Variable de estado y control digital.pdf

Jaime Rohten
JRohten@UBioBio.cl
1
UBB
410383, Teoría de Control II
410147, Var. de Est. y Cntr Digital
Representaciones de Estado y Matrices de
Transferencias
UNIVERSIDAD DEL BIO BIO, CONCEPCIÓN
Prof. Jaime Addin Rohten
Prof. Daniel Quezada

Introducción
• Características y descripción general de señales.
• Sistemas.
• Características. Clasificación de sistemas.
• Función escalón y formas de onda asociadas.
• Función impulso.
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2
UBB

Objetivos del Curso
• Al terminar este curso, el alumno debe poder modelar y estudiar un
sistemas lineales invariantes en tiempo a través de sus funciones de
transferencia y espacios de estados para sistemas multivariables.
• Aplicar realimenation de estado estudiando la controlabilidad y
observabilidad incluso en sistemas no completamente
controlables/obervables.
• Este curso utilizará los programas de MatLab, MatLab SimuLink y
PSim 9.0 para realizar las simulaciones requeridas durante el
proceso de la asignatura.
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3
UBB

Representación de Sistemas en Tiempo Continuo
Modelo Matemático
Un sistema básico que se puede representar en variables de estado se muestra
en la figura de la derecha. Las ecuaciones de estado que lo rigen son las
siguientes:
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4
UBB
( )
( )
1
a
a a a a m
m
e a m r l
l
r l l l
di
v R i L k
dt
d
t k i J k
dt n
d
k J t
dt


= + + 

= = +  − 

 −  = +
con: ; ; ;
m l
m l m r m r
d d
n n
dt dt
 
=  =   =   = 

Modelo Entrada/Salida
Si se considera como salida la
velocidad angular de la carga, y
aplicando la transformada de
Laplace, se tiene :
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5
UBB
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1
1 1
a a a a a m
e a m m r l
r l l l l
v s R i s L si s k s
t s k i s J d s k s s
n s s
k s s J d s t s
s s


= + + 
 
= =  +  − 
 
 
 
 −  =  +
 
 
Considerando tl = 0, la función de transferencia entre ωl y va está dada por:
( )
( ) 2 2 2 2
4 3 2
2 2
1
l
a l l a m
a a m l a l a
m
a a m l a m l a m l
kk
s
L kJ k n J L kn J kk
v s L J J n R J R k
s s s J s
L n L J J n L J J L J J

 

=
+ +  
+ + + + +
 
 
( )
( )
1
2 2 2 2
5 4 3 2
2 2
1
l
a l l a m
a a m l a l a
m
a a m l a m l a m l
kk n
s
L kJ k n J L kn J kk
v s L J J R J R k
s s s J s s
L n L J J n L J J L J J
−

 

=
+ +  
+ + + + +
 
 

Modelo en Ecuaciones Dinámicas
Esta representación está dada en ecuaciones de estado, donde es necesario definir cada
variable de estado
La representación en variables de estado queda como:
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6
UBB
1 2
2 1 3 5
2 2
3 4
4 1 3
5 2 5
1
1
m m m
l l l
a
a a a
x x
k
k k
x x x x
n J n J nJ
x x
k k
x x x p
J J J
nk R
x x x u
L L L


=
−
= + +
=
= − −
−
= − +
1 2 3 4 5
, , , , , ,
r r l l a a l
x x x x x i u v p t
=  =  =  =  = = =

Llevado a la forma matricial, se tiene la siguiente representación:
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7
UBB
1 1
2 2
2 2
3 3
4 4
5 5
0 1 0 0 0
0 0 0 0
0 0
0 0 0 1 0
0 0
0 0 0 0 1
1
0
0 0 0
m m m
l l
l
a
a
a a
k
k k
x x
n J n J nJ
x x
x x u p
k k
x x
J J
J
x x
nk R
L
L L


 
   
 
−    
 
   
   
 
   
   
 
   
   
 
   
= + +
   
 
   
−    
 
    −
   
 
   
       
 
−    
−
     
 
 
( )
0 0 0 1 0
y = x
Con las variables de estado definidas como: ( )
1 2 3 4 5
T
x x x x x
=
x

De la comparación de las distintas formas de representación de sistemas, existen
diferencias notorias.
Un ejemplo de ello es el grado de las distintas formas: (i) la forma en variables de
estado recién vista es de orden 5, mientras que (ii) la Función de Transferencia entre la
velocidad angular y el voltaje es de 4.
Esta importante temática de ordenes y grados será objeto de estudio durante la presente
asignatura.
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8
UBB

Expresión General Ecuaciones Dinámicas
• En General, las ecuaciones dinámicas para p entradas, m perturbaciones y q
salidas se escribe como:
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9
UBB
11 1 12 2 1 11 1 1 11 1 1
1
21 1 22 2 2 21 1 2 21 1 2
2
1 1 2 2 1 1 1 1
1
2
n n p p m m
n n p p m m
n n n nn n n np p n nm m
q
a x a x a x b u b u e p e p
x
a x a x a x b u b u e p e p
x
x a x a x a x b u b u e p e p
y
y
y
+ + + + + + + + +
 
 
 
  + + + + + + + + +
 
  =
 
 
 
   
+ + + + + + + + +
   
 
 
 
 
 
 
 
11 1 12 2 1 11 1 1 11 1 1
21 1 22 2 2 21 1 2 21 1 2
1 1 2 2 1 1 1 1
n n p p m m
n n p p m m
q q qn n q qp p q qm m
c x c x c x d u d u f p f p
+ + + + + + + + +
 
 
+ + + + + + + + +
 
=
 
 
 
+ + + + + + + + +
 

Expresión General Ecuaciones Dinámicas
• Las ecuaciones dinámicas tienen la forma general:
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10
UBB
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
,
t t t t t t t t
= + + = + +
x Ax Bu Ep y Cx Du Fp
en donde, x(t) = [x1 x2 … xn]T es el vector de variables de estado, u(t) = [u1 u2
… up]T es el vector de entradas, y(t) = [y1 y2 … yq]T el vector de salidas, p(t) =
[p1 p2 … pm]T el vector de perturbaciones.
Las Matrices A, B, C, D, E, F son las matrices de parámetros que poseen
dimensiones apropiadas para cumplir con la igualdad antes descrita.

