Intec Unidad I.pdf

ANÁLISIS NUMÉRICO
Modelos matemáticos y análisis del error
José Miguel Gómez Guzmán
Ciencias Básicas y Ambientales
Instituto Tecnológico de Santo Domingo
18 de febrero de 2022
Gómez Guzmán ANÁLISIS NUMÉRICO 18 de febrero de 2022 1 / 1

Introducción

Introducción
Definición
Análisis Numérico
Es el diseño, uso y análisis de algoritmos, los cuales son conjuntos de instrucciones
cuyo fin es calcular o aproximar alguna cantidad o función.

Introducción
Definición
Análisis Numérico
El análisis numérico consiste en procedimientos que resuelven problemas y realizan
cálculos puramente aritméticos. Pero hay que tomar en cuenta las características
especiales y limitaciones de los instrumentos de cálculo (como las computadoras) que
nos ayudan en la ejecución de las instrucciones del algoritmo.

Introducción
Definición
Análisis Numérico
Un especialista de análisis numérico se interesa en la creación y comprensión de
buenos métodos que resuelvan problemas numéricamente. Una característica
importante del estudio de los métodos es su variación.

Introducción
Definición
Análisis Numérico
Una buena razón para estudiar el análisis numérico es mejorar nuestra
comprensión de los conceptos de las matemáticas (puras) observando como
algunos de ello deben modificarse necesariamente en las matemáticas
computacionales.

Introducción
Definición
Análisis Numérico
Una buena razón para estudiar el análisis numérico es mejorar nuestra
comprensión de los conceptos de las matemáticas (puras) observando como
algunos de ello deben modificarse necesariamente en las matemáticas
computacionales.
Después de todo, el análisis numérico es importante porque es necesario en la
solución de muchos problemas del mundo real.

Métodos Numéricos

Métodos Numéricos
Definición
Son técnicas de análisis las cuales es posible formular problemas de tal manera que
se pueden resolver utilizando operaciones aritméticas.
Las técnicas más utilizadas son usadas para resolver:
Ajuste de Curvas
Sistema de Ecuaciones Lineales
Ecuaciones no lineales
Integración
Ecuaciones Diferenciales (ordinarias y parciales)

Modelos matemáticos Aproximación
Definición
Un modelo matemático se define, de manera general, como una formulación o una
ecuación que expresa las características esenciales de un sistema físico o de un
proceso en términos matemáticos. En general, el modelo se representa mediante una
relación funcional de la forma:

Definición
variable depediente = f (VI, Parámetros, Funciones de fuerza) (1)

Definición
variable depediente = f (VI, Parámetros, Funciones de fuerza) (1)
donde la variable dependiente es una característica que generalmente refleja el
comportamiento o estado de un sistema; las variables independientes son, por lo
común, dimensiones tales como tiempo y espacio, a través de las cuales se determina
el comportamiento del sistema; los parámetros son el reflejo de las propiedades o la
composición del sistema; y las funciones de fuerza son influencias externas que
actúan sobre el sistema.

La expresión matemática de la ecuación (??) va desde una simple relación algebraica
hasta un enorme y complicado grupo de ecuaciones diferenciales. Por ejemplo, a
través de sus observaciones, Newton formuló su segunda ley del movimiento, la cual
establece que la razón de cambio del momentum con respecto al tiempo de un cuerpo,
es igual a la fuerza resultante que actúa sobre él.

La expresión matemática de la ecuación (??) va desde una simple relación algebraica
hasta un enorme y complicado grupo de ecuaciones diferenciales. Por ejemplo, a
través de sus observaciones, Newton formuló su segunda ley del movimiento, la cual
establece que la razón de cambio del momentum con respecto al tiempo de un cuerpo,
es igual a la fuerza resultante que actúa sobre él.
La expresión matemática, o el modelo, de la segunda ley es la ya conocida ecuación
F = ma (2)
donde F es la fuerza neta que actúa sobre el objeto (N, okgm/s2
), m es la masa del
objeto (kg) y a es su aceleración (m/s2
).
La segunda ley puede escribirse en el formato de la ecuación (??), dividiendo,
simplemente, ambos lados entre m para obtener
a =
F
m
(3)
donde a es la variable dependiente que refleja el comportamiento del sistema, F es la
función de fuerza y m es un parámetro que representa una propiedad del sistema.
Observe que en este caso específico no existe variable independiente porque aún no se
predice cómo varía la aceleración con respecto al tiempo o al espacio.

La ecuación (??) posee varias de las características típicas de los modelos
matemáticos del mundo físico:

a) Describe un proceso o sistema natural en términos matemáticos.

b) Representa una idealización y una simplificación de la realidad. Es decir, ignora
los detalles insignificantes del proceso natural y se concentra en sus
manifestaciones esenciales. Por ende, la segunda ley de Newton no incluye los
efectos de la relatividad, que tienen una importancia mínima cuando se aplican a
objetos y fuerzas que interactúan sobre o alrededor de la superficie de la Tierra, a
velocidades y en escalas visibles a los seres humanos.

b) Representa una idealización y una simplificación de la realidad. Es decir, ignora
los detalles insignificantes del proceso natural y se concentra en sus
manifestaciones esenciales. Por ende, la segunda ley de Newton no incluye los
efectos de la relatividad, que tienen una importancia mínima cuando se aplican a
objetos y fuerzas que interactúan sobre o alrededor de la superficie de la Tierra, a
velocidades y en escalas visibles a los seres humanos.
c) Finalmente, conduce a resultados reproducibles y, en consecuencia, llega a
emplearse con la finalidad de predecir. Por ejemplo, dada la fuerza aplicada
sobre un objeto de masa conocida, la ecuación (??) se emplea para calcular la
aceleración.

Errores de Redondeo
Los errores de redondeo se deben a que la computadora tan sólo representa cantidades
con un número finito de dígitos:
Ejemplo
4.125 se redondea a 4.13

Errores de Redondeo
Ejemplo
Los números tales como π, e o
√
7 no pueden exspresarse con un número fijo de cifras
significativas.

Errores de Redondeo
Ejemplo
√
significativas.
Por lo tanto, no pueden ser representados exactamente por la computadora.

Errores de Redondeo
Ejemplo
√
significativas.
Además, debido a que las computadoras usan una representación en base 2, no pueden
representar exactamente algunos números en base 10.

Errores de Redondeo
Ejemplo
√
significativas.
Además, debido a que las computadoras usan una representación en base 2, no pueden
representar exactamente algunos números en base 10.
Esta discrepancia por la omisión de cifras significativas se llama error de redondeo.

Cifras Significativas
Definición

Definición
El concepto de cifras o dígitos significativos se ha desarrollado para designar
formalmente la confiabilidad de un valor numérico.

Definición
Las cifras significativas de un número son aquellas que pueden utilizarse en forma
confiable. Se trata del número de dígitos que se ofrecen con certeza, más uno
estimado. Es decir, El número de cifras significativas es aquel que puede ser usado
para que ese valor sea confiable.

