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Ingeniería de control – Dr. Cornelio Morales Morales
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1
Objetivo
Comprender el funcionamiento del modelado en espacio de estados, así mismo
sus representaciones características y propiedades, para poder interpretar
correctamente y poder realizarlos.
Introducción
Existen varios métodos de modelado matemático y su representación, en este
documento se plantea habla sobre un en específico: el modelado en espacio de
estados. Este modelo modelo presenta las siguientes ventajas:
 Es Aplicable a sistemas lineales y no lineales.
 Permite analizar sistemas de más de una entrada o salida.
 Los sistemas a analizar pueden ser variantes o invariantes en el tiempo.
 Las condiciones iniciales pueden ser diferentes de cero.
 Proporciona información de lo que pasa dentro del sistema
Marco Teórico
Sistemas dinámicos y variables de estado
Definiciones básicas:
Sistema, se entenderá como una relación entre entradas y salidas. Un Sistema es
determinista, si a cada entrada le corresponde una y solo una salida.
Sistema monovariable. Es aquel que solo tiene una entrada y una salida. Si
el sistema tiene más de una entrada o más de una salida se llamará multivariable.
Sistema causal o no anticipatorio. Es aquel que su salida para cierto
tiempo t1, no depende de entradas aplicadas después de t1 . Obsérvese que
la definición implica que un sistema no causal es capaz de predecir entradas
futuras, por lo tanto la causalidad es una propiedad intrínseca de cualquier sistema
físico.
Sistema dinámico. Es aquel cuya salida presente depende de entradas
pasadas y presentes. Si el valor de la salida en t1 depende solamente de la
entrada aplicada en t1, el sistema se conoce como estático o sin memoria.
La salida de un sistema estático permanece constante si la entrada no cambia.
En un sistema dinámico la salida cambia con el tiempo aunque no se cambie la
entrada, a menos que el sistema ya se encuentre en estado estable.
2
Sistema invariante en el tiempo. Es aquel que tiene parámetros fijos o
estacionarios con respecto al tiempo, es decir, sus características no cambian al
pasar el tiempo o dicho de otra forma, sus propiedades son invariantes con
traslaciones en el tiempo.
Estado. Es el conjunto más pequeño de variables (denominadas variables de
estado) tales que el conocimiento de esas variables en 0t t conjuntamente con
el conocimiento de la entrada para 0t t , determinan completamente el
comportamiento del sistema en cualquier tiempo 0t t [1].
Representación por medio del espacio de estado
Con la representación en espacio de estado tenemos la capacidad de conocer y
controlar en cierta medida la dinámica interna de un sistema y su respuesta.
Este método principia con la selección de las variables de estado, las cuales
deben de ser capaces en conjunto de determinar las condiciones de la
dinámica del sistema para todo tiempo. Pueden existir varias representaciones
en variables de estado para un sistema.
Un sistema de orden n se caracteriza por tener n variables, estas variables se
denominan variables de estado del sistema y son funciones de la variable
independiente tiempo.
Con la representación en el E.E. se puede conocer y controlar de cierto modo la
dinámica interna de un sistema y su respuesta.
Este método principia con la selección de las variables de estado, las cuales
deben de ser capaces en conjunto de determinar las condiciones de la dinámica
del sistema para todo tiempo.
Pueden existir varias representaciones en variables de estado para un sistema [1].
Diagrama 1.
El sistema tiene p entradas, q salidas y n variables de estado.
Analizar el sistema consiste en predecir la respuesta (t)y , ante una excitación ( )r t
, conocida la energía inicial (0)x del sistema (Diagrama 1).
3
La salida depende de las entradas y de las variables de estado del sistema:
( ) (r(t),x(t))y t f
Para sistemas lineales se tiene que:
( ) ( ) ( )y t Cx t Dr t Ecuacion de salida 
Para que la ecuación sea dimensionalmente compatible se requiere que:
C debe ser una matriz de q x n
D debe ser una matriz de q x p
En cuanto al comportamiento dinámico del sistema, la ecuación diferencial que
mide la variación del vector de estado con respecto al tiempo, es una ecuación
diferencial lineal de la forma:
( ) ( ) ( )
d
x t Ax t Br t Ecuacion de estado
dt
 
La ecuación diferencial vectorial de primer orden se resuelve por analogía con las
ecuaciones diferenciales escalares:
( ) At
t e  matriz de transición de estados:
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4
En el control clásico la salida se realimenta.