Ejemplo:
Simule el sistema descrito por la figura considerando:
k = 500, n = 12, Jm = 8∙10-4, kφ = 0.05, Jl = 0.02, La = 50∙10-3, Ra = 1.2, va =
200u(t) – 100u(t – 3), y tl = 0.
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11
UBB

Diferencias entre Modelo Entrada/Salida y Ecuaciones
Dinámicas
1. El modelo E.S. supone c.i. nulas y por tanto, todo análisis supone el reposo como
condición inicial. Adicionalmente, no da cuentas del comportamiento interno del
sistema.
2. En sistemas desconocidos es preferible utilizar un modelo E.S., dado que es fácil
de obtenerlo experimentalmente.
3. Los sistemas con múltiples retardos quedan mejor representados por modelos E.S.
Las ecuaciones dinámicas, en general, requerirían en estos casos de
aproximaciones.
4. Las ecuaciones dinámicas contienen toda la información del sistema en sus
variables de estado. Normalmente, éstas tienen significado físico.
5. Las c.i. pueden ser fácilmente incluidas en una representación en ecuaciones
dinámicas.
6. Las ecuaciones dinámicas son de primer orden por lo que su resolución es simple.
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12
UBB

Diferencias entre Modelo Entrada/Salida y Ecuaciones
Dinámicas
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13
UBB
La comparación anterior indica una serie de ventajas de la representación en
variables de estado. Estas características serán aprovechadas en este curso.
Los sistemas físicos reales son normalmente sistemas no-lineales y para
estudiar su comportamiento en torno a un punto de operación se puede utilizar
la linealización como una alternativa de análisis.

Punto de Operación
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14
UBB
El punto de operación de los sistemas es sumamente importante y explica el
comportamiento de las variables de éste en función de las demás.
Definición: Se define punto de operación a los valores de entradas,
perturbaciones y variables de estado tal que satisface la siguiente igualdad:
,
= + + = + +
o o o o o o o
0 Ax Bu Ep y Cx Du Fp
Nótese que en un punto de operación las cantidades toman valores constantes.
Sistemas que en S.S. están oscilando serán sujeto de transformaciones para su
análisis con herramientas aquí expuestas.

Infinitas Representaciones en Variables de Estado
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15
UBB
Existen infinitas representaciones en variables de estado, puesto que la
ecuación de diferencia matricial dada por:
puede ser transformada a una nueva representación a través de una matriz T no
singular tal que:
Teniéndose una nueva representación tal que:
Esta última expresión se puede reescribir como:
con:
Donde los vectores de salida, entrada y perturbación no son afectados, siendo
una ventaja desde el punto de vista práctico.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
,
t t t t t t t t
= + + = + +
( ) ( ) ( ) ( )
1
t t t t
−
=  =
z Tx x T z
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1
,
t t t t t t t t
− − −
= + + = + +
T z AT z Bu Ep y CT z Du Fp
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1
,
t t t t t t t t
− −
= + + = + +
z TAT z TBu TEp y CT z Du Fp
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
,
t t t t t t t t
= + + = + +
T T T T T T
z A z B u E p y C z D u F p
1 1
, , , , ,
− −
= = = = = =
T T T T T T
A TAT B TB E TE C CT D D F F

Ejemplo
Para el sistema de la figura, no
necesariamente es requerido conocer la
posición angular θr, sino que es mejor
conocer la torsión del resorte dado por la
diferencia θr – θl. Para esto escriba la matriz
de transformación de manera de obtener la
nueva representación en variables de estado.
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16
UBB
1 0 1 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
−
 
 
 
 
=
 
 
 
 
T ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
1 3
2
3
4
5
1 0 1 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
x t x t
x t
t t t x t
x t
x t
 
−
−
 
 
 
 
 
 
 
= = =
 
 
 
 
   
   
z Tx x

Mínimo Número de Variables de Estado
El modelo de la figura puede ser
reescrito utilizando las variables de
estado asociadas al inductor, inercia del
motor, inercia de la carga, energía que
almacena el resorte; es decir sólo 4
ecuaciones de estado. Con esto, el
modelo queda de la siguiente forma:
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17
UBB
( )
1 3 4
2
2 3
3 1 2
4 1 4
1
1
1
m m
l l
a
a a a
k
x x x
n J nJ
k
x x p
J J
x k x x
nk R
x x x u
L L L


−
= +
= −
= −
−
= − +
Claramente, se necesitan sólo cuatro variables de
estado para modelar el sistema y no cinco como
fueron inicialmente consideradas.
x1 = ωr, x2 = ωl, x3 = tr, x4 = ia.

Mínimo Número de Variables de Estado
En general, determinar el mínimo
número de variables de estado que
representa a un sistema físico no es
directo; sin embargo, el número de
elementos que almacenan energía y/o
una equivalencia circuital siempre
debiera ayudar :
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UBB
( )
1 3 4
2
2 3
3 1 2
4 1 4
1
1
1
m m
l l
a
a a a
k
x x x
n J nJ
k
x x p
J J
x k x x
nk R
x x x u
L L L


−
= +
= −
= −
−
= − +

Linealización de Ecuaciones Dinámicas
La representación en variables de un sistema no lineal esta conformado por:
Que en sus componentes puede ser escrito como:
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19
UBB
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
, , , , ,
t t t t t t t t
= =
x f x u p y h x u p
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
1 1
1
1
2
2 2 2
, , , ,
, , , ,
,
, , , ,
q
n n q
f t t t h t t t
y t
x t
y t
x t f t t t h t t t
y t
x t f t t t h t t t
   
 
 
   
 
 
   
 
 
= =
   
 
 
   
 
 
   
   
   
   
x u p x u p
x u p x u p
x u p x u p

Linealización de Ecuaciones Dinámicas
Así, una representación lineal en torno a un punto de operación dador por uo,
xo, po, yo, se escribe
donde:
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20
UBB
( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
, , , , , ,
, ,
t t t t t t t t t
t t t
= = =
= = =
= = =
  
= = =
  
o o o
o o o
o o o
x x x x x x
u u u u u u
p p p p p p
f x u p f x u p h x u p
A B C
x u x
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
,
t t t t t t t t
 =  +  +   =  +  + 
x A x B u E p y C x D u F p
( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
, , , , , ,
, ,
t t t t t t t t t
t t t
= = =
= = =
= = =
  
= = =
  
o o o
o o o
o o o
x x x x x x
u u u u u u
p p p p p p
h x u p f x u p h x u p
D E F
u p p
Con:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
, , ,
t t t t t t t t
 = −  = −  = −  = −
o o o o
x x x y y y u u u p p p

Ejemplo Linealización
Para el sistema de la figura, se pide modelar el sistema,
conociendo que la ligazón entre el sistema eléctrico y
mecánico viene dado por la siguiente ecuación:
Con esto, las ecuaciones que rigen el sistema vienen
dados por:
Jaime Rohten
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21
UBB
2 2
1
m m m
i i
f k k
y a l x a
= =
+ − +
( )
2
0
2 m
di
e Ri L
dt
d x dx
m f mg k l x d
dt dt
= +
= − + − −

