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Ayudantía 6
Repaso de contenidos esenciales y ejercicios
Probabilidad y Estadística
Ayudante Denise Hugo Pérez dhugop@udd.cl
Martes 11 de abril de 2023

Repaso para el certamen
• Técnicas de conteo
• Axiomas de probabilidad
• Probabilidad condicional
• Independencia estadística
• Teorema de probabilidad total
• Teorema de Bayes
• Función de probabilidad discreta
• Distribuciones de probabilidad
• Función de probabilidad continua

Espacio muestral S /
Conjunto de todos los posibles resultados de un experimento.
Contar la secuencia de caras y sellos que aparecen al arrojar 3 monedas
simultáneamente
Contar cuántas caras salen en cada tiro
Los elementos del espacio muestral no siempre son números,
también pueden ser nombres, colores, sabores entre otros.

Eventos
Son un subconjunto del espacio muestral (están contenidos en S).
Lanzar 3 monedas y que salga CCC
 Evento seguro: Es aquel que va a ocurrir
Evento imposible: no va a ocurrir. No existe sólo un evento imposible.

Eventos
Mutuamente excluyentes 𝑨 ∩ 𝑩 = ∅
Dos eventos son mutuamente excluyentes
si no pueden ocurrir al mismo tiempo.
Lanzar un dado y obtener un número par
Un número no puede ser par e impar a la
vez.
Lanzar una moneda y obtener una cara
No se puede obtener cara y sello al mismo
tiempo.
Colectivamente exhaustivos 𝑨 ∪ 𝑩 = 𝑺
Dos eventos son mutuamente colectivamente
exhaustivos si todo elemento del espacio
muestral se encuentra en A o en B.
Obtener un número par o uno impar en un dado

• Principio multiplicativo: sean A y B
conjuntos tales que #(A) = m y #(B)= n, el
número de formas de seleccionar un
elemento en A y un elemento en B está
dado por m*n.
• Factorial: n! = n*(n-1)! 0! = 1

Permutación
Selección en donde sí importa el orden en el que se escogen los
elementos.
n Cantidad de elementos del espacio muestral
k Cantidad de elementos a elegir
𝑃𝑘
𝑛
=
𝑛!
𝑛−𝑘 !

Ejercicio 1
Una familia está conformada por una mamá, un papá, una abuela,
una tía, 3 niños y 2 niñas. Todos se forman en una fila para entrar a la
casa.
a) ¿De cuántas maneras se pueden formar si no hay restricciones?
b) ¿De cuántas maneras se pueden formar si los niños y niñas deben
ir primero?
c) ¿De cuántas maneras se pueden formar si la abuela debe entrar
primero?
d) ¿De cuántas maneras se pueden formar si las mujeres deben
entrar primero?

Ejercicio 1
Una familia está conformada por una mamá, un papá, una
abuela, una tía, 3 niños y 2 niñas. Todos se forman en una fila
para entrar a la casa.
a) ¿De cuántas maneras se pueden formar si no hay
restricciones?
La familia tiene 9 personas. Si no hay restricciones, hay 362.880
formas de hacer la fila.
𝑃9
9
= 9! = 362.880

Ejercicio 1
b) ¿De cuántas maneras se pueden formar si los niños y niñas deben
ir primero?
Da lo mismo el orden en el que se formen, siempre que los niñ@s
estén al frente.
𝑃4
4
∙ 𝑃5
5
= 4! ∙ 5! = 2.880
Hay 2.880 formas de hacer la fila.
𝑃4
4
∙ 𝑃5
5

Ejercicio 1
c) ¿De cuántas maneras se pueden formar si la abuela debe
entrar primero?
Da lo mismo el orden en el que se formen, siempre la abuela esté al frente.
𝑃8
8
∙ 𝑃1
1
𝑃8
8
∙ 𝑃1
1
= 8! ∙ 1! = 40.320

Ejercicio 1
d) ¿De cuántas maneras se pueden formar si las mujeres deben
entrar primero?
No importa de qué forma se ordenen los hombres o dé qué forma se
ordenen las mujeres, siempre que estas últimas vayan al frente.
𝑃4
4
∙ 𝑃5
5

Permutación con repetición
Selección en donde sí importa el orden de los elementos, y estos
se pueden repetir.
𝑃𝑅𝑘
𝑛
= 𝑛𝑘

Ejercicio 2
¿De cuántas maneras podemos escribir una patente que tiene
primero 4 letras y, a continuación, 2 dígitos?

Permutación con elementos
indistinguibles
Indica la cantidad de selecciones distintas que se pueden hacer
de un conjunto n de elementos, entre los cuales hay algunos que
son distintos pero indistinguibles entre sí.
En este tipo de permutación se utiliza la totalidad de los
elementos (n), y su fórmula es:
𝑃𝐼𝑛
𝑛 =
𝑛!
𝑛1! ∙ 𝑛2 ! ∙ … ∙ 𝑛𝑘!

