D con la siguiente
formula:
𝑔t2
2
Remplazando con los datos:
ℎ = 20 ∗ 5 ±
10 ∗ 52
2
ℎ = 100 + 125
Entonces es resultado es:
𝒉 = 𝟐𝟐𝟓 𝒎
Datos:
VoA=30m/s
VoB=20m/s
g=9,8m/s2
Vo=0
t1=??
t2=3s
t3=??

M.P.C.L.
Movimiento Parabólico de Caída Libre
El movimiento parabólico es el movimiento de una
partícula o cuerpo rígido describiendo su trayectoria
una parábola. Por ejemplo, el balón de fútbol cuando es
chutado por un jugador y cae al suelo es un movimiento
parabólico. El movimiento parabólico se puede analizar
como la unión de dos movimientos. Por un lado, la
trayectoria en la proyección del eje de las x (el eje que
va paralelo al suelo) describirá un movimiento
rectilíneo uniforme. Por otro lado, la trayectoria de la
partícula al elevarse o caer verticalmente (en
proyección sobre el eje de las y) describirá un
movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, donde
la aceleración es la gravedad.

TIPO DE MOVIMIENTOS
PARABOLICOS
 Existen diferentes tipos de movimiento parabólico dependiendo desde donde empieza o acaba el movimiento del cuerpo. Por
ejemplo:
 Movimiento parabólico completo: el cuerpo recorre una parábola completa, empezando y acabando en el suelo.
 Movimiento de media parábola (o tiro parabólico horizontal): el cuerpo empieza el movimiento desde cierta altura y es
lanzado parabólicamente con una fuerza horizontal, en un punto que sería el punto más alto de la parábola completa ideal.
 Otros movimientos parabólicos: existen muchos casos particulares del movimiento parabólico, por ejemplo el lanzamiento de
una pelota desde el suelo a la terraza de una casa o el lanzamiento a canasta de un jugador de baloncesto. Siempre son tramos
de una teórica parábola completa.

FORMULAS DE M.P.C.L.
Verticalmente: En esta dirección sólo existe
aceleración de la gravedad, entonces Vy
cambia, analizándose como un M.V.C.L.; por
tanto usaremos:
Las ecuaciones del M.P.C.L. para el eje y son
las siguientes:
Altura h m km cm
Tiempo t s h s
Aceleración g m/s2
V
E
R
T
I
C
A
L
Sin Altura h 𝑉𝑓𝑦 = 𝑉𝑜𝑦 ± 𝑔𝑡
Sin Velocidad
Final
Vf
ℎ = 𝑉𝑜𝑦𝑡 ±
𝑔t2
2
Sin Gravedad g
ℎ = (
𝑉𝑜𝑦 + 𝑉𝑓𝑦
2
) ∗ 𝑡
Sin Tiempo t Vf2
𝑦 = Vo2
𝑦 ± 2𝑔ℎ
Se usa el signo:
(+) El móvil baja (POSITIVO)
(-) El móvil sube (NEGATIVO)
HORIZONTAL 𝑑 = 𝑉𝑜𝑥 ∗ 𝑡
Horizontalmente: En esta dirección no existe aceleración,
entonces = Vx CTE; analizándose como un M.R.U., por tanto:
Las ecuaciones del M.R.U. para el eje x

 Altura máxima: En el movimiento parabólico, existe un punto donde la partícula se encuentra en el punto más
alto de su trayectoria. En ese punto, la componente vertical de la velocidad es nula. La fórmula será:
ℎ𝑚𝑎𝑥 =
Vo2
∗ sen2
θ
2𝑔
 Tiempo de vuelo: Llamamos tiempo de vuelo (Tvuelo) al que invierte el cuerpo o el proyectil en realizar el
movimiento completo hasta llegar a tierra, es decir a la misma altura del punto de salida.
𝑡 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑜 =
𝑉𝑜 ∗ senθ
𝑔
 Alcance: Se trata de la distancia máxima en horizontal desde el punto de inicio del movimiento al punto en el que
el cuerpo impacta el suelo. Una vez obtenido el tiempo de vuelo, simplemente sustituye en la ecuación de la
componente horizontal de la posición.
𝑑𝐻 =
Vo2
∗ senθ cos θ
𝑔
𝑑𝐻 =
Vo2
∗ sen 2θ
𝑔

 Angulo: El ángulo de la trayectoria en un determinado punto coincide con el ángulo que el vector velocidad
forma con la horizontal en ese punto. Para su cálculo obtenemos las componentes vx y vy y gracias a la
definición trigonométrica de tangente de un ángulo, calculamos θ:
𝑡𝑎𝑛θ =
4 ∗ ℎ𝑚𝑎𝑥
𝑑𝐻
 Descomposición del Vector: cualquier vector se puede descomponer en dos vectores que tiene la dirección
de los ejes. Los módulos de ambos vectores pueden calcularse a partir del ángulo que crea el vector con la
horizontal. Según el grafico se puede ver las formulas:
𝑉𝑜𝑥 = 𝑉𝑜 ∗ 𝑐𝑜𝑠 θ
𝑉𝑜𝑦 = 𝑉𝑜 ∗ 𝑠𝑒𝑛 θ
𝑉 = Vox2
+ Voy2
𝑡𝑎𝑛θ =
𝑉𝑜𝑦
𝑉𝑜𝑥

Momentos en M.P.C.L.
En los siguientes gráficos podremos observar el comportamiento que se da en el movimiento parabólico en
ambos ejes tanto como x y el eje y.