Si consideramos:
Jaime Rohten
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22
UBB
El modelo resultante es no lineal, por lo que se puede linealizar, llegando a las
siguientes matrices:
( )
1
1
2 3
2
3 1
0 2 3
1 2
1
m
R
x u
x L L
x x
x k x k d
g l x x
m l x a m m
 
− +
 
   
   
=
   
 
   
− + + − −
 
− +
 
1 2 3
, ,
x i x x x x
= = =
( )
2
2
1 1
/ 0 0 1/
0 0 1 , 0
0
2 m o m o
o o
R L L
k i d
k i k
m
m l x a m m
l x a
 
 
−  
 
 
 
= =
 
   
   
−
−
 
− + − +
 
A b

Con esto podemos definir la nueva representación en
variables de estado:
Jaime Rohten
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23
UBB
Donde c depende la elección de la salida. Supongamos
se desea conocer tanto la corriente como la altura de la
masa M, entonces la matriz c quedad da por:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
,
t t u t t t
 =  +   = 
x A x b y C x
1 0 0
0 1 0
 
=  
 
C
Simule el sistema considerando: R = 1Ω, L = 60∙10-3 mH, km = 3 ∙10-3, m = 0.2
kg, a = 0.02 m, l0 = 0.30 m, l1 = 0.60 m, d = 1.5 Ns/m, k = 24.5 Nm, g = 9.8
m/s2 para e(t) = u(t) = uou(t) + 3u(t – 2) – 4u(t – 5)V.
Compare el sistema no lineal y el sistema lineal, linealizado entorno a: x2o = l0

Los resultados de simulación se muestran en la figura
de abajo.
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24
UBB
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
10
15
20
Tiempo (seg)
corriente
(A)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0.2
0.3
0.4
Tiempo (seg)
posición
(m)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-0.5
0
0.5
Tiempo (seg)
velocidad
(m/s)
lineal
no lineal
lineal
no lineal
lineal
no lineal

Representación de Sistemas Alternos
La mayor parte de los sistemas alternos son alternos y trifásicos,
teniendo una gran importancia sistemas eléctricos y electrónicos de
potencia. Los sistemas eléctricos alternos se representan muy bien por
una amplitud, una frecuencia y una fase. El vector de voltaje o corriente
se pueden escribir como:
Jaime Rohten
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25
UBB
( )
( )
( )
sin
sin 120
sin 240
a
abc b
c
V t
V t
V t
 

 
=  − 
 
 
 
 − 
 
v
( )
( )
( )
sin
sin 120
sin 240
a
abc b
c
I t
I t
I t
 
 − 
 
=  −  − 
 
 
 
 −  − 
 
i

Transformada abc a αβ0
Existe una transformación que lleva al vector x (corriente o voltaje) de
ejes abc a αβ0:
donde:
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26
UBB
( ) ( ) ( )
0
0
abc
abc
t t t

−
=
x T x
( )
0
1 1/ 2 1/ 2
2
0 3 / 2 3 / 2
3
1/ 2 1/ 2 1/ 2
abc t
−
− −
 
 
= −
 
 
 
T

El caso particular de variables balanceadas (que se cumple en la mayoría de
los casos):
La transformada queda como:
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27
UBB
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
sin
sin 120
sin 240
a
abc b
c
x t X t
t x t X t
X t
x t
   

   
= =  − 
   
   
   − 
 
 
x
( )
( )
( )
( )
( )
( )
0
0
3/ 2 sin
3/ 2 cos
0
X t
x t
t x t X t
x t

 
 

 
 
 
 
= = − 
 
 
 
   
   
x
Lo que implica que se pasa de un problema tridimensional a uno
bidimensional.

La transformada inversa de αβ0 a abc existe y cumple que::
donde:
La transformación antes descrita no mapea cantidades alternas a cantidades
continuas, sin embargo deja en evidencia que si el vector trifásico es
balanceado, sólo se requiere de dos variables para representar esta variable.
Jaime Rohten
JRohten@UBioBio.cl
28
UBB
( ) ( ) ( )
1
0 0 0
T
abc abc abc
t t t
−
 − − −
= =
T T T
( ) ( ) ( ) ( )
0 0
0
1 0 1/ 2
2
1/ 2 3 / 2 1/ 2
3
1/ 2 3 / 2 1/ 2
abc
abc
t t t t
 
 −
 
 
= = −
 
 
 
− −
 
x T x x

Transformada αβ0 a dq0
También existe una transformación que lleva variables alternas a variables
continua, con esto se puede usar toda la taoería de control clásico para sistemas
alternos. La transformación de αβ0 a dq0 es tal que:
donde:
Nótese que esta transformada es variante en el tiempo.
Jaime Rohten
JRohten@UBioBio.cl
29
UBB
( ) ( ) ( )
0 0
0 0
dq
dq
t t t

 −
=
x T x
( )
( ) ( )
( ) ( )
0 0
sin cos 0
cos sin 0
0 0 1
dq
t t
t t t
 −
 
 − 
 
=  
 
 
 
T

Transformada abc a dq0
De lo anterior, se puede encontrar la transformada que va desde ejes abc a dq0
dada por:
donde:
Jaime Rohten
JRohten@UBioBio.cl
30
UBB
( ) ( ) ( )
0
0
dq abc
abc dq
t t t
−
=
x T x
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
0
sin sin 120 sin 240
2
cos cos 120 cos 240
3
1/ 2 1/ 2 1/ 2
abc dq
t t t
t t t t
−
 
  −   − 
 
=   −   − 
 
 
 
T

Transformada abc a dq0
Para
Para:
Tarea: Demostrar lo anterior
Jaime Rohten
JRohten@UBioBio.cl
31
UBB
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
sin
sin 120
sin 240
a
abc b
c
x t X t
t x t X t
X t
x t
   

   
= =  − 
   
   
   − 
 
 
x ( )
( )
( )
( )
0
0
3/ 2
0
0
d
dq q
x t X
t x t
x t
   
   
= =
   
   
   
 
x
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
sin
sin 120
sin 240
a
abc b
c
x t X t
t x t X t
X t
x t
   
 − 
   
= =  −  − 
   
   
   −  − 
 
 
x ( )
( )
( )
( )
( )
( )
0
0
3/ 2 cos
3/ 2 sin
0
d
dq q
X
x t
t x t X
x t
 

 
 
 
 
= = 
 
 
 