Ejercicio 3
En una urna hay 5 bolas del mismo tamaño y peso, de los
cuales, 3 son rojas y 2 son azules. ¿De cuántas maneras se
pueden extraer una a una las bolas de la urna?
𝑃𝐼5
5
=
5!
3!∙2!
= 10
Las bolas se pueden extraer de 10 maneras diferentes.

Combinación
Selección de elementos en donde el orden en el que se escogen no
es relevante. La combinación de un conjunto de n elementos donde
0 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛 es:
𝐶𝑘
𝑛
=
𝑛!
𝑘! ∗ 𝑛 − 𝑘 !

Ejercicio 4
¿Cuántos grupos de 3 estudiantes se pueden formar con un total
de 10 estudiantes?
𝐶3
10
=
10!
3! ∗ 10 − 3 !
= 120

Axiomas de probabilidad
Si un conjunto X tiene n elementos y A es un evento, entonces la
probabilidad de que A ocurra está dada por:
𝑝 𝐴 =
#(𝐴)
#(𝑛)
=
𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑏𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠
𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠
Sea S el espacio muestral y A y B eventos:
 𝑝 𝐴 ≥ 0 Cualquier probabilidad siempre es un número +
𝑝 𝑆 = 1 El evento seguro es el espacio muestral
Si A y B son mutuamente excluyentes 𝑝 𝐴𝑈𝐵 = 𝑝 𝐴 + 𝑝 𝐵
𝑝 𝐴 ≤ 1 La cantidad de casos favorables no es mayor a la de posibles

Propiedades
 𝑝 ∅ = 0
 𝑝 𝐴𝑐 = 1 − 𝑝 𝐴 … 𝐴 ∪ 𝐴𝑐 = 𝑆, 𝐴 ∩ 𝐴𝑐 = ∅
 𝑝 𝐴 − 𝐵 = 𝑝 𝐴 ∩ 𝐵𝑐
 𝑝 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑝 𝐴 + 𝑝 𝐵 − 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵
 𝑝 𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶 = 𝑝 𝐴 + 𝑃 𝐵 + 𝑝 𝐶 − 𝑝 𝐴 ∩ 𝐵 − 𝑝 𝐵 ∩ 𝐶 −
𝑝 𝐴 ∩ 𝐶 + 𝑝(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶)

Ejercicio 5
Sean A, B y C tres eventos cualquiera de un espacio muestral. Suponga
que el evento B está contenido en el evento A y que los eventos A y C son
disjuntos, suponga además que el evento A es dos veces más probable que
el evento B y tres veces más probable que el evento C. Se sabe también,
que el evento A es un medio más probable que el evento Ac.
Encuentre justificando cada uno de sus cálculos:
a) 𝑃 𝐴 ∪ 𝐶
b) 𝑃(𝐵|𝐶)

Probabilidad Condicional
Sean A y B eventos dentro del espacio
muestral S, con probabilidad mayor
que cero. Definimos la probabilidad
de A dado que B ocurrió por:
𝑝 𝐴 𝐵 =
𝑝(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑃(𝐵)
# Observaciones:
1. 𝑝 𝐴 𝐵 ≠ 𝑃(𝐵|𝐴)
2. 𝑝 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐴 𝐵 ∙ 𝑃 𝐵 = 𝑃(𝐵|𝐴) ∙ 𝑃(𝐴)
Probabilidad de padecer una
enfermedad dado que una persona es
mayor.
 El Alzheimer suele comenzar
después de los 60 años.
 El riesgo aumenta a medida que
la persona envejece.
Probabilidad de padecer una
enfermedad dado que los familiares de
la persona padecen la enfermedad.
 El riesgo es mayor si hay
personas en la familia que
tuvieron la enfermedad.
p.112

Ejercicio 6
El 76 % de los estudiantes de Ingeniería Civil han aprobado
resistencia de materiales y el 45 % aprobaron estática. Además,
el 30 % aprobaron resistencia de materiales y estática. Si Camilo
aprobó resistencia de materiales, ¿qué probabilidad tiene de
haber aprobado también estática?

Independencia Estadística
Sean A y B eventos dentro del espacio muestral S. Si son eventos
independientes:
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵)
# Observaciones:
1. 𝑝 𝐴 𝐵 = 𝑃(𝐴)
2. Mutuamente excluyentes ≠ independientes
3. Si A y B son independientes, A y BC
también son independientes.

Ejercicio 7
Un proceso de fabricación puede estar ajustado o desajustado. Cuando está
ajustado produce un 1% de piezas defectuosas y cuando está desajustado
un 10%. La probabilidad de desajuste es de 0,3. Se elige al azar una pieza.
a) ¿Son los eventos “pieza defectuosa” y “proceso de fabricación ajustado”
independientes? Justifique.
b) Calcular la probabilidad que la pieza elegida sea defectuosa o el proceso
esté ajustado.
C) Si la pieza resulta no defectuosa, ¿Cuál es la probabilidad que el proceso
esté desajustado?