Ejemplo 22: Un cañón dispara una bala horizontalmente y esta experimenta con MPCL
usando el grafico sabiendo que la bala impacta en el piso luego de 2s. Calcular la altura.
g=10m/s2
Resolviendo
Para hallar la altura utilizaremos:
𝑔t2
2
ℎ = 0 ∗ 2𝑡 ±
10∗22
2
ℎ =
10 ∗ 4
2
ℎ =
40
2
El valor de la altura es:
𝒉 = 𝟐𝟎 𝒎
Datos:
Voy=0
g=10m/s2
t=2s
h=???

Ejemplo 23: Una pelota es lanzada horizontalmente desde un techo, realizando un MPCL
e impactando en el punto A. tomando en cuenta la gráfica, calcular la velocidad con la
que fue lanzada la pelota. g=9,8m/s2
Datos:
Voy=0
g=9,8m/s2
h=4,9m
t=???
Vertical:
𝑔t2
2
4,9 = 0𝑡 +
9,8 ∗ t2
2
4,9 =
9,8 ∗ t2
2
t2 =
4,9 ∗ 2
9,8
t2
= 1 t = 1
𝒕 = 𝟏 𝒔
Horizontal:
𝑑 = 𝑉𝑜𝑥 ∗ 𝑡
4 = 𝑉𝑜𝑥 ∗ 1 4 = 𝑉𝑜𝑥
𝑽𝒐𝒙 = 𝟒 𝒎/𝒔

Ejemplo 24: Una esfera es lanzada tal como se muestra en el gráfico, realizando un
MPCL. Calcular el tiempo de vuelo. g=10m/s2
Datos:
g=10m/s2
Vo=100m/s
Vfy=???
Resolviendo
Primero hallaremos la velocidad en el eje x:
𝑉𝑜𝑥 = 𝑉𝑜 ∗ 𝑐𝑜𝑠θ
𝑉𝑜𝑥 = 100 ∗ 𝑐𝑜𝑠30
𝑽𝒐𝒙 = 𝟖𝟔, 𝟔𝟎𝒎/𝒔
Ahora hallaremos la velocidad en el eje y:
𝑉𝑜𝑦 = 𝑉𝑜 ∗ 𝑠𝑒𝑛θ
𝑉𝑜𝑦 = 100 ∗ 𝑠𝑒𝑛30
𝑽𝒐𝒚 = 𝟓𝟎𝒎/𝒔
Para halla el tiempo realizaremos lo
siguiente:
𝑉𝑓𝑦 = 𝑉𝑜 − 𝑔𝑡
0 = 50 − 10𝑡
10𝑡 = 50
Despejamos t:
𝑡 =
50
10
𝒕 = 𝟓 𝒔
Encontraremos el tiempo de vuelo
realizaremos lo siguiente:
𝑡𝑣𝑢𝑒𝑙𝑜 = 𝑡𝑠𝑢𝑏 + 𝑡𝑏𝑎𝑗
𝑡𝑣𝑢𝑒𝑙𝑜 = 5𝑠 + 5𝑠
𝒕𝒗𝒖𝒆𝒍𝒐 = 𝟏𝟎 𝒔
Para hallar la distancia realizaremos lo
siguiente:
𝑑 = 86,60 ∗ 10
𝒅 = 𝟖𝟔𝟔 𝒎

Ejemplo 25: Del gráfico mostrado, determinar la altura máxima y el tiempo de vuelo.
g=10m/s2
Datos:
Vo=20m/s
Vfy=???
Ahora encontraremos la altura
máxima realizaremos lo siguiente:
ℎ𝑚𝑎𝑥 =
2Vo2
∗ sen2
θ
2𝑔
ℎ𝑚𝑎𝑥 =
2(20)2
∗ sen30
2 ∗ 10
ℎ𝑚𝑎𝑥 =
400 ∗ 𝑠𝑒𝑛30
20
ℎ𝑚𝑎𝑥 =
100
20
La altura máxima es:
𝒉𝒎𝒂𝒙 = 𝟓 𝒎
Resolviendo
Encontraremos primero el tiempo
de vuelo realizaremos lo
siguiente:
𝑡𝑣𝑢𝑒𝑙𝑜 =
2𝑉𝑜 ∗ 𝑠𝑒𝑛θ
𝑔
2(20) ∗ 𝑠𝑒𝑛30
10
40 ∗ 𝑠𝑒𝑛30
10
20
10
El tiempo de vuelo es:
𝒕𝒗𝒖𝒆𝒍𝒐 = 𝟐 𝒔