   
   
x

Ejemplo:
La figura de la derecha muestra
un circuito trifásico, el cual es
alimentado por una fuentes vs y
se controla a través de la
variable u. modelar el sistema en
ejes rotatorios.
Jaime Rohten
JRohten@UBioBio.cl
32
UBB
El modelo del circuito se encuentra a través de las leyes de Kirchhoff.
( ) ( )
( )
( )
abc
abc abc abc
s s
d t
t R t L u t
dt
= + +
s
s s C
i
v i v
( )
( ) ( )
abc abc
abc d t t
t C
dt R
= +
C C
s
v v
i
vs
abc
Ls
Rs
+
-
+
uvC
abc
-
C R
is
abc
+
vC
abc
-
is
abc

Ejemplo:
Al aplicar la transformada de
ejes estacionarios a ejes
rotatorios se tienen las
siguientes ecuaciones de
estados.
Jaime Rohten
JRohten@UBioBio.cl
33
UBB
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
0
0
0 0 0
0 0 0
dq
dq abc
dq dq dq
dq abc s dq abc s dq abc
d t t
t t R t t L u t t
dt
−
− − −
= + +
s
s s C
T i
T v T i T v
( )
( ) ( ) ( ) ( )
0 0
0 0
0
0
dq dq
dq abc dq abc
dq
dq abc
d t t t t
t C
dt R
− −
− = +
C C
s
T v T v
T i
Es necesario encontrar la derivada de la multiplicación entre la transformada y la
variable, lo que lleva a:
( ) ( )
  ( ) ( )
  ( )
  ( )
0 0 0
0 0 0
dq dq dq
dq abc dq abc dq abc
d d d
t t t t t t
dt dt dt
− − −
= +
T x T x T x
vs
abc
Ls
Rs
+
-
+
uvC
abc
-
C R
is
abc
+
vC
abc
-
is
abc

Ejemplo:
Jaime Rohten
JRohten@UBioBio.cl
34
UBB
Esta derivada se puede escribir como:
( )
 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
0
sin cos 1/ 2
2
sin 120 cos 120 1/ 2
3
sin 240 cos 240 1/ 2
cos sin 0
2
cos 120 sin 120 0
3
cos 240 sin 240 0
sin cos 1/ 2
2
sin 120 cos 120
3
dq abc
t t
d d
t t t
dt dt
t t
t t
t t
t t
t t
t t
−
 
 
 
=  −   − 
 
 
 
 −   − 
 
 
  − 
 
=   −  −  − 
 
 
  −  −  − 
 
 
=  −   − 
T
( ) ( )
( )
0
0 0
1/ 2 0 0
0 0 0
sin 240 cos 240 1/ 2
dq abc
t t
t
−
  −
 
  

  
  
 
 −   −   
 
= T W

Ejemplo:
Así, el modelo del circuito
queda de la siguiente forma:
Jaime Rohten
JRohten@UBioBio.cl
35
UBB
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
0
0 0 0
0 0
0
0
0 0
dq abc
dq dq dq
dq abc s dq abc s
dq
dq
s dq abc dq abc
d t
t t R t t L t
dt
d t
L t u t t
dt
−
− −
− −
= + +
+
s s s
s
C
T
T v T i i
i
T T v
( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
0
0
0 0
0 0
0 0
dq
dq
dq abc dq abc
dq dq
dq abc dq abc
d t t t
d t
t C t C t
dt dt R
− −
− −
= + + C
C
s C
T T v
v
T i v T
vs
abc
Ls
Rs
+
-
+
uvC
abc
-
C R
is
abc
+
vC
abc
-
is
abc

Ejemplo:
Así, el modelo del circuito
queda de la siguiente forma:
Jaime Rohten
JRohten@UBioBio.cl
36
UBB
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
0 0 0
0 0 0
0
0
0 0
dq dq dq
dq abc s dq abc s dq abc
dq
dq
s dq abc dq abc
t t R t t L t t
d t
L t u t t
dt
− − −
− −
= + +
+
s s s
s
C
T v T i T Wi
i
T T v
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
0
0
0
0 0
0 0 0
dq
dq
dq abc
dq dq
dq abc dq abc dq abc
t t
d t
t C t t C t
dt R
−
− − −
= + + C
C
s C
T v
v
T i T Wv T
vs
abc
Ls
Rs
+
-
+
uvC
abc
-
C R
is
abc
+
vC
abc
-
is
abc

Ejemplo:
Multiplicando por la inversa de
la transformada por el lado
izquierdo, se llega al siguiente
set de ecuaciones
Jaime Rohten
JRohten@UBioBio.cl
37
UBB
( ) ( ) ( )
( )
( )
0
0 0 0 0
dq
dq dq dq dq
s s s
d t
t R t L t L u t
dt
= + + +
s
s s s C
i
v i Wi v
( )
( ) ( )
0 0
0 0
dq dq
dq dq d t t
C t C
dt R
= + +
C C
s C
v v
i Wv
vs
abc
Ls
Rs
+
-
+
uvC
abc
-
C R
is
abc
+
vC
abc
-
is
abc

Ejemplo:
Así, la representación en
variables de estado queda de la
siguiente forma:
Jaime Rohten
JRohten@UBioBio.cl
38
UBB
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 1
1 1
d
s d q d d
s
s s C s
s s s
q
s q d q q
s
s s C s
s s s
di t R
i t i t uv t v t
dt L L L
di t R
i t i t uv t v t
dt L L L
−
= +  − +
−
= −  − +
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
1
1
d d
C C q d
C s
q q
C C d q
C s
dv t v t
v t i
dt CR C
dv t v t
v t i
dt CR C
= − +  +
= − −  +
vs
abc
Ls
Rs
+
-
+
uvC
abc
-
C R
is
abc
+
vC
abc
-
is
abc

Ejemplo:
Simule el sistema antes
mencionado en considerando Rs =
1Ω, Ls = 10mH, C = 100 μF, R =
17.
Jaime Rohten
JRohten@UBioBio.cl
39
UBB
vs
abc
Ls
Rs
+
-
+
uvC
abc
-
C R
is
abc
+
vC
abc
-
is
abc
Considere además que la entrada u(t) = 0.25∙u(t) + 0.5∙u(t – 0.04), vs
d(t) = 381∙u(t) +
0.7∙381∙u(t – 0.08), vs
q = 0.
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12
-50
0
50
100
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12
-50
0
50
100
is
d
is
q
vs
d
vs
q
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12
-100
-50
0
50
100
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12
-2000
-1000
0
1000
2000
is
a
is
q
is
c
vs
a
vs
q
vs
c

Representación de Sistemas Discretos
La forma que ha tomado más y más fuerza el último tiempo es el control
discreto, es por ello que representaciones discretas de sistemas toma
relevancia.
Si la representación en variables de estado del sistema está dada por:
La del actuador dada por:
El sensor transmisor dado por:
Jaime Rohten
JRohten@UBioBio.cl
40
UBB
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
,
t t t t t t t t
= + + = + +
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
,
t t t t t t
= + = +
a a a a
η A η B v u C η D v
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
,
t t t t t t
= + = +
st st s st st
γ A γ B y y C γ D y