En el control moderno, Importa realimentar a la entrada las variables de estado.
Cualquiera que sea el tipo de realimentación, el objetivo es tener la oportunidad de
manipular de manera autónoma la excitación r(t), cuando se presentan cambios en
las variables de estado o en la respuesta (Diagrama 2).
Diagrama 2.
Para sistemas de tipo SISO (una entrada y una salida), la ecuación de salida
presenta la forma:
( ) ( ) ( )y t cx t dr t 
c es un vector fila con n elementos y d es un escalar.
Obtención de las ecuaciones de estado
La representación en espacio de estado puede ser derivada desde las ecuaciones
diferenciales que representan a un sistema, o desde cualquier arreglo de
ecuaciones diferenciales aunque estas no representen ningún sistema.
1. Identificar las leyes o teorías que gobiernan el comportamiento del sistema.
Leyes de termodinámica, Leyes dinámicas, segunda ley de Newton, Ley de
voltajes y corrientes de Kirchhoff, Ley de Ampere, Ley de Ohm, Ley de Boyle,
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determinan el comportamiento dinámico del sistema.
5
3. Encontrar la dinámica de cada estado. Es decir, encontrar la razón de cambio
respecto al tiempo de cada variable de estado (su derivada).
Diagrama de flujo
6
Conclusiones
La solución de sistemas por espacio de estados, no nos limita a la hora de
modelar un sistema con múltiples entradas, variable o invariable en el tiempo, así
como sus condiciones iniciales en el tiempo, una ventaja para modelar sistemas
más acorde al comportamiento de un sistema real y no ideal.
Bibliografía
[1] U. EAFIT, «Universidad de Atioquia,» Febrero 2012. [En línea]. Available:
http://ingenieria.udea.edu.co/~jbuitrago/instrumentacionElectronica/Clases/Clase07-
Espacio%20deEstados.pdf. [Último acceso: 24 Mayo 2015].
[2] K. Ogata, Ingeniería de control moderna, Pearson Educación, 2003.

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Modelado en espacio de estados

  • 1. UPEMOR – Electrónica y Telecomunicaciones – IET 6° A Ep7. Reporte de investigación 4 Ingeniería de control – Dr. Cornelio Morales Morales Fermin Alejandro Flores Reyes – FRFO131254 27/05/2015
  • 2. 1 Objetivo Comprender el funcionamiento del modelado en espacio de estados, así mismo sus representaciones características y propiedades, para poder interpretar correctamente y poder realizarlos. Introducción Existen varios métodos de modelado matemático y su representación, en este documento se plantea habla sobre un en específico: el modelado en espacio de estados. Este modelo modelo presenta las siguientes ventajas:  Es Aplicable a sistemas lineales y no lineales.  Permite analizar sistemas de más de una entrada o salida.  Los sistemas a analizar pueden ser variantes o invariantes en el tiempo.  Las condiciones iniciales pueden ser diferentes de cero.  Proporciona información de lo que pasa dentro del sistema Marco Teórico Sistemas dinámicos y variables de estado Definiciones básicas: Sistema, se entenderá como una relación entre entradas y salidas. Un Sistema es determinista, si a cada entrada le corresponde una y solo una salida. Sistema monovariable. Es aquel que solo tiene una entrada y una salida. Si el sistema tiene más de una entrada o más de una salida se llamará multivariable. Sistema causal o no anticipatorio. Es aquel que su salida para cierto tiempo t1, no depende de entradas aplicadas después de t1 . Obsérvese que la definición implica que un sistema no causal es capaz de predecir entradas futuras, por lo tanto la causalidad es una propiedad intrínseca de cualquier sistema físico. Sistema dinámico. Es aquel cuya salida presente depende de entradas pasadas y presentes. Si el valor de la salida en t1 depende solamente de la entrada aplicada en t1, el sistema se conoce como estático o sin memoria. La salida de un sistema estático permanece constante si la entrada no cambia. En un sistema dinámico la salida cambia con el tiempo aunque no se cambie la entrada, a menos que el sistema ya se encuentre en estado estable.
