1. TEMA 10
Estimación puntual
Probabilidades y Estadística I

2. Esquema inicial
1 I t d ió1. Introducción
2. Estadísticos y estimadoresy
Probabilidades y Estadística I

3. Esquema inicial
1 I t d ió1. Introducción
2. Estadísticos y estimadores2. Estadísticos y estimadores2. Estadísticos y estimadoresyyy
Probabilidades y Estadística I

4. 1. Introducción (1/4)
Enunciados genéricosEnunciados genéricos
Sea x1, x2,….., xn un conjunto de n valores numéricos
Muestra aleatoria simple
X X X
Conjunto de n variables aleatorias
0,8
1
1,2
0,8
1
1,2
0,8
1
1,2
X1, X2,…, Xn
0 1 2 3 4
0
0,2
0,4
0,6
0 1 2 3 4
0
0,2
0,4
0,6
0 1 2 3 4
0
0,2
0,4
0,6
…..
Independientes e idénticamente distr.
Probabilidades y Estadística I

5. 1. Introducción (2/4)
Muestra aleatoria simple Conjunto de n variables aleatorias
X1, X2,…, Xn
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 1 2 3 4
0
0 1 2 3 4
0
0 1 2 3 4
0
…..
Independientes e idénticamente distr.
POBLACIÓN Variable aleatoria
X
POBLACIÓN
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 1 2 3 4
0
0,2
 (parámetro)
Probabilidades y Estadística I

6. 1. Introducción (3/4)
1
1,2
0,4
0,6
0,8
1
0 1 2 3 4
0
0,2
( , )Erlang k 
Probabilidades y Estadística I

7. 1. Introducción (4/4)
Problemas
1,2
1. Determinar el valor de los parámetros a
ti d l d t (E i ió )
0,6
0,8
1
1,2
partir de los datos (Estimación)
2. Determinar si estimación de los parámetros
0 1 2 3 4
0
0,2
0,4
p
es asumible (Contraste paramétrico)
i i l i ió d l d
0 1 2 3 4
( , )Erlang k 
3. Determinar si la asignación de esa ley de
incertidumbrees asumible
(Contraste no paramétrico)
FUENTE DE INFORMACIÓN: Los datos con los que se construyó el histograma
Probabilidades y Estadística I

8. Esquema inicial
1 I t d ió1 I t d ió1 I t d ió1. Introducción1. Introducción1. Introducción
2. Estadísticos y estimadoresy
Probabilidades y Estadística I

9. 2. Estadísticos y Estimadores (1/5)
ESTADÍSTICO Sea X1,X2,…,Xn una muestra aleatoria simpleESTADÍSTICO
1 2( , ,...., )nT T X X X
Sea X1,X2,…,Xn una muestra aleatoria simple
Se puede valorar a partir de la muestra
Ejemplo Sea X1, X2,…,Xn una muestra aleatoria simple de una ( , )N  
2 2 2
1 2 1 2( , ,...., ) ....n nT X X X X X X    Estadístico
2 2 2
1 2 1 2( , ,...., ) ....n nT X X X X X X      No es Estadístico
Probabilidades y Estadística I

10. 2. Estadísticos y Estimadores (2/5)
ESTIMADOR Sea X1,X2,…,Xn una muestra aleatoria simple1 2 n
1 2( , ,...., )nX X X  1 2( , , , )n
Pretende aproximar el parámetro desconocido 
ˆ 
Ejemplo Sea X1,X2,…,Xn una muestra aleatoria simple de una ( , )N  
1 n
1 2
1
1
( , ,...., )n i
i
X X X X
n
 

   Estimador de la media
Probabilidades y Estadística I

11. 2. Estadísticos y Estimadores (3/5)
P bl ió P á t E ti dPoblación Parámetro Estimador
1ˆ( )
n
X X X X X 1 2
1
( , ,...., )n i n
i
X X X X X
n


 
1, 1 2
ˆ( , ,...., )n np X X X X
1 2
ˆ( , ,...., )n nX X X X 
 
22 1 n
 
22
1 2
1
1
ˆ ( , ,...., )n i n
i
X X X X X
n


 
 
