Este documento trata sobre la metodología GUM para cuantificar y propagar la incertidumbre de medición sin considerar correlaciones. Explica los conceptos de incertidumbre típica combinada y la ley de propagación de incertidumbres para calcular la incertidumbre expandida de un resultado de medición a partir de las incertidumbres de las variables de entrada. También describe métodos para estimar las incertidumbres individuales y estrategias para identificar y cuantificar las fuentes de incertidumbre como parte del proceso.

1. INCERTIDUMBRE DE LA
MEDICIÓN
PARTE II
METODOLOGIA GUM SIN
CORRELACION
ALVARO BERMUDEZ CORONEL
ING. QUIMICO
ESPECIALISTA EN INGENIERIA DE LA CALIDAD
2011

2. Cuantificación y propagación de la incertidumbre
1. Metodologia
2. Concepto de incertidumbre típica combinada.
3. Ley de propagación de la incertidumbre (sin correlación).
4. Incertidumbre expandida
5. Supuesto práctico de la evaluación de incertidumbres.
Índice

3. MÉTODOS PARA ESTIMAR LA INCERTIDUMBRE
 Estimación experimental de
contribuciones individuales
 Programas de ensayos de
aptitud
Información de los
proveedores p.e. certificados de
calibración
 Modelado a partir de
principios teóricos, estimacion
de las contribuciones y
composicion
 Estimación basada en el
juicio

4. ESTRATEGIAS PARA ESTIMAR
LA INCERTIDUMBRE

5. Aproximación ISO
Identificar incertidumbres
(CAUSA-EFECTO)
Encontrar modelo matemático
de y = f(x1,x2,x3,..)
Cuantificar las
incertidumbres de
cada parámetro
Cálculo incertidumbre
combinada
(propagación de
Incertidumbre.
Coeficiente
sensibilidad).
Reevaluación?
Reevaluar
componentes
FIN
Si
No
Elaborar flujograma
Identifica uno a uno todas las contribuciones a la
incertidumbre y las compone en las diferentes etapas del
proceso

6. ESPECIFICACION
 Paso 1. Especificación del mensurando
 Paso 2. Establecer el modelo físico, identificando las variables de
entrada Xi que permitan establecer el modelo matemático.
 Paso 3. Determinar xi , valor estimado de la magnitud de entrada Xi
, bien a partir del análisis estadístico de una serie de observaciones,
bien por otros métodos
 
N
X
X
X
f
Y ,...
, 2
1

 
N
x
x
x
f
y ,...
, 2
1


7. IDENTIFICACION
 Paso 1. Identificación de las fuentes de
incertidumbre:
 Existen muchas fuentes que pueden contribuir a la
incertidumbre de medida. Aplicar un modelo del proceso
de medida real para identificar las fuentes. La función f
debe incluir todas las magnitudes, incluyendo
correcciones y factores de corrección que pueden
contribuir significativamente a la incertidumbre del
resultado de medición.
 Paso 2. Identificar si existe o no correlación.

8. CUANTIFICACION
 Paso 1.Simplificar por agrupamiento las fuentes cubiertas por los datos existentes,
es decir, la cuantificación y reducción
 Paso 2. Asignar una función de distribución a cada fuente y Convertir la componente
a incertidumbres estándar u(xi)
 Para una estimación de entrada obtenida por análisis estadístico de series
de observaciones, la incertidumbre típica se obtiene a partir de una
evaluación de Tipo A
 Para una estimación de entrada obtenida por otros medios, la
incertidumbre típica u(xi ) se obtiene a partir de una evaluación de Tipo B.
 Paso 3. Estimar correlaciones
n
X
s
X
s
x
u i
i
i
)
(
)
(
)
( 

2
)
(
a
x
u 
3
)
(
a
x
u 
6
)
(
a
x
u 
2
)
(
a
x
u 

9. DISTRIBUCIONES
INCERTIDUMBRE
ESTANDAR
ESTIMACION DE LA
MEDIA
TIPO DE
DISTRIBUCION
2




a
a
q
2




a
a
q
3
2


 a
a
6
2


 a
a
n
xi

n
s

10. COMBINACION
 Paso 1. Calcular el resultado de medición; esto es, la estimación y
del mensurando Y, a partir de la relación funcional f utilizando para
las magnitudes de entrada Xi las estimaciones xi obtenidas en el
paso de especificacion
 Calcular la incertidumbre estándar combinada uc(y). Matriz de
presupuesto.
 Paso 2. Revisar y analizar las componentes. Diagrama de barras.
 Paso 3. Estimación de la incertidumbre expandida multiplicando por
el factor de cobertura.
  