  • 3. 2 Sistema invariante en el tiempo. Es aquel que tiene parámetros fijos o estacionarios con respecto al tiempo, es decir, sus características no cambian al pasar el tiempo o dicho de otra forma, sus propiedades son invariantes con traslaciones en el tiempo. Estado. Es el conjunto más pequeño de variables (denominadas variables de estado) tales que el conocimiento de esas variables en 0t t conjuntamente con el conocimiento de la entrada para 0t t , determinan completamente el comportamiento del sistema en cualquier tiempo 0t t [1]. Representación por medio del espacio de estado Con la representación en espacio de estado tenemos la capacidad de conocer y controlar en cierta medida la dinámica interna de un sistema y su respuesta. Este método principia con la selección de las variables de estado, las cuales deben de ser capaces en conjunto de determinar las condiciones de la dinámica del sistema para todo tiempo. Pueden existir varias representaciones en variables de estado para un sistema. Un sistema de orden n se caracteriza por tener n variables, estas variables se denominan variables de estado del sistema y son funciones de la variable independiente tiempo. Con la representación en el E.E. se puede conocer y controlar de cierto modo la dinámica interna de un sistema y su respuesta. Este método principia con la selección de las variables de estado, las cuales deben de ser capaces en conjunto de determinar las condiciones de la dinámica del sistema para todo tiempo. Pueden existir varias representaciones en variables de estado para un sistema [1]. Diagrama 1. El sistema tiene p entradas, q salidas y n variables de estado. Analizar el sistema consiste en predecir la respuesta (t)y , ante una excitación ( )r t , conocida la energía inicial (0)x del sistema (Diagrama 1).
  • 4. 3 La salida depende de las entradas y de las variables de estado del sistema: ( ) (r(t),x(t))y t f Para sistemas lineales se tiene que: ( ) ( ) ( )y t Cx t Dr t Ecuacion de salida  Para que la ecuación sea dimensionalmente compatible se requiere que: C debe ser una matriz de q x n D debe ser una matriz de q x p En cuanto al comportamiento dinámico del sistema, la ecuación diferencial que mide la variación del vector de estado con respecto al tiempo, es una ecuación diferencial lineal de la forma: ( ) ( ) ( ) d x t Ax t Br t Ecuacion de estado dt   La ecuación diferencial vectorial de primer orden se resuelve por analogía con las ecuaciones diferenciales escalares: ( ) At t e  matriz de transición de estados: Si el sistema inicialmente esta en reposo:
  • 5. 4 En el control clásico la salida se realimenta. En el control moderno, Importa realimentar a la entrada las variables de estado. Cualquiera que sea el tipo de realimentación, el objetivo es tener la oportunidad de manipular de manera autónoma la excitación r(t), cuando se presentan cambios en las variables de estado o en la respuesta (Diagrama 2). Diagrama 2. Para sistemas de tipo SISO (una entrada y una salida), la ecuación de salida presenta la forma: ( ) ( ) ( )y t cx t dr t  c es un vector fila con n elementos y d es un escalar. Obtención de las ecuaciones de estado La representación en espacio de estado puede ser derivada desde las ecuaciones diferenciales que representan a un sistema, o desde cualquier arreglo de ecuaciones diferenciales aunque estas no representen ningún sistema. 1. Identificar las leyes o teorías que gobiernan el comportamiento del sistema. Leyes de termodinámica, Leyes dinámicas, segunda ley de Newton, Ley de voltajes y corrientes de Kirchhoff, Ley de Ampere, Ley de Ohm, Ley de Boyle, etc. 2. Seleccionar las variables de estado. Son las variables mínimas que determinan el comportamiento dinámico del sistema.
  • 6. 5 3. Encontrar la dinámica de cada estado. Es decir, encontrar la razón de cambio respecto al tiempo de cada variable de estado (su derivada). Diagrama de flujo
  • 7. 6 Conclusiones La solución de sistemas por espacio de estados, no nos limita a la hora de modelar un sistema con múltiples entradas, variable o invariable en el tiempo, así como sus condiciones iniciales en el tiempo, una ventaja para modelar sistemas más acorde al comportamiento de un sistema real y no ideal. Bibliografía [1] U. EAFIT, «Universidad de Atioquia,» Febrero 2012. [En línea]. Available: http://ingenieria.udea.edu.co/~jbuitrago/instrumentacionElectronica/Clases/Clase07- Espacio%20deEstados.pdf. [Último acceso: 24 Mayo 2015]. [2] K. Ogata, Ingeniería de control moderna, Pearson Educación, 2003.