El documento describe los métodos de representación en espacio de estado y función de transferencia para modelar sistemas dinámicos. La representación en espacio de estado puede modelar sistemas lineales o no lineales, con múltiples entradas y salidas, y condiciones iniciales distintas de cero. Se definen conceptos como variables de estado, vector de estado y ecuaciones de estado. Finalmente, se muestra cómo obtener la representación en espacio de estado a partir de la función de transferencia de un sistema.
2. El modelamiento y control de sistemas
basado en la transformada de Laplace,
es un enfoque sencillo y de fácil
aplicación. Permite analizar sistemas
utilizando una serie de reglas algebraicas
en lugar de trabajar con ecuaciones
diferenciales. En este enfoque tiene más
valor la simplicidad que la exactitud.
Control clásico
3. La descripción de sistemas mediante la función de
transferencia tiene las siguientes limitaciones:
•Solo es válida para sistemas lineales
con una entrada y una salida e
invariantes en el tiempo.
•Se necesita que las condiciones
iniciales del sistema sean nulas.
Sin embargo, los sistemas reales presentan no linealidades, pueden
tener más de una entrada o salida, sus parámetros cambian en el
tiempo y sus condiciones iniciales no siempre tienen un valor de cero.
4. Sin embargo, muchos sistemas se pueden linealizar sobre un
punto de operación para utilizar las ventajas del análisis por
Laplace.
En casos que no es posible utilizar este enfoque se debe utiliza la
representación en espacio de estado, que tiene las siguientes ventajas:
• Aplicable a sistemas lineales y no lineales.
• Permite analizar sistemas de más de una entrada o más de una
salida.
• Pueden ser sistemas variantes o invariantes en el tiempo.
• Las condiciones iniciales pueden ser diferentes de cero.
• Resultados sencillos y elegantes.
5. Este método principia con la selección de las variables de estado, las
cuales deben de ser capaces en conjunto de determinar las
condiciones de la dinámica del sistema para todo tiempo. Pueden
existir varias representaciones en variables de estado para un
sistema. En forma general, un sistema visto en espacio de estado
tiene la siguiente forma:
Representación por medio del espacio de estado
donde
(1)
)
,
( u
x
f
x
dt
dx
x
R
u
R
x m
n
,
,
6. El vector x representa las variables de estado y el vector u representa
el control. A la ecuación (1) se le llama ecuación del espacio de
estado.
A continuación se define la terminología empleada en espacio de estado:
Concepto de estado. El estado de un sistema en el tiempo t0 es la
cantidad de información que junto con una entrada ,nos permite
determinar el comportamiento del sistema de manera única para
cualquier .
,
0
t
u
0
t
t
Estado. Es el conjunto más pequeño de variables (denominadas
variables de estado) tales que el conocimiento de esas variables en
. conjuntamente con el conocimiento de la entrada para ,
determinan completamente el comportamiento del sistema en
cualquier tiempo .
0
t
t 0
t
t
0
t
t
7. Variables de estado. conjunto más pequeño de variables que
determinan el estado de un sistema dinámico. Si se requieren al
menos n variables ( ) para describir completamente el
comportamiento de un sistema dinámico, se dice que el sistema
es de orden n.
n
x
x
x ,...,
, 2
1
Vector de estado. Las n variables de estado forman el vector de
estado, que generalmente es un vector columna de dimensión
[n x 1]. Donde n es el número de variables de estado.
8. Sistemas Lineales invariantes en el tiempo
Para sistemas lineales invariantes en el tiempo, la ecuación (1), se
transforma en:
)
(
)
(
)
( t
Bu
t
Ax
t
x
)
(
)
(
)
( t
Du
t
Cx
t
y
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
2
1
2
22
21
1
12
11
2
1
2
1
2
22
21
1
12
11
2
1
2
1
2
1
2
22
21
1
12
11
2
1
2
1
2
22
21
1
12
11
2
1
t
u
t
u
t
u
d
d
d
d
d
d
d
d
d
t
x
t
x
t
x
c
c
c
c
c
c
c
c
c
t
y
t
y
t
y
t
u
t
u
t
u
b
b
b
b
b
b
b
b
b
t
x
t
x
t
x
a
a
a
a
a
a
a
a
a
t
x
t
x
t
x
m
pm
p
p
m
m
n
pn
p
p
n
n
p
m
nm
n
n
m
m
n
nn
n
n
n
n
n
10. Ejemplo:
1) Represente por medio de espacio de estado el siguiente
sistema mecánico.
masa
Resorte
amortiguador
K
b
Donde: es la fuerza aplicada, K es
la constante del resorte, b es el
coeficiente de fricción viscosa e y(t) es la
posición de la masa.