 



N
i
i
N
i
i
i
c y
u
x
u
c
y
u
1
2
1
2
2
)
(
)
(
)
( )
(
)
( i
i
i x
u
c
y
u 

11. ORIGEN DE LAS COMPONENTES
 Componente de incertidumbre tipo A: Es la
incertidumbre obtenida exclusivamente por
medios estadísticos, la mejor estimación es la
desviación estándar.
 Componente de incertidumbre tipo B: Es la
incertidumbre obtenida por medios diferentes a
los estadísticos, tales como resolución del
equipo, certificados de calibración, datos del
fabricante, tablas, pruebas anteriores, tipos de
distribución. Esta incertidumbre tiene su origen
en los errores sistemáticos presentes en la
medición .

12. Curso Académico 09-10
Concepto de incertidumbre estándar combinada
Incertidumbre estándar combinada
Incertidumbre estándar
   
N
N x
x
x
f
y
X
X
X
f
Y ,...
,
,...
, 2
1
2
1 


 
)
(
),...
(
),
(
)
( 2
1 N
c x
u
x
u
x
u
f
y
u 
La incertidumbre estádar de y (siendo y la estimación del mensurando Y)
es decir, el resultado de medida, se obtiene componiendo
apropiadamente las incertidumbres estándar de las estimaciones de
entrada x1 , x2 , ..., xN. Esta incertidumbre estándar combinada de la
estimación y se nota como uc(y).

13. Curso Académico 09-10
Ley de propagación de incertidumbres (i)
   
N
N x
x
x
f
y
X
X
X
f
Y ,...
,
,...
, 2
1
2
1 


Aplicando el Desarrollo de la serie de Taylor de primer orden en torno al valor
esperado, las propiedades de la varianza y el valor esperado (esperanza matemática)
se llega:
)
,
(
2
)
(
)
(
1
1 1
2
2
1
2
j
i
x
j
N
i
N
i
j x
i
i
xi
N
i i
c x
x
u
X
f
X
f
x
u
X
f
y
u
j
i













  


 


LEY DE PROPAGACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE

14.  En los casos en que la correlación es igual a +1
o -1 el termino para la estimación de la
incertidumbre se establece por la siguiente
ecuación:
)
(
)
(
1
i
N
i i
c x
u
X
f
y
u 
 


Ley de propagación de incertidumbres (ii)

15. Curso Académico 09-10
Ley de propagación de incertidumbres (iii)
)
,
(
2
)
(
)
(
1
1 1
2
2
1
2
j
i
j
N
i
N
i
j i
i
N
i i
c x
x
u
x
f
x
f
x
u
x
f
y
u













  


 


Consideraciones (i)
Magnitudes de entrada no correlacionadas
Magnitudes de entrada correlacionadas

16. Ley de propagación de incertidumbres (iv)
Consideraciones (ii)
Magnitudes de entrada no correlacionadas
Ej. Determinación de un volumen a una temperatura t habiendo realizado la
medida a temperatura t0: V = V0 [1+α (t-t0)]
o El coeficiente de dilatación es una magnitud conocida
o El volumen V0 se mide por pesada hidrostatica.
o La temperatura se mide con un sensor de temperatura
Magnitudes de entrada correlacionadas
Ej. Determinación de la densidad de un cuerpo sólido: ρ = m/V
o La masa ha sido medida por comparación usando otras masas patrón
o El volumen ha sido determinado por pesada hidrostática usando las
mismas masas patrón

17. )
,
(
2
)
(
)
(
1
1 1
2
2
1
2
j
i
j
N
i
N
i
j i
i
N
i i
c x
x
u
x
f
x
f
x
u
x
f
y
u













  


 


Ley de propagación de incertidumbres (v)
Consideraciones (iii)
Trataremos sólo el caso de magnitudes
de entrada no correlacionadas

18. Introducción a la Metrología
Ley de propagación de incertidumbres (vi)
Donde:
f ≡ Función de transferencia o función modelo; Y= f (X1,X2,…, XN )
u(xi ) ≡ Incertidumbre estándar evaluada (tipo A o tipo B)
uc(y) ≡ Incertidumbre estándar combinada
La incertidumbre estándar combinada es una desviación estándar estimada y
caracteriza la dispersión de los valores que podrían ser razonablemente
atribuidos al mensurando Y.
)
(
)
( 2
2
1
2
i
N
i i
c x
u
x
f
y
u 










