Aplicación de la derivada:razones de cambio

1. RAZONES DE CAMBIO O VARIACIONES
RELACIONADAS (APLICACIONES EN CONTEXTO DE
LAS DERIVADAS)
SITUACION 1:
Una persona de 1.80 metros de altura se aleja de un poste de alumbrado de
6 metros de altura con una velocidad de 1 m/s. ¿Con qué rapidez crece la
sombra de la persona?
Observa la siguiente animación. En ella observarás como cambia la
sombra que una persona proyecta sobre el piso, cuando esa persona se
aleja de la fuente luminosa.
Como habrás observado, la longitud de la sombra depende de la
distancia de la persona al poste. Puesto que la distancia x cambia con el
tiempo, también la longitud de la sombra s cambia con el tiempo. La razón
de cambio de la longitud de la sombra con respecto al tiempo, depende de
la velocidad con la que la persona se aleja del poste. A esto le llamamos
razones de cambio relacionadas. Enseguida, se muestran los cálculos
necesarios para encontrar la razón de cambio de la sombra del ejemplo
anterior.
La relación entre x y s es:

2. 1.8 6
==
s(t) s(t) + x(t)
Despejando a s(t) obtenemos:
s(t) = (0.428571) x(t)
Derivando con respecto al tiempo obtenemos s'(t):
s'(t) = (0.428571) x'(t)
Sustituyendo el valor de x'(t)=1. obtenemos:
s'(t) = 0.428571
La razón de cambio de s con respecto a t es:
s'(t)= 0.428571 cuando x'(t)= 1
Los pasos ilustrados en el ejemplo anterior son típicos en la solución de
un problema de razones de cambio relacionadas. Este procedimiento se
resume en la siguiente lista.
Te sugerimos seguir este procedimiento en la solución de este tipo de
problemas.
Los problemas de razones de cambio relacionadas se
resuelven siguiendo los siguientes pasos:
1. Hacer una ilustración de la situación planteada.
2. Identificar con símbolos las cantidades que varían en el
tiempo.
3. Identificar las razones que se conocen y la razón que se

3. busca.
4. Escribir una ecuación que relacione las variables.
5. Derivar implícitamente con respecto al tiempo la
ecuación obtenida en el paso 4.
Ejemplo 2:
Se inyecta aire a un globo esférico a razón de 20 pies cúbicos / min. ¿A qué
razón varía el radio cuando éste mide 3 pies? La solución y una animación
que ilustra el problema se muestran a continuación.
Observa que si V representa el volumen y r el radio:
dV/dt = 20 pies cúbicos / min
dr/dt = ? cuando r =3 pies.
La relacion entre volumen y radio es:
4 r(t)3

4. V(t) =
3
Derivando implícitamente con respecto al tiempo
(recuerda la regla de la cadena):
V'(t) = 4 r(t)2 r'(t)
Despejando r'(t) obtenemos:
V'(t)
r'(t) =
4 r(t)2
Sustituyendo V'(t)= 20 y r(t)= 3:
5
r'(t) =
9
La razón de cambio buscada es
5
r'(t)=
9

5. Encuentra la ecuación de la recta tangente a la
curva f(x)=3x3
+6x2
-2x+8 en el punto (2,4).