Ejercicio 7a
Lo primero que hacemos es definir los eventos del espacio muestral.
𝐴 la pieza es producida en ajuste
𝐴𝑐 la pieza es producida en desajuste
𝐵 la pieza es defectuosa
Luego identificamos los datos que nos proporciona el enunciado
𝑃 𝐴 = 0,7 𝑃 𝐴𝑐 = 0,3 𝑃 𝐵 𝐴 = 0,01 𝑃 𝐵 𝐴𝑐 = 0,1
a) Nos preguntan si 𝑃 𝐵 ∩ 𝐴 = 𝑃(𝐵) ∙ 𝑃 𝐴 si los eventos son independientes
Primero calculamos la 𝑃 𝐵 utilizando el teorema de probabilidad total
𝑃 𝐵 = 𝑃 𝐴 ∙ 𝑃 𝐵 𝐴 + 𝑃(𝐴𝑐) ∙ 𝑃(𝐵|𝐴𝑐)
𝑃 𝐵 = 0,7 ∙ 0,01 + 0,3 ∙ 0,1 = 0,037

Ejercicio 7a
Ahora despejamos 𝑃 𝐵 ∩ 𝐴 a partir de la probabilidad condicional:
𝑃 𝐵 𝐴 =
𝑃(𝐵 ∩ 𝐴)
𝑃(𝐴)
𝑃 𝐵 𝐴 ∙ 𝑃 𝐴 = 𝑃 𝐵 ∩ 𝐴
0,01 ∙ 0,7 = 0,007
Ahora corroboramos si aplicando la condición de probabilidad
condicional obtenemos el mismo resultado:
𝑃 𝐵 ∙ 𝑃 𝐴 = 0
0,037 ∙ 0,7 = 0,0259
Como 𝑃(𝐵 ∩ 𝐴) ≠ 0,0259, Los eventos A y B no son independientes.

Ejercicio 7b y c
b) Identificar que nos piden calcular 𝑃(𝐵 ∪ 𝐴)
𝑃 𝐵 ∪ 𝐴 = 𝑃 𝐵 + 𝑃 𝐴 − 𝑃 𝐵 ∩ 𝐴 = 0,73
La probabilidad de que la pieza sea defectuosa o el proceso esté
desajustado es de 0,73º 73%.
c) Identificar que nos piden calcular 𝑃 𝐴𝑐
𝐵𝑐
y lo hacemos mediante el
teorema de Bayes.
𝑃 𝐴𝑐
𝐵𝑐
=
𝑃(𝐴𝑐
) ∙ 𝑃(𝐵𝑐
|𝐴𝑐
)
𝑃(𝐵𝑐)
=
0,3 ∙ 𝑃(𝐵𝑐
|𝐴𝑐
)
1 − 0,037
= 0,2804
La probabilidad de que, dado que la pieza no sea defectuosa, el proceso
esté desajustado es de 0,2804 o 28,04%.

Partición de un espacio muestral
Sea S un espacio muestral, diremos que [𝐵1, 𝐵2, … , 𝐵𝑛] es una partición de S
si:
1. S = 𝐵1, 𝐵2, … , 𝐵𝑛 El espacio muestral se compone de estas partes
(eventos).
2. 𝐵𝑖 ∩ 𝐵𝑗 = ∅, ∀ 𝑖 ≠ 𝑗 Las particiones no se solapan entre sí.
𝐵1 𝐵2
𝐵3
𝐵4
𝐵5
S
p.141

Teorema de probabilidad total
Sea S un espacio muestral, y [𝐵1, 𝐵2, … , 𝐵𝑛] una partición él tal que la probabilidad
de cada elemento de la partición es mayor a cero ( 𝑃 𝐵𝑖 > 0, 𝑖 = 1,2, … 𝑛),
Entonces, ∀ evento A perteneciente a S:
𝑃 𝐴 = 𝑃 (
𝑖=1
𝑛
𝐵𝑖 ∩ 𝐴)
= 𝑖=1
𝑛
𝑃(𝐵𝑖 ∩ 𝐴)
= 𝑖=1
𝑛
𝑃(𝐵𝑖) ∙ 𝑃(𝐴|𝐵𝑖)
𝐵1 𝐵2
𝐵3
𝐵4
𝐵5
S
𝐴

Ejercicio 8
Una empresa de computadores los fabrica de dos tipos, I y II.
Empíricamente, se ha comprobado que el 20% de los computadores del
tipo I son defectuosos, mientras que el 25% de los computadores de tipo II
son defectuosos. Se tiene un lote de 300 computadores y se sabe que si
seleccionamos un computador al azar de este lote, la probabilidad de que
éste sea defectuoso es de 13/60.
a) Determine cuántos elementos de cada tipo hay en el lote.
b) Si al extraer un computador, este resultó defectuoso, determine la
probabilidad de que haya sido del tipo I.
Sugerencia: Utilice la probabilidad de fabricar computadores del tipo I igual
a X.