Ejemplo 26: Una partícula que realiza un MPCL va en ascenso tomando en cuenta el
grafico. Calcular la rapidez en el punto A.
Datos:
g=10m/s2
Vo=100m/s
Vfy=???
Ahora hallaremos la velocidad en el
punto A:
𝑉𝐴𝑥 = 𝑉𝐴 ∗ 𝑐𝑜𝑠θ
𝑉𝐴𝑦 = 𝑉𝐴 ∗ 𝑐𝑜𝑠53º
𝑉𝐴𝑦 = 𝑉𝐴 ∗
3
5
𝑽𝒐𝒚 =
𝟓𝟎𝒎
𝒔
∗
𝟑
𝟓
𝑽𝒐𝒚 = 𝟑𝟎
𝒎
𝒔
Resolviendo
Primero hallaremos la velocidad
en el punto B:
𝑉𝐵𝑥 = 𝑉𝐵 ∗ 𝑐𝑜𝑠θ
𝑉𝐵𝑥 = 30 2 ∗ 𝑐𝑜𝑠45º
𝑽𝑩𝒙 = 𝟑𝟎 𝒎/𝒔
𝑉𝐴𝑦 = 𝑉𝐵𝑋 𝑉𝐴 ∗
3
5
= 30
𝑉𝐴 =
30 ∗ 5
3
𝑽𝑨 = 𝟓𝟎𝒎/𝒔

Ejemplo 27: Un helicóptero y un bote avanza con MRU en el instante mostrando, desde
el helicóptero vuela un proyectil ¿Cuál es la rapidez con la que avanza el bote, sabiendo
que es impactado por el proyectil? g=10m/s2
Datos:
d=120m
t=10s
Resolviendo
Primero hallamos la v en MRU:
𝑑𝐵 = 𝑉 ∗ 𝑡
120 = 𝑣 ∗ 6
𝑣 =
120
6
𝑽 = 𝟐𝟎 𝒎/𝒔
Bomba Horizontal
Para halla la distancia realizaremos lo
siguiente:
𝑑 = 80 ∗ 6
La distancia en horizontal es:
𝒅 = 𝟒𝟖𝟎 𝒎
Vox=80m/s

Un helicóptero y un bote avanza con MRU en el instante mostrando, desde el helicóptero
vuela un proyectil ¿Cuál es la rapidez con la que avanza el bote, sabiendo que es
impactado por el proyectil? g=10m/s2
Datos:
d=120m
t=10s Bomba Horizontal
Para halla el tiempo realizaremos lo
siguiente:
𝑔t2
2
180 = 0𝑡 ±
10 ∗ t2
2
Despejamos el tiempo:
t2
=
180 ∗ 2
10
t2
= 36
𝑡 = 36
El tiempo seria:
𝒕 = 𝟔 𝒔

Ejemplo 28: Un avión vuela horizontalmente a razón de 540km/h, y a una altura de
2000m, si sueltan una bomba que justamente impacta en una base enemiga. ¿A qué
distancia horizontal de la base enemiga fue soltada la bomba? g=10m/s2
Resolviendo
Para hallar la parte vertical:
𝑔t2
2
2000 = 0𝑦𝑡 ±
10 ∗ t2
2
2000 =
10 ∗ t2
2
𝒕 = 𝟐𝟎 𝒔
Datos:
Vo=540km/h
H=2000m

Un avión vuela horizontalmente a razón de 540km/h, y a una altura de 2000m, si sueltan
una bomba que justamente impacta en una base enemiga. ¿A qué distancia horizontal de
la base enemiga fue soltada la bomba? g=10m/s2
Realizaremos una conversión de km/h
a m/s:
540km
h
∗
1000𝑚
1𝑘𝑚
∗
1ℎ
3600𝑠
= 𝟏𝟓𝟎
𝒎
𝒔
Para hallar la distancia:
𝑑 = 𝑣 ∗ 𝑡
𝑑 = 150 ∗ 20
𝒅 = 𝟑𝟎𝟎𝟎 𝒎

M.C.U.
Movimiento Circular Uniforme
El movimiento circular es el que recorre una partícula o cuerpo
por una circunferencia. Este movimiento tiene un eje y todos los
puntos por los que pasa la partícula se encuentran a una distancia
constante (r) del eje.
El movimiento circular uniforme (M.C.U.) es un movimiento de
trayectoria circular en el que la velocidad angular es constante.
Esto implica que describe ángulos iguales en tiempos iguales. En
él, el vector velocidad no cambia de módulo pero sí de dirección
(es tangente en cada punto a la trayectoria). Esto quiere decir que
no tiene aceleración tangencial ni aceleración angular, aunque sí
aceleración normal.

Existen diferentes variables o conceptos muy importantes para explicar el movimiento circular:
 Eje: punto fijo en el centro de la circunferencia por la que gira el cuerpo.
 Radio (R): distancia a la que gira el punto P sobre el eje O.
 Posición: es el punto P en el que se encuentra la partícula.
 Tiempo: es el tiempo en que trascurre la velocidad angular.
 Velocidad angular (ω): define la variación angular por unidad de tiempo
 Velocidad tangencial (v): es el módulo de la velocidad en cualquier punto del giro y viene
definido como el recorrido, en unidades de longitud, que describe P por unidad de tiempo
 Aceleración angular (θ ): es el incremento de velocidad angular por unidad de tiempo
 Aceleración tangencial (at): se define como el incremento de velocidad lineal por unidad de
tiempo
 Aceleración centrípeta (acen): componente que va dirigida hacia el centro de la circunferencia.
Representa el cambio de dirección del vector velocidad.
 Periodo (T): tiempo T que tarda la partícula en dar una vuelta al círculo.
 Frecuencia (F): número de vueltas f que recorre la partícula en una unidad de tiempo. Se expresa
en ciclos/s o hertzios.

