1. Electrostática
Campo electrostático y potencial

2. 1. Carga eléctrica
Electrostática = estudio de las cargas
eléctricas en reposo
++
+-
--
repulsión atracción
Unidad de carga = el electrón
 e= 1.602177x 10-19 C

3. 1.1 Constituyentes de la materia
Partícula Masa (kg) Carga (C)
electrón 9.1x 10-31 -1.6x 10-19
protón 1.67x 10-27 +1.6x 10-19 ELECTRÓN
neutrón 1.67x 10-27 0
Z = número electrones =
número protones Elemento
A = número protones +
neutrones Isótopo
 Un átomo tiene el mismo número de
- -
electrones que de protones  es neutro ;
Q = Z ⋅ q p − Z ⋅ qe = 0 +++
+
Ión positivo : le faltan electrones -
Q = + ne ⋅ qe -
Ión negativo: tiene electrones añadidos Q = − ne ⋅ qe

4. 1.2 Conservación de la carga
La carga ni se crea ni se destruye  se
tranfiere
 Entre átomos
 Entre moléculas
 Entre cuerpos
La suma de todas las cargas de un
sistema cerrado es constante

5. 1.3 Carga por inducción
Bola
cargada lana
negativa Varilla de
Bola y plástico
varilla se
repelen
Bola Igual carga
neutra
Electroscopio.
Al acercar una bolita cargada las
láminas adquieren carga y se separan.

6. 2. Conductores y aislantes
Aislantes : materiales en los que la carga
eléctrica no se puede mover libremente.
Madera, plástico, roca …
Conductores: los electrones tienen libertad de
movimiento.
Metales, ..
Semiconductores: se pueden comportar como
conductores o como aislantes.

7. 3.1 Ley de Coulomb.
Fenomenología
La fuerza entre cargas q1
puntuales está dirigida a lo F12
largo de la línea que las
une.
La fuerza varía r1 r12
inversamente proporcional F21
q2
con el cuadrado de la
distancia que los separa y r2
es proporcional al
producto de las cargas.
La fuerza es repulsiva si
las cargas son del mismo F12 + F21 = 0
signo y atractiva si son de
signo diferente. r1 - r2 = r12

8. 3.2 Ley de Coulomb. Fórmula
Fuerza ejercida por q1 F12
q1
sobre q2
 q1q2 r1 r12
F12 = k 2 r12
ˆ F21
r12 q2
kconstante de r2
Coulomb k = 8.99 × 109 Nm 2 C 2
F12 + F21 = 0
ε0 Permitividad del
vacío
1
ε 0 = 8.85 × 10 −12 C 2 Nm 2 r1 - r2 = r12
k=
4πε 0

9. 3.3 Ley de Coulomb. Sistema de
cargas
Principio de superposición de fuerzas: La fuerza
neta ejercida sobre una carga es la suma vectorial de
las fuerzas individuales ejercidas sobre dicha carga
por cada una de las cargas del sistema.
Distribución continua
Cargas discretas de carga
  qi q0    q0 
FTotal = ∑ Fi = ∑ k 3 ri FTotal = ∫ dF = ∫ k 3 r dq
i i ri r

10. 4. Campo eléctrico
La fuerza eléctrica supone una acción a distancia.
Ejemplo: carga A y carga B
La carga A causa una modificación de las propiedades
del espacio en torno a ella.
La carga (prueba) B percibe esta modificación y
experimenta una fuerza  q q  
FAB = k A B
3
(rB − rA )
rB − rA
Consideremos que B puede estar en cualquier punto y
tener cualquier valor  q  
FA = q k A
3
(r − rA )
r − rA
La fuerza es ejercida sobre la carga prueba por el
campo
La fuerza eléctrica sobre un cuerpo cargado es
ejercida por el campo eléctrico creado por otros
cuerpos cargados  
F = qE
A A