Definición
Las cifras significativas de un número son aquellas que pueden utilizarse en forma
confiable. Se trata del número de dígitos que se ofrecen con certeza, más uno
estimado. Es decir, El número de cifras significativas es aquel que puede ser usado
para que ese valor sea confiable.
La figura muestra un velocímetro y un odómetro (contador de kilometraje) de un au-
tomóvil. Con un simple vistazo al velocímetro se observa que el vehículo viaja a una
velocidad comprendida entre 48 y 49 km/h. Como la aguja está más allá de la mitad
entre las marcas del indicador, es posible asegurar que el automóvil viaja aproximada-
mente a 49 km/h. Tenemos confianza en este resultado, ya que dos o más individuos
que hicieran esta lectura llegarían a la misma conclusión.

El velocímetro y el odómetro de un automóvil ejemplifican el concepto de cifras
significativas.
Ejemplo
El velocímetro y el odómetro de la figura muestran lecturas de hasta tres y siete cifras
significativas, respectivamente.

significativas.
Ejemplo
significativas, respectivamente.Para el velocímetro, los dos dígitos seguros son 48.

significativas.
Ejemplo
significativas, respectivamente.Para el velocímetro, los dos dígitos seguros son 48.Por
convención al dígito estimado se le da el valor de la mitad de la escala menor de
división en el instrumento de medición. Así, la lectura del velocímetro consistirá de
las tres cifras significativas:
48.5.

significativas.
Ejemplo
significativas, respectivamente.Para el velocímetro, los dos dígitos seguros son 48.Por
convención al dígito estimado se le da el valor de la mitad de la escala menor de
división en el instrumento de medición. Así, la lectura del velocímetro consistirá de
las tres cifras significativas:
48.5.
En forma similar, el odómetro dará una lectura con siete cifras significativas,
87324.45.

El concepto de cifras significativas tiene dos implicaciones importantes en el estudio
de los métodos numéricos.

1 Como los métodos numéricos dan resultados aproximados. Por lo tanto, se deben
desarrollar criterios para especificar qué tan confiables son dichos resultados.

Una manera de hacerlo es en términos de cifras significativas.

Una manera de hacerlo es en términos de cifras significativas.
Por ejemplo, es posible afirmar que la aproximación es aceptable siempre y
cuando sea correcta con cuatro cifras significativas.
2 Aunque ciertas cantidades tales como π, e, o
√
7 representan cantidades
específicas, no se pueden expresar exactamente con un número finito de dígitos.
Por ejemplo,
π = 3.141592653589793238462643...
hasta el infinito. Como las computadoras retienen sólo un número finito de cifras
significativas, tales números jamás se podrán representar con exactitud. A la
omisión del resto de cifras significativas se le conoce como error de redondeo.

Exactitud y Precisión

Los errores en cálculos y medidas se pueden caracterizar con respecto a su exactitud y
su precisión.
Definición
La exactitud se refiere a qué tan cercano está el valor calculado o medido del
valor verdadero es decir, Que tan cercano está el valor calculado al valor real

su precisión.
Definición
La precisión se refiere a qué tan cercanos se encuentran, unos de otros, diversos
valores calculados o medidos, es decir, que tan cercano está un valor individual
medido o calculado con respecto a los otros.

su precisión.
Definición
La inexactitud (conocida también como sesgo) se define como una
desviación(alejamiento) sistemática del valor verdadero.

su precisión.
Definición
La inexactitud (conocida también como sesgo) se define como una
desviación(alejamiento) sistemática del valor verdadero.
La imprecisión (también llamada incertidumbre), por otro lado, se refiere a la
magnitud en la dispersión, es decir, magnitud del alejamiento.

Ejemplo
Un ejemplo de puntería ilustra los conceptos de exactitud y precisión. a) Inexacto e
impreciso; b) exacto e impreciso; c) inexacto y preciso; d) exacto y preciso.

Ejemplo
Un ejemplo de puntería ilustra los conceptos de exactitud y precisión. a) Inexacto e
impreciso; b) exacto e impreciso; c) inexacto y preciso; d) exacto y preciso.
Los agujeros en cada blanco de la figura se consideran como las predicciones con una
técnica numérica; mientras que el centro del blanco representa la verdad.
Los disparos en la figura c están más juntos que los de la figura a, los dos casos son
igualmente inexactos, ya que ambos se centran en la esquina superior izquierda del
blanco.
Por consiguiente, aunque las figuras b y d son igualmente exactas (esto es, igualmente
centradas respecto al blanco), la última es más precisa, pues los disparos están agrupa-
dos en forma más compacta.

Definiciones de Error

Los métodos numéricos deben ser lo suficientemente exactos o sin sesgo para satisfacer
los requisitos de un problema particular. También deben ser suficientemente precisos
para ser adecuados en el diseño.

Usaremos el término error para representar tanto la inexactitud como la imprecisión
en las predicciones. Con dichos conceptos como antecedentes, ahora analizaremos los
factores que contribuyen al error en los cálculos numéricos.

Usaremos el término error para representar tanto la inexactitud como la imprecisión
en las predicciones. Con dichos conceptos como antecedentes, ahora analizaremos los
factores que contribuyen al error en los cálculos numéricos.
Los errores numéricos surgen del uso de aproximaciones para representar operaciones
y cantidades matemáticas exactas. Éstas incluyen los errores de truncamiento que
resultan del empleo de aproximaciones como un procedimiento matemático exacto, y
los errores de redondeo que se producen cuando se usan números que tienen un límite
de cifras significativas para representar números exactos.

error numérico
Para ambos tipos de errores, la relación entre el resultado exacto, o verdadero, y el
aproximado está dada por

error numérico
Valor verdadero = Valor aproximado + error (4)

error numérico
Reordenando la ecuación (??) se encuentra que el error numérico es igual a la diferen-
cia entre el valor verdadero y el valor aproximado, es decir

error numérico
Et = valor verdadero − valor aproximado (5)
donde Et se usa para denotar el valor exacto del error. El subíndice t indica que se
trata del error “verdadero” (true). Una desventaja en esta definición es que no toma en
consideración el orden de la magnitud del valor que se estima.

error numérico
Por ejemplo, un error de un centímetro es mucho más significativo si se está midiendo
un remache en lugar de un puente. Una manera de tomar en cuenta las magnitudes de
las cantidades que se evalúan consiste en normalizar el error respecto al valor verdade-
ro, es decir

error numérico
Por ejemplo, un error de un centímetro es mucho más significativo si se está midiendo
un remache en lugar de un puente. Una manera de tomar en cuenta las magnitudes de
las cantidades que se evalúan consiste en normalizar el error respecto al valor verdade-
ro, es decir
Error relativo fraccional verdadero =
error verdadero
valor verdadero
(6)

error relativo
El error relativo también se puede multiplicar por 100 % para expresarlo como
et =
error verdadero
valor verdadero
100 % (7)

error relativo
et =
error verdadero
valor verdadero
100 % (7)
donde et denota el error relativo porcentual verdadero.

error relativo
et =
error verdadero
valor verdadero
100 % (7)
Ejemplo
Suponga que se tiene que medir la longitud de un puente y la de un remache, y se
obtiene 9999 y 9cm, respectivamente. Si los valores verdaderos son 10000 y 10cm ,
calcule a) el error verdadero y b) el error relativo porcentual verdadero en cada caso.

error relativo
et =
error verdadero
valor verdadero
100 % (7)
Ejemplo
Solución
a) El error en la medición del puente es [ecuación (??)]

error relativo
et =
error verdadero
valor verdadero
100 % (7)
Ejemplo
Solución
Et = 10000 − 9999 = 1cm

error relativo
et =
error verdadero
valor verdadero
100 % (7)
Ejemplo
Solución
Et = 10000 − 9999 = 1cm
y en la del remache es de

error relativo
et =
error verdadero
valor verdadero
100 % (7)
Ejemplo
Solución
Et = 10000 − 9999 = 1cm
y en la del remache es de
Et = 10 − 9 = 1cm

Solución
b) El error relativo porcentual para el puente es [ecuación (??)]