El sistema completo, sin considerar el control, posee la siguiente
representación en variables de estado
Que puede ser reducido a:
Jaime Rohten
JRohten@UBioBio.cl
41
UBB
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )
t t
t t t t
t t
t
t t t t
t
     
   
     
   
= + +
     
   
   
 
   
   
 
   
 
 
= + +
 
 
 
a
a
a a
st a st st st
st a
s st a st st st a st
η η B
A 0 0 0
x BC A 0 x BD v E p
B DC B C A B F
B DD
γ γ
η
y D DC D C C x D DD v D Fp
γ
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
t t t t
t t t t
= + +
= + +
T T T T T
s T T T T
x A x B v E p
y C x D v F p

La Representación Discreta total puede quedar definida por:
Jaime Rohten
JRohten@UBioBio.cl
42
UBB
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
kT T kT kT kT
kT kT kT kT
+ = + +
= + +
d d T d d
s d T d d
x A x B v E p
y C x D v F p
( ) ( ) ( )
0 0
, ,
, ,
T T
t t
t
t e e d e d
− −
= = =  = 
= = =
 
T T
T A A
A
d d T d T
d T d T d T
A Φ B B E E
C C D D F F
donde:

Representación de Sistemas Discretos con Retardo
El sistema completo, sin considerar el control, posee la siguiente
representación en variables de estado
Que puede ser reducido a:
Jaime Rohten
JRohten@UBioBio.cl
43
UBB
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )
r
r
t t
t t t t t
t t
t
t t t t t
t
     
   
     
   
= + − +
     
   
   
 
   
   
 
   
 
 
= + − +
 
 
 
a
a
a a
st a st st st
st a
s st a st st st a st
η η B
A 0 0 0
x BC A 0 x BD v E p
B DC B C A B F
B DD
γ γ
η
y D DC D C C x D DD v D Fp
γ
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
r
r
t t t t t
t t t t t
= + − +
= + − +
T T T T T
s T T T T
x A x B v E p
y C x D v F p

Jaime Rohten
JRohten@UBioBio.cl
44
UBB
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
r
r
kT T kT kT t kT
kT kT kT t kT
+ = + − +
= + − +
T d T d d
s d T d d
x A x B v E p
y C x D v F p
Con tr = lT, se tiene
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
kT T kT kT lT kT
kT kT kT lT kT
+ = + − +
= + − +
T d T d d
s d T d d
x A x B v E p
y C x D v F p
Si definimos:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1
2
l
kT kT lT
kT kT lT T
kT kT T
= −
= − +
= −
w v
w v
w v
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 2
2 3
2
l
kT T kT lT T kT
kT T kT lT T kT
kT T kT
+ = − + =
+ = − + =
+ =
w v w
w v w
w v

Jaime Rohten
JRohten@UBioBio.cl
45
UBB
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1 1
2 2
1 1
0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 1
l l
l l
kT T kT
kT T kT
kT T kT
kT
kT T kT
kT T kT
− −
   
+  
   
    
   
+
    
   
    
   
+
   
= + + 
   
    
   
    
   
+
    
   
   
     
+
   
T T
d
d d
x x E
A B 0 0 0 0
w w
0
w w
0
v
0
w w
0
w w
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1
2
1
0 0 0 0
l
l
kT
kT
kT
kT
kT kT
kT
kT
−







 
 
 
 
 
= +
 
 
 
 
 
T
s d d d
p
x
w
w
y C D F p
w
w

Representación de Sistemas Continuos
Matriz de Transferencia Sistemas Continuos
La Matriz de Transferencia (M. de T.) es la relación que existe entre las salidas
y las entradas, es decir asumimos p(t) = 0.
Jaime Rohten
JRohten@UBioBio.cl
46
UBB
Para sistemas continuos, la relación que existe entre la entrada y la salida en el
plano de Laplace es el siguiente:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )  
, /
t t t t t t
= + = +
x Ax Bu y Cx Du L
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0 ,
s s s s s s
− = + = +
I A x x Bu y Cx Du
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1
0 ,
s s s s s s s
− −
= − + − = +
x I A Bu I A x y Cx Du
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1
0
s s s s s
− −
= − + − +
y C I A Bu C I A x Du
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0 ,
s s s s s s s
− = + = +
x x Ax Bu y Cx Du

Def. La Matriz de Transferencia (M. de T.) se define como la relación entre las
entradas u(s) y las salidas y(s), considerando condiciones iniciales nulas.
De esta forma, la salida de un sistema se puede escribir como:
Jaime Rohten
JRohten@UBioBio.cl
47
UBB
( ) ( )
1
s s
−
= − +
H C I A B D
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
0
s s s s
−
= + −
y H u C I A x

Ejemplo Matriz de Transferencia Sistemas Continuos
Considere el sistema dado por la siguiente representación en variables de
estado:
Determine la Matriz de Transferencia H(s).
Jaime Rohten
JRohten@UBioBio.cl
48
UBB
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1 1 1
2 2 2
1
1
2
2
3
0 1 2 1
1 2 3 2
1 0
0 2
1 1
x t x t u t
x t x t u t
y t
x t
y t
x t
y t
     
−
   
= +
     
   
     
− − − −
   
     
   
 
   
=  
    
 
   
−
 
 

Nótese que cada elemento de H(s) es una función de transferencia, donde:
Jaime Rohten
JRohten@UBioBio.cl
49
UBB
( ) ( )
 
 
   
 
1
Adj
det
Adj det
det
T
T
s s
s
s
s s
s
−
= − +
−
= +
−
− + −
=
−
H C I A B D
I A
C B D
I A
I A B D I A
C
I A
Notas
- El det{sI – A} es un escalar que es común denominador a todos los
términos de H(s).
- Si la matriz D no es idénticamente nula, entonces algunos (o todos) los
elementos de H(s) serán propios (orden numerador igual al denominador).

