1. TEMA 10
Estimación puntual
Probabilidades y Estadística I

2. Esquema inicial
1. Introducción
2. Estadísticos y estimadores
3. Método de los momentos
4. Método de máxima verosimilitud
5. Obtención de estimadores de la distribución normal
Probabilidades y Estadística I

3. Esquema inicial
1. Introducción
2. Estadísticos y estimadores
3. Método de los momentos
4. Método de máxima verosimilitud
5. Obtención de estimadores de la distribución normal
Probabilidades y Estadística I

4. 1. Introducción (1/2)
Asignación
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0 1 2 3 4
Erlang (k , λ )
Probabilidades y Estadística I

5. 1. Introducción (2/2)
Problemas
1. Determinar el valor de los parámetros a
1,2
1
partir de los datos (Estimación)
0,8
0,6 2. Determinar si estimación de los parámetros
0,4
es asumible (Contraste paramétrico)
0,2
0
0 1 2 3 4
3. Determinar si la asignación de esa ley de
Erlang (k , λ ) incertidumbrees asumible
(Contraste no paramétrico)
FUENTE DE INFORMACIÓN: Los datos con los que se construyó el histograma
Probabilidades y Estadística I

6. Esquema inicial
1. Introducción
2. Estadísticos y estimadores
3. Método de los momentos
4. Método de máxima verosimilitud
5. Obtención de estimadores de la distribución normal
Probabilidades y Estadística I

7. 2. Estadísticos y Estimadores (1/2)
ESTADÍSTICO Sea X1,X2,…,Xn una muestra aleatoria simple
T = T ( X 1 , X 2 ,...., X n )
No dependen de un parámetro desconocido
Ejemplo Sea X1,X2,…,Xn una muestra aleatoria simple de una N ( µ , σ )
T ( X 1 , X 2 ,...., X n ) = X 1 + X 2 + .... + X n
2 2 2
Estadístico
T ( X 1 , X 2 ,...., X n= µ X 1 + µ X 2 + .... + µ X n No es Estadístico
2 2 2
)
Probabilidades y Estadística I

8. 2. Estadísticos y Estimadores (2/2)
ESTIMADOR Sea X1,X2,…,Xn una muestra aleatoria simple
ϑ = ϑ ( X 1 , X 2 ,...., X n )
Pretende aproximar el parámetro desconocido ϑ
ϑˆ ϑ
Ejemplo Sea X1,X2,…,Xn una muestra aleatoria simple de una N ( µ , σ )
1 n
µ µ ( X 1 , X 2 ,...., X n )
= ∑ Xi
n i =1
Estimador de la media
Probabilidades y Estadística I

9. Esquema inicial
1. Introducción
2. Estadísticos y estimadores
3. Método de los momentos
4. Método de máxima verosimilitud
5. Obtención de estimadores de la distribución normal
Probabilidades y Estadística I

10. 3. Método de los momentos (1/2)
1 n
α1
ˆ α1 ( X 1 , X 2 ,...., X n )
= ∑ X i αr = n ∑ X i
= α r ( X 1 , X 2 ,...., X n )
n i =1
ˆ
1 n r
i =1
θ1 = g1 (α1 , α 2 ,...., α h ) θ1 = g1 (α1 , α 2 ,...., α h )
ˆ ˆ ˆ ˆ
 θ 2 = g 2 (α1 , α 2 ,...., α h ) θ 2 = g 2 (α1 , α 2 ,...., α h )
ˆ ˆ ˆ ˆ
θ = (θ1 , θ 2 ,...., θ k ) .................. ..................
θ k = g k (α1 , α 2 ,...., α h ) θ1 = g1 (α1 , α 2 ,...., α h )
ˆ ˆ ˆ ˆ
Probabilidades y Estadística I

11. 3. Método de los momentos (2/2)
EJEMPLO 1
EJEMPLO 2
Probabilidades y Estadística I

12. Esquema inicial
1. Introducción
2. Estadísticos y estimadores
3. Método de los momentos
4. Método de máxima verosimilitud
5. Obtención de estimadores de la distribución normal
Probabilidades y Estadística I

13. 4. Método de máxima verosimilitud (1/2)
Definición
Probabilidades y Estadística I

14. 4. Método de máxima verosimilitud (2/2)
Ejemplo
Función de verosimilitud
Función soporte
Probabilidades y Estadística I

15. Esquema inicial
1. Introducción
2. Estadísticos y estimadores
3. Método de los momentos
4. Método de máxima verosimilitud
5. Obtención de estimadores de la distribución normal
Probabilidades y Estadística I

16. 5. Estimadores en la distribución normal
TEOREMA DE FISHER
Probabilidades y Estadística I