22
1 2
1
( , ,...., )
n
iS X X X X X  1 2
1
( , ,...., )
1
n i n
i
S X X X X X
n 

Probabilidades y Estadística I

12. 2. Estadísticos y Estimadores (4/5)
Distribuciones de estimadores en poblaciones normales
Teorema de Fisher
Error muestral
Distribución muestral
4. 
5. 
Probabilidades y Estadística I

13. 2. Estadísticos y Estimadores (5/5)
ˆP
1
8
1
1
0.5
0.5
4
8
1
1
0.5
0.5

0.5 10
Distribución muestral
0.5
0.5
0
0 Distribución muestral0
0.5
0.5
0
00
Parámetro poblacional Estimación Error muestral
Probabilidades y Estadística I

14. TEMA 11
Intervalos de confianza
Probabilidades y Estadística I

15. Esquema inicial
1 I t d ió1. Introducción
2. Método de la variable pivotep
3. Intervalo de confianza en poblaciones normales
4. Intervalo de confianza asintóticos
Probabilidades y Estadística I

16. Esquema inicial
1 I t d ió1. Introducción
2. Método de la variable pivote2. Método de la variable pivote2. Método de la variable pivoteppp
3. Intervalo de confianza en poblaciones normales3. Intervalo de confianza en poblaciones normales3. Intervalo de confianza en poblaciones normales
4. Intervalo de confianza para proporciones4. Intervalo de confianza para proporciones4. Intervalo de confianza para proporciones
Probabilidades y Estadística I

17. 1. Introducción (1/2)
Asignación
1
1,2
0,4
0,6
0,8
1
0 1 2 3 4
0
0,2
( , )Erlang k 
Probabilidades y Estadística I

18. 1. Introducción (2/2)
Problemas
1 D t i l l d l á t
0,8
1
1,2
1. Determinar el valor de los parámetros a
partir de los datos (Estimación puntual)
0,2
0,4
0,6
 1 2
ˆ ˆ , ,..., nk k X X X  1 2
ˆ ˆ , ,..., nX X X 
0 1 2 3 4
0
( , )Erlang k 
1. Determinar el valor de los parámetros a
partir de los datos (Estimación intervalar)
   1 1 2 2 1 2
ˆ ˆ, ,..., , ,..., 0.90n nP k X X X k k X X X    
ˆ ˆ    1 1 2 2 1 2
ˆ ˆ, ,..., , ,..., 0.95n nP k X X X k k X X X    
   1 1 2 2 1 2
ˆ ˆ, ,..., , ,..., 0.99n nP k X X X k k X X X    
Probabilidades y Estadística I
   1 1 2 2 1 2, , , , , ,n n 

19. Esquema inicial
1 I t d ió1 I t d ió1 I t d ió1. Introducción1. Introducción1. Introducción
2. Método de la variable pivotep
3. Intervalo de confianza en poblaciones normales3. Intervalo de confianza en poblaciones normales3. Intervalo de confianza en poblaciones normales
4. Intervalo de confianza asintóticos4. Intervalo de confianza asintóticos4. Intervalo de confianza asintóticos
Probabilidades y Estadística I

20. 2. Método de la variable pivote (1/3)
Objetivo
Variables aleatoria
Nivel de confianza
Constante
Se trata de encontrar una variable aleatoria que sea función de la muestra y
del parámetro desconocido, de la que se conozca su distribución y, además,
ésta no dependa del parámetro
Probabilidades y Estadística I

21. 2. Método de la variable pivote (2/3)
Objetivo
Se trata de encontrar una variable aleatoria que sea función de la muestra y
del parámetro desconocido, de la que se conozca su distribución y, además,
ésta no dependa del parámetro
Probabilidades y Estadística I

22. 2. Método de la variable pivote (3/3)
Variable aleatoria que sea función de la muestra y del parámetro desconocidoq y p
4. 4.
5. 
Probabilidades y Estadística I