Ejercicio 8a
Primero definimos los eventos:
𝐴 fabricar computadores del tipo I 𝐴𝑐 fabricar computadores del tipo II
𝐵 que el computador sea defectuoso
Identificamos los datos que se entregan en el enunciado
𝑃 𝐵 𝐴 = 0,2 𝑃(𝐵| 𝐴𝑐) = 0,25 𝑃 𝐴 = 𝑥 𝑃 𝐵 = 13/60
𝐴 𝐴𝑐
𝐵
Analizamos las particiones de
nuestro espacio muestral

Ejercicio 8a
Utilizando el teorema de la probabilidad total, calculamos 𝑃(𝐵)
𝑃 𝐵 = 𝑃 𝐴 ∙ 𝑃 𝐵 𝐴 + 𝑃(𝐴𝑐) ∙ 𝑃(𝐵|𝐴𝑐)
Reemplazamos los valores conocidos y despejamos 𝑃(𝐴)
13
60
= 𝑃 𝐴 ∙ 0,2 + 1 − 𝑃 𝐴 ∙ 0,25
𝑃 𝐴 =
2
3
, 𝑃 𝐴𝑐 =
1
3
Finalmente, multiplicando el tamaño de la muestra por 𝑃 𝐴 𝑦 𝑃 𝐴𝑐
respectivamente, podemos calcular cuántos computadores de cada tipo hay en el
lote.
300 ∙
2
3
= 200 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑢𝑡𝑎𝑑𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑖𝑝𝑜 𝐼
300 ∙
1
3
= 100 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑢𝑡𝑎𝑑𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑖𝑝𝑜 𝐼𝐼

Ejercicio 8a – otra forma de resolverlo

Teorema de Bayes
Manteniendo las hipótesis del teorema anterior, ∀ 𝑟 = 1,2, … 𝑘 se cumple que:
𝑃 𝐵𝑟 𝐴 =
𝑃(𝐵𝑟) ∙ 𝑃(𝐴|𝐵𝑟)
𝑃(𝐴)
𝐵1 𝐵2
𝐵3
𝐵4
𝐵5
S
𝐴

Ejercicio 8b
Nos piden que calculemos 𝑃 𝐴 𝐵 para lo que utilizamos el teorema de
Bayes:
𝑃 𝐴 𝐵 =
𝑃 𝐴 ∙ 𝑃(𝐵|𝐴)
𝑃(𝐵)
=
2
3
∙ 0,2
13
60
≈ 0,62
La probabilidad de que al extraer un computador defectuoso, este sea del
tipo I es de 0,62 o 62%.
𝐴 𝐴𝑐
𝐵
Analizamos las particiones de
nuestro espacio muestral

Variable Aleatoria
Función matemática de un experimento
aleatorio. La distribución de probabilidad
define la estructura de la función de la variable
aleatoria. Según el rango de valores que
pueda tomar una variable aleatoria, se divide
en dos tipos: Variable aleatoria discreta y
Variable aleatoria continua. Para cada tipo de
variable existen varias distribuciones de
probabilidad (discretas y continuas
respectivamente).
Recordemos…
EXPERIMENTO ALEATORIO
Es aquel procedimiento con resultados
observables cuyo resultado puede
variar, aunque se replique bajo las
mismas condiciones, por lo que este no
puede predecirse con exactitud.

Variable Aleatoria Discreta
Variables aleatorias cuyo rango es finito o biyectivo con N (el valor de la variable se puede
representar mediante números naturales).
Sea X una V.A discreta, definimos su función de probabilidad como:
𝒇𝑿(𝒙) = 𝑷(𝑿 = 𝒙)
p.245
0 ≤ 𝑓𝑋(𝑥) ≤ 1
 𝑥∈𝑅𝑥
𝑓𝑋(𝑥) = 1
𝑃 𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏 = 𝑥=𝑎
𝑥=𝑏
𝑓𝑋(𝑥)
La probabilidad de que la variable tome un valor x oscila entre 0 y 1.
La suma de las probabilidades de que la variable tome todos sus valores
posibles es 1 (espacio muestral).
La probabilidad de que la variable tome un valor entre
a y b, corresponde a la suma de la probabilidad de que
tome todos los valores entre a y b.

Valor esperado / Esperanza
El valor esperado, esperanza o media, corresponde a la media
aritmética de los valores que puede tomar la variable aleatoria,
es decir, la suma de los valores por sus probabilidades (las
probabilidades serían las frecuencias relativas de cada evento).
𝑬[𝑿] =
𝒙∈𝑹
𝒙 ∙ 𝒇𝑿(𝑿)
𝑬[𝑿] 𝒐 𝝁𝒙