FORMULAS DE M.C.U.
En resumen las ecuaciones del MCU
comparadas a las ecuaciones de MRU son
las siguientes
MCU Unidades MRU Unidades
θ = ω ∗ t Angulo (rad) d = t ∗ v Distancia (m)
t =
θ
ω
Tiempo (s)
t =
d
v
Tiempo (s)
ω =
θ
t
Rapidez angular
(rad/s) v =
d
t
Velocidad(v)
v = ω ∗ R Velocidad m/s
L = θ ∗ R Longitud (m)
ac =
v2
R
Aceleración
angular (m/s2)
ac = ω2
∗ 𝑅
T =
2π rad
ω
Periodo (s)
T =
t
n
F =
ω
2π
Frecuencia (Hz) o
s−1
F =
1
T
M.C.U. M.R.U.

 Tiempo: En tiempos iguales se recorren distancias iguales. Dicho intervalo a veces es representado por t y otras por ∆t. En cualquiera
de los casos, t=∆t = tf - ti siendo tf y ti los instantes de tiempo inicial y final respectivamente del movimiento que estamos estudiando.
La fórmula para hallar el tiempo es:
t =
θ
ω
 Velocidad: La velocidad de un cuerpo es constante y viene definida como el cociente entre el incremento de espacio y el incremento
de tiempo.
v = ω ∗ R
 Longitud: La longitud del cuerpo después de un tiempo se calcula a partir de la posición inicial y de la velocidad del cuerpo:
L = θ ∗ R
 Velocidad Angular: Al igual que sucedía con la velocidad, existe la velocidad angular media ωm y la velocidad angular instantánea ω
según se considere un intervalo de tiempo.
ω =
θ
t
 Aceleración Angular:Representa la variación de velocidad angular (ω) respecto del tiempo. Su unidad en el Sistema
Internacional de Unidades (S.I.) es el rad/sg2. Al igual que sucedía con las magnitudes lineales equivalentes, existe la
aceleración angular media αm y la aceleración angular instantánea α o simplemente aceleración angular según se
considere un intervalo de tiempo.
α =
ωf − ωo
t
θ = ω ∗ t

 Aceleración Centrípeta: Aunque no es una magnitud angular, propiamente dicha, pues no se mide en unidades angulares, es
importante recordar aquí la expresión de la aceleración normal o centrípeta.
ac =
v2
R
ac = ω2
∗ 𝑅
 Recuerda que la aceleración normal o centrípeta es la responsable del cambio de dirección de la vector velocidad y es por
ello que aparece en todos los movimientos circulares.
 • Período: Se trata del tiempo que tarda el cuerpo en dar una vuelta completa. Se representa por T y se mide en segundos (s).
Su expresión viene dada por:
T =
2π rad
ω
T =
t
n
 • Frecuencia: Se trata del número de vueltas que el cuerpo da en cada segundo. Se representa por f y se mide en la inversa
del segundo (s-1) , que también se denomina hercio (Hz). Su expresión viene dada por:
F =
ω
2π
La frecuencia es la inversa del período. Relacionando frecuencia, período y velocidad angular mediante las expresiones
anteriores, por tanto, nos queda:
F =
1
T

Ejemplo 29: Un niño avanza una soga a una piedra y lo hace girar como se muestra en la
gráfica. La piedra realiza un MCU girando con 7πrad/s ¿Calcular el ángulo que tiene el
radio de giro de 2s?
Resolviendo
Para hallar el ángulo
utilizaremos:
α = ω ∗ t
Remplazamos con los
datos:
α = 7π
rad
s
∗ 2𝑠
α = 14π 𝑟𝑎𝑑
𝛂 = 𝟒𝟑, 𝟗𝟖º
Datos:
ω=7πrad/s
t=2s
α=?? πrad Para el número de vueltas:
1 vuelta 2π rad
X vuelta 14π rad
14π rad ∗
1vuelta
2πrad
= 7
𝐗 = 𝟕 𝒗𝒖𝒆𝒍𝒕𝒂𝒔

Ejemplo 30: La pelota del grafico realiza un MCU con una rapidez de 2/a πrad/s.
determine el tiempo que emplea para ir desde el punto A hasta B.
Resolviendo
Para hallar el tiempo utilizaremos la
siguiente fórmula:
t =
α
ω
t =
(
2
3
)π rad
2
9
π rad
=
18
6
𝐭 = 𝟑 𝒔
Datos:
ω=7/a
πrad/s
α=120º
t =??