La utilización de una transformada T invariante en el tiempo, no afecta el
resultado de la M. de T..
Jaime Rohten
JRohten@UBioBio.cl
50
UBB
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1
1
1 1
1
1 1
1
1 1
1
s s
s
s
s
s
s
−
−
− −
−
− −
−
− −
−
= − +
= − +
= − +
= − +
= − +
=
T T T T T
H C I A B D
CT I TAT TB D
CT T I A T TB D
CT T I A T TB D
C I A B D
H

Matriz de Transferencia Sistemas Discretos
Jaime Rohten
JRohten@UBioBio.cl
51
UBB
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )  
, /
kT T kT kT kT kT kT
+ = + = +
x Ax Bu y Cx Du Z
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0 ,
z z z z z z z
− = + = +
I A x x Bu y Cx Du
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1
0 ,
z z z z z z z z
− −
= − + − = +
x I A Bu I A x y Cx Du
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1
0
z z z z z z
− −
= − + − +
y C I A Bu C I A x Du
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0 ,
z z z z z z z z
− = + = +
x x Ax Bu y Cx Du
Para sistemas discretos, la relación que existe entre la entrada y la salida en el
plano de Laplace es el siguiente:

Matriz de Transferencia Sistemas Discretos
Def. La Matriz de Transferencia (M. de T.) se define como la relación entre las
entradas u(z) y las salidas y(z), considerando condiciones iniciales nulas.
De esta forma, la salida de un sistema se puede escribir como:
Jaime Rohten
JRohten@UBioBio.cl
52
UBB
( ) ( )
1
z z
−
= − +
H C I A B D
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
0
z z z z z
−
= + −
y H u C I A x

Retardos en Sistemas del Tipo MIMO
Los retardos son parte de todos los procesos y aunque en muchos de ellos se
puede obviar dicho retardo, en algunos casos es necesario tomarlo en
consideración. En particular, para un sistema en lazo cerrado, se puede escribir
la siguiente relación entre la referencia y la salida:
Así se describen dos tipos de retardos:
1. Retardo único en la Matriz de Transferencia.
2. Múltiples retardos en la Matriz de Transferencia.
Jaime Rohten
JRohten@UBioBio.cl
53
UBB
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1
s s s s s s s
−
= + st ref
y I C G H C G y
-
+
yref (s) y (s)
v (s)
ys (s)

Retardo Único
En el caso de tener un único retardo, la M. de T. se puede reescribir para
términos prácticos como:
Donde la M. de T. en L.C. quedaría
Lo cual complica considerablemente el análisis.
Jaime Rohten
JRohten@UBioBio.cl
54
UBB
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1
r r
t s t s
s s s
s e s e s s
− −
−
= + st ref
y I H C C y
G G
( ) r
t s
s e−
G

Es posible encontrar la M. de T. del predictor del esquema recién mostrado:
Retardo Único
Predictor Smith Para solucionar el problema generado por este retardo se
puede usar el predictor Smith que se muestra en la figura.
Jaime Rohten
JRohten@UBioBio.cl
55
UBB
( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
1
1 r
t s
s s e s s s
−
−
= + − m
v I C P C e
-
+
-
+
Predictor
v (s)
yref (s) y (s)
ys (s)

Retardo Único
De esta forma, la Matriz de Transferencia se puede encontrar de la siguiente
forma:
Jaime Rohten
JRohten@UBioBio.cl
56
UBB
-
+
-
+
Predictor
v (s)
yref (s) y (s)
ys (s)
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
  ( ) ( ) ( )
1
*
1
*
r r
r
t s t s
t s
s s s
s s
s e s e
s s
e
s s s s s
− −
−
−
−
= +
= +
st ref
st ref
y I H y
y I C H G C G y
C G C G
( ) ( ) ( ) ( )
  ( ) ( )
1
r
t s
s s s s s s e
− −
= +
LC st
H I C H G C G
Con:

Ejemplo Retardo Único
Para el sistema dado por:
Jaime Rohten
JRohten@UBioBio.cl
57
UBB
( ) ( ) ( )
, , 1
r
p t s c
c st
k k
g s e h s h s
s s a
−
= = =
+
Con esto, la función de transferencia pm(s) = kp/s. llegando a la función de
transferencia en L.C. dada por:
( )
( ) 2
r r
p c p c
t s t s
LC
p c p c
k k k k
h s e e
s s a k k s as k k
− −
= =
+ + + +
Escogiendo a = 2ξωn y kckp = ωn
2 ⇒ kc = ωn
2/kp se tiene un sistema de segundo
estándar con un retardo tr.

Simulación Predictor Smith:
Jaime Rohten
JRohten@UBioBio.cl
58
UBB
0 5 10 15
-0.5
0
0.5
1
1.5
tr
= 0.1 seg
0 5 10 15
0
0.5
1
1.5
2
t
r
= 0.5 seg
0 5 10 15
-2
0
2
4
tr
= 1 seg
u y y Pred. Smith
u y y Pred. Smith
u y y Pred. Smith

Simulación con retardo en el control del 50% del real tr control = 0.5tr:
Jaime Rohten
JRohten@UBioBio.cl
59
UBB
0 5 10 15
-0.5
0
0.5
1
1.5
tr
= 0.1 seg
0 5 10 15
0
0.5
1
1.5
2
t
r
= 0.5 seg
0 5 10 15
-2
0
2
4
tr
= 1 seg
u y y Pred. Smith
u y y Pred. Smith
u y y Pred. Smith

Simulación con retardo en el control del 150% más del real tr control = 1.5tr:
Jaime Rohten
JRohten@UBioBio.cl
60
UBB
0 5 10 15
-0.5
0
0.5
1
1.5
tr
= 0.1 seg
0 5 10 15
0
0.5
1
1.5
2
t
r
= 0.5 seg
0 5 10 15
-2
0
2
4
tr
= 1 seg
u y y Pred. Smith
u y y Pred. Smith
u y y Pred. Smith

Retardos Múltiples
Los sistemas pueden tener distintos retardos referentes a distintas entradas, los
cuales resulten en una tardía respuesta de la salida. La función de transferencia
en este caso está dada por la siguiente expresión:
Jaime Rohten
JRohten@UBioBio.cl
61
UBB
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 2
1 2
1 2
1 2
1 11 12 1 1
2 21 22 2 2
1 2 2
1 2
rj rp
r r
rj rp
r r
rj rp
r r
r r
st st
st st
j p
st st
st st
j p
st st
st st
k k k kj p
st st
q q q qj
y s g s e g s e g s e g s e
y s g s e g s e g s e
− −
− −
− −
− −
− −
− −
−
− −
 
 
 
 
  =
 
 
 
 
  ( )
( )
( )
( )
( )
1
2
rj rp
j
st st
p
qp
u s
u s
u s
u s
g s e
−
  
  
  
  
  
  
  
  
  
 
 

Retardos Múltiples
Queda:
Jaime Rohten
JRohten@UBioBio.cl
62
UBB
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
1
2
1
1
11 12 1 1
2
2 21 22 2 2
1 2 2
1 2
r
r
rj
rp
st
j p
st
j p
st
k k kj p
k j
st
q q qj qp
q p
e u s
y s g s g s g s g s
e u s
y s g s g s g s g s
g s g s g s g s
y s e u s
g s g s g s g s
y s e u s
−
−
−
−
 
   
   
   
   
  =
  
   
   
   
 
   
 
   
Con esto, se puede buscar el retardo más grande trj el cual servirá de base para
asignar las nuevas entradas de control.