Solución
et =
1
10000
100 % = 0.01 %

Solución
et =
1
10000
100 % = 0.01 %
y para el remache es de

Solución
et =
1
10000
100 % = 0.01 %
et =
1
10
100 % = 10 %

Solución
et =
1
10000
100 % = 0.01 %
et =
1
10
100 % = 10 %
Por lo tanto, aunque ambas medidas tienen un error de 1 cm, el error relativo porcentual
del remache es mucho mayor. Se concluye entonces que se ha hecho un buen trabajo
en la medición del puente; mientras que la estimación para el remache dejó mucho que
desear.

En los métodos numéricos, el valor verdadero sólo se conocerá cuando se tengan fun-
ciones que se resuelvan analíticamente. Éste comúnmente será el caso cuando se estu-
die el comportamiento teórico de una técnica específica para sistemas simples.

Sin embargo, en muchas aplicaciones reales, no se conoce a priori la respuesta verda-
dera. Entonces en dichos casos, una alternativa es normalizar el error, usando la mejor
estimación posible al valor verdadero; es decir, para la aproximación misma, como en

ea =
error aproximado
valor aproximado
100 % (8)
donde el subíndice a significa que el error está normalizado a un valor aproximado.
Observe también que en aplicaciones reales la ecuación (??) no se puede usar para
calcular el término del error de la ecuación (??).

ea =
error aproximado
valor aproximado
100 % (8)
donde el subíndice a significa que el error está normalizado a un valor aproximado.
Observe también que en aplicaciones reales la ecuación (??) no se puede usar para
calcular el término del error de la ecuación (??).
Uno de los retos que enfrentan los métodos numéricos es el de determinar estimaciones
del error en ausencia del conocimiento de los valores verdaderos.

Por ejemplo, ciertos métodos numéricos usan un método iterativo para calcular los
resultados. En tales métodos se hace una aproximación considerando la aproximación
anterior. Este proceso se efectúa varias veces, o de forma iterativa, para calcular en
forma sucesiva, esperando cada vez mejores aproximaciones.

En tales casos, el error a menudo se calcula como la diferencia entre la aproximación
previa y la actual. Por lo tanto, el error relativo porcentual está dado por

En tales casos, el error a menudo se calcula como la diferencia entre la aproximación
previa y la actual. Por lo tanto, el error relativo porcentual está dado por
ea =
aproximación actual − aproximación anterior
aproximación actual
100 % (9)
Los signos de las ecuaciones ya mencionada pueden ser positivos o negativos.
Si la aproximación es mayor que el valor verdadero (o la aproximación previa es mayor
que la aproximación actual), el error es negativo; si la aproximación es menor que el
valor verdadero, el error es positivo.
También en las ecuaciones (??) a (??), el denominador puede ser menor a cero, lo cual
también llevaría a un error negativo.

A menudo, cuando se realizan cálculos, no importa mucho el signo del error, sino más
bien que su valor absoluto porcentual sea menor que una tolerancia porcentual prefijada
es. Por lo tanto, es útil emplear el valor absoluto de las ecuaciones (??) a (??). En tales
casos, los cálculos se repiten hasta que
|ea| < es (10)
Si se cumple la relación anterior, entonces se considera que el resultado obtenido está
dentro del nivel aceptable fijado previamente es.

A menudo, cuando se realizan cálculos, no importa mucho el signo del error, sino más
bien que su valor absoluto porcentual sea menor que una tolerancia porcentual prefijada
es. Por lo tanto, es útil emplear el valor absoluto de las ecuaciones (??) a (??). En tales
casos, los cálculos se repiten hasta que
|ea| < es (10)
Si se cumple la relación anterior, entonces se considera que el resultado obtenido está
dentro del nivel aceptable fijado previamente es.
Es conveniente también relacionar estos errores con el número de cifras significativas
en la aproximación. Es posible demostrar (Scarborough, 1966) que si el siguiente cri-
terio se cumple, se tendrá la seguridad que el resultado es correcto en al menos n cifras
significativas.
es = (0.5 × 102−n
) % (11)

Estimación del error con métodos iterativos

En matemáticas con frecuencia las funciones se representan mediante series infinitas.
Por ejemplo, la función exponencial se calcula usando
ex
= 1 + x +
x2
2!
+
x3
3!
+ · · · + · · ·
xn
n!
(12)

ex
= 1 + x +
x2
2!
+
x3
3!
+ · · · + · · ·
xn
n!
(12)
Empezando con el primer término ex
= 1 y agregando término por término, estime el
valor de e0.5
.

ex
= 1 + x +
x2
2!
+
x3
3!
+ · · · + · · ·
xn
n!
(12)
valor de e0.5
.
Después de agregar cada término, calcule los errores: relativo porcentual verdadero y
normalizado a un valor aproximado usando las ecuaciones (??) y (??),
respectivamente. Observe que el valor verdadero es e0.5
= 1.648721... Agregue
términos hasta que el valor absoluto del error aproximado ea sea menor que un
criterio de error preestablecido es con tres cifras significativas.

ex
= 1 + x +
x2
2!
+
x3
3!
+ · · · + · · ·
xn
n!
(12)
valor de e0.5
.
Después de agregar cada término, calcule los errores: relativo porcentual verdadero y
normalizado a un valor aproximado usando las ecuaciones (??) y (??),
respectivamente. Observe que el valor verdadero es e0.5
= 1.648721... Agregue
términos hasta que el valor absoluto del error aproximado ea sea menor que un
criterio de error preestablecido es con tres cifras significativas.
Así cuanto más términos se le agreguen a la serie, la aproximación será cada vez más
una mejor estimación del valor verdadero de ex
. La ecuación (??) se conoce como
expansión en series de Maclaurin.

Solución
En primer lugar la ecuación (??) se emplea para determinar el criterio de error que
asegura que un resultado sea correcto en al menos tres cifras significativas:

Solución
es = (0.5 × 102−3
) % = 0.05 %
Por lo tanto, se agregarán términos a la serie hasta que ea sea menor que este valor.
La primera estimación es igual a la ecuación (??) con un solo término. Entonces, la
primera estimación es igual a 1. La segunda estimación se obtiene agregando el
segundo término, así:

Solución
es = (0.5 × 102−3
) % = 0.05 %
ex
= 1 + x

Solución
es = (0.5 × 102−3
) % = 0.05 %
ex
= 1 + x
y para x = 0.5,
e0.5
= 1 + 0.5 = 1.5

Solución
es = (0.5 × 102−3
) % = 0.05 %
ex
= 1 + x
y para x = 0.5,
e0.5
= 1 + 0.5 = 1.5
Esto representa el error relativo porcentual verdadero de [ecuación (??)]