Ejemplo 31: Dos móviles A y B parten de dos puntos diametralmente opuestos de una
pista circular, desplazándose en el mismo sentido con velocidades angulares de π/2 y π/3
rad/s; respectivamente. ¿Después de cuánto tiempo se encuentran juntos?
Datos:
ωA=π/2
ωB=π/3
rad/s
Resolviendo
Para hallar el desplazamiento angular
θA − θB = π
θ=w*t
𝑤𝐴 ∗ 𝑡 − 𝑤𝐵 ∗ 𝑡 = π
(WA − WB)t = π
(
π
2
−
π
3
)𝑡 = π
𝑡 =
π
π
2
−
π
3
𝐭 = 𝟔 𝒔

Ejemplo 32: Un punto describe una trayectoria circular de 30 cm de radio tardando 3,52 s en dar cinco vueltas.
Calcular:
a) La velocidad angular en r.p.m y en rad/s
b) El periodo y la frecuencia del movimiento
c) El ángulo girado al cabo de 0,85 s de iniciado el movimiento.
d) Su aceleración centrípeta
Datos:
F=0,5Hz
D=30cm
V=??
F=0,5Hz está
dando media
vuelta cada
segundo
Resolviendo
a) Para hallar la velocidad angular:
ω =
5𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎𝑠
3,52𝑠
∗
60𝑠
1𝑚𝑖𝑛
= 85,23
𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎𝑠
𝑚𝑖𝑛
= 𝟖𝟓, 𝟐𝟑𝒓𝒑𝒎
ω =
5𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎𝑠
3,52𝑠
∗
2π rad
1𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎
= 2,84π
𝑟𝑎𝑑
𝑠
= 𝟐, 𝟖𝟒𝛑 𝐬−𝟏
b) Para hallar el periodo y frecuencia:
𝑇 =
𝑡
𝑛
𝑇 =
3,52𝑠
5
= 𝟎, 𝟕𝟎𝟒 𝒔
𝑓 =
1
𝑇
𝑓 =
1
0,704
= 1,420 s−1
= 𝟏, 𝟒𝟐𝟎𝑯𝒛
c) Para hallar el ángulo:
φ = ω ∗ t = 2,84π s−1
∗ 0,85𝑠 = 2,41π rad
= 𝟕, 𝟓𝟖𝐫𝐚𝐝
d) Para hallar su aceleración centrípeta:
ac = ω2
∗ R = 2,84π 2
s−1 2
∗ 0,15𝑚 = 𝟏𝟏, 𝟗𝟒𝐦/ 𝐬𝟐

Ejemplo 33: Los puntos periféricos de un disco que gira con MCU se mueve a razón de
0,8m/s. Los puntos que están a 4cm de la periferia se mueven a razón de 0,6m/s. Hallar el
radio del disco.
Datos:
ω=0,8m/s
RA=4cm
Rd=??
Resolviendo
Para el punto A:
VA = ω ∗ 𝑅𝐴
0,8 = ω ∗ (x + 0,04) ……………. (1)
Para el punto B:
VB = ω ∗ 𝑅𝐵
0,6 = ω ∗ x ………. (2)
0,6
x
= ω
Para el radio del disco remplazamos la
ecuación en 2:
0,8 =
0,6
𝑥
∗ (x + 0,04)
0,8 ∗ x = 0,6 ∗ (x + 0,04)
0,8 ∗ x = 0,6x + 0,024
0,8 ∗ x − 0,6x = 0,024
Despejamos el término x:
x =
0,024
0,2
Para hallar el radio:
R = x + 0,04
Remplazamos el valor de x:
R = 0,12 + 0,04
R = 0,16 m
𝐑 = 𝟏𝟔 𝐜𝐦

Ejemplo 33: Un punto gira describiendo círculos con velocidad constante de forma tal que describe un ángulo de 180º en 1,543 s.
a) Calcular su velocidad angular
b) Determinar el periodo y la frecuencia del movimiento
c) Suponiendo que los ángulos empiezan a contarse a partir del punto más alto de la trayectoria y que el cronómetro se pone en marcha
cuando el punto está formando un ángulo de 30º con la vertical. ¿En qué posición se encuentra el punto cuando transcurran 2,500 s?
Datos:
α=180º
t =1,543s
Resolviendo
a) Para hallar la velocidad angular:
ω =
1π rad
1,543𝑠
∗= 0,65π
rad
𝑠
= 𝟎, 𝟔𝟓𝛑 𝐬−𝟏
b) Para hallar el periodo y frecuencia:
Tarda 1,543s en dar media vuelta
𝑇 = 2 ∗ 𝑡
𝑇 = 2 ∗ 1,543
𝑻 = 𝟑, 𝟎𝟖𝟔 𝒔
𝑓 =
1
𝑇
𝑓 =
1
3,086
𝑓 = 𝟎, 𝟑𝟐𝑯𝒛
c) Para hallar el ángulo:
30º ∗
1 π rad
180º
=
1π
6
𝑟𝑎𝑑
φ = φo + ω ∗ t
Remplazamos:
φ =
π
6
+ 0,65π s−1 ∗ 2,50𝑠
φ =
π
6
+ 1,625π
φ = π
1
6
+ 1,625π = 1,79π rad
Conversión de unidades
1,79π rad
180º
1 π rad
𝛗 = 𝟑𝟐𝟐, 𝟐º