No correlacionada

19. Ley de propagación de incertidumbres (vii)
Estas derivadas, denominadas coeficientes de sensibilidad (ci ), describen
por una parte cómo varía la estimación de salida y, en función de las
variaciones en los valores de las estimaciones de entrada x1 , x2 , ..., xN y por
otro lado conducen a que todas la componentes guarden la coherencia en las
unidades.
En general, la variación de y producida por una pequeña variación Δxi en la
estimación de entrada xi viene dada por:
Si esta variación es debida a la incertidumbre estándar de la estimación xi, la
variación correspondiente de y es:
)
(
)
( 2
2
1
2
i
N
i i
c x
u
x
f
y
u 










i
x
f


)
(
)
( i
i
i Δx
x
f
Δy



)
(
)
( i
i
i x
u
x
f
Δy




20. Ley de propagación de incertidumbres (viii)
Por tanto, la varianza combinada uc
2(y) puede considerarse entonces como
una suma de términos, cada uno de ellos representando la varianza estimada
asociada a y, debido a la varianza estimada asociada a cada estimación de
entrada xi.
  
 



N
i
i
N
i
i
i
c y
u
x
u
c
y
u
1
2
1
2
2
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( 2
1
2
2
2
1
2
i
N
i
i
i
N
i i
c x
u
c
x
u
x
f
y
u 
 










 )
(
)
(
)
( i
i
i
i
i x
u
c
x
u
x
f
Δy 



Donde: )
(
)
( i
i
i x
u
c
y
u 

21. Concepto de incertidumbre típica combinada (ix)
   
N
N x
x
x
f
y
X
X
X
f
Y ,...
,
,...
, 2
1
2
1 


 
)
(
),...
(
),
(
)
( 2
1 N
c x
u
x
u
x
u
f
y
u 
Incertidumbre
típica combinada
Incertidumbre
típica

 



N
i
i
i
N
i
i
c x
u
c
y
u
y
u
1
1
)
(
)
(
)
(
Coeficiente de
sensibilidad

22. Concepto de incertidumbre típica combinada (x)
Ejemplo (Supuesta no correlación)
Cálculo de la incertidumbre estándar combinada en
la medida indirecta del área de una placa
rectangular
b
h
 
2
1, X
X
f
Y    h
x
b
x
x
f
A
y 

 2
1,
i
i X
x 
 

 2
2
)
(
)
( i
i
c x
u
c
y
u )
(
)
(
)
( 2
2
2
2
2
h
u
c
b
u
c
A
u h
b
c 

2
2
2
h
b
A
cb 









2
2
2
b
h
A
cb 









)
(
)
(
)
( 2
2
2
2
2
h
u
b
b
u
h
A
uc 
 )
(
)
(
)
( 2
2
2
2
h
u
b
b
u
h
A
uc 

A

23. Determinación de la incertidumbre expandida, U (i)
Aunque la incertidumbre estándar combinada, uc(y) puede ser utilizada
universalmente para expresar la incertidumbre de un resultado de medida, es
necesario dar una medida de la incertidumbre que defina, alrededor del
resultado de medida, un intervalo en el interior del cual pueda esperarse
encontrar gran parte de la distribución de valores que podrían ser
razonablemente atribuidos al mensurando.
La nueva medida de la incertidumbre, que satisface la exigencia de aportar tal
intervalo se denomina incertidumbre expandida, y se representa por U.
La incertidumbre expandida U se obtiene multiplicando la incertidumbre
estándar combinada uc(y) por un factor de cobertura k.
U = k uc(y)

24. Determinación de la incertidumbre expandida, U (ii)
Resultado de la medida: Y = y ± U
Lo que significa que:
• La mejor estimación del valor atribuible al mensurando Y es y
• Puede esperarse que en el intervalo que va de y-U a y+U esté
comprendida una fracción importante de la distribución de
valores que podrían ser razonablemente atribuidos a Y.
• Un intervalo tal se expresa por y - U ≤ Y ≤ y + U
• Siempre que sea posible, debe estimarse e indicarse el nivel de
confianza p asociado al intervalo definido por U.