Solución
es = (0.5 × 102−3
) % = 0.05 %
ex
= 1 + x
y para x = 0.5,
e0.5
= 1 + 0.5 = 1.5
Esto representa el error relativo porcentual verdadero de [ecuación (??)]
et =
1.648721 − 1.5
1.648721
100 % = 9.2 %

Solución
La ecuación (??) se utiliza para determinar una estimación aproximada del error,
dada por:

Solución
La ecuación (??) se utiliza para determinar una estimación aproximada del error,
dada por:
ea =
1.5 − 1
1.5
100 % = 33.33 %
Como ea no es menor que el valor requerido es, se deben continuar los cálculos
agregando otro término, x2
2! , repitiendo el cálculo del error. El proceso continúa hasta
que ea < es. Todos los cálculos se resumen de la siguiente manera

Errores de Truncamiento
Los errores de truncamiento representan la diferencia entre una formulación
matemática exacta de un problema y su aproximación obtenida por un método
numérico.

Errores de Truncamiento
Los errores de truncamiento representan la diferencia entre una formulación
matemática exacta de un problema y su aproximación obtenida por un método
numérico.
Este se debe a la interrupción de un proceso matemático antes de su terminación.
Sucede cuando se toman sólo algunos términos de una serie infinita o cuando se toma
sólo un número finito de intervalos.
Un caso adicional de error de truncamiento ocurre cuando una calculadora poco
sofisticada sólo toma en cuenta los dígitos que caben en la pantalla y no analiza el
primer dígito perdido. En resumen,
Error real = error de truncamiento + error de redondeo (13)

Serie de Taylor

Serie de Taylor
La serie de Taylor nos permite manipular funciones complejas como las logarítmicas,
exponenciales y trigonométricas, aproximando el valor de una función en un entorno
de un punto a, en términos del valor de la función y sus derivadas en dicho punto.
Definición

Serie de Taylor
Definición
Llamaremos Polinomio de Taylor de grado n de una función f suficientemente
derivable en el punto a, y lo denotaremos por Tn,a[f] al polinomio:
Tn,a[f](x) = f(a) +
f0
(a)
1!
(x − a) +
f00
(a)
2!
(x − a)2
+ · · · +
f(n)
(a)
n!
(x − a)n
(14)
Nota

Serie de Taylor
Definición
Llamaremos Polinomio de Taylor de grado n de una función f suficientemente
derivable en el punto a, y lo denotaremos por Tn,a[f] al polinomio:
Tn,a[f](x) = f(a) +
f0
(a)
1!
(x − a) +
f00
(a)
2!
(x − a)2
+ · · · +
f(n)
(a)
n!
(x − a)n
(14)
Nota
Se puede escribir la fórmula (??) más compacta de la siguiente forma:
Tn,a[f](x) =
n
X
i=0
f(i)
(a)
i!
(x − a)i
(15)

Teorema
Sea “f” una función suficientemente derivable en un punto a, se puede construir el
polinomio de Taylor, Tn,a[f]], de tal forma que Tn,a[f](k)
(a) = f(k)
(a), siendo
k = 1, 2, ·n., es decir, este polinomio tiene la propiedad de que él y sus derivadas
hasta del orden n coinciden con la función “f” y sus derivadas hasta orden n en el
punto a.

Teorema
(a) = f(k)
(a), siendo
punto a.
De manera similar se puede escribir la expansión de la serie de Taylor para aproximar
funciones y así obtener el error de truncamiento, producido al analizar prematuramente
el desarrollo de la misma, el cual se puede expresar como el residuo Rn(x) y viene dado
por:
Tn,a[f](xi+1) = f(xi)+
f0
(xi)
1!
(xi+1−xi)+
f00
(xi)
2!
(xi+1−xi)2
+· · ·+
f(n)
(xi)
n!
(xi+1−xi)n
+Rn (16)

Teorema
(a) = f(k)
(a), siendo
punto a.
De manera similar se puede escribir la expansión de la serie de Taylor para aproximar
funciones y así obtener el error de truncamiento, producido al analizar prematuramente
el desarrollo de la misma, el cual se puede expresar como el residuo Rn(x) y viene dado
por:
Tn,a[f](xi+1) = f(xi)+
f0
(xi)
1!
(xi+1−xi)+
f00
(xi)
2!
(xi+1−xi)2
+· · ·+
f(n)
(xi)
n!
(xi+1−xi)n
+Rn (16)
donde Rn(x) en la fórmula (??) viene dado por :
Rn(x) = fn+1
(ξ)
(x − a)n+1
(n + 1)!
(17)

Donde el subíndice n indica que éste es el residuo de la aproximación de n-ésimo
orden y ξ es un valor de x que se encuentra en algún punto entre xi y xi+l.

Donde el subíndice n indica que éste es el residuo de la aproximación de n-ésimo
orden y ξ es un valor de x que se encuentra en algún punto entre xi y xi+l. Con
frecuencia es conveniente simpilificar la serie de Taylor definiendo un tamaño de paso
o incremento h = xi+1 − xi y epresando la ecuación (??) como:
Tn,a[f](xi+1) = f(xi) +
f0
(xi)
1!
h +
f00
(xi)
2!
h2
+ · · · +
f(n)
(xi)
n!
hn
+ Rn (18)

Ejemplo I
Ejemplo

Ejemplo I
Ejemplo
Calcular el polinomio de Taylor de grado 4 que se ajusta a la función
f(x) = ex
− sen(x) en el punto a = 0 y estimar el valor en la misma función cuando
x = 1.

Ejemplo I
Ejemplo
f(x) = ex
x = 1.
Solución
El ejercicio pide encontrar la Serie de Taylor de grado 4, para ello es necesario
obtener hasta la cuarta derivada y determinar el valor de las mismas en a = 0:

Ejemplo I
Ejemplo
f(x) = ex
x = 1.
Solución
Cuadro: Derivada de la función y Evaluación para a = 0
Función Valor en a = 0
f(x) = ex
− sen(x) f(0) = e0
− sen(0) = 1 − 0 = 1
f0
(x) = ex
− cos(x) f0
(0) = e0
− cos(0) = 1 − 1 = 0
f00
(x) = ex
+ sen(x) f00
(0) = e0
+ sen(0) = 1 − 0 = 1
f000
(x) = ex
+ cos(x) f000
(0) = e0
+ cos(0) = 1 + 1 = 2
fiv
(x) = ex
− sen(x) f(0) = e0
− sen(0) = 1 − 0 = 1

Solución
Reemplazamos los valores del cuadro ?? , en la fórmula (??):
T4,0[ex
− sen(x)](x) = f(0) + f0
(0)(x) +
f00
(0)
2!
(x2
) +
f000
(0)
3!
x3
+
fiv
(0)
4!
x4

Solución
T4,0[ex
− sen(x)](x) = f(0) + f0
(0)(x) +
f00
(0)
2!
(x2
) +
f000
(0)
3!
x3
+
fiv
(0)
4!
x4
= 1 + 0(x) +
1
2
(x2
) +
2
6
(x3
) +
1
24
(x4
)

Solución
T4,0[ex
− sen(x)](x) = f(0) + f0
(0)(x) +
f00
(0)
2!
(x2
) +
f000
(0)
3!
x3
+
fiv
(0)
4!
x4
= 1 + 0(x) +
1
2
(x2
) +
2
6
(x3
) +
1
24
(x4
)
= 1 +
x2
2
+
x3
3
+
x4
24
.