Retardos Múltiples
Con esto el vector de entrada se redefine como:
Jaime Rohten
JRohten@UBioBio.cl
63
UBB
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1 1
2 2
1 1
2 2
rj r r rj
rj r rj
r
rj
rj rj rj
rj
rj rp rp
s t t st st
s t t st
st
st
s t t st
j
j
st
s t t st
p
p
e e u s e v s
e e u s e v s
e v s
e e u s
e v s
e e u s
− − − −
− − −
−
−
− − −
−
− − −
   
   
   
   
   
=
   
   
   
   
   
   
 

Retardos Múltiples
Así, el sistema resultante queda con un único retardo y la ecuación se puede
escribir como:
Jaime Rohten
JRohten@UBioBio.cl
64
UBB
Al tener retardo único, se puede aplicar técnicas de control como el Predictor
Smith antes mencionado.
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
1
1
11 12 1 1
2
2 21 22 2 2
1 2 2
1 2
rj
j p
j p
st
k k kj p j
k
q q qj qp
q p
v s
y s g s g s g s g s
v s
y s g s g s g s g s
e
g s g s g s g s v s
y s
g s g s g s g s
y s v s
−
 
  
 
  
 
  
 
  
 
  =
 
 
  
 
  
 
  
  
  
   

Retardos Múltiples
En resumen
Jaime Rohten
JRohten@UBioBio.cl
65
UBB

Valores y Vectores Propios
Así, el sistema resultante queda con un único retardo y la ecuación se puede
escribir como:
Jaime Rohten
JRohten@UBioBio.cl
66
UBB
Al tener retardo único, se puede aplicar técnicas de control como el Predictor
Smith antes mencionado.
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
1
1
11 12 1 1
2
2 21 22 2 2
1 2 2
1 2
rj
j p
j p
st
k k kj p j
k
q q qj qp
q p
v s
y s g s g s g s g s
v s
y s g s g s g s g s
e
g s g s g s g s v s
y s
g s g s g s g s
y s v s
−
 
  
 
  
 
  
 
  
 
  =
 
 
  
 
  
 
  
  
  
   

Los valores y vectores propios están asociados mucho a la física de la
modelación de sistemas. En particular para sistemas del tipo:
los valores y vectores propios de A describen las dinámicas y las trayectorias
de la respuesta asociada. Es más, en capítulos posteriores se verá cómo
manipular estos valores con la finalidad de lograr algún comportamiento
deseado distinto al comportamiento inicial.
Jaime Rohten
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67
UBB
= +
x Ax Bu

Los valores propios o autovalores de una matriz A se puede obtener de un
polinomio del mismo orden de la matriz que se encuentra como:
siendo las raíces del polinomio p(λ) (es decir λ1, λ2,…, λn) los autovalores de
A.
Cada valor propio de A tiene asociado un vector propio compuesto por:
Jaime Rohten
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68
UBB
( ) ( )( ) ( )
1 1
1 1 0 1 2
n n
n n
p a a a
−
−
 =  − =  +  + +  + =  −   −   − 
I A
 
, 1,2,...,
i i i i n
=  
Av v

Propiedades de los valores y vectores propios
Siendo λi, y vi un valor propios y un vector propio de A respectivamente,
entonces:
i. Hay n valores y vectores propios de A.
ii. Los vectores propios de A son linealmente independientes y forman una
base en .
iii. El valor propio λi también es valor propio de AT.
iv. El vector propio kvi también es un vector propio de A (k ≠ 0).
v. Los valores propios de AT = TAT-1 también son λi. (demostrar en clases)
vi. Los vectores propios de AT = TAT-1 son Tvi. (demostrar en clases)
vii. El Teorema de Cayley-Hamilton dice que:
Jaime Rohten
JRohten@UBioBio.cl
69
UBB
n
1 1
1 1 0
n n
n
a a a
−
−
+ + + + =
A A A I 0

Propiedades de los valores y vectores propios (continuación)
viii. λi – k es un valor propio de A – kI.
ix. kλi es un valor propio de kA.
x. λi
m es un valor propio de Am.
xi. kmλ1
m + km – 1λ1
m – 1 + ∙∙∙ + k1λ1 + k0 es un valor propio de km Am + km – 1 A
m – 1 + ∙∙∙ + k1 A 1 + k0I.
xii. 1/λi es un valor propio de A–1.
xiii. eλit es un valor propio de eAt.
xiv. vi es un vector propio de eAt.
xv. La suma de los valores propios es igual a la traza de A (suma de los
elementos de la diagonal de A). Es decir:
Jaime Rohten
JRohten@UBioBio.cl
70
UBB
 
1
tr
n
i
i=
 =
 A
( )
m

Propiedades de los valores y vectores propios (continuación)
xvi. El producto de los valores propios es igual al determinante de A.
xvii. λi
m es un valor propio de Am.
xviii. La matriz MN y la matriz NM tienen idénticos valores propios distintos
de cero, siendo M de p∙q y N es de q∙p . Específicamente, si p > q la
matriz MN y NM tienen q valores propios idénticos y además la matriz
MN tiene p – q valores propios idénticos a cero.
Jaime Rohten
JRohten@UBioBio.cl
71
UBB
 
1
det
n
i
i=
 =
 A

Propiedades de las Matrices
i. (M + N)T = MT + NT.
ii. (MN)T = NTMT.
iii. Si MT = M, entonces M es simétrica.
iv. Si MT = -M, entonces M es skew-simétrica.
v. Si MT = M-1, entonces M es ortogonal.
vi. Si MT = M, entonces M es simétrica.
vii. Si M*T = MH = M, entonces M es Hermitian.
viii. Si M*T = M-1, entonces M es unitaria.
ix. S = (1/2)(M + MT) es simétrica.
x. R = (1/2)(M – MT) es skew-simétrica.
xi. MMT es simétrica.
Jaime Rohten
JRohten@UBioBio.cl
72
UBB

Propiedades de las Matrices
xii. (MN)-1 = N-1M-1.
xiii. (M-1)T = (MT)-1.
xiv. det{MT} = det{M}.
xv. det{MN} = det{NM} = det{M} det{N}.
xvi. det{kM} = kndet{M}.
Jaime Rohten
JRohten@UBioBio.cl
73
UBB