Propiedades del Valor esperado
1. Si 𝑏 ∈ 𝑅, 𝐸 𝑏 = 𝑏 La Esperanza de una constante es la misma constante
2. 𝑆𝑖 𝑎 ∈ 𝑅, 𝐸 𝑎𝑋 = 𝑎 ∙ 𝐸 𝑋
3. 𝑆𝑖 𝑋 𝑒 𝑌 𝑠𝑜𝑛 𝑉. 𝐴. , 𝐸 𝑋 + 𝑌 = 𝐸 𝑋 + 𝐸 𝑌
4. 𝑆𝑖 𝑔 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎, 𝐸 𝑔(𝑥) = 𝑥∈𝑅 𝑔(𝑥) ∙ 𝑓𝑋(𝑋)

Varianza 𝑽 𝑿 𝒐 𝝈𝟐
La varianza es una medida de dispersión que representa la variabilidad
de una serie de datos con respecto a su media.
Sea X una variable aleatoria discreta, su varianza se define por:
𝑽 𝑿 =
𝒙∈𝑹
(𝒙 − 𝑬[𝑿])𝟐 = 𝐄 𝑿𝟐 − 𝑬[𝑿]𝟐

Propiedades de la varianza
1. 𝑆𝑒𝑎 𝑏 ∈ 𝑅, 𝑉 𝑏 = 0 La varianza de una constante es 0.
2. 𝑆𝑒𝑎 𝑎 ∈ 𝑅, 𝑉 𝑎𝑋 = 𝑎2 ∙ 𝑉(𝑋) La cte. sale al cuadrado porque la varianza
está en unidades cuadradas.
3. 𝑉 𝑋 + 𝑌 = 𝑉 𝑋 + 𝑉 𝑌 , 𝑠𝑖 𝑋 𝑒 𝑌 𝑠𝑜𝑛 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠

Desviación estándar 𝝈
Corresponde a la raíz cuadrada de la varianza. También es una medida
de dispersión.
𝝈 = 𝝈𝟐
Mientras más se alejan
los datos de la línea,
más dispersos están
La varianza no entrega información
comparable respecto a la media, ya
que se encuentra en unidades
cuadradas, por lo que se utiliza la
desviación estándar para interpretar la
variabilidad de los datos.

Ejercicio 9
Considere el experimento en el que se lanzan dos dados, uno en
primer lugar y luego el segundo.
Defina la variable X como el valor absoluto de la diferencia
entre el resultado de ambos dados.
a) Determine el espacio muestral S.
b) Determine el rango de X.
c) Determine la función de probabilidad de X.
d) Determine el valor esperado de X.

Función de probabilidad acumulada
Sea X una V.A., su función de probabilidad acumulada se define como:
𝐹𝑋 𝑥 =
𝑦 ∈ 𝑅𝑋
𝑓𝑋(𝑦)
Ejemplo: Consideremos X una V.A. dada por:
Función de probabilidad Función de probabilidad acumulada
𝑿 0 1 2 3
𝑓𝑋(𝑋) 20
84
45
84
18
84
1
84
𝑿 0 1 2 3
𝐹𝑋(𝑋) 20
84
65
84
83
84
1

Propiedades de Función de probabilidad acumulada
1. 0 ≤ 𝐹𝑋 𝑥 ≤ 1, 𝑥 ∈ 𝑅
2. lim
𝑥→−∞
𝐹𝑋 𝑥 = 0, lim
𝑥→+∞
𝐹𝑋 𝑥 = 1
3. 𝑆𝑖 𝑎 ≤ 𝑏, 𝐹𝑋 𝑎 ≤ 𝐹𝑋 𝑏 La función es creciente
4. 𝑃 𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏 = 𝐹𝑋 𝑏 − 𝐹𝑋 𝑎 + 𝑓𝑋 𝑎
Para incluir la P(X=a)

Ejercicio 10
Sea X una variable aleatoria discreta con función de pasa dada por:
𝑓𝑋 𝑥 =
𝑥 + 𝑘
10
, 𝑥 = 1,2,3,4; 𝑘 ∈ 𝑅
= 0 𝑒𝑛 𝑐𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜
a) Calcule k de modo que 𝑓𝑋 𝑥 sea una función de probabilidad.
b) Calcule la esperanza de X.
c) Calcule la varianza de X.
d) Determine la función de probabilidad acumulada 𝐹𝑋.

Ejercicio 10
a) Calcule k de modo que 𝑓𝑋 𝑥 sea una función de probabilidad.
𝑥=1
4 𝑥+𝑘
10
=
1+𝑘
10
+
2+𝑘
10
+
3+𝑘
10
+
4+𝑘
10
=
10+4𝑘
10
1 , k=0
b) Calcule la esperanza de X.
𝐸 𝑋 = 1 ∙
1
10
+ 2 ∙
2
10
+ 3 ∙
3
10
+ 4 ∙
4
10
= 3
c) Calcule la varianza de X.
𝐸 𝑋 2 = 1 ∙
12
10
+ 2 ∙
22
10
+ 3 ∙
32
10
+ 4 ∙
42
10
= 10
𝑉 𝑋 = 10 − 32 = 1
d) Determine la función de probabilidad acumulada 𝐹𝑋.
x 1 2 3 4
𝐹𝑋(x) 1
10
3
10
6
10
10
10

Modelos de probabilidad discreta
Existen diversos problemas con características acotadas que se
pueden representar utilizando variables aleatorias discretas.
Según las propiedades de cada problema, existirá una
distribución de probabilidad para la V.A., que definirá su
función de probabilidad.