Solución
T4,0[ex
− sen(x)](x) = f(0) + f0
(0)(x) +
f00
(0)
2!
(x2
) +
f000
(0)
3!
x3
+
fiv
(0)
4!
x4
= 1 + 0(x) +
1
2
(x2
) +
2
6
(x3
) +
1
24
(x4
)
= 1 +
x2
2
+
x3
3
+
x4
24
.
Por lo que en un entorno de 0 se puede aproximar f(x) por T4,0[ex
−sen(x)](x), ejemplo
en x = 1 el valor seria muy próximo.
f(1) = 1.876810843651149
y
T4,0[ex
− sen(x)](1) = 1.875
ver figura en Matlab

Ejemplo

Ejemplo
Tomando en cuenta el ejemplo anterio (??) Calcular el polinomio de Taylor de grado
4 en el punto a = 1 y estimar el valor en la misma función cuando x = 1.

Ejemplo
Solución

Ejemplo
Solución
Cuadro: Derivada de la función y Evaluación para a = 1
Función Valor en a = 1
f(x) = ex
− sen(x) f(1) = e1
− sen(1) = 1.87681
f0
(x) = ex
− cos(x) f0
(1) = e1
− cos(1) = 2.17798
f00
(x) = ex
+ sen(x) f00
(1) = e1
+ sen(1) = 3.55975
f000
(x) = ex
+ cos(x) f000
(1) = e1
+ cos(1) = 3.25858
fiv
(x) = ex
− sen(x) fiv
(1) = e1
− sen(1) = 1.87681

Solución
T4,1[ex
− sen(x)](x)
= f(1) + f0
(1)(x − 1) +
f00
(1)
2!
(x − 1)2
+
f000
(1)
3!
(x − 1)3
+
fiv
(1)
4!
(x − 1)4

Solución
T4,1[ex
− sen(x)](x)
= f(1) + f0
(1)(x − 1) +
f00
(1)
2!
(x − 1)2
+
f000
(1)
3!
(x − 1)3
+
fiv
(1)
4!
(x − 1)4
= f(1) + f0
(1)(x − 1) +
f00
(1)
2
(x − 1)2
+
f000
(1)
6
(x − 1)3
+
fiv
(1)
24
(x − 1)4

Solución
T4,1[ex
− sen(x)](x)
= f(1) + f0
(1)(x − 1) +
f00
(1)
2!
(x − 1)2
+
f000
(1)
3!
(x − 1)3
+
fiv
(1)
4!
(x − 1)4
= f(1) + f0
(1)(x − 1) +
f00
(1)
2
(x − 1)2
+
f000
(1)
6
(x − 1)3
+
fiv
(1)
24
(x − 1)4
= 1.01381 − 0.06582x + 0.619788x2
+ 0.23095x3
+ 0.0782x4

Solución
T4,1[ex
− sen(x)](x)
= f(1) + f0
(1)(x − 1) +
f00
(1)
2!
(x − 1)2
+
f000
(1)
3!
(x − 1)3
+
fiv
(1)
4!
(x − 1)4
= f(1) + f0
(1)(x − 1) +
f00
(1)
2
(x − 1)2
+
f000
(1)
6
(x − 1)3
+
fiv
(1)
24
(x − 1)4
= 1.01381 − 0.06582x + 0.619788x2
+ 0.23095x3
+ 0.0782x4
Por lo que en un entorno de 1 se puede aproximar f(x) por T4,1[ex
−sen(x)](x), ejemplo
en x = 1 el valor seria muy próximo.
f(1) = 1.876810843651149
y
T4,1[ex
− sen(x)](1) = 1.87681
ver figura

Ejemplo II

Ejemplo II
Ejemplo
Use expansiones de la serie de Taylor de los órdenes cero hasta cuatro para aproximar
la función
f(x) = −0.1x4
− 0.15x3
− 0.5x2
− 0.25x + 1.2
desde xi = 0 con h = 1. Esto es, predecir el valor de la función en xi+1 = 1.

Ejemplo II
Ejemplo
Use expansiones de la serie de Taylor de los órdenes cero hasta cuatro para aproximar
la función
f(x) = −0.1x4
− 0.15x3
− 0.5x2
− 0.25x + 1.2
desde xi = 0 con h = 1. Esto es, predecir el valor de la función en xi+1 = 1.
Figura: Aproximación de f(x) = −0.1x4
− 0.15x3
− 0.5x2
− 0.25x + 1.2 en x = 1 mediante
expansiones de la serie de Taylor de órdenes cero, primero y segundo.

n = 0

n = 0
Solución
Como se observó en el figura ?? es una función conocidad por lo que se puede
calacular su valor real, la función empieza en f(0) = 1.2 y hace una curva hacia abajo
hasta f(1) = 0.2. Por lo tanto, el valor verdadero que se trata de predecir es 0.2.

n = 0
Solución
La aproximación de la serie de Taylor con n = 0 es

n = 0
Solución
f(xi + 1) ≈ 1.2

n = 0
Solución
f(xi + 1) ≈ 1.2
Como se muestra en la figura ??, la aproximación de orden cero es una constante.
Usando esta formulación resulta un error de truncamiento
Et = 0.2 − 1.2 = −1.0
para un x = 1

n = 1
Solución
Para n = 1, se debe determinar y evaluar la primera derivada en x = 0:

n = 1
Solución
f0
(0) = −0.4(0)3
− 0.45(0)2
− 1.0(0) − 0.25 = −0.25

n = 1
Solución
f0
(0) = −0.4(0)3
− 0.45(0)2
− 1.0(0) − 0.25 = −0.25
La aproximación de primer orden es:
f(xi++1) = 1.2 − 0.25h
f(1) = 0.95.
el error de truncamiento se reduce a
Et = 0.2 − 0.95 = −0.75

Solución
Para n = 2, se evalúa la segunda derivada en x = 0:

Solución
f00
(0) = −1.2(0.0)2
− 0.9(0.0) − 1.0 = −1.0

Solución
f00
(0) = −1.2(0.0)2
− 0.9(0.0) − 1.0 = −1.0
Entonces, de acuerdo con la ecuación (??)
f(xi++1) = 1.2 − 0.25h − 0.5h2
f(1) = 0.45.

