El documento presenta los pasos para resolver el problema de Apolonio de un círculo, otro círculo y un punto. Explica cómo dibujar los centros de homotecia y las tangentes para encontrar los puntos donde las circunferencias se cortan, y luego trazar dos nuevos círculos tangentes a los primeros y que pasen por el punto dado para completar la solución.

1. Problema de Apolonio PCC
Pablo Antonio Ram´ırez Trejos
01 de Diciembre del 2019

2. Universidad Aut´onoma de Nuevo Le´on Facultad de Ciencias de la Tierra
Presentare el proceso para realizar algunas de las soluciones para para el problema de Apolonio
circulo, circulo y punto (PCC.
1. Ya teniendo dibujados los dos c´ırculos (C1 y C2)y el punto (P) (separadao y ninguno
adentro del otro), podemos proseguir dibujando los dos centros de homotecia.
a)
b) Conectamos los centros de los dos c´ırculos.
c) Dibujamos dos perpendiculares a l´ınea hecha en el paso anterior, con la condici´on
de que pasen por los centros de los c´ırculos.
d) Marcamos los cuatro puntos donde las perpendiculares cruzan con C1 y C2.
e)
f) Ahora tenemos cuatro puntos marcados en los extremos de los c´ırculos, que estan
alineados. Proseguiremos uniendo los dos puntos superiores y los dos puntos
inferiores. Estos se cruzaran en un punto y marcaremos ese punto, el cual sera
nuestro centro de homotecia, el cual denominaremos CH2.
g) Despu´es dibujaremos otras dos lineas. Una unira el punto superior de C1 con el
punto inferior de C2 y la otra unira el punto inferior de C1 con el punto superior de
C2. Con este formaremos otro centro de homotecia que denominaremos CH1.
h) Teniendo los dos centros de homotecia podemos proseguir ahora borrar todo menos
C1, C2, P, CH1 y CH2.
Pablo A. Ram´ırez Trejos PROGRAMCI ´ON 2

3. Facultad de Ciencias de la Tierra Universidad Aut´onoma de Nuevo Le´on
i)
2. Ahora lo que haremos es dibujar las lineas tengentes a los c´ırculos y pasan por CH1. Esto
se puede hacer dibujando un c´ırculo que tenga un extremo de su diamtro unido a CH1
y el otro unido al centro de C1, y por los puntos en que se crucen C1 y el nuevo c´ırculo
seran los puntos por los que pasaran las dos tangentes.
3.
4. Seguiremos eligiendo una de las dos l´ıneas tangentes aleatoriamente, en este caso se
eligi´o la que tendr´ıa una pendiente positiva. Teniendo esta l´ınea tangente marcaremos
los puntos en los cuales se cruza con C1, al cual denominaremos P2 y C2, al cual
denominaremos P3.
5. Lo que haremos ahora se crea un c´ıruclo que pase por los dos puntos marcados en el
paso anterior y P. Esto se puede hacer uniendo los tres puntos formando un triangulo, al
cual le dibujaremos la mediatriz a cada de sus lados, cuando hagamos esto notaremos
quq se unen en un punto el cual sera el centro del c´ırculo que une a los tres puntos.
Marcamos el punto por el que este c´ırculo pasa por C1 al cual denominaremos P4.
6. Continuamos, unimos CH1 y P, el cual cruzara por el c´ırculo dibujado en el paso anterior,
denominaremos este punto P5. Marcamos el punto de cruce.
7. Unimos P2 y P4.
8. Nos damos cuenta que la l´ınea que une a CH1 y P cruza con la l´ınea que une a P2 y P4.
Marcamos el punto donde se cruzan.
9. Dibujamos las tangentes del puntro de cruce anterior y C1. Marcamos los puntos por el
que pasan las tangentes, a los cuales denominaremos P6 y P7.
Pablo A. Ram´ırez Trejos 3

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10. Finalmente podems hacer dos c´ırculos tangentes a C1, C2 y P haciendo un c´ırculo apartir
de P6, P y P5; y otro c´ırculo apartir de P7, P y P5.
11.
12.
¡/pre¿¡p¿to your preamble, you can then insert R code like this:¡/p¿¡pre¿
remove( l i s t =ls ( ) )
graphics . off ( )
x11 ( )
#PUNTOS ORIGINALES
x1 <− 2
y1 <− 8 / 3
x2 <− −2
y2 <− 4
r <− 2
#PUNTOS PARA SACAR DONDE INTERSECTAN LOS CIRCULOS
s <− sqrt ( ( ( x2−x1 ) ˆ 2 ) + ( ( y2−y1 ) ˆ 2 ) − ( r ˆ 2 ) )
a <− −((2∗x1−2∗x2 ) / (2∗y1−2∗y2 ) )
b <− ( ( r ˆ2) − ( s ˆ2) − ( ( ( x2 )ˆ2) −(( x1 ) ˆ 2 ) + ( ( y2 )ˆ2) −(( y1 ) ˆ 2 ) ) ) / ((2 ∗y1)−(2∗y2 ) )
A <− ( aˆ2)+1
B <− (2∗( a∗(b−y2))) −2∗x2
C <− ( x2 ˆ2) + ( ( b−y2)ˆ2) − ( r ˆ2)
Pablo A. Ram´ırez Trejos PROGRAMCI ´ON 4

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#vARIABLES
x <− seq ( from = −10, to = 10 , by = 0.1)
y <− seq ( from = −10, to = 10 , by = 0.1)
#COORDENADAS DE INTERSECCI N
x11 <− (−B + sqrt ( (Bˆ2) −(4∗A∗C) ) ) / (2∗A)
x22 <− (−B − sqrt ( (Bˆ2) −(4∗A∗C) ) ) / (2∗A)
y11 <− ( a∗x11)+b
y22 <− ( a∗x22)+b
#CIRCULITOS
c i r c u l o p r i n c i p a l <− function ( x , y ){
( x−x2 )ˆ2 + ( y−y2 )ˆ2 − ( r ˆ2)
}
c i r c u l i t o para tangentes <− function ( x , y ){
( ( x−x1 ) ˆ 2 ) + ( ( y−y1 ) ˆ 2 ) − s ˆ2
}
z <− outer ( x , y , c i r c u l o p r i n c i p a l )
contour ( x , y , z , nlevels = 0)
z1 <− outer ( x , y , c i r c u l i t o para tangentes )
contour ( x , y , z1 , nlevels = 0 , add = TRUE)
#PUNTOS
points (2 ,(8 / 3))
points ( x11 , y11 , col= ’ blue ’ )
points ( x22 , y22 , col= ’ blue ’ )
Pablo A. Ram´ırez Trejos 5