Ejemplo 34: En el laboratorio se estudia el movimiento de un disco, de radio 10 cm, que gira con velocidad constante,
midiéndose el tiempo que tarda en dar cinco vueltas. Los valores obtenidos se dan en la tabla adjunta.
a) Calcular la velocidad angular del disco.
b) Determinar la velocidad lineal de un punto de su periferia y de otro situado a 3 cm del centro.
c) ¿Cuánto tardará en girar 120º?
Datos:
R=10cm
nv=5vueltas
Resolviendo
a) Para calcular el periodo de
movimientos:
tmed=4,258; T=0,852s
Para la velocidad angular:
ω =
2π
𝑇
Remplazamos:
ω =
2π
0852𝑠
∗= 2,35π s−1
= 7,38 s−1
𝛚 = 𝟕, 𝟑𝟖
𝐫𝐚𝐝
𝐬

b) Determinar la velocidad lineal de un punto de su periferia y de otro situado a 3 cm del centro.
c) ¿Cuánto tardará en girar 120º?
Datos:
R=10cm
nv=5vueltas
b) un punto situado en el disco
señala que el radio=10cm=0.10m
v = ω ∗ R
v = 2,35π s−1 ∗ 0,10m
v = 0,235π s−1
v = 0,74 s−1
v = 0,74𝑚/𝑠
Para el punto situado a 3 cm del
radio=0,03m
v = ω ∗ R
v = 2,35π s−1 ∗ 0,03m
v = 0,0705π s−1
v = 0,22 s−1
𝐯 = 𝟎, 𝟐𝟐𝒎/𝒔
c) Pasamos los grados a radianes:
120 =
π rad
180
= 0,67π rad
De la formula:
ω =
φ
𝑡
Despejamos:
t =
φ
ω
Remplazamos términos:
t =
0,67π
2,35π s−1
t= 𝟎, 𝟐𝟖𝟑 𝒔

M.C.U.V.
Movimiento Circular Uniformemente Variado
El movimiento circular uniformemente variado o
MCUV es un movimiento de trayectoria circular con
aceleración angular constante. El MCUV también es
llamado movimiento circular uniformemente
acelerado (MCUA) o desacelerado.
El movimiento circular uniformemente acelerado
(M.C.U.A.), también llamado movimiento circular
uniformemente variado (M.C.U.V.) es un
movimiento de trayectoria circular en el que la
aceleración angular es constante. En él el vector
velocidad es tangente en cada punto a la trayectoria
y, además, varía uniformemente su módulo.

Rapidez angular (ω):
Indica el ángulo que el radio de giro barre por cada unidad de tiempo.
Por ejemplo, si nuestra bola realiza un movimiento circular y en un determinado instante tiene una rapidez
angular de π rad/s, eso significa que:
Significa que en 1 segundo, el radio de giro va a barrer un ángulo de π rad (o 180°).
Velocidad angular
Nos indica que tan rápido gira el cuerpo y en qué dirección lo hace. El módulo de la velocidad angular, es decir,
que tan rápido gira el cuerpo, es la rapidez angular.
Velocidad angular = rapidez angular + dirección.
En el MCUV, a medida que pasa el tiempo cambia la rapidez angular. Como cambia la rapidez angular, cambia
también la velocidad angular, y por ello, aparece la aceleración angular.
Aceleración angular (α)
Es una magnitud vectorial que indica el cambio de la velocidad angular por unidad de tiempo. En el MCUV, la
aceleración angular es constante, nunca va a cambiar

FORMULAS DE M.C.U.V.
ω0 : rapidez angular inicial (rad/s).
ωf : rapidez angular final (rad/s).
α : aceleración tangencial (rad/s2).
t : tiempo (s).
θ : ángulo barrido desplazamiento angular
(rad)
(V): Rapidez tangencial
(V): Velocidad tangencial
Angulo Barrido θ rad
Tiempo t s
Rapidez angular inicial Wo rad/s
Rapidez angular final Wf rad/s
Angulo  rad/s2
Sin ángulo barrido θ W𝑓 = 𝑊𝑜 ± ∗ 𝑡
Sin Rapidez angular
final
Wf
θ = 𝑊𝑜 ∗ 𝑡 ±
 ∗ t2
2
Sin Angulo 
θ = (
𝑊𝑜 + 𝑊𝑓
2
) ∗ 𝑡
Sin Tiempo t Wf2
= Wo2
± 2 ∗ θ
Se usa el signo:
(+) Rapidez Angular Aumenta(POSITIVO)
(-) Rapidez Angular Disminuye(NEGATIVO)
ECUACIONES ANGULARES