Solución
f00
(0) = −1.2(0.0)2
− 0.9(0.0) − 1.0 = −1.0
f(xi++1) = 1.2 − 0.25h − 0.5h2
f(1) = 0.45.
Et = 0.2 − 0.45 = −0.25

Solución
f00
(0) = −1.2(0.0)2
− 0.9(0.0) − 1.0 = −1.0
f(xi++1) = 1.2 − 0.25h − 0.5h2
f(1) = 0.45.
Et = 0.2 − 0.45 = −0.25
Los términos adicionales mejoran aún más la aproximación. En efecto, la inclusión de
la tercera y de la cuarta derivadas da como resultado exactamente la misma ecuación
del principio:
f(x) = 1.2 − 0.25h − 0.5h2
− 0.15h3
− 0.1h4

Ejemplo III
Ejemplo
Utilice expansiones de la serie de Taylor con n desde 0 hasta 6 para aproximar
f(x) = cosx en xi+1 =
π
3
con base en el valor de f(x) y sus derivadas en xi =
π
4
. Lo
que significa que h =
π
3
−
π
4
=
π
12
.

Ejemplo III
Ejemplo
π
3
π
4
. Lo
π
3
−
π
4
=
π
12
.
Solución
En la función original se puede determinar el valor exacto de f(π
3 ) = 0.5.

Ejemplo III
Ejemplo
π
3
π
4
. Lo
π
3
−
π
4
=
π
12
.
Solución
3 ) = 0.5.
La aproximación de orden cero es
f(
π
3
) ≈ cos
π
4

≈ 0.707106781

Ejemplo III
Ejemplo
π
3
π
4
. Lo
π
3
−
π
4
=
π
12
.
Solución
3 ) = 0.5.
f(
π
3
) ≈ cos
π
4

≈ 0.707106781
Que representa un error relativo porcentual de:
et =
0.5 − 0.707106781
0.5
100 % =

Ejemplo III
Ejemplo
π
3
π
4
. Lo
π
3
−
π
4
=
π
12
.
Solución
3 ) = 0.5.
f(
π
3
) ≈ cos
π
4

≈ 0.707106781
Que representa un error relativo porcentual de:
et =
0.5 − 0.707106781
0.5
100 % = − 41.4 %

Solución
Para la aproximación de primer orden (n = 1), se agrega el término de la primera
derivada donde f0
(x) = −senx :

Solución
derivada donde f0
(x) = −senx :
f(
π
3
) ≈ cos
π
4

− sen
π
4
π
12

≈

Solución
derivada donde f0
(x) = −senx :
f(
π
3
) ≈ cos
π
4

− sen
π
4
π
12

≈ 0.521986659

Solución
derivada donde f0
(x) = −senx :
f(
π
3
) ≈ cos
π
4

− sen
π
4
π
12

≈ 0.521986659
El representa un error relativo porcentual de:
et =
0.5 − 0.521986659
0.5
100 % =

Solución
derivada donde f0
(x) = −senx :
f(
π
3
) ≈ cos
π
4

− sen
π
4
π
12

≈ 0.521986659
El representa un error relativo porcentual de:
et =
0.5 − 0.521986659
0.5
100 % = − 4.4 %

El residuo en la expansión de la serie de Taylor
Suponga que se trunca la expansión de la serie de Taylor después del término de
orden cero para obtener:
f(xi+1) ∼
= f(xi)

f(xi+1) ∼
= f(xi)
Figura: Representación gráfica de una predicción de orden cero con la serie de Taylor y del
residuo.

f(xi+1) ∼
= f(xi)
Figura: Representación gráfica de una predicción de orden cero con la serie de Taylor y del
residuo.
En la figura se muestra una representación gráfica de esta predicción de orden cero.

El residuo o error de esta predicción, que se indica también en la figura, consiste de la
serie infinita de términos que fueron truncados:
R0 =
f0
(xi)
1!
h +
f00
(xi)
2!
h2
+ · · · +
f(n)
(xi)
n!
hn
+ Rn

R0 =
f0
(xi)
1!
h +
f00
(xi)
2!
h2
+ · · · +
f(n)
(xi)
n!
hn
+ Rn
Obviamente no resulta conveniente manipular el residuo en este formato de serie infi-
nita. Se obtiene una simplificación truncando el residuo mismo de la siguiente manera

R0 =
f0
(xi)
1!
h +
f00
(xi)
2!
h2
+ · · · +
f(n)
(xi)
n!
hn
+ Rn
R0
∼
= f0
(xi)h (19)

R0 =
f0
(xi)
1!
h +
f00
(xi)
2!
h2
+ · · · +
f(n)
(xi)
n!
hn
+ Rn
R0
∼
= f0
(xi)h (19)
Por lo común las derivadas de orden inferior cuentan mucho más en el residuo que
los términos de las derivadas de orden superior; este resultado todavía es inexacto,
ya que se han despreciado los términos de segundo orden y de órdenes superiores.
Esta “inexactitud” se denota mediante el símbolo de aproximación a la igualdad (∼
=)
empleado en la ecuación (??).

Una simplificación alternativa que transforma la aproximación en una equivalencia está
basada en un esquema gráfico.

Como se muestra en la figura el teorema del valor medio para la derivada establece que
si una función f(x) y su primera derivada son continuas en el intervalo de xi a xi+1,
entonces existe al menos un punto en la función que tiene una pendiente, denotada por
f0
(ξ), que es paralela a la línea que une f(xi) y f(xi+1). El parámetro x marca el valor
x donde se presenta la pendiente (figura ). Una ilustración física de este teorema es la
siguiente:

f0
siguiente:
Si usted viaja entre dos puntos a una velocidad promedio, habrá al menos un momento
durante el curso del viaje en que usted se mueve a esa velocidad promedio.

f0
siguiente:
Si usted viaja entre dos puntos a una velocidad promedio, habrá al menos un momento
durante el curso del viaje en que usted se mueve a esa velocidad promedio.
Figura: Representación gráfica del teorema del valor medio para la derivada.

Al utilizar este teorema resulta fácil darse cuenta, como se muestra en la figura, de
que la pendiente f0
(ξ) es igual al cociente de la elevación R0 entre el recorrido h, o

que la pendiente f0
f0
(ξ) =
R0
h
la cual se puede reordenar como
R0 = f0
(ξ)h (20)

que la pendiente f0
f0
(ξ) =
R0
h
la cual se puede reordenar como
R0 = f0
(ξ)h (20)
Por lo tanto, se ha obtenido la versión de orden cero de la ecuación(??). Las versiones
de orden superior son tan sólo una extensión lógica del razonamiento usado para
encontrar la ecuación (??). La versión de primer orden es

Ejemplo: El efecto de no linealidad y del tamaño del incremento en la
aproximación de la serie de Taylor

Planteamiento del problema:

f(x) = xm
(21)

f(x) = xm
(21)
para m = 1, 2, 3 y 4 en el rango de x = 1 a 2. Observe que para m = 1 la función es
lineal, y conforme m se incrementa, se presenta mayor curvatura o no linealidad dentro
de la función.

Continuación
Utilizar la serie de Taylor de primer orden para aproximar la función con diversos
valores del exponente m y del tamaño de incremento h.

