4. Es la probabilidad de que ocurra un evento A,
sabiendo que también sucede otro evento B.
La probabilidad condicional se escribe
y se lee:
«la probabilidad de A dado B».
Probabilidad Condicional
Definición
P(𝑨|𝑩)
5. • No tiene por qué haber una relación causal o
temporal entre A y B.
• A puede preceder en el tiempo a B,
sucederlo o pueden ocurrir
simultáneamente.
• A puede causar B, viceversa o pueden no
tener relación causal.
Probabilidad Condicional
Definición
6. Donde:
= Probabilidad de que ocurra A dado B.
= Probabilidad de que ocurra A y B a un
mismo tiempo
= Probabilidad de que ocurra B
Probabilidad Condicional
Definición
𝐏(𝐀|𝐁) =
𝐏(𝐀 ∩ 𝐁)
𝐏(𝐁)
𝐏(𝐀|𝐁)
𝐏(𝐀 ∩ 𝐁)
𝐏(𝐁)
8. Probabilidad Condicional
Se seleccionan dos semillas aleatoriamente,
una por una, de una bolsa que contiene 10
semillas de flores rojas y 5 de flores blancas.
¿Cuál es la probabilidad de que:
a) La primera semilla sea roja?
b) La segunda semilla sea blanca dado que
la primera fue roja?
Ejemplo Teórico
9. Probabilidad Condicional
La probabilidad de que la segunda semilla sea
blanca se ve influida por lo que salió primero, es
decir esta probabilidad está sujeta a una condición,
la de que la primera semilla sea roja.
Este tipo de probabilidad se le llama probabilidad
condicional y se denota por
Ejemplo Teórico
𝑷(𝑨|𝑩)
10. Probabilidad Condicional
En una empresa hay 75 empleados, de los cuales,
40 son encargados de sección, y 35 son
administrativos. Algunos de ellos utilizan ordenador
para sus tareas, y otros no.
Resumimos la información en el siguiente cuadro
de doble entrada:
Ejemplo Practico
11. Probabilidad Condicional
• Calcular la probabilidad de que al elegir una
persona de la empresa sea un
encargado, sabiendo que no tiene ordenador.
Ejemplo Practico
Sin Ordenador Con Ordenador Total
Encargados 8 32 40
Administrativos 20 15 35
Total 28 47 75
12. Probabilidad Condicional
Lo primero que debemos hacer es indicar cual es la
probabilidad pedida, y cual es la condición.
a) La persona sea un encargado (suceso pedido)
b) No tiene ordenador (suceso que condiciona)
Solución
𝑷(𝑨 ∩ 𝑩) =
𝟖
𝟕𝟓
𝑷(𝑩) =
𝟐𝟖
𝟕𝟓
𝑷(𝑨|𝑩) =
𝑷(𝑨𝑩)
𝑷(𝑩)
=
𝟖
𝟕𝟓
𝟐𝟖
𝟕𝟓
= 𝟎. 𝟐𝟖𝟔
14. En teoría la probabilidad independiente, se
dice que 2 sucesos aleatorios son
independientes entre si cuando la
probabilidad de cada uno de ellos no esta
influida porque el otro suceso ocurra o no, es
decir, cuando ambos sucesos no estas
correlacionados.
Probabilidad Independiente
Definición
15. P(Salga 2 soles) = P(S,S)=0.25
P(Salga 1 sol y 1 Águila) = P(A,S)=0.50
P(Salga 2 Águilas)= P(A,A) = 0.25
Probabilidad Independiente
Ejemplo Teórico
Evento
Sol
Águila
Águila
Sol
Águila
Sol 1/4
1/4
1/4
1/4
𝐏(𝐀∩𝐁) = 𝐏(𝐀) 𝐏(𝐁)
28. El teorema de Bayes se utiliza para revisar
probabilidades previamente calculadas
cuando se posee nueva información.