11. 4.1 Campo eléctrico cargas
puntuales
Carga positiva = Carga negativa =
fuente sumidero
+ -
 q   q 
E (r ) = k 3 r E (r ) = − k 3 r
r r
Radiales
Proporcionales a la carga
Inversamente proporcionales al cuadrado de la
distancia

12. 4.2 Campo eléctrico. Sistema de
cargas
Principio de superposición de campos: El
campo neto creado por un sistema de cargas
es la suma vectorial de los campos creados por
cada una de las cargas del sistema.
Distribución continua
Cargas discretas de carga
  qi    
ETotal = ∑ Ei = ∑ k 3 ri r
ETotal = ∫ dE = ∫ k 3 dq
i i ri r

13. 4.3 Campo creado por un
dipolo Z
Dipolo = carga positiva y carga
negativa de igual valor (q) r+a
situadas a una distancia muy r-a
pequeña ( l = 2a ). r
Campo total = suma de campos - + Y
-a a
 q   −q  
E = k   3 (r − a ) + k   3 (r + a )
r−a r+a X  k 
E=− 3 p
   k  x
p = ql Momento dipolar - + E=− 3 p
z
l
Aproximación r>> l  2k 
 2k 
E= 3 p
   E= 3 p - + y
 k  (p⋅r) r  y
E = 3 3 − p  k 
 k 
E=− 3 p
r  r r  E=− 3 p z
x

14. 4.4 Líneas de campo eléctrico
Campo = deformación del espacio
causada por un cuerpo cargado.
Se puede representar mediante líneas.
El vector campo en un punto es tangente
a la línea de campo  Dos líneas de
campo nunca pueden cruzarse.
La densidad de líneas es proporcional a
la intensidad del campo eléctrico.
A grandes distancias las líneas son las
de una carga puntual.

15. Líneas de campo en esferas y
planos
Esfera con carga
Plano positivo
negativa
Simetría esférica Simetría planar

16. Líneas de campo para dipolos
Carga positiva y carga negativa
Dipolo eléctrico
Dos cargas positivas

17. 5. Teorema de Gauss. Enunciados
1. La dirección del flujo del campo eléctrico a
través de una superficie depende del signo
neto de la carga encerrada.
2. Las cargas fuera de la superficie no
generan flujo de campo eléctrico neto a
través de la superficie.
3. El flujo de campo eléctrico es directamente
proporcional a la cantidad neta de carga
dentro de la superficie pero independiente del
tamaño de ésta ( = Si S1 encierra a S2 por
ambas pasa el mismo flujo).

18. 5.1 Cálculo del flujo de un campo
Analogía con un campo
de velocidades en un
fluido. A
θ
Volumen que atraviesa la Acosθ
superficie A en un
tiempo dt
  vdt
V = v dt A cos θ = v ⋅ A dt
Flujo ~ Volumen por
unidad de tiempo
Una superficie se caracteriza con un
dV   vector perpendicular a la misma y de
Φ= = v⋅A módulo su área.
dt

19. 5.2 Flujo del vector campo
Superficie Gaussiana eléctrico Flujo infinitesimal
E es constante en
la superficie dA
 
dΦ = E ⋅ dA
Flujo total
Se debe sumar
(= integrar) a toda la
superficie.
 
Φ = ∫ E ⋅ dA
dA dA
Unidades N 
Φ =  m2 
C 
dA

20. 5.3 Ley de Gauss
El flujo del vector campo eléctrico a
través de una superficie cerrada es
igual a la carga encerrada en su interior
dividida por la permitividad del medio.
  Qenc
Φ = ∫ E ⋅ dA =
ε0
La superficie gaussiana no es una superficie real
( es matemática).
La ley de Gauss simplifica los cálculos de campo
eléctrico en casos de gran simetría.