25. Determinación de la incertidumbre expandida, U (iii)
Elección de un factor de cobertura
El valor del factor de cobertura k se elige en función del nivel de confianza
requerido para el intervalo y-U a y+U.
• En general, k toma un valor entre 2 y 3. No obstante, en aplicaciones
especiales, k puede tomarse fuera de dicho campo de valores.
• Idealmente, debería poderse escoger un valor específico del factor de
cobertura k que proporcionase un intervalo Y = y ± U = y ± k uc(y)
correspondiente a un nivel de confianza particular p, por ejemplo, un
95 o un 99 por ciento.
• En la práctica, puede suponerse que la elección de un factor k = 2
proporciona un intervalo con un nivel de confianza en torno al 95%,
y que la elección de k = 3 proporciona un intervalo con un nivel de
confianza en torno al 99%. (k = 1 corresponde a p = 68,27 %, k = 2
corresponde a p = 95,45% y k = 3 a p = 99,73 %.)

26. GRADOS EFECTIVOS DE LIBERTAD
 El número efectivo de grados de libertad se
calcula según la ecuación de Welch-
Satterthwaite.


 n
i
i
c
ef
i
y
u
y
u
1
4
4
)
(
)
(



27. GRADOS EFECTIVOS DE LIBERTAD
DISTRIBUCION GRADOS DE LIBERTAD
NORMAL >200
RECTANGULAR 100
TRIANGULAR 100

28. Ejemplo: Calibración de bloques patrón longitudinales, BPL
1. Definición del problema de medición
La longitud de un BPL, de valor nominal 50 mm, se determina por comparación
con otro bloque patrón conocido, de la misma longitud nominal y del mismo
material. En la comparación de los dos bloques se obtiene directamente la
diferencia d entre sus longitudes.
d
l lp
d = l - lp

29. Ejemplo Calibración de bloques patrón longitudinales, BPL
2. El modelo matemático
p
l
l
d 

)
,...
,
( 2
1 N
X
X
X
f
Y 
res
t
t
p C
C
C
d
l
l p




 

Corrección por
dilatación térmica
)
,
,
,
,
,
,
( E
d
l
f
l p
p
p 




Corrección por resolución
del comparador



 l
t
l
t
l
C t 




 )
20
( p
p
p
p
p
p
p
p
p
t l
t
l
t
l
C p



 




 )
20
(

30. Ejemplo Calibración de bloques patrón longitudinales, BPL
d
l
l p 

l Valor del mesurando a determinar.
lp Longitud del patrón a 20 °C, tal como figura en su certificado de calibración.
d Diferencia entre los bloques, estimada como la media aritmética de 10 medidas
independientes.
)
,...
,
( 2
1 N
x
x
x
f
y 
mm
lp 000623
,
50

nm
d 215

mm
U
l )
000838
,
50
( 

3. Estimación del valor del mensurando, l

31. Ejemplo Calibración de bloques patrón longitudinales, BPL
4. Contribución de varianzas (i)
)
(
)
( 2
1
2
2
i
N
i
i
c x
u
c
l
u 


)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
res
C
t
C
t
C
d
p
l
c C
u
c
C
u
c
C
u
c
d
u
c
l
u
c
l
u res
p
p
t
t
p




 
 

Ley de propagación de la incertidumbre
res
t
t
p C
C
C
d
l
l p




 


32. Ejemplo Calibración de bloques patrón longitudinales, BPL
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
res
C
p
t
t
t
t
d
p
l
c C
u
c
C
u
c
C
u
c
d
u
c
l
u
c
l
u res
p
p




 



)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( 2
2
2
2
2
2
res
t
t
p
c C
u
C
u
C
u
d
u
l
u
l
u p




 

4. Contribución de varianzas (ii)
res
t
t
p C
C
C
d
l
l p




 

1






p
p
t
t
C
C
f
c
1




d
f
cd
1






t
C
C
f
c t
1




p
p
l
l
f
c 1




res
Cres
C
f
c

33. Ejemplo Calibración de bloques patrón longitudinales, BPL
5. Incertidumbre debida a la calibración del patrón, u(lp)
El certificado de calibración da como incertidumbre expandida del patrón
U = 0,040 μm, precisando que ha sido obtenida utilizando un factor de
cobertura k = 2. La incertidumbre estándar es entonces
2
2
2
10
4
)
( nm
l
u p 

Y la varianza será por tanto el cuadrado de la desviación estándar:
nm
l
u p 20
2
040
,
0
)
( 