Continuación
Solución.
La ecuación (??) se aproxima por una expansión de la serie de Taylor de primer orden:

Continuación
Solución.
La ecuación (??) se aproxima por una expansión de la serie de Taylor de primer orden:
f(xi+1) = f(xi) + mxm−1
i h (22)
la cual tiene un residuo de
R1 =
f00
(xi)
2!
h2
+
f(3)
3!
h3
+
f(4)
4!
h4
+ · · ·

DIFERENCIA FINITA DIVIDIDA
Ahora, truncando la serie después del termino con la primera derivada y despejando la
derivada, se obtiene:
f0
(xi) =
f(xi+1) − f(xi)
xi+1 − xi
+ O(xi+1 − xi) (23)

f0
(xi) =
f(xi+1) − f(xi)
xi+1 − xi
+ O(xi+1 − xi) (23)
f0
(xi) =
∆fi
h
+ O(h) (24)
donde a ∆fi se le conoce como la primera diferencia hacia adelante y a hse le llama
el tamaño del paso o incremento; esto es, la longitud del intervalo sobre el cual se
realiza la aproximación.

f0
(xi) =
f(xi+1) − f(xi)
xi+1 − xi
+ O(xi+1 − xi) (23)
f0
(xi) =
∆fi
h
+ O(h) (24)
Se le llama diferencia “hacia delante”, porque usa los datos en (i) e (i + 1) para
estimar la derivada.

f0
(xi) =
f(xi+1) − f(xi)
xi+1 − xi
+ O(xi+1 − xi) (23)
f0
(xi) =
∆fi
h
+ O(h) (24)
Se le llama diferencia “hacia delante”, porque usa los datos en (i) e (i + 1) para
estimar la derivada.
Al termino completo
∆f
h
se le conoce como primer diferencia finita dividida.

Aproximación a la primera derivada con diferencia hacia atrás.

La serie de Taylor se expande hacia atrás para calcular un valor anterior sobre la base
del valor actual,

del valor actual,
f(xi−1) = f(xi) − f0
(xi)h +
f00
(xi)
2!
h2
− · · · (25)
Truncando la ecuación después de la primera derivada y reordenando los términos se
obtiene

del valor actual,
f(xi−1) = f(xi) − f0
(xi)h +
f00
(xi)
2!
h2
− · · · (25)
obtiene
f0
(xi) ∼
=
f(xi) − f(xi−1
h
=
∇fi
h
(26)

del valor actual,
f(xi−1) = f(xi) − f0
(xi)h +
f00
(xi)
2!
h2
− · · · (25)
obtiene
f0
(xi) ∼
=
f(xi) − f(xi−1
h
=
∇fi
h
(26)
donde el error es O(h), y a ∇fi se le conoce como primera diferencia dividida hacia
atrás.

Aproximación a la primera derivada con diferencias centradas.

Una tercera forma de aproximar la primera derivada consiste en restar la ecuación (??)
de la expansión de la serie de Taylor hacia adelante:

f(xi+1) = f(xi) + f0
(xi)h +
f00
(xi)
2!
h2
+ · · · (27)
Para obtener

f(xi+1) = f(xi) + f0
(xi)h +
f00
(xi)
2!
h2
+ · · · (27)
Para obtener
f(xi+1) = f(xi−1) + 2f0
(xi)h +
2f(3)
(xi)
3!
h3
+ · · ·

f(xi+1) = f(xi) + f0
(xi)h +
f00
(xi)
2!
h2
+ · · · (27)
Para obtener
f(xi+1) = f(xi−1) + 2f0
(xi)h +
2f(3)
(xi)
3!
h3
+ · · ·
de donde se despeja
f0
(xi) =
f(xi+1) − f(xi−1
2h
−
f(3)
(xi)
6
h2
− · · ·
o
f0
(xi) =
f(xi+1) − f(xi−1
2h
− O(h2
) (28)
La ecuación (??) es una representación de las diferencias centradas de la primera derivada.
Observe que el error de truncamiento es del orden de h2
en contraste con las aproximaciones
hacia adelante y hacia atrás, que fueron del orden de h. Por lo tanto, el análisis de la serie de
Taylor ofrece la información práctica de que la diferencia centrada es una representación más
exacta de la derivada

Figura: Gráfica de aproximaciones con diferencias finitas divididas de la primera derivada: a)
hacia delante, b) hacia atrás, c) centrales.

EJEMPLO: Aproximación de derivadas por diferencias finitas
divididas
Planteamiento del problema. Use aproximaciones con diferencias finitas hacia
adelante y hacia atrás de O(h) y una aproximación de diferencia centrada de O(h2
)
para estimar la primera derivada de
f(x) = −0.1x4
− 0.15x3
− 0.5x2
− 0.25x + 1.2
en x = 0.5 utilizando un incremento de h = 0.5. Repita el cálculo con h = 0.25.

EJEMPLO: Aproximación de derivadas por diferencias finitas
divididas
Planteamiento del problema. Use aproximaciones con diferencias finitas hacia
adelante y hacia atrás de O(h) y una aproximación de diferencia centrada de O(h2
)
para estimar la primera derivada de
f(x) = −0.1x4
− 0.15x3
− 0.5x2
− 0.25x + 1.2
en x = 0.5 utilizando un incremento de h = 0.5. Repita el cálculo con h = 0.25.
Observe que la derivada se calcula directamente como
f0
(x) = −0.4x3
− 0.45x2
− 1.0x − 0.25
y se puede utilizar para calcular el valor verdadero como f0
(0.5) = −0.9125.

Solución
Para h = 0.5, la función se emplea para determinar
xi−1 = 0 ⇒ f(xi−1) = 1.2
xi = 0.5 ⇒ f(xi) = 0.925
xi+1 = 0 ⇒ f(xi+1) = 0.2
Esos valores sirven para calcular las diferencias divididas hacia adelante
[ecuación (??)]

Solución
xi−1 = 0 ⇒ f(xi−1) = 1.2
xi = 0.5 ⇒ f(xi) = 0.925
xi+1 = 0 ⇒ f(xi+1) = 0.2
[ecuación (??)]
La diferencia dividida hacia atrás [ecuación (??)]

Solución
xi−1 = 0 ⇒ f(xi−1) = 1.2
xi = 0.5 ⇒ f(xi) = 0.925
xi+1 = 0 ⇒ f(xi+1) = 0.2
[ecuación (??)]
La diferencia dividida hacia atrás [ecuación (??)]
La diferencia dividida centrada [ecuación (??)]