Expresa la probabilidad condicional de un
evento aleatorio A dado B en términos de la
distribución de probabilidad condicional del
evento B dado A y la distribución de
probabilidad marginal de sólo A.
Teorema de Bayes
Definición
29. Es decir que sabiendo la probabilidad de
tener un dolor de cabeza dado que se tiene
gripe, se podría saber -si se tiene algún dato
más-, la probabilidad de tener gripe si se
tiene un dolor de cabeza
Teorema de Bayes
Definición
30. Sea A1, A2, ...,An un sistema completo de sucesos, tales
que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de
cero, y sea B un suceso cualquier del que se conocen las
probabilidades condicionales P(B/Aἰ). entonces la
probabilidad P(Aἰ /B) viene dada por la expresión:
P(Aἰ) son las probabilidades a priori.
P(B/Aἰ) es la probabilidad de B en la hipótesis A.
P (Aἰ/B) son las probabilidades a posterior
Teorema de Bayes
Ejemplo Teórico
P ( Aἰ|B) =
𝐏(𝐀ἰ)(𝐁|𝐀ἰ)
𝐏 𝐀ἰ 𝐏 𝐁 𝐀ἰ +𝐏 𝐀2 +...+𝐏 𝐀n 𝐏 𝐁 𝐀𝐧
31. En la sala de pediatría de un hospital, el 60% de los
pacientes son niñas. De los niños el 35% son menores
de 24 meses. El 20% de las niñas tienen menos de 24
meses. Un pediatra que ingresa a la sala selecciona un
infante al azar.
a) Determine el valor de la probabilidad de que sea
menor de 24 meses.
b) Si el infante resulta ser menor de 24 meses.
Determine la probabilidad que sea una niña.
Teorema de Bayes
Ejemplo Practico
32. Se definen los sucesos:
• Suceso H: seleccionar una niña.
• Suceso V: seleccionar un niño.
• Suceso M: infante menor de 24 meses.
Teorema de Bayes
Ejemplo Practico
33. En los ejercicios de probabilidad total y Teorema de Bayes,
es importante identificar los sucesos que forman la
población y cuál es la característica que tienen en común
dichos sucesos. Estos serán los sucesos condicionados.
a) En este caso, la población es de los infantes. Y la
característica en común es que sean menores de 24
meses. Por lo tanto, la probabilidad de seleccionar un
infante menor de 24 meses es un ejemplo de
probabilidad total. Su probabilidad será:
Teorema de Bayes
Ejemplo Practico
𝐏 𝐌 = 𝐏 𝐇 ∗P 𝐌|𝐇 +P 𝐕 ∗ P 𝐌|𝐕 =0.6*0.2+0.4*0.35 = 𝟎. 𝟐𝟔 ó 𝟎. 𝟐𝟔%
34. b) Para identificar cuando en un ejercicio se hace referencia
al teorema de Bayes, hay que partir de reconocer esta es
una probabilidad condicionada y que la característica
común de los sucesos condicionantes ya ha ocurrido.
Entonces, la probabilidad de que sea niña una infante
menor de 24 meses será:
Teorema de Bayes
Ejemplo Practico
P 𝐇|𝐌 =
𝐏 𝐇 ∗(𝐌|𝐇)
𝐏 𝐇 ∗𝐏 𝐌 𝐇 +𝐏 𝐕 ∗𝐏(𝐌|𝐕)
=
𝟎.𝟔∗𝟎.𝟐
𝟎.𝟔∗𝟎.𝟐+𝟎.𝟒∗𝟎.𝟑𝟓
=
𝟎.𝟏𝟐
𝟎.𝟐𝟔
= 𝟎. 𝟒𝟔 ó 𝟒𝟔%
35. El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y
otro 20% son economistas. El 75% de los ingenieros ocupan
un puesto directivo y el 50% de los economistas también,
mientras que los no ingenieros y los no economistas
solamente el 20% ocupa un puesto directivo.