Rapidez tangencial (v):
Indica la longitud de arco que el objeto recorre por cada unidad de tiempo.
Por ejemplo, si nos dicen que nuestra bola en un determinado instante, tiene una rapidez tangencial de 20 m/s, eso significa que:
Este valor nos indica que en 1 segundo, la bola va a recorrer una longitud de arco de 20 metros.
La rapidez tangencial es el módulo de la velocidad tangencial.
Velocidad tangencial (v̄ )
La velocidad tangencial es una magnitud vectorial, por ello, se define mediante módulo y dirección.
El módulo de la velocidad tangencial «v
̄ » es la rapidez tangencial «v».
La dirección de la velocidad tangencial «v
̄ » es tangente a la circunferencia de la trayectoria, es decir, forma 90° con el radio de la
circunferencia.
En el MCUV, la rapidez angular cambia, por ello, cambia también la rapidez tangencial. Como cambia la rapidez tangencial
(módulo de la velocidad tangencial), aparece la aceleración tangencial.
Aceleración tangencial
Es una magnitud vectorial que indica el cambio de la velocidad tangencial por unidad de tiempo.
En un movimiento circular acelerado, la aceleración tangencial y la velocidad tangencial apuntan en el mismo sentido. En
movimiento desacelerado, la aceleración tangencial y la velocidad tangencial apuntan en sentido opuesto.

(at): aceleración tangencial
(Vo):Rapidez Tangencial inicial
(Vf): Rapidez Tangencial final
(t): Tiempo
(L): Longitud de arco
FORMULA
Aceleración L V𝑓 = 𝑉𝑜 ± 𝑎𝑡 ∗ 𝑡
Sin Rapidez Tangencial
final
Vf
𝐿 = 𝑉𝑜 ∗ 𝑡 ±
𝑎𝑡 ∗ t2
2
Aceleración tangencial at
𝐿 = (
𝑉𝑜 + 𝑉𝑓
2
) ∗ 𝑡
Sin Tiempo t Vf2
= Vo2
± 2𝑎𝑡 ∗ 𝐿
Se usa el signo:
(+) Rapidez Tangencial Aumenta(POSITIVO)
(-) Rapidez Tangencial Disminuye(NEGATIVO)
Longitud de arco h m km cm
Tiempo t s h s
Aceleración g m/s2
ECUACIONES TANGENCIALES

Aceleraciones
En el MCUV, a medida que pasa el tiempo, cambia la rapidez tangencial, que es el módulo de la velocidad tangencial. Como
cambia el módulo de la velocidad tangencial, aparece la aceleración tangencial.
También hay que mencionar que a medida que pasa el tiempo, cambia la dirección de la velocidad tangencial. Como cambia la
dirección de la velocidad tangencial, aparece la aceleración centrípeta.
Estas dos aceleraciones, tangencial y centrípeta, al sumarse vectorialmente, dan como resultado la aceleración o aceleración total.
Como la dirección de la aceleración tangencial es perpendicular a la dirección de la aceleración centrípeta, el módulo de la
aceleración se calcula así:
Fórmulas auxiliares
Tenemos algunas fórmulas auxiliares que nos permiten relacionar las variables angulares con las variables tangenciales.

Formulas
a = 𝑎𝑇2 − 𝑎𝑐2
L = θ ∗ R
V = ω ∗ R
aT =  ∗ R
ac =
v2
R
ac = ω2
∗ 𝑅
1 vuelta=2πrad
(R): Radio
(θ): ángulo barrido
(W):Rapidez angular
(𝒂 ):Aceleración
(𝒂𝑻): Aceleración Tangencial
(𝒂c): Aceleración Centrípeta
(L): Longitud de arco
(θ): ángulo barrido
(V):Rapidez angular inicial
(t): Tiempo
(): Ángulo
Cambia el modulo de 𝑽 𝒂𝑻
Cambia la dirección de 𝑽 𝒂𝒄
La aceleración centrípeta
siempre apunta al centro

Ejemplo 35: Un niño amarra una soga a una pelota como se muestra en la grafica. La
pelota realiza MCUV y tarda 4s en ir desde A hasta B. calcular el modulo de la
aceleración tangencial que experimenta.
Resolviendo; Ecuación Tangencial
Para hallar la aceleración utilizaremos:
V𝑓 = 𝑉𝑜 ± 𝑎𝑇 ∗ 𝑡
25 = 5 + 𝑎𝑇 ∗ 4
25 − 5
4
= 𝑎𝑇
20
4
= 𝑎𝑇
aT= 𝟓 𝒎/𝒔𝟐
Datos:
t=4s
a=??
VA=Vo=5m/s
VB=Vf=25m/s

Ejemplo 36: Una bola parte del reposo realizando un MCUV con una aceleración
angular de 2π rad/s2. determine el ángulo barrido por su radio de giro luego de 4s de
iniciar su movimiento tomando en cuenta el grafico.
Resolviendo; Ecuaciones Angulares
Para hallar la desplazamiento angular :
θ = 𝑊𝑜 ∗ 𝑡 ±
 ∗ t2
2
θ = 0 ∗ 𝑡 +
2π ∗ 42
2
θ = +
2π ∗ 16
2
𝛉 = 𝟏𝟔𝛑 𝒓𝒂𝒅
Datos:
ωo=0πrad/s
t=4s
θ=??
=2πrad/s