PROPAGACIÓN DEL ERROR
Cuando se resuelve un problema matemático por métodos numéricos y aunque las
operaciones se lleven a cabo exactamente, obtenemos una aproximación numérica del
resultado exacto. Es importante tratar de conocer el efecto que sobre el resultado final
del problema tiene cada una de las operaciones realizadas.
Funciones de una sola variable
Suponga que se tiene la función (x) que es dependiente de una sola variable
independiente x. Considere que x̃ es una aproximación de . Por lo tanto, se desearía
evaluar el efecto de la discrepancia entre x y x̃ en el valor de la función. Esto es, se
desearía estimar:
∆f(x̃) = |f(x) − f(x̃)|

PROPAGACIÓN DEL ERROR
Cuando se resuelve un problema matemático por métodos numéricos y aunque las
operaciones se lleven a cabo exactamente, obtenemos una aproximación numérica del
resultado exacto. Es importante tratar de conocer el efecto que sobre el resultado final
del problema tiene cada una de las operaciones realizadas.
Funciones de una sola variable
Suponga que se tiene la función (x) que es dependiente de una sola variable
independiente x. Considere que x̃ es una aproximación de . Por lo tanto, se desearía
evaluar el efecto de la discrepancia entre x y x̃ en el valor de la función. Esto es, se
desearía estimar:
∆f(x̃) = |f(x) − f(x̃)|
El problema para evaluar ∆f(x̃) es que se desconoce f(x) porque se desconoce x. Se
supera esta dificultad si x̃ está cercana a x y f(x̃) es continua y diferenciable. Si se
satisfacen estas condiciones se utiliza una serie de Taylor para calcular f(x) cerca de
f(x̃),

f(x) = f(x̃) + f0
(x̃)(x − x̃) +
f00
(x̃)
2
(x − x̃)2
+ · · ·
Truncando en el primer término, los de orden superior, y reordenando, se obtiene
f(x) − f(x̃) ∼
= f0
(x̃)(x − x̃)

f(x) = f(x̃) + f0
(x̃)(x − x̃) +
f00
(x̃)
2
(x − x̃)2
+ · · ·
f(x) − f(x̃) ∼
= f0
(x̃)(x − x̃)
o
∆f(x̃) = |f0
(x̃)|(x − x̃) (29)

f(x) = f(x̃) + f0
(x̃)(x − x̃) +
f00
(x̃)
2
(x − x̃)2
+ · · ·
f(x) − f(x̃) ∼
= f0
(x̃)(x − x̃)
o
∆f(x̃) = |f0
(x̃)|(x − x̃) (29)
donde ∆f(x̃) = |f(x) − f(x̃)| representa una estimación del error de la función y
|∆x̃ = |x − x̃| representa una estimación del error de x. La ecuación (??) propor-
ciona la capacidad de aproximar el error en f(x) dando la derivada de una función y
una estimación del error en la variable independiente.

EJEMPLO Propagación del error en una función de una variable
Planteamiento del problema. Dado un valor de x̃ = 2.5 con un error ∆x̃ = 0.01,
estime el error resultante en la función f(x) = x3
.

.
Solución.
Con la ecuación (??),

.
Solución.
∆f(x̃) ∼
= 3(2.5)2
(0.01) =

.
Solución.
∆f(x̃) ∼
= 3(2.5)2
(0.01) = 0.1875

.
Solución.
∆f(x̃) ∼
= 3(2.5)2
(0.01) = 0.1875
Ya que f(2.5) = 15.625, se pronostica que

.
Solución.
∆f(x̃) ∼
= 3(2.5)2
(0.01) = 0.1875
f(2.5) = 15.625 ± 0.1875

.
Solución.
∆f(x̃) ∼
= 3(2.5)2
(0.01) = 0.1875
f(2.5) = 15.625 ± 0.1875
o que el valor verdadero se encuentra entre 15.4375 y 15.8125. De hecho, si x fuera
realmente 2.49, la función se evaluaría como 15.4382, y si x fuera 2.51, el valor de la
función sería 15.8132.

.
Solución.
∆f(x̃) ∼
= 3(2.5)2
(0.01) = 0.1875
f(2.5) = 15.625 ± 0.1875
o que el valor verdadero se encuentra entre 15.4375 y 15.8125. De hecho, si x fuera
realmente 2.49, la función se evaluaría como 15.4382, y si x fuera 2.51, el valor de la
función sería 15.8132.
Para este caso, el análisis del error de primer orden proporciona una estimación
adecuada del error verdadero.

Práctica de Aula
1 Evalúe e−0.5
con el uso de e−x
= 1 − x + x2
2! − x3
3! + · · · + · · · xn
n! . Tomando 3
cifras significativas. Calcule los errores relativos Verdadero y aproximado.
2 Estime el valor de cosx = 1 − x2
2! + x4
4! − x6
6! + x8
8! . Para x = 0.3π. Tomando 3
cifras significativas. Calcule los errores relativos Verdadero y aproximado.
3 Calcular el polinomio de Taylor de grado 4 que se ajusta a la función
f(x) = sen(x) + cos(x) en el punto x = 0.
4 Calcular el polinomio de Taylor de grado 5 que se ajusta a la función
f(x) = ln(x + 1) en el punto x = 0.
5 Emplee la expansión de la serie de Taylor de cero hasta tercer orden para
predecir f(2) si
f(x) = 25x3
− 6x2
+ 7x − 88
usando como punto base xi = 1. error de truncamiento.

Error de truncamiento el polinomio de Taylor
El término error de truncamiento en el polinomio de Taylor se refiere al error implicado
al utilizar la suma truncada, o finita, para aproximar la suma de una serie infinita.

El resto enésimo se define como la diferencia entre entre la función y su polinomio de
Taylor de grado n

Taylor de grado n
Rn(x) = f(x) − Tn,a[f](x) (30)

Taylor de grado n
Rn(x) = f(x) − Tn,a[f](x) (30)
Así en el Ejemplo I
f(1) = 1.876810843651149
y
T4,0[ex
− sen(x)](1) = 1.875
luego por ??
Rn(x) = 1.876810843651149 − 1.875 =

Taylor de grado n
Rn(x) = f(x) − Tn,a[f](x) (30)
Así en el Ejemplo I
f(1) = 1.876810843651149
y
T4,0[ex
− sen(x)](1) = 1.875
luego por ??
Rn(x) = 1.876810843651149 − 1.875 = 0.001810843651149
∴ Rn(x) ≈ 0.181 %

Expresión del resto de Lagrange
Dicha expresión fue prensentada en (??) que se expresa:
Rn(x) = fn+1
(ξ)
(x − a)n+1
(n + 1)!
Recordar que el subíndice n indica que éste es el residuo de la aproximación de n-ésimo

Rn(x) = fn+1
(ξ)
(x − a)n+1
(n + 1)!
Recordar la Función
f(x) = ex
− sen(x)
del Ejemplo I, donde se calculo una cuarta derivada .

Rn(x) = fn+1
(ξ)
(x − a)n+1
(n + 1)!
f(x) = ex
− sen(x)
Ahora calcularemos la 5ta
para expresar el teorema de resto.

Rn(x) = fn+1
(ξ)
(x − a)n+1
(n + 1)!
f(x) = ex
− sen(x)
f(v)
= ex
− cos(x)

Rn(x) = fn+1
(ξ)
(x − a)n+1
(n + 1)!
f(x) = ex
− sen(x)
f(v)
= ex
− cos(x)
∴ Rn(x) =
x5
120

eξ(x)
− cos(ξ(x)

Donde ξ(x) es algún número (por lo general desconocido) entre 0 y x.
Probar para ξ(x) = 0.5

Ejemplo
Si f(x) = cos(x) y xi = 0. Determine el segundo polinomio de Taylor para f
alrededor de xi;

Ejemplo
alrededor de xi;
Solución
El teorema de Taylor puede aplicarse a cualquiera n ≥ 0

Ejemplo
alrededor de xi;
Solución
El teorema de Taylor puede aplicarse a cualquiera n ≥ 0Además,
f0
(x) = −sen(x), f00
(x) = −cos(x), f000
(x) = sen(x)

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