¿Cuál es la probabilidad de que un empleado directivo
elegido al azar sea ingeniero?
Teorema de Bayes
Ejemplo Practico
36. Teorema de Bayes
Ejemplo Practico
P 𝐈𝐧𝐠𝐞𝐧𝐢𝐞𝐫𝐢𝐨/𝐃𝐢𝐫𝐞𝐜𝐭𝐢𝐯𝐨 =
𝟎.𝟐∗𝟎.𝟕𝟓
𝟎.𝟐∗𝟎.𝟕𝟓+𝟎.𝟐∗𝟎.𝟓+𝟎.𝟔∗𝟎.𝟐
= 𝟎. 𝟒𝟎𝟓
0.2 Ingenieros
0.2 Economistas
0.6 Otros
0.75 Directivo
0.5 Directivo
0.2 Directivo
38. Si un experimento pueden ocurrir los eventos A y B,
entonces 𝑷 𝑨ç𝑩 = 𝐏 𝑨 𝐏(𝐁/𝐀)
Así la probabilidad de que ocurran A y B es igual a la
probabilidad de que ocurra A multiplicada por la
probabilidad de que ocurra B, dado que ocurre A.
Ley Multiplicativa
Definición
39. El propósito de la multiplicación consiste en determinar la
probabilidad del evento conjunto 𝐏(𝐀∩𝐁)
Es decir que para encontrar la probabilidad de A y B, simplemente
se multiplican sus respectivas probabilidades.
El procedimiento exacto depende de si A y B son dependientes o
independientes. Los eventos A y B son independientes si 𝐏 𝐀 =
𝐏(𝐀|𝐁)
Es decir la probabilidad de A es la misma bien se considere o no el
evento B. De igual forma, si A y B son independientes, si 𝐏 𝐁 =
𝐏(𝐁|𝐀)
Ley Multiplicativa
Definición
41. Supongamos que en el departamento de circulación de un diario se sabe que 84%
de las familias de una determinada colonia tiene una suscripción para recibir
el periódico de lunes a sábado.
Si hacemos que D represente el evento de una familia que tiene tal tipo de suscripción
𝑷 𝑫 = 𝟎. 𝟖𝟒
Se sabe que la probabilidad de que una familia cuya suscripción, además de ser de lunes a
sábado, también se suscriba a la edición dominical (evento S) es de 0.75; esto es 𝑃
𝑆
𝐷
= 0.75
cual es la probabilidad de que una suscripción de una familia incluya tanto a la edición dominical
como a la del lunes a sábado? se calcula de la siguiente manera P(S n D como sigue:
𝑷 𝑺∩𝑫 = 𝑷 𝑫 𝑷
𝑺
𝑫
= 𝟎. 𝟖𝟒(𝟎. 𝟕𝟓 = 𝟎. 𝟔𝟑
Sabemos que ahora el 635% de las familias tiene una suscripción de las ediciones
dominical y entre semana
Ley Multiplicativa
Ejemplo
42. Se selecciona una muestra aleatoria n = 2 de un lote de 100
unidades, se sabe que 98 de los 100 artículos están en buen
estado. La muestra se selecciona de manera tal que el primer
artículo se observa y se regresa antes de seleccionar el segundo
artículo (con reemplazo)
1. Calcule la probabilidad de que ambos artículos estén en buen
estado
2. Si la muestra se toma sin reemplazo, calcule la probabilidad
de que ambos artículos estén en buen estado
a) El primer artículo está en buen estado
b) El segundo artículo está en buen estado
Ley Multiplicativa
Ejemplo
44. Ley Multiplicativa
Ejemplo
Si la muestra se toma «sin reemplazo» de modo
que el primer artículo no se regresa antes de
seleccionar el segundo entonces:
𝑃 A∩𝐵 = 𝑃 𝐴 ∗ 𝑃 𝐵 =
98
100
97
100
= 0.9602