34. Ejemplo Calibración de bloques patrón longitudinales, BPL
6. Incertidumbre debida a la medida de d, u(d)
Se efectúan 10 medidas de la diferencia d entre el bloque patrón y el
bloque a calibrar, con una desviación esáandar de 13 nm. Se considera
una distribución normal, por lo que la incertidumbre estándar se obtiene
de una evaluación de tipo A.
2
2
8
,
16
)
( nm
d
u 
Y la varianza será por tanto el cuadrado de la desviación estándar:
nm
nm
n
d
s
d
s
d
u 1
,
4
10
13
)
(
)
(
)
( 




35. Ejemplo Calibración de bloques patrón longitudinales, BPL
7. Incertidumbre debida dilatación térmica del bloque patrón, u(CΔtp )
(Coef. De dilatación térmica) = 11,5 x 10-6 °C-1
p
p
p
t l
C p




)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( 2
2
2
2
2
2
2
p
p
p
p
p
p
p
p
p
t l
u
u
l
u
l
C
u p





 



p

p
 (Desviación de la temperatura del bloque a la temperatura de referencia de 20 ºC
durante la medición: tp - 20). La temperatura media del bloque durante la medición fue
de 19,9 ºC±0,02 ºC, considerándose una distribución rectangular. Por tanto: θ = -0,1
ºC
C
u p º
10
05
,
0
)
( 6



 Decisión del evaluador
3
º
02
,
0
)
(
C
θ
u p 
nm
C
u p
t
6
,
6
)
( Δ

Se acepta un modelo de dilatación lineal, con lo que:

36. Ejemplo Calibración de bloques patrón longitudinales, BPL
8. Incertidumbre debida dilatación térmica del bloque, u(CΔt )
(Coef. De dilatación térmica) = 11,5 x 10-6 °C-1


p
t l
C 

)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( 2
2
2
2
2
2
2
p
p
p
t l
u
u
l
u
l
C
u 



 




 (Desviación de la temperatura del bloque a la temperatura de referencia de 20 ºC
durante la medición: tp - 20). La temperatura media del bloque durante la medición fue
de 19,9 ºC±0,02 ºC, considerándose una distribución rectangular. Por tanto: θ=-0,1 ºC
C
u º
10
05
,
0
)
( 6



 Decisión del evaluador
3
º
02
,
0
)
(
C
θ
u 
nm
C
u t 6
,
6
)
( Δ 
Se acepta un modelo de dilatación lineal, con lo que:

37. Ejemplo Calibración de bloques patrón longitudinales, BPL
9. Incertidumbre debida a la resolución de la máquina u(res)
nm
m
m
res
u 9
,
2
12
01
,
0
3
2
/
01
,
0
)
( 




2
2
3
,
8
)
( nm
res
u 

Se sabe que la resolución del equipo de medida es E = 0,01 µm. Por lo tanto,
considerando distribución rectangular:
Y la varianza será por tanto el cuadrado de la desviación estándar:

38. Ejemplo Calibración de bloques patrón longitudinales, BPL
10. Incertidumbre típica combinada uc(l)
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( 2
2
2
2
2
2
res
t
t
p
c C
u
C
u
C
u
d
u
l
u
l
u p




 

2
2
2
2
2
2
2
3
,
8
1
,
44
1
,
44
8
,
16
10
·
4
)
( nm
nm
nm
nm
nm
l
uc 




nm
l
uc 3
,
8
4
,
88
8
,
16
10
·
4
)
( 2




nm
l
uc 6
,
22
)
( 

39. Ejemplo Calibración de bloques patrón longitudinales, BPL
11. Incertidumbre expandida, U
nm
l
u
U c 2
,
45
)
(
2 


La incertidumbre expandida U se obtiene multiplicando la incertidumbre
estándar combinada uc(l) por un factor de cobertura k.
Para el ejemplo, consideraremos un factor de cobertura k=2,equivalente a un
nivel de confianza del 95%.

40. Ejemplo Calibración de bloques patrón longitudinales, BPL
12. Resultado final
nm
l
u
U c 2
,
45
)
(
2 


mm
l )
000045
,
0
000838
,
50
( 


41. BIBLIOGRAFIA
 BIPM, IEC, IFCC, ISO, IUPAC, IUPAP, OIML. Guide
to the Expression of Uncertainty in Measurement.
International Organization for Standarrization. 1993
 Vocabulario Internacional de terminos basicos y
generales en metrología.
 ILAC-68. Guidelines on Assessment and Reporting
of Compliance with Especification. 1996
 EA-4/02 Expresion of the Uncertainty of
Measurement in Calibration. 1999

42. MUCHAS GRACIAS