)
(t
u
Solución:
Con la segunda ley de newton, se obtiene:
)
(t
u
)
(t
y
)
(
)
(
)
(
)
( t
ky
t
y
b
t
u
t
y
m
11. Se desea conocer la posición y la velocidad de la masa para
todo tiempo. Por esta razón se asignan como variables de
estado.
)
(
)
(
1 t
y
t
x )
(
)
(
2 t
y
t
x
)
(
)
(
)
( 2
1 t
x
t
y
t
x
)
(
)
(
)
(
)
( t
ky
t
y
b
t
u
t
y
m
)
(
)
(
)
(
)
( 1
2
2 t
kx
t
bx
t
u
t
x
m
)
(
1
)
(
)
(
)
( 2
1
2 t
u
m
t
x
m
b
t
x
m
k
t
x
Luego:
12. Finalmente se agrupan las dos ecuaciones de estado:
)
(
)
( 2
1 t
x
t
x
)
(
1
)
(
)
(
)
( 2
1
2 t
u
m
t
x
m
b
t
x
m
k
t
x
como la representación es lineal, se puede indicar en matrices
)
(
1
0
)
(
)
(
1
0
)
(
)
(
2
1
2
1
t
u
m
t
x
t
x
m
b
m
k
t
x
t
x
13. Obtención de las ecuaciones de estado a partir de la función de
transferencia
A partir de la función de transferencia, se obtiene la ecuación diferencial,
se definen las variables de estado y se busca su dinámica.
Ejemplo 1:
7
)
(
)
(
s
K
s
U
s
Y
7
s
K
)
(s
U )
(s
Y
)
(
)
(
)
7
( s
KU
s
Y
s
)
(
)
(
7
)
(
t
Ku
t
y
dt
t
dy
)
(
)
(
7
)
(
t
Ku
t
y
dt
t
dy
14. Ejemplo 2:
)
(s
U )
(s
Y
2
5
7
)
(
)
(
2
3
s
s
s
K
s
U
s
Y
2
5
7 2
3
s
s
s
K
)
(
)
(
)
2
5
7
( 2
3
s
KU
s
Y
s
s
s
Ku
y
y
y
y
2
5
7
se define:
y
y
y
y
y
y
3
2
1 ,
,
Ku
y
y
y
y
y
y
y
y
3
2
3
3
2
2
1
7
5
2
y las ecuaciones de estado quedan:
15. Sepuede utilizar Matlab.
Ejemplo 3:
s
s
s
s
s
s
s
U
s
Y
20
5
17
5
4
)
(
)
(
2
3
4
2
3
>> num=[1 4 0 5];
>> den=[1 17 5 20 0];
>> [A,B,C,D]=tf2ss(num,den)
Utilizando:
16. Se obtiene:
A =
-17 -5 -20 0
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
B =
1
0
0
0
C =
1 4 0 5
D =
0
3
2
1
3
4
2
3
1
2
3
2
1
1
5
4
20
5
17
x
x
x
y
x
x
x
x
x
x
u
x
x
x
x
17. Transformada de Laplace de representaciones en espacio de estado
Se puede obtener la transformada de Laplace de sistemas lineales
invariantes en el tiempo, una entrada, una salida, con condiciones
iniciales iguales a cero. La representación lineal en espacio de estado
en forma vectorial son las ecuaciones (1)-(2)
)
(
)
(
)
( t
Bu
t
Ax
t
x
)
(
)
(
)
( t
Du
t
Cx
t
y
La transformada de Laplace de las ecuaciones (1)-(2)
(1)
(2)
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( 0
s
DU
s
CX
s
Y
s
BU
s
AX
x
s
sX
Modificando las ecuaciones se tiene que