Formas Canónicas
Las formas canónicas buscan representar cualquier sistema modelado en la
forma de variables de estado en un nuevo set de ecuaciones que cumplen
ciertas características. Dentro de ellas hay algunas muy conocidas como la
forma canónica controlable, la forma canónica observable y la forma
canónica diagonal o de Jordan.
En cada caso, se utiliza una transformación T, que cambia el set de variables
de estado a una nueva tal que z = Tx.
Con dicha transformación T, en sistemas SISO se logran importantes
propiedades que serán utilizadas a lo largo de este curso.
La función de Transferencia base para estos casos será considerada como:
Jaime Rohten
JRohten@UBioBio.cl
74
UBB
( )
1
1 1 0
1
1 1 0
m m
m m
n n
n
b s b s b s b
h s
s a s a s a
−
−
−
−
+ + + +
=
+ + + +

Formas Canónicas
Forma Canónica Controlable
Primero, se estudia la forma canónica controlable, con T = (CM)-1 = M-1C-1,
donde:
Jaime Rohten
JRohten@UBioBio.cl
75
UBB
2 1
n−
 
=  
B AB A B A B
C
2
1 1
3
2
1
1
1 0
1 0 0
0 0 0
1
n
n
a
a a
a
a
a
−
−
 
 
 
 
=
 
 
 
 
M
De aquí, se pueden definir las matrices de la transformación como:
( ) ( ) ( ) ( )
( )
1 1 1
1
, , ,
, ,
− − −
−
= = = = = =
= = =
T T T
T T T
A TAT M A M B TB M B E TE M E
C C M D D F F
C C C C
C

Formas Canónicas
Con esto, las matrices AT y BT quedan como:
Jaime Rohten
JRohten@UBioBio.cl
76
UBB
0 1 2 1
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
n
a a a a −
 
 
 
=  
 
 
 
− − − −
 
T
A
Nótese que esta representación existe sólo en el caso que det{T} ≠ 0, es decir
det{C} ≠ 0 y det{M} ≠ 0, debido a que T = (CM)-1 = M-1C-1. Por otro lado, se
puede demostrar que que el det{M} es 1 ó -1. Por lo tanto, esta forma canónica
se puede lograr sólo en el caso que C sea no singular. Esta matriz se conoce
como matriz de controlabilidad.
0
0
0
1
 
 
 
=  
 
 
 
 
T
B

Formas Canónicas
Ejemplo Forma Canónica Controlable
Del sistema modelado se encuentran las siguientes matrices:
Jaime Rohten
JRohten@UBioBio.cl
77
UBB
( )
3 1 1 1
1 5 1 , 0 , 1 0 1 , 0
2 2 4 0
−
   
   
= − − = = =
   
   
−
   
A B C D
Determine su forma canónica controlable.

Formas Canónicas
Forma Canónica Observable
Al igual que el caso anterior, la forma canónica observable, usa una
transformación con T con T = MO, donde:
Jaime Rohten
JRohten@UBioBio.cl
78
UBB
2
1
n−
 
 
 
 
=
 
 
 
 
C
CA
CA
CA
O
2
1 1
3
2
1
1
1 0
1 0 0
0 0 0
1
n
n
a
a a
a
a
a
−
−
 
 
 
 
=
 
 
 
 
M
De aquí, se pueden definir las matrices de la transformación como:
( ) ( ) ( ) ( )
( )
1
1
1
, , ,
, ,
−
−
−
= = = = = =
= = =
T T T
T T T
A TAT M A M B TB M B E TE M E
C C M D D F F
O O O O
O

Formas Canónicas
Con esto, las matrices AT y BT quedan como:
Jaime Rohten
JRohten@UBioBio.cl
79
UBB
0
1
2
1
0 0 0
1 0 0
0 1 0
0 0 1 n
a
a
a
a −
−
 
 
−
 
 
= −
 
 
 
−
 
T
A
Nótese que esta representación existe sólo en el caso que det{T} ≠ 0, es decir
det{O} ≠ 0 y det{M} ≠ 0, debido a que T-1 = (MO)-1 = O-1M-1. Por otro lado,
se puede demostrar que que el det{M} es 1 ó -1. Por lo tanto, esta forma
canónica se puede lograr sólo en el caso que O sea no singular. Esta matriz se
conoce como matriz de observabilidad.
 
0 0 0 1
=
T
C

Formas Canónicas
Jaime Rohten
JRohten@UBioBio.cl
80
UBB
( )
3 1 1 1
1 5 1 , 0 , 1 0 1 , 0
2 2 4 0
−
   
   
= − − = = =
   
   
−
   
A B C D
Determine su forma canónica observable.

Formas Canónicas
Forma Canónica Diagonal o de Jordan
Esta realización se puede encontrar utilizando los valores y vectores propios de
la matriz A tal que:
Jaime Rohten
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81
UBB
1
1
0 0
0 0
0 0 n

 
 

 
=
 
 

 
T
A
donde para encontrar la transformada T se tiene:
 
1
1 2 .
n
−
=
T v v v

Formas Canónicas
Forma Canónica Diagonal o de Jordan
Demostración:
Jaime Rohten
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82
UBB
Lo cual puede ser escrito como:
   
   
     
     
1 1 2 2 1 2
1 1 2 2 1 2
1 2 1 2 1 2
1
1 2 1 2 1 2
, ,...,
, ,...,
n n n
n n n
n n n
n n n
diag
diag
−
   =
   =
   =
   =
v v v Av Av Av
v v v A v v v
v v v A v v v
v v v A v v v
  1
1 2
, ,..., n
diag −
   = TAT

Formas Canónicas
Jaime Rohten
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83
UBB
( )
3 1 1 1
1 5 1 , 0 , 1 0 1 , 0
2 2 4 0
−
   
   
= − − = = =
   
   
−
   
A B C D
Determine su forma canónica diagonal.

Formas Canónicas
Forma Canónica Diagonal o de Jordan con valores propios
repetidos
Al igual que el caso anterior, la transformación T estará compuesta por los
vectores propios de la matriz A, pero utilizando el criterio generalizados para
obtenerlos. Con esta consideración, la matriz A queda como:
Jaime Rohten
JRohten@UBioBio.cl
84
UBB
1
1
1
2
3
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0

 
 

 
 
= 
 

 
 

 
T
A
donde el valor propio λ1 se repite 3 veces, λ2 y λ3 se repiten sólo una vez.

Formas Canónicas
Forma Canónica Diagonal o de Jordan con valores propios
repetidos
Jaime Rohten
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85
UBB
( )
0 6 5 1
1 0 2 , 0 , 1 0 1 , 0
3 2 4 0
−
   
   
= = = =
   
   
   
A B C D
Determine su forma canónica diagonal.

Jaime Rohten
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86
UBB
410383, Teoría de Control II
410147, Var. de Est. y Cntr Digital
Representaciones de Estado y Matrices de
Transferencias
Prof. Jaime Addin Rohten
Prof. Daniel Quezada
UNIVERSIDAD DEL BIO BIO, CONCEPCIÓN

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