Distribuciones de probabilidad discreta
1 Distribución de Bernoulli 𝑋~𝐵𝑒𝑟(𝑝)
2 Distribución Binomial 𝑋~𝐵(𝑛, 𝑝)
3 Distribución de Geométrica 𝑋~𝐺(𝑝)
4 Distribución Binomial negativa 𝑋~𝐵𝑁(𝑟, 𝑝)
5 Distribución Hipergeométrica 𝑋~𝐻(𝑁, 𝑛, 𝑟)
6 Distribución de Poisson 𝑋~𝑃𝑜( )

Es un experimento que tiene sólo dos resultados posibles, que se denominan
“éxito” (con probabilidad p) y “fracaso” (con probabilidad q = 1-p). El
primer nombre se utiliza para el evento de nuestro interés.
Sea X la V.A. que cuenta el número de éxitos en un ensayo de Bernoulli:
p.407
El espacio muestral 𝑠 = {𝐸, 𝐹}
Los únicos resultados posibles
son éxito (E) y fracaso (F)
El rango de X es 𝑅𝑋 = {0,1}
Puede haber 1 éxito o
ninguno.
La función de probabilidad de X esta dada por:
𝒇𝑿 𝒙 = 𝒒 = 𝟏 − 𝒑, 𝒔𝒊 𝒙 = 𝟎
= 𝒑, 𝒔𝒊 𝒙 = 𝟏
= 𝟎, 𝒄𝒖𝒂𝒍𝒒𝒖𝒊𝒆𝒓 𝒐𝒕𝒓𝒐 𝒄𝒂𝒔𝒐
Ejemplo: lanzar una moneda y
esperar que salga cara
Éxito Fracaso

Es un experimento que tiene sólo dos resultados posibles, que se denominan
“éxito” (con probabilidad p) y “fracaso” (con probabilidad q = 1-p). El
primer nombre se utiliza para el evento de nuestro interés.
Sea X la V.A. que cuenta el número de éxitos en un ensayo de Bernoulli:
p.407
Los [únicos resultados posibles
El rango de X es 𝑅𝑋 = {0,1}
Puede haber 1 éxito o
ninguno.
𝒇𝑿 𝒙 = 𝒑𝒙 ∙ (𝟏 − 𝒑)𝟏−𝒙
Ejemplo: lanzar una moneda y
esperar que salga cara
Éxito Fracaso

2 Distribución Binomial 𝑋~𝐵(𝑛, 𝑝)
Sea X la V.A. que cuenta el número de éxitos de n ensayos de Bernoulli con
probabilidad de éxito p y probabilidad de fracaso q = 1-p :
Los [únicos resultados posibles
El rango de X es 𝑅𝑋 = [0, 𝑛]
Puede haber varios éxitos durante
los n ensayos de Bernoulli
𝒇𝑿 𝒙 = ∁𝒙
𝒏
∙ 𝒑𝒙
∙ (𝟏 − 𝒑)𝒏−𝒙
Ejemplo: lanzar una moneda varias
veces y esperar que salga cara.
Éxito Fracaso
La distribución de Bernoulli y Binomial se diferencian por su cantidad de ensayos.
𝜇𝑋 = 𝑛 ∙ 𝑝
Valor esperado de X
𝜎𝑋
2
= 𝑛 ∙ 𝑝 ∙ 𝑞
Varianza de X

3 Distribución Geométrica 𝑋~𝐺(𝑝)
Sea X la V.A. que cuenta el número de ensayos de Bernoulli necesarios para
obtener el primer éxito, se dice que X distribuye geométrica.
El rango de X es 𝑅𝑋 = [0, 𝑛]
El experimento se detiene cuando
se llega al primer éxito
𝒇𝑿 𝒙 = 𝒑 ∙ 𝒒𝒙−𝟏
Ejemplo: lanzar una moneda hasta
que salga cara.
Éxito Fracaso
𝜇𝑋 =
1
𝑝
Valor esperado de X
𝜎𝑋
2
=
𝑞
𝑝2
Varianza de X

4 Distribución Binomial negativa 𝑋~𝐵𝑁(𝑟, 𝑝)
Sea X la V.A. que cuenta el número de ensayos de Bernoulli necesarios para
obtener el r- ésimo éxito. p es la probabilidad de obtener éxito 1 ensayo de
Bernoulli, y r corresponde a la cantidad de éxitos que se busca obtener.
El rango de X es 𝑅𝑋 = {𝑟, 𝑟 + 1, 𝑟 + 2 … }
Cantidad de ensayos efectuados.
𝒇𝑿 𝒙 = ∁𝒓−𝟏
𝒙−𝟏
∙ 𝒑𝒓 ∙ (𝟏 − 𝒑)𝒙−𝒓
Ejemplo: lanzar una moneda varias
veces hasta que haya salido cara 3
veces.
Éxito Fracaso
𝜇𝑋 =
𝑟
𝑝
Valor esperado de X
𝜎𝑋
2
=
𝑟(1 − 𝑝)
𝑝2
Varianza de X
p. 445