21. 5.4 Cálculos con ley de Gauss
Carga puntual
Simetría esférica   Qenc
Φ = ∫ E ⋅ dA =
ε0
dA
 
+ r ∫ E ⋅ dA = E (r )(4π r 2 )
 Q
E (r ) = ˆ
r
4πε 0 r 2

22. 5.4 Cálculos con ley de Gauss
Conductor infinito con Plano infinito con densidad
densidad lineal de carga λ . superficial de carga σ .
E E E E
E
λ +++
+++ A1
A3 +++
A2
E E E
     
Φ = E ⋅ A2 = E (2π R l ) Φ = E ⋅ A1 + E ⋅ A3 = E (2 A)
Qenc λ l  λ Φ=
Qenc σ A 
= σ ˆ
Φ= = ε 0 E (± x) = ± 2ε i
ε 0 ε 0 E ( R) = 2πε R r
ˆ ε0
0
0

23. 6. Conductores en equilibrio
En un conductor existen cargas con
libertad de movimiento.
Una carga eléctrica es capaz de moverse
al aplicar un campo.
Si el campo E = 0 se produce una
redistribución de cargas en el interior
hasta E = 0 la situación de “equilibrio
electrostático”.

24. 6.1 Carga y campo en un conductor en
equilibrio electrostático
El campo interior es
nulo E = 0  Las
cargas se sitúan en
la superficie.
Campo superficial
Componente normal
σ
En =
ε0
Componente tangencial
Et = 0 Si no fuera nula existiría
desplazamiento superficial de
cargas

25. 6.2 Conductor en un campo
eléctrico
El campo interior
siempre es nulo.
Deforma las líneas
de campo exterior.
Se produce una
redistribución de
carga en la
superficie debido a
la fuerza eléctrica.

26. 7. Trabajo de la fuerza eléctrica
   
Para una fuerza conservativa el W = ∫ F (r ) ⋅ dr = ∫ F (r ) ⋅ dr
trabajo realizado para ir de un C1 C2
punto a a un punto b no depende
del camino recorrido.
Sólo depende del punto
inicial a y del final b.
Podemos asignar una
función a cada punto del espacio
-> La energía potencial.
WFC = −(U b − U a )
¡Unidades La fuerza eléctrica es una
de trabajo!
J=N·m fuerza conservativa

27. 7.1 Función energía potencial
Se puede generalizar el trabajo en 3D

rf
   
  
WFC = ∫ F ⋅ d r = −∆U = U (ri ) −U (r f )

F = −∇U (r )
ri
donde el gradiente se puede expresar en coordenadas
  ∂U 1 ∂U ˆ 1 ∂U ˆ   ∂U ∂U ˆ ∂U ˆ
∇U ( r ) = r+
ˆ θ+ φ ∇U ( r ) = ι
ˆ+ j+ k
∂r r ∂θ r senθ ∂φ ∂x ∂y ∂z
Polares Cartesianas

28. 8. Potencial eléctrico
La fuerza eléctrica se puede expresar en
función del campo eléctrico.
 
F (r ) = q E (r )
  
Por ser conservativa F = −∇U (r )
Potencial eléctrico U Energía potencial
V=
q Carga
Campo eléctrico = gradiente del potencial
eléctrico    Se puede elegir el
E = −∇V (r ) origen de
potencial
Unidades : el Voltio
V = [V ] = [ J / C ]

29. 8.1 Superficies
equipotenciales
El potencial es constante en todos sus puntos.
V ( x, y, z ) = cte
El vector gradiente
es ortogonal a S. U1
   
E ⋅ ∆r|| = −∇V ⋅ ∆r|| = Vi − Vi = 0
r
El gradiente y ||
s
son ortogonale VN
El gradiente va de V1
V2
menores a mayores
valores de V. V0
   
E ⋅ ∆r⊥ = −∇ V ⋅ ∆r⊥ = − (V j − Vi ) < 0
V j > Vi Vectores campo eléctrico

30. 8.1 Superficies equipotenciales
( ejemplos)
Superficie
equipotencial
Campo eléctrico
Campo Campo
Campo producido por producido por un
producido por un una carga dipolo
hilo infinito puntual