Ejemplo 37: Un ventilador gira con 10 rad/s. se desconecta y desacelera con MCUV
deteniéndose luego de 20s. ¿Cuántas vueltas dio hasta detenerse?
θ = (
𝑊𝑜 + 𝑊𝑓
2
) ∗ 𝑡
θ =
10π + 0
2
∗ 20
θ = 10π ∗ 10
𝛉 = 𝟏𝟎𝟎𝛑 𝒓𝒂𝒅
Datos:
ωo=10πrad/s
t=20s
θ=??
ωf=0πrad/s
Xq se esta deteniendo
Para hallar el numero de vueltas:
100π𝑟𝑎𝑑 ∗
1 𝑣𝑢𝑒𝑡𝑎
2π𝑟𝑎𝑑
=
𝐍º = 𝟓𝟎 𝒗𝒖𝒆𝒍𝒕𝒂𝒔

θ1 = 𝑊𝑜 ∗ 𝑡1 ±
 ∗ t12
2
θ1 = 0 ∗ 10 +
0,2π ∗ 102
2
θ1 = 0,1π ∗ 100
𝛉 𝟏 = 𝟏𝟎 𝛑 𝒓𝒂𝒅
Datos:
ωo=0πrad/s
t1=10s
θ=??
=0,2 πrad/s2
ωf=?
Ejemplo 38: Una partícula inicia un MCUV desde el reposo con una aceleración angular de
0,2π rad/s2 y lo mantiene durante 10s luego continua con MCU durante 50s. Determine el
numero de vueltas que realizo la partícula hasta dicho intervalo de tiempo.
Para hallar la rapidez angular :
W𝑓 = 𝑊𝑜 ± ∗ 𝑡
W𝑓 = 0 + 0,2π ∗ 10
W𝒇 = 𝟐 𝛑 𝒓𝒂𝒅

θ2 = 𝑊𝑓 ∗ 𝑡2
θ2 = 2π ∗ 50
𝛉 𝟐 = 𝟏𝟎𝟎 𝛑 𝒓𝒂𝒅
Datos:
ωf=2 πrad/s
t2=50s
θ2=??
Para hallar el numero de vueltas:
110π𝑟𝑎𝑑 ∗
1 𝑣𝑢𝑒𝑡𝑎
2π𝑟𝑎𝑑
=
𝐍º = 𝟓𝟓 𝒗𝒖𝒆𝒍𝒕𝒂𝒔
Ejemplo 38: Una partícula inicia un MCUV desde el reposo con una aceleración angular de
0,2π rad/s2 y lo mantiene durante 10s luego continua con MCU durante 50s. Determine el
numero de vueltas que realizo la partícula hasta dicho intervalo de tiempo.
Ángulos
θ 1 = 10 π 𝑟𝑎𝑑
θ 2 = 100 π 𝑟𝑎𝑑
𝜽 𝑻 = 𝟏𝟏𝟎 𝝅 𝒓𝒂𝒅

Para hallar el ángulo barrido utilizaremos:
ac = 4 ∗ 𝑎𝑇
Wf2
∗ 𝑅 = 4 ∗ ( ∗ θ)
(2 ∗ 𝜃) ∗ 𝑅 = 4 ∗ ( ∗ θ)
𝑅 =
4( ∗ θ)
2( ∗ θ)
𝐑 = 𝟐 𝒓𝒂𝒅
Ejemplo 39: Una partícula parte del reposo y describe con MCUV. Hallar el ángulo que ha
girado hasta el instante en el que el valor de su aceleración centrípeta es el cuádruple de su
aceleración tangencial.
Resolviendo
Para hallar la rapidez angular :
Wf2
= Wo2
± 2 ∗ ℎ
Wf2
= 02
+ 2 ∗ θ
𝐖𝒇𝟐 = 𝟐 ∗ 𝜽

Para hallar el ángulo barrido utilizaremos:
ac =
v2
R
Remplazamos datos:
v2
2
= 32
v2
= 32 ∗ 2
v2 = 64
V = 64
𝐕 = 𝟖 𝒎/𝒔
Ejemplo 40: Una partícula desarrolla un MCUV en un instante determinado, su aceleración
es de 40m/s2 formando un ángulo de 53º con la velocidad tangencial. Calcular la rapidez
tangencial en ese instante tomando en cuenta el grafico sen53º=4/5.
Resolviendo
Para hallar las aceleraciones :
𝑎𝑇 = 𝑎 ∗ 𝑐𝑜𝑠53º
𝑎𝑇 = 40 ∗ 𝑐𝑜𝑠53º aT=24m/s2
𝑎𝑐 = 𝑎 ∗ 𝑠𝑒𝑛53º
𝑎𝑐 = 40 ∗ 𝑠𝑒𝑛53º ac=32m/s2
Datos:
a=40 m/s2
R=2 m

 https://www.fisimat.com.mx/fisica/
 https://www.fisimat.com.mx/fisica/#_7_Hidraulica
 https://www.uaeh.edu.mx/scige/boletin/prepa4/n4/m14.html
 https://slidetodoc.com/mecnica-de-fluidos-hidrostatica-fsica-i-2018-
facultad/

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