23. Esquema inicial
1 I t d ió1 I t d ió1 I t d ió1. Introducción1. Introducción1. Introducción
2. Método de la variable pivote2. Método de la variable pivote2. Método de la variable pivoteppp
3. Intervalo de confianza en poblaciones normales
4. Intervalo de confianza asintóticos4. Intervalo de confianza asintóticos4. Intervalo de confianza asintóticos
Probabilidades y Estadística I

24. 3. I.C. en poblaciones normales (1/15)
Sea X1,X2,…,Xn una muestra aleatoria simple de una ( , )N  
Casuística
1.
22.
3.
4.
4.1
4.2
5.
Probabilidades y Estadística I

25. 3. I.C. en poblaciones normales
Caso 1
4. Caso 2
Caso 3
5. 
Probabilidades y Estadística I

26. 3. I.C. en poblaciones normales (2/15)
Caso 1
(Variable pivote)(Variable pivote)
/2z/2z
(Intervalo de confianza)
Probabilidades y Estadística I

27. 3. I.C. en poblaciones normales (3/15)
Caso 2
(Variable pivote)(Variable pivote)
1 /2nt  1 /2nt 
(Intervalo de confianza)
1, /2n  1, /2nt 
Probabilidades y Estadística I

28. 3. I.C. en poblaciones normales (4/15)
Caso 2
Probabilidades y Estadística I

29. 3. I.C. en poblaciones normales (5/15)
Caso 2
Probabilidades y Estadística I

30. 3. I.C. en poblaciones normales (6/15)
Caso 3
(Variable pivote)
2
1, /2n  
2
1,1 /2n   
(Intervalo de confianza)
Probabilidades y Estadística I

31. 3. I.C. en poblaciones normales (7/15)
Caso 3
Probabilidades y Estadística I

32. 3. I.C. en poblaciones normales (8/15)
Caso 4
4.1
2 2 2
1 2   
4.2
Probabilidades y Estadística I

33. 3. I.C. en poblaciones normales (9/15)
Caso 4 2 2 2
1 2   
(Estimador de varianza común)
(Variable pivote)( p )
(Intervalo de confianza)
Probabilidades y Estadística I
( )

34. 3. I.C. en poblaciones normales (10/15)
Caso 4 2 2 2
1 2   
Probabilidades y Estadística I

35. 3. I.C. en poblaciones normales (11/15)
Probabilidades y Estadística I

36. 3. I.C. en poblaciones normales (12/15)
Caso 4
(Variable pivote)
   
1 2
1 2
22 2 n n
X Y
t
S S
 
  
  

1 2
1 2
S S
n n

Probabilidades y Estadística I

37. 3. I.C. en poblaciones normales (13/15)
Caso 4
Probabilidades y Estadística I

38. 3. I.C. en poblaciones normales (14/15)
Caso 5
(Variable pivote)
(Intervalo de confianza)(Intervalo de confianza)
Probabilidades y Estadística I

39. 3. I.C. en poblaciones normales (15/15)
Caso 5
Probabilidades y Estadística I

40. Esquema inicial
1 I t d ió1 I t d ió1 I t d ió1. Introducción1. Introducción1. Introducción
2. Método de la variable pivote2. Método de la variable pivote2. Método de la variable pivoteppp
3. Intervalo de confianza en poblaciones normales3. Intervalo de confianza en poblaciones normales3. Intervalo de confianza en poblaciones normales
4. Intervalo de confianza asintóticos
Probabilidades y Estadística I

41. 4. Intervalos de confianza asintóticos (1/3)
Sea X1,X2,…,Xn una muestra aleatoria simple con n  30
Casuística
1.
2.
Probabilidades y Estadística I

42. 4. Intervalos de confianza asintóticos (2/3)
Caso 1
(Variable pivote. Por T.C.L)
(Intervalo de confianza)
(1 ) (1 )
,
p p
N p
n
 
  
 
Probabilidades y Estadística I

43. 4. Intervalos de confianza asintóticos (3/3)
Caso 2
Probabilidades y Estadística I