Ejercicio 11
Suponga que, en una cierta familia, la probabilidad de que nazca
un varón es de 0,5. Suponga además que la pareja desea tener
exactamente dos hijas en su familia y que tendrán hijos hasta
que esta condición se satisfaga.
a) Determine la probabilidad de que la familia tenga 4 hijos.
b) Determine la probabilidad de que la familia tenga a lo más 3
hijos.
c) Determine el número de hijos que se espera que tenga la
pareja.

Ejercicio 11a
a) Determine la probabilidad de que la familia tenga 4 hijos.
X V.A. que cuenta la cantidad de hijos que tiene la familia hasta
tener dos hijas.
𝑋~𝐵𝑁(2, 0,5)
*Como la probabilidad de tener hijos es de 0,5, la probabilidad de tener hijas será 1-0,5=0,5.
𝑃 𝑋 = 4 = ∁𝟐−𝟏
𝟒−𝟏
∙ 𝟎, 𝟓𝟐 ∙ 𝟏 − 𝟎, 𝟓 𝟒−𝟐 = 0,1875
La probabilidad de que la familia tenga 4 hijos es de 0,1875 o 18,75%.

Ejercicio 11b
b) Determine la probabilidad de que la familia tenga a lo más 3 hijos.
𝑃 𝑋 ≤ 3 = 𝑃 𝑋 = 2 + 𝑃 𝑋 = 3
*La familia tendrá al menos dos hijos, por lo que empezamos a contar desde la probabilidad de que X=2.
𝑃 𝑋 ≤ 3 = ∁2−1
2−1
∙ 0,52 ∙ (1 − 0,5)2−2+ ∁2−1
3−1
∙ 0,52 ∙ 1 − 0,5 3−2 = 0,5
La probabilidad de que la familia tenga a lo más 3 hijos es de 0,5 o 50%.

Ejercicio 11c
c) Determine el número de hijos que se espera que tenga la
pareja.
𝐸 𝑋 =
2
0,5
= 4
Se espera que la pareja tenga 4 hijos.

5 Distribución Hipergeométrica 𝑋~𝐻(𝑁, 𝑛, 𝑟)
Sea X la V.A. que cuenta el número de éxitos muestrales (cuántos elementos de una muestra
cuentan con una característica deseada). N es el número de elementos de una población, n
el tamaño de la muestra y r el número de elementos que poseen una característica deseada
(éxitos poblacionales).
El rango de X es 𝑅𝑋 = {0,1,2, . . , 𝑛}
El máximo de éxitos muestrales es
toda la muestra.
𝒇𝑿 𝒙 =
∁𝒙
𝒏∙∁𝒏−𝒙
𝑵−𝒓
∁𝒏
𝑵
Ejemplo: sacar 3 pelotas de la caja y
que una esté pinchada.
𝜇𝑋 =
𝑛 ∙ 𝑟
𝑁
Valor esperado de X
𝜎𝑋
2
=
𝑛 ∙ 𝑟
𝑁
∙ 1 −
𝑟
𝑁
∙ (
𝑁 − 𝑛
𝑁 − 1
)
Varianza de X

Ejercicio 12
Para evitar que lo descubran en la aduana, un viajero ha agregado 6
tabletas de narcóticos a un frasco que contiene 9 tabletas de vitaminas que
son muy similares en apariencia. Si el oficial de aduana selecciones 3
tabletas al aleatoriamente para analizar:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que todas las tabletas sean de narcóticos?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que el viajero sea arrestado por posesión
ilegal de narcóticos?
c) El viajero va a obtener una ganancia de US$30.000 por su cargamento
ilegal de tabletas. Sin embargo, va a perder US$10.000 por cada tableta
que aparezca en la fiscalización de la aduana. ¿Cuál es la ganancia
esperada por el cargamento?

6 Distribución de Poisson 𝑋~𝑃𝑜( )
Sea X la V.A. que cuenta el número de éxitos de un proceso de Bernoulli en un intervalo de
tiempo determinado o en una región específica.
• El número de éxitos en una región es independiente del número de éxitos en cualquier otra.
• La probabilidad de que ocurran n éxitos depende de la longitud del intervalo de tiempo o de
la magnitud dela región.
• La probabilidad de que ocurra más de un resultado en un intervalo de tiempo corto o en una
región pequeña es insignificante.
El rango de X es 𝑅𝑋 = {0,1,2, … }
El experimento se detiene
cuando se llega al primer éxito
𝒇𝑿 𝒙 =
𝒆− ∙ 𝒙
𝒙!
= 𝟎, 𝒄. 𝒐. 𝒄.
𝜇𝑋 =
Valor esperado de X
𝜎𝑋
2
=
Varianza de X

Ejercicio 13
Se sabe que el agua de cierta laguna del sur de Chile contiene una proporción de bacterias
correspondiente a 4 bacterias por centímetro cúbico de agua. Se asume que la
contaminación del agua sigue un proceso de Poisson.
a) Si se toma una muestra de un centímetro cúbico, ¿Cuál es la probabilidad de que no
contenga ninguna bacteria?
b) Se toman 200 muestras de un centímetro cúbico, ¿Cuál es el número de muestras en
que se espera que aparezca, al menos, una bacteria? Considere las muestras
independientes.
c) Se empiezan a tomar muestras de medio centímetro cúbico, y la extracción no se
detiene hasta encontrarla primera que no contenga bacterias ¿Qué número de
muestras que se espera tener que tomar hasta detener el experimento? Considere las
muestras independientes.

Ejercicio 13
Se sabe que el agua de cierta laguna del sur de Chile contiene una proporción de bacterias
correspondiente a 4 bacterias por centímetro cúbico de agua. Se asume que la
contaminación del agua sigue un proceso de Poisson.
a) Si se toma una muestra de un centímetro cúbico, ¿Cuál es la probabilidad de que no
contenga ninguna bacteria?
𝑋 es la V.A. que cuenta el número de bacterias en un cm cúbico. 𝑥~𝑃(4)
𝑃 𝑥 = 0 =
𝑒−4 ∙ 40
0!
≈ 0,02
La probabilidad de que la muestra no contenga bacterias es de 0,02 o 2%.

Ejercicio 13
b) Se toman 200 muestras de un centímetro cúbico, ¿Cuál es el número de muestras en que
se espera que aparezca, al menos, una bacteria? Considere las muestras independientes.
𝑌 es la V.A. que cuenta el número de muestras en las que hay bacterias. 𝑌~𝐵 200, 𝑃 𝑋 ≥ 1
𝑃 𝑋 ≥ 1 = 1 − 𝑃 𝑋 < 1 = 1 − 𝑃 𝑥 = 0 = 1 − 0,02 = 0,98
𝑌~𝐵 200, 0,98
𝐸 𝑌 = 200 ∙ 0,98 = 196
Se espera que 196 muestras tengan, al menos, una bacteria.

Ejercicio 13
c) Se empiezan a tomar muestras de medio centímetro cúbico, y la extracción no se
detiene hasta encontrarla primera que no contenga bacterias ¿Qué número de muestras
que se espera tener que tomar hasta detener el experimento? Considere las muestras
independientes.
𝑍 es la V.A. que cuenta el número de bacterias en 1
2 cm cúbico. 𝑍~𝑃 2
𝑊 es la V.A. que cuenta el número de muestras de 1
2 cm cúbico tomadas hasta encontrar
la primera que no contiene bacterias. 𝑊~𝐺(𝑃 𝑧 = 0 )
Calculamos 𝑃(𝑧 = 0)
𝑃 𝑧 = 0 =
𝑒−2 ∙ 20
0!
≈ 0,135
Por lo tanto 𝑊~𝐺 𝑃 𝑧 = 0
𝐸 𝑊 =
1
0,135
≈ 7,4 ≈ 7
Se espera sacar 7 muestras hasta detener el experimento.

Variable aleatoria continua
Es aquella variable aleatoria cuyo rango es un
intervalo (toma todos los valores contenidos en él,
es decir, toma valores reales).
Sea X una V.A. continua, una función de
probabilidad cumple que:
1. 𝑓𝑋 𝑥 ≥ 0, ∀ 𝑥 ∈ 𝑅𝑥
2. −∞
+∞
𝑓𝑋 𝑥 ∙ 𝑑𝑥 = 1
3. 𝑃 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 = 𝑎
𝑏
𝑓𝑋 𝑥 ∙ 𝑑𝑥
Sea X la variable aleatoria que
representa el número de
kilogramos que pierde una
persona al seguir una dieta
específica durante cierto
período. Es una variable
aleatoria continua, pues su
rango (los valores que puede
tomar)son todos los puntos de
un intervalo, por ejemplo [ 1,3 ] .
p. 277

Media y varianza
Sea X una V.A. continua y 𝑓𝑋 𝑥 su función de densidad:

Función de probabilidad acumulada
Sea X una V.A. continua con función de probabilidad 𝑓𝑋 𝑥 .
Definimos su función de probabilidad acumulada como:
𝐹𝑋 𝑥 =
−∞
𝑥
𝑓𝑋 𝑦 ∙ 𝑑𝑦

Ejercicio 14
Sea X una variable aleatoria continua con función de probabilidad
acumulada dada por:
a) Calcule el valor de K, de modo que la función 𝑓𝑋 𝑥 sea función de
probabilidad. Sugerencia: utilice el teorema fundamental del cálculo.
b) Calcule 𝑃 𝑋 ≥ 1
c) Calcule el valor esperado de la V.A. X.

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